Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2016 (Bagian A) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2016
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
5 Maret 2016

BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1.





2017  20162  16  2015

adalah ....
Nilai dari
2020  20162  1
A. 2012
B. 2013





C. 2014
D. 2015
Pembahasan: A





2017  20162  16  2015
2020  20162  1





=
=
=

2016  1  20162  16 2016  1
2016  4  20162  1
2016  12016  1 20162  16
2016  4 20162  1
20162  1 2016  42016  4
2016  4  20162  1

= 2016 – 4
= 2012
2017  20162  16  2015
Jadi, nilai dari

adalah 2012
2020  20162  1



2.







Misalkan x  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x.
2
Jika x 
, maka x  =....
1
2
3

10


 ... 
1001 1002 1003
1010
A. 35
B. 36
C. 37
D. 38

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Pembahasan: C
2

Mencari pola penyelesaian untuk menentukan nilai dari x =

:
1
2
3
10


 ... 
1001 1002 1003
1010
2
2002
2
Pertama kita coba nilai dari
=
=
= 36,4

55
1
2
3
10
55


 ... 
1001 1001 1001
1001 1001
2020
2
2
=
=
= 36,727
Kedua kita coba nilai dari
10
55

1
2
3
55


 ... 
1010 1010
1010 1010 1010
Dari dua percobaan di atas, jelas bahwa nilai dari x berada di antara nilai 36,4 dan 36,727 atau
nilai dari x adalah 36,4 < x < 36,727
Dengan demikian, nilai dari x  = 37
2
Jadi, Jika x 
, maka x  = 37
1
2
3
10



 ... 
1001 1002 1003
1010

3.

Jika n! = n · (n – 1) · (n – 2) · .... · 2 · 1, maka
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = ....
A. (n – 1)! + 1
B. (n + 1)! – 1
C. (n + 1)! + 1
D. n! + n
Pembahasan: B
Perhatikan deret dari 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n!
Pada deret tersebut dapat diubah dalam bentuk pola sebagai berikut:
= (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ....+ n! – (n – 1)! + (n + 1)! – n!)
= – 1! + 2! – 2! + 3! – 3! + 4! – 4! + .... – (n – 1)! + n! – n! + (n + 1)!
= – 1! + (n + 1)!
= (n + 1)! – 1!

= (n + 1)! – 1
Jadi, jumlah dari deret 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = (n + 1)! – 1

4.

Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang
kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F
adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC
adalah .... cm2.
A. 74,00
B. 72,25
C. 68,00
D. 63,75
Pembahasan: D

A

E

B

F
G
C

D

H

Perhatikan Ilustrasi gambar berikut.
http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

A
F

E

B
17 cm
8 cm

G
D

17 cm

C

H
Perhatikan segitiga BCE! Dengan pythagoras didapat panjang BE = 15 cm,
sehingga panjang AE = 2 cm
Perhatikan segitiga AEF! Misalkan panjang FE = x cm, maka panjang AF = (8 – x) cm
Dengan pytahgoras didapat:
x2 = (8 – x)2 + 22
= 64 – 16x + x2 + 4
0 = 68 – 16x
x = 4,25 cm
Perhatikan segiempat EFDC! Bangun tersebut merupakan layang-layang yang luasnya dua kali
bangun segitiga DCF, karena panjang FE = FD = x = 4,25 cm
Sehingga luas segiempat EFDC = 2 × Luas segitiga DCF
1
= 2 × × DC × FD
2
1
= 2 × × 17 × 4,25
2
= 17 × 4,25
= 72,25
Jadi, Luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm2
5.

Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, –1). Garis l dengan gradien 

3
melalui titik B. Jarak antara
4

titik A dan garis l adalah .... satuan panjang.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Pembahasan: B

3
melalui titik B(12, –1), sehingga a = 12 dan b = –1
4
Dicari terlebih dulu persamaan garis l, sebagai berikut
y – b = m(x – a)
3
sehingga m =  , a = 12 dan b = –1
4
y – b = m(x – a)
3
y – (–1) =  (x – 12)
4
Diketahui garis l dengan gradien m = 

http://olimattohir.blogspot.co.id/

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

3
x+9
4
3
y =  x+8
4
3x + 4y – 32 = 0
y+1= 

Jarak antara titik yang memiliki koordinat A(1, 1) dengan garis lurus 3x + 4y – 32 = 0, adalah
3(1)  4(1)  32
Jarak =
32  4 2
 25
=
25
25
=
5
=5
Jadi, Jarak antara titik A dan garis l adalah 5 satuan panjang

6.

Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6
cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah .... cm.
6
A.
4
6
B.
3
3
C.
4
2 3
D.
3

A

D
B

E

F

C

Pembahasan: D
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
A

D
B

2 cm E 6 cm

F 4 cm

C

Perhatikan segitiga AFC dan AFB, dengan konsep kesebangunan didapat
AF FC

 AF2 = FC × FB
FB AF
 AF2 = 4 × 8
 AF2 = 32
 AF = 32
 AF = 4 2
Perhatikan segitiga AFC dan ABC, dengan konsep kesebangunan didapat

http://olimattohir.blogspot.co.id/

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

AC FC

BC AC

 AC2 = FC × BC

 AC2 = 4 × 12
 AC2 = 48
 AC = 48
 AC = 4 3
Kemudian, perhatikan segitiga BDE dan ABC, dengan konsep kesebangunan didapat
DE BE
BE
 DE =
× AC

AC BC
BC
2
×4 3
 DE =
12
2 3
 DE =
3
2 3
cm
Jadi, panjang DE adalah
3
7.

Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang
bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di
samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1 m yang mempunyai bayangan
sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah .... m.
15
A.
10  3
15
B.
10  3
10
C.
52
10
D.
52
Pembahasan: A
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
C
D
r
r
15 m
O
E
1m
A 3 m F 15 m
B
Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, coba perhatikan segitiga AFE dan ABC!
Dengan konsep kesebangunan didapat panjang AC = 5 m, sehingga panjang OC = 5 – r,
dan berdasarkan pythagoras didapat panjang EF = 10 m dan panjang BC = 5 10 . Sehingga
panjang CD = 5 10 – 15
Kemudian perhatikan segitiga ODC!, dengan pytahgoras didapat
OD2 + CD2 = OC2
r2 + (5 10 – 15)2 = (5 – r)2
r2 + 250 – 150 10 + 225 = 25 – 10r + r2

http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

475 – 150 10 = 25 – 10r
10r = 25 + 150 10 – 475
10r = 150 10 – 450
r = 15 10 – 45
atau
10  3
r = 15 10  3 
10  3
15 10  3 10  3
r =
10  3
1510  9
r =
10  3
15
r =
10  3
15
Jadi, radius bola tersebut adalah
m
10  3

 








8.






Banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 – x2014 = x2015 – x2013 adalah ....
A.
B.
C.
D.

0
1
2
3

Pembahasan: D
x2016 – x2014
x
– x – x2015 + x2013
x2014(x2 – 1) – x2013(x2 – 1)
(x2014 – x2013)(x2 – 1)
x2013(x – 1)( x2 – 1)
x2013(x – 1)( x – 1)(x + 1)
x2013(x – 1)2(x + 1)
2016

2014

1) x2013 = 0
2) (x – 1)2 = 0
3) (x + 1) = 0

x=0
x=1
 x = –1

= x2015 – x2013
=0
=0
=0
=0
=0
=0
ada 3 nilai x yang memenuhi

Jadi, banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 – x2014 = x2015 – x2013 adalah 3
9.

Jika sistem persamaan
mx + 3y = 21
4x – 3y = 0
memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ....
A.
B.
C.
D.

9
10
11
12

http://olimattohir.blogspot.co.id/

6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Pembahasan: B
Dengan metode eliminasi didapat:
mx + 3y = 21
4x – 3y = 0 –
(m + 4)x = 21
21
x =
(m  4)
karena nilai x harus merupakan bilangan bulat, maka nilai m + 4 haruslah merupakan faktor dari
21. Faktor positif dari 21 terdiri dari 1, 3, 7, 21
1) m + 4 = 1,
maka nilai x = 21 (tidak memenuhi)
2) m + 4 = 3,
maka nilai x = 7
(memenuhi untuk nilai x) didapat nilai m = –1
(tapi tidak terpenuhi untuk nilai y bilangan bulat)
3) m + 4 = 7,

maka nilai x = 3

(memenuhi untuk nilai x) didapat nilai m = 3
(nilai y juga memenuhi, yaitu y = 4)

4) m + 4 = 21,

maka nilai x = 1

(memenuhi untuk nilai x) sehingga didapat nilai m = 17
(tapi tidak terpenuhi untuk nilai y bilangan bulat)

Dengan demikian nilai yang memenuhi m = 3, x = 3, dan y = 4,
sehingga m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10
Jadi, nilai m + x + y yang mungkin adalah 10

10.

Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti
kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:
 25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti
kegiatan tersebut;
 90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.
Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ....
A. 9 : 1
B. 9 : 2
C. 9 : 3
D. 9 : 4
Pembahasan: D
Misalkan banyak siswa putra adalah x
banyak siswa putri adalah y
Berdasarkan hasil survei pertama didapat
Banyak siswa yang berminat mengikuti kegiatan paskibraka = 25% x + 50% y
1
1
= x+ y
4
2
Berdasarkan hasil survei kedua didapat
1
1
Dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri = 90%( x + y)
4
2
9 1
1
=
( x + y)
10 4
2

http://olimattohir.blogspot.co.id/

7

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Dengan demikian, didapat

9 1
1
( x + y)
10 4
2
1
1
9( x + y)
4
2
9(x + 2y)
9x + 18y
9x
y:x

=

1
y
2

1
y)
2
= 10(2y)
= 20y
= 2y
=9:2
= 10(

kedua ruas dikalikan 4

Jadi, rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah 9 : 2

11.

Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
untuk x genap
2 x  1,
f x   
untuk x ganjil
2 x  1,
Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah ....
A. 21
B. 39
C. 61
D. 77
Pembahasan: B
Berdasarkan informasi dari soal, maka perlu kita gunakan cara coba-coba untuk mempersingkat
waktu, yakni dengan menguji satu-persatu nilai f(a) yang terdapat pada pilihan berikut.
No.

f(a)

1.

21

2.

39

3.

61

4.

77

f(a) = 2a + 1,
untuk a genap
21 = 2a + 1
2a = 20
a = 10
39 = 2a + 1
2a = 38
a = 19
(19 untuk f(a) ganjil)
61 = 2a + 1
2a = 60
a = 30
77 = 2a + 1
2a = 76
a = 38

f(a) = 2a – 1,
untuk a ganjil

Keterangan

-

Benar untuk nilai a genap

39 = 2a – 1
2a = 40
a = 20
(20 untuk f(a) genap)

Tidak ada nilai yang memenuhi
untuk f(a) = 39

-

Benar untuk nilai a genap

-

Benar untuk nilai a genap

(untuk mengetahui nilai f(a), boleh mencari satu-persatu dengan mensubstitusikan bilangan asli tersebut ke rumus fungsi yang telah ditentukan)

Jadi, nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah 39
12.

Banyak bilangan bulat k > –20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran
x2 + y2 = 9 adalah ....
A. 20
B. 19
C. 11
D. 10

http://olimattohir.blogspot.co.id/

8

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Pembahasan: D
Diketahui: y = x2 + k dan x2 + y2 = 9
Untuk menentukan titik potong, maka persamaan keduanya harus sama, yakni
Terlebih dulu persamaan dari y = x2 + k diubah menjadi x2 = y – k
x2 + y2 = 9 diubah menjadi x2 = 9 – y2, sehingga
2
y–k=9–y
y2 + y – (k + 9) = 0
kemudian kita selidiki nikai k dengan deskriminan
D = 0  b2 – 4ac = 0
 (1)2 – 4(1)[– (k + 9)] = 0
 1 + 4k + 36 = 0
 4k = –37
 k = –9,25
Artinya parabola y = x2 + k akan berpotongan dengan lingkaran x2 + y2 = 9 pada daerah nilai k
adalah –9,25 < k ≤ 3. Sehingga, selain dari daerah nilai k tersebut kedua persamaan yang
dimaksud tidak akan berpotongan, yakni nilai k < –9,25 dan k > 3
Karena diketahui bilangan bulat k > –20, maka kedua persamaan tersebut tidak akan pernah
berpotongan ketika nilai k > 3
Jadi, tidak ada pilihan jawaban yang tersedia pada nomor soal 12 ini
Akan tetapi, jika yang diketahui bilangan bulat negatif k > –20, maka kedua persamaan tersebut
tidak akan pernah berpotongan ketika nilai –20 < k < –9,25; yaitu {–19, –18, –17, –16, –15, –14,
–13, –12, –11, –10}. Dengan demikian ada 10 nilai k yang memenuhi
Coba perhatikan ilustrasi gambar berikut:

Jadi, banyak bilangan bulat negatif k > –20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan
dengan lingkaran x2 + y2 = 9 adalah ada 10
http://olimattohir.blogspot.co.id/

9

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

13.

Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari
tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut.
100%
80%
60%
40%
20%
0%
2012

2014

2013
% Produk A

2015

% Produk B

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.
Tahun

2012

2013

2014

2015

Produk A

1200

2400

2400

3600

Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ....
A. 1000
B. 1340
C. 1350
D. 1500
Pembahasan: C
Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun

2012

2013

2014

2015

Produk A

1200

60%

2400

80%

2400

40%

3600

90%

Produk B

a

40%

b

20%

c

60%

d

10%

40%
× 1200 = 800
60%
20%
b=
× 2400 = 600
80%
a=

60%
× 2400 = 3600
40%
10%
d=
× 3600 = 400
90%

c=

a  b  c  d 800  600  3600  400 5400
=
=
= 1350
4
4
4
Jadi, rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah 1350

Dengan demikian, rata-ratanya =

http://olimattohir.blogspot.co.id/

10

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

14.

Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna
berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1
sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang
terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ....
A.

5
13

B.

8
26

C.

19
52

D.

31
104

Pembahasan: B
Menurut informasi pada soal bahwa Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna
berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1
sampai dengan 13, maka banyak masing-masing kartu ada 26 dan total semua kartu sebanyak 104
26
104
6
Banyak kartu bernomor 13 ada 8 – 2 = 6, maka peluang terambil kartu bernomor 13 =
104
26
6
Dengan demikian, peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 =
+
104 104
32
=
104
8
=
26
8
Jadi, Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah
26

Banyak kartu berwarna merah ada 26, maka peluang terambil kartu berwarna merah =

15.

Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum
yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah ....
A. 50
B. 49
C. 48
D. 45
Pembahasan: C
Misalkan lima bilangan tersebut adalah a, b, c, d, dan e
Bilangan terbesar e dan bilangan terkecil a
abcd e
Maka
 40  a + b + c + d + e = 200
5
e – a = 10

http://olimattohir.blogspot.co.id/

11

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

 b + c + d + e + a = 200
e – a = 10 +
b + c + d + 2e = 210
210  b  c  d 
e=
2
 Jika dianggap kelima bilangan sama, maka masing-masing bilangannya adalah 40
sehingga untuk (b + c + d) = 40×3 = 120
210  120 90
oleh karena itu, e =
=
= 45  maka e = 45 dan a = 35
2
2
210  117 93
=
= 46,5 (tidak memenuhi)
 Akan tetapi jika (b + c + d) = 39×3 = 117  e =
2
2
210  114 96
 Coba kita cek lagi untuk (b + c + d) = 38×3 = 114  e =
=
= 48
2
2
maka e = 48 dan a = 38

a + b + c + d + e = 200

Jadi, nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut
adalah 48

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

12