Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2014 (Bagian A) www.olimattohir.blogspot.com
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2014
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
8 Maret 2014
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1.
Sepuluh orang guru akan ditugaskan pada tiga sekolah, yakni A, B, dan C, berturut-turut
sebanyak dua, tiga, dan lima. Banyaknya cara yang mungkin untuk menugaskan kesepuluh gusu
tersebut adalah ....
A. 2520
B. 5040
C. 7250
D. 10025
Pembahasan:
Diketahui bahwa terdapat 10 orang guru akan ditugaskan di sekolah A, B, dan C, berturut-turut
sebanyak 2, 3, dan 5. Permasalahan ini termasuk permutasi berulang, karena ada 10 unsur dengan
3 unsur yang muncul yaitu 2 unsur pertama, 3 unsur kedua, dan 5 unsur ketiga, sehingga di
peroleh:
n!
10!
P=
P=
q1!.q2!.q3!
2!. 3!.5!
10.9.8.7.6!
P=
2!. 3!.5!
10.9.8.7.6
P=
2!. 3!
10.9.8.7.6
P=
2 . 3.2
P = 10 . 9 . 4 . 7
P = 2520
Jadi, banyaknya cara yang mungkin untuk menugaskan kesepuluh orang guru tersebut
adalah 2520 cara
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
2.
Berikut diberikan data siswa kelas VIII SMP Bina Prestasi. Tiga perlima bagian dari seluruh
siswa adalah perempuan. Setengah dari siswa laki-laki diketahui pergi kesekolah naik bus
sekolah, sedangkan siswa perempuan hanya seperenamnya yang persegi ke sekolah naik bus
sekolah. Diketahui juga bahwa terdapat 147 siswa pergi ke sekolah tidak naik bus sekolah.
Banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah ....
A. 330
B. 245
C. 210
D. 193
Pembahasan:
Misalkan banyak siswa seluruhnya adalah n
banyak siswa perempuan adalah p
banyak siswa laki-laki adalah l
banyak siswa perempuan naik bus adalah pb
banyak siswa laki-laki naik ikut bus adalah lb
banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt
banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt
Diketahui: p =
3
n
5
1
lb = l
2
1
pb = p
6
pt + lt = 147
......(1)
......(2)
......(3)
......(4)
dari persamaan (1) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki adalah l =
2
n
5
....(5)
1
l
2
....(6)
dari persamaan (3) di dapat bahwa banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt =
5
p ....(7)
6
dari persamaan (2) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt =
sehingga persamaan (4) menjadi:
5
1
....... (8)
pt + lt = 147
p + l = 147
6
2
berdasarkan persamaan (1) dan (5) serta (8) diperoleh
5
5 3 1 2
1
p + l = 147 n + n = 147
6
2
6 5 2 5
1
1
n + n = 147
2
5
5n 2n
= 147
10
5n + 2n = 147 × 10
7n = 1470
n = 210
Jadi, banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah 210 siswa
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
3.
Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang
benar adalah ....
A. x kelipatan 5
B.
x kelipatan 72
C. x kelipatan genap
D. x kelipatan faktor dari 3
Pembahasan:
Alternatif (1)
Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3
KPK dari 72 dan x adalah 1800
Untuk menentukan nilai x, kita perlu terlebihdulu mencari faktor prima dari 72 dan mencari pola
untuk mencari faktor prima dari x, yaitu sebagai berikut:
Kemudian kita cari faktor prima dari 72, yaitu 23 × 32
Karena KPK dari 72 dan x adalah 1800 dan FPB dari 72 dan x adalah 3,
1800
maka faktor prima yang mungkin dari x adalah 3 ×
= 3 × 25 = 75
72
Dengan demikian nilai x adalah 75
Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3
Alternatif (2)
Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3
KPK dari 72 dan x adalah 1800
Berdasarkan suatu teorema, yaitu: “Misalkan a dan b adalah suatu bilangan bulat, d adalah
FPB(a, b), dan l adalah KPK(a, b). Maka ab = FPB(a, b) × KPK(a, b)”
Sehingga diperoleh
FPB(72, x) × KPK(72, x) = 72 × x
3 × 1800
= 72x
3 1800
x =
72
x = 75
Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3
4.
Diberikan empat bilangan a, b, c, dan d. Jika rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah
75, serta rata-rata c dan d adalah 70, maka rata-rata a dan d adalah ....
A. 35
B. 45
C. 50
D. 55
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal, bahwa rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta
rata-rata c dan d adalah 70
Sehingga diperoleh:
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
rata-rata a dan b adalah 50
rata-rata b dan c adalah 75
rata-rata c dan d adalah 70
ab
50
2
bc
75
2
cd
70
2
a + b = 100
....(1)
b + c = 150
....(2)
c + d = 140
....(3)
berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh
a + b = 100
b + c = 150
--------------- –
a – c = – 50
....(4)
berdasarkan persamaan (4) dan (3) diperoleh
a – c = – 50
c + d = 140
--------------- +
ad
a + d = 90
45
2
Jadi, rata-rata a dan d adalah 45
5.
Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80. Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya
menjadi 78. Jika nilai A tiga kali nilai B, maka selisih antara nilai A dan B adalah ....
A. 15
B. 25
C. 50
D. 75
Pembahasan:
Alternatif (1)
Diketahui - Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80
- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78
- Nilai A tiga kali nilai B
Kemudian membuat persamaan matematika dari 3 hal yang diketahui, yaitu sebagai berikut:
- Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80
28 siswa 80
28
∑28 siswa = 80 × 28
∑28 siswa = 2240
- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78
28 siswa A B 78 28 siswa A B 78
28 2
30
∑28 siswa + A + B = 78 × 30
∑28 siswa + A + B = 2340
- Nilai A tiga kali nilai B
http://olimattohir.blogspot.co.id/
A = 3B
.....(1)
.....(2)
.....(3)
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh
∑28 siswa + A + B = 2340
2240 + A + B = 2340
A + B = 2340 – 2240
A + B = 100
Berdasarkan persamaan (4) dan (3) didapat
A + B = 100
3B + B = 100
4B = 100
B = 25
.....(5)
.....(4)
Sehingga dari persamaan (4) dan (5) diperoleh
A + B = 100 A + 25 = 100
A = 75
Dengan demikian A – B = 75 – 25 = 50
Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50
Alternatif (2)
Misalkan banyak siswa 28 siswa adalah n1 = 28
Banyak siswa A dan B adalah n2 = 2 = A + B
nilai rata-rata 28 siswa adalah x1 = 80
nilai rata-rata Siswa A dan B adalah x2
nilai rata-rata seluruhnya adalah x = 78
diketahui nilai A = 3B .....(1)
Maka,
n x n x
x 1 1 2 2
n1 n2
78
28 80 2 x2
28 2
2240 2 x2
30
78 30 2240 2 x2
78
2340 2240 2 x2
2340 2240 2 x2
100 2 x2
2 x2 A B 100
....(2)
A B 100
Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat
A + B = 100
3B + B = 100
4B = 100
B = 25
.....(3)
Sehingga dari persamaan (2) dan (3) diperoleh
A + B = 100 A + 25 = 100
A = 75
Dengan demikian A – B = 75 – 25 = 50
Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
6.
Diketahui persamaan kurva y = x3 + 4x2 + 5x + 1 dan y = x2 + 2x – 1. Jika kedua kurva
digambarkan pada bidang yang sama, maka banyak titik potong kedua kurva tersebut adalah ….
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pembahasan:
Diketahui: y = x3 + 4x2 + 5x + 1 dan y = x2 + 2x – 1
Untuk menentukan titik potong, maka persamaan kedua kurva harus sama, yakni
x3 + 4x2 + 5x + 1 = x2 + 2x – 1
x3 + 3x2 + 3x + 2= 0
(x + 2)(x2 + x + 1) = 0
x = – 2 dan x2 + x + 1 = 0 (karena D = 12 – 4(1)(1) < 0, maka tidak terdapat titik potong)
Jadi, hanya ada 1 titik potong.
Ilustrasi grafik dari kedua kurva, sebagai berikut:
y = x2 + 2x – 1
y = x3 + 4x2 + 2x – 1
7.
Jika 3n adalah faktor dari 1810, maka bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah ….
A. 10
B. 15
C. 18
D. 20
Pembahasan:
Diketahui 3n adalah faktor dari 1810
Karena 3n merupakan faktor dari 1810, maka ada suatu bilangan bulat yang apabila dikalikan
dengan 3n akan menghasilkan 1810. Misalkan bilangan tersebut adalah a, yakni sebagai berikut:
1810 = 3n × a
1810 = 3n × a
(9 × 2)10 = 3n × a
(32 × 2)10 = 3n × a
320 × 210 = 3n × a
Hal ini dapat ditulis 320 = 3n dan 210 = a
Dengan demikian,
dari persamaan 320 = 3n di dapat bahwa n = 20
Jadi, nilai bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah 20.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
6
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
8.
Pada sebuah bidang terdapat sepuluh titik. Di antara sepuluh titik tersebut tidak ada tiga titik atau
lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga
titik pada bidang tersebut adalah ….
A. 30
B. 60
C. 100
D. 120
Pembahasan:
Diketahui: sebuah bidang terdapat sepuluh titik dan tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris
Artinya adalah ada 10 unsur dari 3 unsur yang akan dibentuk, yakni
10!
10!
10C3 =
10C3 =
10 3!3!
7!3!
=
10 9 8
3 2 1
= 10 × 3 × 4
= 120
Jadi, Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik
pada bidang tersebut adalah 120
9.
Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik O adalah titik potong dua
diagonal pada bidang BCFG. Jarak titik O ke bidang BCEH adalah .… satuan.
2
5
2
4
2
3
2
2
A.
B.
C.
D.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
H
G
Q
R
E
F
S
2
D
O
T
C
P
A
2
S
B
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
O
1
T
P
7
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Karena titik O adalah perpotongan dua diagonal bidang kubus, maka panjang OP = 1 satuan dan
besar sudut OPS = 45o, maka SO = 1 satuan
Dengan demikian
PS2 = PO2 + SO2
PS2 = 12 + 12
PS2 = 2
PS = 2
1
Luas segitiga POS = × PO × SO
2
1
1
× PS × TO = × 1 × 1
2
2
2 × TO = 1
1
TO =
2
TO =
2
2
Jadi, Jarak titik O ke bidang BCEH adalah
10.
2
satuan.
2
Perhatikan diagram batang berikut.
Pernyataan berikut yang salah adalah ….
A. Modus pada gambar A < Modus pada gambar B
B. Median pada gambar A < Median pada gambar B
C. Quartil 1 pada gambar A < Quartil 1 pada gambar B
D. Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
8
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Berdasarkan ilsutrasi gambar di atas, maka nilai Gambar A dan Gambar B adalah sama.
Sehingga rata-rata kedua gambar tersebut juga sama.
Jadi, Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B
11.
Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 100 adalah ….
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pembahasan:
Diketahui x2 = y2 + 100, dengan x dan y bilangan asli
x2 – y2 = 100
(x – y)(x + y) = 100
artinya adalah (x – y)(x + y) merupakan faktor-faktor pasangan dari 100, yaitu
1 dan 100
2 dan 50
4 dan 25
5 dan 20
10 dan 10
x2 = y2 + 100
Dari kelima pasangan tersebut yang memenuhi adalah 2 dan 50, karena
(x – y)(x + y) = 100
(2)(50) = 100
x–y =2
x + y = 50
----------- +
2x = 52
x = 26
y = 24
Jadi, Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 100
adalah 1, yaitu (26, 27)
12.
Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil
penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak
tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang
bukan bilangan bulat. Jika A = {0,2,4,6,....} adalah himpunan bulat positif genap, maka
pernyataan berikut yang benar adalah …
A. Himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian saja
B. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan saja
C. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
D. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan
http://olimattohir.blogspot.co.id/
9
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Diketahui
- Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil
penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat
- Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada
hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat.
Jadi, pernyataan yang paling benar adalah Himpunan A tertutup terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian
13.
Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi – sisinya 2 satuan. Selanjutnya,
dibentuk segitiga kedua dengan menghubungkan tiga titik tengah pada masing – masing sisi
segitiga ABC. Dengan cara serupa, dibentuk segitiga ketiga, keempat, kelima, keenam, dan
seterusnya. Luas seluruh segitiga – segitiga tersebut adalah ….
3
A.
3
B.
2 3
3
C.
4 3
3
D.
5 3
2
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
2
2
2
Kemudian mencari luas segitiga ke-1, ke-2, ke-3,....
Luas segitiga ke-1 =
=
=
1
×a×t
2
1
×2×
2
2
2
t
22 12 3
3
3
2
Dengan demikian Luas segitiga ke-2 =
1
× Luas segitiga ke-1
4
Luas segitiga ke-3 =
1
× Luas segitiga ke-2
4
http://olimattohir.blogspot.co.id/
t=
10
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Luas segitiga ke-4 =
1
× Luas segitiga ke-3
4
......
......
......
Sampai tak terhingga.....
Dengan demikian dapat disimpulkan: pola seperti ini membentuk deret geometri tak hingga,
Dimana U1 =
3 dan r =
1
4
Sehingga luas seluruh segitiga adalah sebagai berikut:
S∞ =
U1
1 r
L =
U1
1 r
L=
3
1
1
4
L=
3
3
4
L=
4
3
3
Jadi, Luas seluruh segitiga – segitiga tersebut adalah
14.
4
3 satuan luas
3
Sepuluh titik pada suatu lingkaran diberi nomor 1, 2, …, 10. Seekor katak melompat searah
jarum jam satu satuan. Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga
satuan jika bukan bilangan prima. Jika mula-mula katak berada pada posisi nomor 1, di manakah
posisi katak setelah melompat 2014 kali?
A. 1
B. 4
C. 7
D. 8
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
9
10
1
8
2
7
3
6
5
4
http://olimattohir.blogspot.co.id/
11
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Diketahui: seekor katak melompat searah jarum jam satu satuan
Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga satuan jika
bukan bilangan prima.
Berikut langkah-langkah lompatan katak yang akan dilalui
Urutan lompatan kePosisi katak
Bilangan prima
1
4
2
7
3
8
4
1
5
4
6
7
7
8
8
1
9
4
10
7
...
...
...
Berdasarkan tabel di atas, dapat kita simpulkan bahwa langkahnya berulang setiap 4 kali
langkah, yakni 2014 : 4 = 503 + 2
Artinya adalah setelah melompat 2014 kali sama dengan urutan lompatan yang ke-2, yaitu pada
posisi 7.
Jadi, posisi katak setelah melompat 2014 kali ada di posisi 7
15.
Diketahui garis L1 sejajar garis L2 dan garis L3 sejajar garis L4 .
Besar sudut y – x adalah ….
A. 0o
B. 10o
C. 30o
D. 50o
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
Sudut sehadap
x
35o
Sudut bertolak belakang
Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, maka didapat sebagai berikut:
x + 35 = 180 – 110
x + 35 = 70
x + y + 60 = 180
x = 35
.....(1)
x + y = 180 – 60
x + y = 120
.....(2)
Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh
http://olimattohir.blogspot.co.id/
12
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
x + y = 120
35 + y = 120
y = 120 – 35
y = 85
Dengan demikian, y – x = 85 – 35 = 50
Jadi, besar sudut y – x adalah 50o
16.
Suatu survey dilakukan terhadap 100 siswa peserta OSN tingkat kabupaten/kota berkaitan
dengan frekuensi pengiriman sms pada suatu hari. Hasil yang diperoleh sebagai berikut.
Jumlah sms
1 – 10
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 atau lebih
Persentase
5%
10%
15%
20%
25%
Sisanya dilaporkan tidak mengirim sms. Jika dipilih seorang siswa secara acak, maka peluang
siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah …
A. 0,55
B. 0,30
C. 0,25
D. 0,15
Pembahasan:
Perhatikan kembali pada tabel hasil survey.
Jumlah sms
1 – 10
11 – 20
21 – 30
Persentase
5%
10%
15%
Persentase siswa yang mengirim sms tidak lebih 30 kali adalah 5% + 10%+15% = 30%
30
= 0,30
Dengan demikian peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali =
100
Jadi, peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah 0,30
17.
Diketahui titik E, F, dan G pada trapezium ABCD. Sisi FE sejajar dengan sisi AB. Jika AB = 7,
DC = 14, DG = 8, FG = 4, GB = x , dan GE = y , maka nilai x + y adalah …
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
http://olimattohir.blogspot.co.id/
13
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Perhatikan segitiga FGD dan segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep kesebangunan
didapat:
4
DG FG
8
=
DB AB
8 x
7
8 × 7 = 4(8 + x)
56 = 32 + 4x
56 – 32 = 4x
24 = 4x
x =6
Kemudian Perhatikan segitiga BEG dan segitiga BCD. Dengan menggunakan konsep
kesebangunan didapat:
EG BG
y
6
=
DC BD
14
68
y × 14 = 6 × 14
y=6
Dengan demikian nilai x + y = 6 + 6 = 12
Jadi, nilai x + y adalah 12
18.
Dari survey terhadap 75 orang diperoleh hasil sebagai berikut.
50 orang berumur lebih dari 25 tahun, sisanya berumur tidak lebih dari 25 tahun
27 orang menyukai masakan pedas, 7 diantaranya berumur tidak lebih dari 25 tahun
28 orang menyukai masakan manis, 25 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun
5 orang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis
25 orang tidak menyukai masakan pedas maupun masakan manis, 7 diantaranya berumur
lebih dari 25 tahun
Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan pedas dan juga
masakan manis adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 7
Pembahasan:
Perhatikan diagram Venn berikut.
75
Misalkan orang yang menyukai masakan Pedas = P
P
a
d
M
b
5
e
c
f
umur 25
orang yang menyukai masakan Manis = M
Diketahui a + b + c + 7 = 50
a + b = 20
b + c = 25
18
b+e=5
umur 25
a + d = 22
c + f = 23
d + e + f + 18 = 25
7
http://olimattohir.blogspot.co.id/
....(1)
....(2)
....(3)
....(4)
....(5)
....(6)
....(7)
14
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a + b + c + 7 = 50
20 + c + 7 = 50
c = 50 – 27
c = 23
....(8)
Dari persamaan (3) dan (8) diperoleh
b + c = 25
b + 23 = 25
b=2
....(9)
Dari persamaan (4) dan (9) diperoleh
b+e=5
2+e=5
e=3
Jadi, Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan
pedas dan juga masakan manis adalah 3 orang
19.
Jika luas satu persegi kecil adalah 4 m2, maka luas bangun datar pada gambar di bawah adalah ...
A. 36
B. 96
C. 144
D. 162
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
D
E
C
t
A
B
Gambar yang asli di geser ke kiri setengah kotak, kemudian buatlah garis bantu yang berwarna
merah. Sehingga terbentuk 4 segitiga, selanjutnya geserlah 2 segitiga bagian atas kebagian
bawah seperti pada gambar di atas.
Dengan demikian akan tampak seperti pada gambar samping kanannya dan bangun tersebut
membentuk jajar genjang dengan alas AD = 4,5 dan tinggi EC = 8, sehingga di dapat
http://olimattohir.blogspot.co.id/
15
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Luas jajargenjang = a × t
= AD × EC
= 4,5 × 8
= 36 satuan luas
Karena setiap persegi kecil luasnya adalah 4 m2, maka luas bangun jajar genjang menjadi
Luas jajargenjang = 36 × 4
= 144 m2
Jadi, luas bangun datar pada gambar yang dimaksud adalah 144 m2
20.
Seorang guru memiliki 3 kantong permen yang akan dibagikan kepada para siswanya. Masing –
masing kantong terdiri dari beberapa permen yang memiliki warna sama. Kantong pertama berisi
permen berwarna merah, kantong kedua berisi permen berwarna kuning, dan kantong ketiga
berisi permen berwarna hijau. Masing – masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna
dan kombinasi yang berbeda untuk setiap siswa. Sebagai contoh, bila siswa A mendapat 3
permen berwarna merah dan 4 permen berwarna hijau, maka tidak ada siswa lain yang mendapat
bagian seperti siswa A. Maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah …
A. 15
B. 18
C. 21
D. 24
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi kantong permen berikut.
Kantong 1
Kantong 2
Kantong 3
Diketahui masing-masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang
berbeda.
Banyak pasangan yang mungkin dari 2 warna yang berbeda adalah ada 6, yakni
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), dan (6,1)
Dari ke-3 kantong permen tersebut akan diambil 2 warna kombinasi berbeda, artinya terdapat 3
unsur berbeda dari 2 unsur yang akan di ambil, yakni menggunakan formula kombinasi
3!
=3
Sehingga banyak cara yang mungkin adalah ada 3C2 =
3 2!.3!
Karena pengambilannya ada 3 cara dari 6 pasangan yang mungkin, maka banyak siswa yang
mungkin juga dari kelas tersebut adalah 6 × 3 = 18 orang
Jadi, maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah 18 orang
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
16
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2014
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
8 Maret 2014
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1.
Sepuluh orang guru akan ditugaskan pada tiga sekolah, yakni A, B, dan C, berturut-turut
sebanyak dua, tiga, dan lima. Banyaknya cara yang mungkin untuk menugaskan kesepuluh gusu
tersebut adalah ....
A. 2520
B. 5040
C. 7250
D. 10025
Pembahasan:
Diketahui bahwa terdapat 10 orang guru akan ditugaskan di sekolah A, B, dan C, berturut-turut
sebanyak 2, 3, dan 5. Permasalahan ini termasuk permutasi berulang, karena ada 10 unsur dengan
3 unsur yang muncul yaitu 2 unsur pertama, 3 unsur kedua, dan 5 unsur ketiga, sehingga di
peroleh:
n!
10!
P=
P=
q1!.q2!.q3!
2!. 3!.5!
10.9.8.7.6!
P=
2!. 3!.5!
10.9.8.7.6
P=
2!. 3!
10.9.8.7.6
P=
2 . 3.2
P = 10 . 9 . 4 . 7
P = 2520
Jadi, banyaknya cara yang mungkin untuk menugaskan kesepuluh orang guru tersebut
adalah 2520 cara
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
2.
Berikut diberikan data siswa kelas VIII SMP Bina Prestasi. Tiga perlima bagian dari seluruh
siswa adalah perempuan. Setengah dari siswa laki-laki diketahui pergi kesekolah naik bus
sekolah, sedangkan siswa perempuan hanya seperenamnya yang persegi ke sekolah naik bus
sekolah. Diketahui juga bahwa terdapat 147 siswa pergi ke sekolah tidak naik bus sekolah.
Banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah ....
A. 330
B. 245
C. 210
D. 193
Pembahasan:
Misalkan banyak siswa seluruhnya adalah n
banyak siswa perempuan adalah p
banyak siswa laki-laki adalah l
banyak siswa perempuan naik bus adalah pb
banyak siswa laki-laki naik ikut bus adalah lb
banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt
banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt
Diketahui: p =
3
n
5
1
lb = l
2
1
pb = p
6
pt + lt = 147
......(1)
......(2)
......(3)
......(4)
dari persamaan (1) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki adalah l =
2
n
5
....(5)
1
l
2
....(6)
dari persamaan (3) di dapat bahwa banyak siswa perempuan tidak ikut bus adalah pt =
5
p ....(7)
6
dari persamaan (2) di dapat bahwa banyak siswa laki-laki tidak ikut bus adalah lt =
sehingga persamaan (4) menjadi:
5
1
....... (8)
pt + lt = 147
p + l = 147
6
2
berdasarkan persamaan (1) dan (5) serta (8) diperoleh
5
5 3 1 2
1
p + l = 147 n + n = 147
6
2
6 5 2 5
1
1
n + n = 147
2
5
5n 2n
= 147
10
5n + 2n = 147 × 10
7n = 1470
n = 210
Jadi, banyak siswa kelas VIII sekolah tersebut adalah 210 siswa
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
3.
Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang
benar adalah ....
A. x kelipatan 5
B.
x kelipatan 72
C. x kelipatan genap
D. x kelipatan faktor dari 3
Pembahasan:
Alternatif (1)
Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3
KPK dari 72 dan x adalah 1800
Untuk menentukan nilai x, kita perlu terlebihdulu mencari faktor prima dari 72 dan mencari pola
untuk mencari faktor prima dari x, yaitu sebagai berikut:
Kemudian kita cari faktor prima dari 72, yaitu 23 × 32
Karena KPK dari 72 dan x adalah 1800 dan FPB dari 72 dan x adalah 3,
1800
maka faktor prima yang mungkin dari x adalah 3 ×
= 3 × 25 = 75
72
Dengan demikian nilai x adalah 75
Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3
Alternatif (2)
Diketahui FPB dari 72 dan x adalah 3
KPK dari 72 dan x adalah 1800
Berdasarkan suatu teorema, yaitu: “Misalkan a dan b adalah suatu bilangan bulat, d adalah
FPB(a, b), dan l adalah KPK(a, b). Maka ab = FPB(a, b) × KPK(a, b)”
Sehingga diperoleh
FPB(72, x) × KPK(72, x) = 72 × x
3 × 1800
= 72x
3 1800
x =
72
x = 75
Jadi, x termasuk kelipatan 5 atau 3
4.
Diberikan empat bilangan a, b, c, dan d. Jika rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah
75, serta rata-rata c dan d adalah 70, maka rata-rata a dan d adalah ....
A. 35
B. 45
C. 50
D. 55
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal, bahwa rata-rata a dan b adalah 50, rata-rata b dan c adalah 75, serta
rata-rata c dan d adalah 70
Sehingga diperoleh:
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
rata-rata a dan b adalah 50
rata-rata b dan c adalah 75
rata-rata c dan d adalah 70
ab
50
2
bc
75
2
cd
70
2
a + b = 100
....(1)
b + c = 150
....(2)
c + d = 140
....(3)
berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh
a + b = 100
b + c = 150
--------------- –
a – c = – 50
....(4)
berdasarkan persamaan (4) dan (3) diperoleh
a – c = – 50
c + d = 140
--------------- +
ad
a + d = 90
45
2
Jadi, rata-rata a dan d adalah 45
5.
Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80. Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya
menjadi 78. Jika nilai A tiga kali nilai B, maka selisih antara nilai A dan B adalah ....
A. 15
B. 25
C. 50
D. 75
Pembahasan:
Alternatif (1)
Diketahui - Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80
- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78
- Nilai A tiga kali nilai B
Kemudian membuat persamaan matematika dari 3 hal yang diketahui, yaitu sebagai berikut:
- Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80
28 siswa 80
28
∑28 siswa = 80 × 28
∑28 siswa = 2240
- Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78
28 siswa A B 78 28 siswa A B 78
28 2
30
∑28 siswa + A + B = 78 × 30
∑28 siswa + A + B = 2340
- Nilai A tiga kali nilai B
http://olimattohir.blogspot.co.id/
A = 3B
.....(1)
.....(2)
.....(3)
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh
∑28 siswa + A + B = 2340
2240 + A + B = 2340
A + B = 2340 – 2240
A + B = 100
Berdasarkan persamaan (4) dan (3) didapat
A + B = 100
3B + B = 100
4B = 100
B = 25
.....(5)
.....(4)
Sehingga dari persamaan (4) dan (5) diperoleh
A + B = 100 A + 25 = 100
A = 75
Dengan demikian A – B = 75 – 25 = 50
Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50
Alternatif (2)
Misalkan banyak siswa 28 siswa adalah n1 = 28
Banyak siswa A dan B adalah n2 = 2 = A + B
nilai rata-rata 28 siswa adalah x1 = 80
nilai rata-rata Siswa A dan B adalah x2
nilai rata-rata seluruhnya adalah x = 78
diketahui nilai A = 3B .....(1)
Maka,
n x n x
x 1 1 2 2
n1 n2
78
28 80 2 x2
28 2
2240 2 x2
30
78 30 2240 2 x2
78
2340 2240 2 x2
2340 2240 2 x2
100 2 x2
2 x2 A B 100
....(2)
A B 100
Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat
A + B = 100
3B + B = 100
4B = 100
B = 25
.....(3)
Sehingga dari persamaan (2) dan (3) diperoleh
A + B = 100 A + 25 = 100
A = 75
Dengan demikian A – B = 75 – 25 = 50
Jadi, selisih antara nilai A dan B adalah 50
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
6.
Diketahui persamaan kurva y = x3 + 4x2 + 5x + 1 dan y = x2 + 2x – 1. Jika kedua kurva
digambarkan pada bidang yang sama, maka banyak titik potong kedua kurva tersebut adalah ….
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pembahasan:
Diketahui: y = x3 + 4x2 + 5x + 1 dan y = x2 + 2x – 1
Untuk menentukan titik potong, maka persamaan kedua kurva harus sama, yakni
x3 + 4x2 + 5x + 1 = x2 + 2x – 1
x3 + 3x2 + 3x + 2= 0
(x + 2)(x2 + x + 1) = 0
x = – 2 dan x2 + x + 1 = 0 (karena D = 12 – 4(1)(1) < 0, maka tidak terdapat titik potong)
Jadi, hanya ada 1 titik potong.
Ilustrasi grafik dari kedua kurva, sebagai berikut:
y = x2 + 2x – 1
y = x3 + 4x2 + 2x – 1
7.
Jika 3n adalah faktor dari 1810, maka bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah ….
A. 10
B. 15
C. 18
D. 20
Pembahasan:
Diketahui 3n adalah faktor dari 1810
Karena 3n merupakan faktor dari 1810, maka ada suatu bilangan bulat yang apabila dikalikan
dengan 3n akan menghasilkan 1810. Misalkan bilangan tersebut adalah a, yakni sebagai berikut:
1810 = 3n × a
1810 = 3n × a
(9 × 2)10 = 3n × a
(32 × 2)10 = 3n × a
320 × 210 = 3n × a
Hal ini dapat ditulis 320 = 3n dan 210 = a
Dengan demikian,
dari persamaan 320 = 3n di dapat bahwa n = 20
Jadi, nilai bilangan bulat terbesar n yang mungkin adalah 20.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
6
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
8.
Pada sebuah bidang terdapat sepuluh titik. Di antara sepuluh titik tersebut tidak ada tiga titik atau
lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga
titik pada bidang tersebut adalah ….
A. 30
B. 60
C. 100
D. 120
Pembahasan:
Diketahui: sebuah bidang terdapat sepuluh titik dan tidak ada tiga titik atau lebih yang segaris
Artinya adalah ada 10 unsur dari 3 unsur yang akan dibentuk, yakni
10!
10!
10C3 =
10C3 =
10 3!3!
7!3!
=
10 9 8
3 2 1
= 10 × 3 × 4
= 120
Jadi, Banyak segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan sebarang tiga titik
pada bidang tersebut adalah 120
9.
Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik O adalah titik potong dua
diagonal pada bidang BCFG. Jarak titik O ke bidang BCEH adalah .… satuan.
2
5
2
4
2
3
2
2
A.
B.
C.
D.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
H
G
Q
R
E
F
S
2
D
O
T
C
P
A
2
S
B
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
O
1
T
P
7
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Karena titik O adalah perpotongan dua diagonal bidang kubus, maka panjang OP = 1 satuan dan
besar sudut OPS = 45o, maka SO = 1 satuan
Dengan demikian
PS2 = PO2 + SO2
PS2 = 12 + 12
PS2 = 2
PS = 2
1
Luas segitiga POS = × PO × SO
2
1
1
× PS × TO = × 1 × 1
2
2
2 × TO = 1
1
TO =
2
TO =
2
2
Jadi, Jarak titik O ke bidang BCEH adalah
10.
2
satuan.
2
Perhatikan diagram batang berikut.
Pernyataan berikut yang salah adalah ….
A. Modus pada gambar A < Modus pada gambar B
B. Median pada gambar A < Median pada gambar B
C. Quartil 1 pada gambar A < Quartil 1 pada gambar B
D. Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
8
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Berdasarkan ilsutrasi gambar di atas, maka nilai Gambar A dan Gambar B adalah sama.
Sehingga rata-rata kedua gambar tersebut juga sama.
Jadi, Rata – rata pada gambar A = Rata – rata pada gambar B
11.
Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 100 adalah ….
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pembahasan:
Diketahui x2 = y2 + 100, dengan x dan y bilangan asli
x2 – y2 = 100
(x – y)(x + y) = 100
artinya adalah (x – y)(x + y) merupakan faktor-faktor pasangan dari 100, yaitu
1 dan 100
2 dan 50
4 dan 25
5 dan 20
10 dan 10
x2 = y2 + 100
Dari kelima pasangan tersebut yang memenuhi adalah 2 dan 50, karena
(x – y)(x + y) = 100
(2)(50) = 100
x–y =2
x + y = 50
----------- +
2x = 52
x = 26
y = 24
Jadi, Banyak pasangan (x, y) dengan x dan y bilangan asli yang memenuhi x2 = y2 + 100
adalah 1, yaitu (26, 27)
12.
Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil
penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak
tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang
bukan bilangan bulat. Jika A = {0,2,4,6,....} adalah himpunan bulat positif genap, maka
pernyataan berikut yang benar adalah …
A. Himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian saja
B. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan saja
C. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
D. Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan
http://olimattohir.blogspot.co.id/
9
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Diketahui
- Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil
penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat
- Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada
hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat.
Jadi, pernyataan yang paling benar adalah Himpunan A tertutup terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian
13.
Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi – sisinya 2 satuan. Selanjutnya,
dibentuk segitiga kedua dengan menghubungkan tiga titik tengah pada masing – masing sisi
segitiga ABC. Dengan cara serupa, dibentuk segitiga ketiga, keempat, kelima, keenam, dan
seterusnya. Luas seluruh segitiga – segitiga tersebut adalah ….
3
A.
3
B.
2 3
3
C.
4 3
3
D.
5 3
2
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
2
2
2
Kemudian mencari luas segitiga ke-1, ke-2, ke-3,....
Luas segitiga ke-1 =
=
=
1
×a×t
2
1
×2×
2
2
2
t
22 12 3
3
3
2
Dengan demikian Luas segitiga ke-2 =
1
× Luas segitiga ke-1
4
Luas segitiga ke-3 =
1
× Luas segitiga ke-2
4
http://olimattohir.blogspot.co.id/
t=
10
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Luas segitiga ke-4 =
1
× Luas segitiga ke-3
4
......
......
......
Sampai tak terhingga.....
Dengan demikian dapat disimpulkan: pola seperti ini membentuk deret geometri tak hingga,
Dimana U1 =
3 dan r =
1
4
Sehingga luas seluruh segitiga adalah sebagai berikut:
S∞ =
U1
1 r
L =
U1
1 r
L=
3
1
1
4
L=
3
3
4
L=
4
3
3
Jadi, Luas seluruh segitiga – segitiga tersebut adalah
14.
4
3 satuan luas
3
Sepuluh titik pada suatu lingkaran diberi nomor 1, 2, …, 10. Seekor katak melompat searah
jarum jam satu satuan. Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga
satuan jika bukan bilangan prima. Jika mula-mula katak berada pada posisi nomor 1, di manakah
posisi katak setelah melompat 2014 kali?
A. 1
B. 4
C. 7
D. 8
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
9
10
1
8
2
7
3
6
5
4
http://olimattohir.blogspot.co.id/
11
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Diketahui: seekor katak melompat searah jarum jam satu satuan
Jika katak berada pada nomor yang merupakan bilangan prima, dan tiga satuan jika
bukan bilangan prima.
Berikut langkah-langkah lompatan katak yang akan dilalui
Urutan lompatan kePosisi katak
Bilangan prima
1
4
2
7
3
8
4
1
5
4
6
7
7
8
8
1
9
4
10
7
...
...
...
Berdasarkan tabel di atas, dapat kita simpulkan bahwa langkahnya berulang setiap 4 kali
langkah, yakni 2014 : 4 = 503 + 2
Artinya adalah setelah melompat 2014 kali sama dengan urutan lompatan yang ke-2, yaitu pada
posisi 7.
Jadi, posisi katak setelah melompat 2014 kali ada di posisi 7
15.
Diketahui garis L1 sejajar garis L2 dan garis L3 sejajar garis L4 .
Besar sudut y – x adalah ….
A. 0o
B. 10o
C. 30o
D. 50o
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
Sudut sehadap
x
35o
Sudut bertolak belakang
Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, maka didapat sebagai berikut:
x + 35 = 180 – 110
x + 35 = 70
x + y + 60 = 180
x = 35
.....(1)
x + y = 180 – 60
x + y = 120
.....(2)
Dari persamaan (2) dan (1) diperoleh
http://olimattohir.blogspot.co.id/
12
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
x + y = 120
35 + y = 120
y = 120 – 35
y = 85
Dengan demikian, y – x = 85 – 35 = 50
Jadi, besar sudut y – x adalah 50o
16.
Suatu survey dilakukan terhadap 100 siswa peserta OSN tingkat kabupaten/kota berkaitan
dengan frekuensi pengiriman sms pada suatu hari. Hasil yang diperoleh sebagai berikut.
Jumlah sms
1 – 10
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 atau lebih
Persentase
5%
10%
15%
20%
25%
Sisanya dilaporkan tidak mengirim sms. Jika dipilih seorang siswa secara acak, maka peluang
siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah …
A. 0,55
B. 0,30
C. 0,25
D. 0,15
Pembahasan:
Perhatikan kembali pada tabel hasil survey.
Jumlah sms
1 – 10
11 – 20
21 – 30
Persentase
5%
10%
15%
Persentase siswa yang mengirim sms tidak lebih 30 kali adalah 5% + 10%+15% = 30%
30
= 0,30
Dengan demikian peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali =
100
Jadi, peluang siswa tersebut mengirim sms tidak lebih dari 30 kali adalah 0,30
17.
Diketahui titik E, F, dan G pada trapezium ABCD. Sisi FE sejajar dengan sisi AB. Jika AB = 7,
DC = 14, DG = 8, FG = 4, GB = x , dan GE = y , maka nilai x + y adalah …
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
http://olimattohir.blogspot.co.id/
13
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Perhatikan segitiga FGD dan segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep kesebangunan
didapat:
4
DG FG
8
=
DB AB
8 x
7
8 × 7 = 4(8 + x)
56 = 32 + 4x
56 – 32 = 4x
24 = 4x
x =6
Kemudian Perhatikan segitiga BEG dan segitiga BCD. Dengan menggunakan konsep
kesebangunan didapat:
EG BG
y
6
=
DC BD
14
68
y × 14 = 6 × 14
y=6
Dengan demikian nilai x + y = 6 + 6 = 12
Jadi, nilai x + y adalah 12
18.
Dari survey terhadap 75 orang diperoleh hasil sebagai berikut.
50 orang berumur lebih dari 25 tahun, sisanya berumur tidak lebih dari 25 tahun
27 orang menyukai masakan pedas, 7 diantaranya berumur tidak lebih dari 25 tahun
28 orang menyukai masakan manis, 25 diantaranya berumur lebih dari 25 tahun
5 orang menyukai masakan pedas dan juga masakan manis
25 orang tidak menyukai masakan pedas maupun masakan manis, 7 diantaranya berumur
lebih dari 25 tahun
Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan pedas dan juga
masakan manis adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 7
Pembahasan:
Perhatikan diagram Venn berikut.
75
Misalkan orang yang menyukai masakan Pedas = P
P
a
d
M
b
5
e
c
f
umur 25
orang yang menyukai masakan Manis = M
Diketahui a + b + c + 7 = 50
a + b = 20
b + c = 25
18
b+e=5
umur 25
a + d = 22
c + f = 23
d + e + f + 18 = 25
7
http://olimattohir.blogspot.co.id/
....(1)
....(2)
....(3)
....(4)
....(5)
....(6)
....(7)
14
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a + b + c + 7 = 50
20 + c + 7 = 50
c = 50 – 27
c = 23
....(8)
Dari persamaan (3) dan (8) diperoleh
b + c = 25
b + 23 = 25
b=2
....(9)
Dari persamaan (4) dan (9) diperoleh
b+e=5
2+e=5
e=3
Jadi, Banyak orang yang berumur tidak lebih dari 25 tahun yang menyukai masakan
pedas dan juga masakan manis adalah 3 orang
19.
Jika luas satu persegi kecil adalah 4 m2, maka luas bangun datar pada gambar di bawah adalah ...
A. 36
B. 96
C. 144
D. 162
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
D
E
C
t
A
B
Gambar yang asli di geser ke kiri setengah kotak, kemudian buatlah garis bantu yang berwarna
merah. Sehingga terbentuk 4 segitiga, selanjutnya geserlah 2 segitiga bagian atas kebagian
bawah seperti pada gambar di atas.
Dengan demikian akan tampak seperti pada gambar samping kanannya dan bangun tersebut
membentuk jajar genjang dengan alas AD = 4,5 dan tinggi EC = 8, sehingga di dapat
http://olimattohir.blogspot.co.id/
15
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Luas jajargenjang = a × t
= AD × EC
= 4,5 × 8
= 36 satuan luas
Karena setiap persegi kecil luasnya adalah 4 m2, maka luas bangun jajar genjang menjadi
Luas jajargenjang = 36 × 4
= 144 m2
Jadi, luas bangun datar pada gambar yang dimaksud adalah 144 m2
20.
Seorang guru memiliki 3 kantong permen yang akan dibagikan kepada para siswanya. Masing –
masing kantong terdiri dari beberapa permen yang memiliki warna sama. Kantong pertama berisi
permen berwarna merah, kantong kedua berisi permen berwarna kuning, dan kantong ketiga
berisi permen berwarna hijau. Masing – masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna
dan kombinasi yang berbeda untuk setiap siswa. Sebagai contoh, bila siswa A mendapat 3
permen berwarna merah dan 4 permen berwarna hijau, maka tidak ada siswa lain yang mendapat
bagian seperti siswa A. Maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah …
A. 15
B. 18
C. 21
D. 24
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi kantong permen berikut.
Kantong 1
Kantong 2
Kantong 3
Diketahui masing-masing siswa mendapatkan 7 permen dengan dua warna dan kombinasi yang
berbeda.
Banyak pasangan yang mungkin dari 2 warna yang berbeda adalah ada 6, yakni
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), dan (6,1)
Dari ke-3 kantong permen tersebut akan diambil 2 warna kombinasi berbeda, artinya terdapat 3
unsur berbeda dari 2 unsur yang akan di ambil, yakni menggunakan formula kombinasi
3!
=3
Sehingga banyak cara yang mungkin adalah ada 3C2 =
3 2!.3!
Karena pengambilannya ada 3 cara dari 6 pasangan yang mungkin, maka banyak siswa yang
mungkin juga dari kelas tersebut adalah 6 × 3 = 18 orang
Jadi, maksimal banyak siswa yang ada di kelas tersebut adalah 18 orang
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
16