2.1 Beberapa Uji Yang Digunakan 2.1.1 Uji Kecukupan Sampel - Peramalan Penjualan Produksi Teh Botol Sosro Pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara Tahun 2014 Dengan Metode Arima Box-Jenkins
BAB 2 LANDASAN TEORI Peramalan adalah kegiatan umtuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan
datang berdasarkan pengalaman di masa lalu. Metode peramalan yang sering digunakan dalam ekonomi dan dunia usaha adalah deret waktu (time series).
2.1 Beberapa Uji Yang Digunakan
2.1.1 Uji Kecukupan Sampel
Sebelum melakukan analisa terhadap data, langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap anggota sampel. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel. Dengan tingkat keyakinan 95% ( α , 05 ) rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah:
= N N 2 2 2
20 N Y − Y t t
∑ ∑
t 1 t 1
= =
(2-1)
N ' =
N
Y t ∑
t 1
=
Dengan :
N ' = Ukuran sampel yang dibutuhkan N Ukuran sampel percobaan
= Data aktual
Y = t
Apabila
N < N , maka sampel percobaan dapat diterima sebagai sampel. '
2.1.2 Uji Musiman
Untuk mengetahui adanya komponen musiman dilakukan uji musiman. Hipotesa ujinya adalah sebagai berikut :
: Data tidak dipengaruhi musiman
H o H : Data dipengaruhi musiman 1 Tabel 2.1 Perhitungan Uji Musiman
Periode Musiman 1 2 3 4 . . . k
1 Y Y Y Y . . . Y
11 12 13 14 1 k
2 . . .
Y Y Y Y Y 21 22 23 24 2 k
3 . . .
Y Y Y Y Y 31 32 33 34 3 k
4 . . .
Y Y Y Y Y 41 42 43 44 4 k .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . N
Y Y Y Y Y n 1 n 2 n 3 n 4 nk
Jumlah
J J J J J 1 2 3 4 k
Untuk perhitungan digunakan notasi : k 2
J i ∑ i 1
=
R
(2-2) y = k
n i ∑ i = 1 Dengan :
= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata
R y J = Jumlah nilai pengamatan i
= Ukuran sampel percobaan
n i k
2 J i A = − R y y
(2-3)
∑ i n =1 i
Dengan :
A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok y
= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata
R y J = Jumlah nilai pengamatan i n = Ukuran sampel percobaan i
2 2 2 2
(2-4)
Y = Y Y ... Y 11 12 nk + + + ∑
Dengan : = Jumlah data aktual
Y
2
(2-5)
D = Y − R − A y y y ∑
Dengan : = Jumlah data aktual
Y
= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok
D y
= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata
R y A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok y A y
Sehingga F hitung = (2-6)
D y Dengan : y
A
A y k n D D y
: Diterima jika F hitung > F (k-1, n-k) 1 H : Ditolak jika F hitung
H
Maka kriteria pengujiannya adalah :
k = Menyatakan musiman n = Periode musiman
Dengan
∑ 2 Y
∑ n -1
Total
F =
− = D A
D 1 − = k A
= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok y
− k n y A y
k ∑
1 −
Antar Musim Dalam Musim
Statistik Uji
Jumlah Kuadrat Rata-rata
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Sumber Variasi
Tabel 2.2 Perhitungan Anava Uji MusimanD = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok Kemudian akan disusun dalam tabel ANAVA.
≤ F (k-1, n-k)
2.1.3 Uji Trend
(2-9) Dengan :
H : Diterima jika Z hitung > Z tabel 1 H : Ditolak jika Z hitung ≤ Z tabel
maka :
α
Dengan taraf signifikan
standar error antara naik dan turun Kriteria penguji :
σ
= n jumlah data = µ frekuensi naik yang diharapkan =
frekuensi naik
= m
n σ
terhadap data. Hipotesis ujinya adalah :
1
2
(2-8)
n µ
2 1 − =
(2-7)
σ µ) ( − = m Z
: frekuensi naik dan turun dalam data adalah sama, artinya tidak ada trend 1 H : frekuensi naik lebih besar dari frekuensi turun, artinya trend menaik Statistik penguji :
H
- =
2.2 Jenis-jenis Peramalan
macam, yaitu : 1.
Peramalan Kualitatif Peramalan kualitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya.
Hal ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, pendapat, dan pengetahuan serta pengalaman dari penyusunnya.
2. Peramalan Kuantitatif
Peramalan kuantitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang digunakan dalam peramalan tersebut. Dengan metode yang berbeda akan diperoleh hasil peramalan yang berbeda. Metode yang baik adalah metode yang memberikan nila-nilai perbedaan atau penyimpangan yang kecil antara hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi.
Peramalan kuantitatif hanya dapat digunakan apabila tiga kondisi sebagai berikut dipenuhi : a.
Adanya informasi tentang keadaan yang lalu b. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data c. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan datang.
2.3 Metode Peramalan
2.3.1 Pengertian Metode Peramalan
Metode peramalan adalah cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa depan, berdasarkan data yang relevan pada masa lalu. Oleh karena metode peramalan ini didasarkan pada data yang relevan pada masa lalu, maka metode peramalan ini dipergunakan dalam peramalan yang objektif.
Disamping itu, metode peramalan juga merupakan cara memperkirakan secara kuantitatif, oleh karena itu metode peramalan termasuk dalam metode peramalan kuantitatif.
2.3.2 Jenis-Jenis Metode Peramalan
metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas : a.
Metode Regresi (kausal) Metode peramalan kausal ini didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang mempengaruhinya, yang bukan waktu. Metode ini mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dengan satu atau lebih variabel bebas.
Metode regresi ini terdiri dari : 1.
Metode regresi dan korelasi 2. Metode ekonometrika 3. Metode input output b. Deret waktu
Metode peramalan deret berkala (time series) didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antar variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan deret waktu (time series). Metode peramalan deret waktu data historis dianalisa untuk mengidentifikasi pola data dan diasumsikan bahwa pola data tersebut akan terus berlanjut pada masa yang akan datang. Pola data yang diperoleh kemudian dianalisa untuk memperoleh nilai peramalan pada masa yang akan datang. Dalam model peramalan deret waktu tidak ada usaha menemukan faktor yang mempengaruhi terhadap data historis yang dianalisa.
Metode peramalan deret waktu ini terdiri dari : 1.
Metode Smoothing 2. Metode Box-Jenkins 3. Metode Proyeksi Trend dengan Regresi
2.4 Klasifikasi Model Box-Jenkins
Model Box-Jenkins dikelompokkan ke dalam tiga kelompok yaitu : 1. Model Autoregressive (AR) 2. Model Rataan Bergerak / Moving Average (MA) 3. Model Campuran
Model campuran ini dapat berupa model campuran model Autoregressive Moving
2.4.1 Model Autoregressive
Persamaan umum dari model AR(p) :
( ) t t p p Y e B B B + = − − − − δ φ φ φ ...
1 2 2 1
(2-10) Dengan :
B = operator penggerak mundur (backward shift operator) 1 φ
= parameter autoregressive ke-i (dengan i = 1,2,3,…,p)
= t Y Data aktual δ = suatu konstanta t e
= sisaan (residu) ke – t
2.4.2 Model Rataan Bergerak (Moving Average) Bentuk umum dari model rataan bergerak dengan ordo q atau biasa ditulis MA(q).
2.4.3 Model Campuran Autoregressive – Rataan Bergerak
Secara singkat bentuk umum model campuran autoregressive rataan bergerak berordo (p,q) yang mengkombinasikan proses autoregressive ordo p dan proses rataan bergerak ordo q atau biasa ditulis dengan ARMA(p,q).
2.4.4 Model Integrasi Autoregressive – Moving Average (ARIMA)
Untuk deret waktu yang tidak stasioner, model Box-Jenkins dapat diterapkan dengan jalan mentransformasikannya menjadi deret yang stasioner dengan pembedaan ordo pertama atau lebih. Box-Jenkins menyatakan model tersebut Integrasi Autoregressive-Rataan Bergerak (Autoregressive-Integrated-Moving Average / ARIMA).
Bentuk umum model ARIMA berordo (p,d,q) yang mengkombinasikan proses transformasikan dengan pembedaan ordo ke-d atau biasa ditulis dengan ARIMA(p,d,q) adalah sebagai berikut : p q
(2-11)
- Dengan :
1 − φ B − ... − φ B W = δ 1 p t ( 1 − θ B − ... − θ B e 1 q ) t ( )
= parameter autoregressive ke-i
φ 1 B = operator penggerak mundur (backward shift operator) W = deret yang sudah dideferensi dengan ordo d t δ = konstanta
= sisaan (residu) ke – t
e t
Dalam praktek, nilai p,d,q yang biasa digunakan adalah 0,1,2. Meskipun demikian dengan nilai p,d,q yang seperti itu dapat dibuat banyak variasi model yang cukup berguna. Persamaan model yang sederhana, ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut : t 1 − Y − Y e − θ e (2-12) 1 t − 1 1 t − 2 t + = ( φ ) φ δ + Y
1 t −
1 Dengan :Data aktual
Y = t
= parameter autoregressive ke-i
φ 1 δ = konstanta e = sisaan (residu) ke – t t
2.5 Kestasioneran dan Faktor Musiman
2.5.1 Kestasioneran
Kestasioneran data dapat diperiksa dengan analisa autokorelasi dan autokorelasi Parsial. Data yang dianalisa dalam model ARIMA adalah data yang bersifat stasioner, yaitu Autokorelasi-autokorelasi dari data yang tidak stasioner berbeda secara signifikan dari nol dan mengecil secara perlahan membentuk garis lurus sedangkan autokorelasi-autokorelasi dari data stasioner mengecil secara drastis membentuk garis lengkung ke arah nol setelah periode kedua atau ketiga. Jadi bila autokorelasi pada periode satu, dua maupun periode ketiga tergolong signifikan sedangkan autokorelasi-autokorelasi pada periode lainnya tergolong tidak signifikan, maka datanya bersifat stasioner.
Menurut Box-Jenkins deret data yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi deret data yang stasioner dengan melakukan pembedaan (diferensi) pada data aktual. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut :
(2-13)
W = Y − Y t t t 1 −
Dengan : = deret yang sudah dideferensi dengan ordo d
W t Y = Data aktual t
Biasanya dengan melakukan pembedaan pertama dan kedua data akan menjadi data yang stasioner dengan melihat koefisien autokorelasi data pembedaan akan turun mendekati nol setelah lag ke-2 atau lag ke-3.
2.5.2 Faktor Musiman
Makridakis (1991) dan Assauri (1984) mendefenisikan musiman sebagai suatu pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Pola musiman dapat berupa musiman triwulan (3 bulanan), kuartal (4 bulanan), semesteran (6 bulanan) atau tahunan (12 bulanan). Notasi ARIMA yang digunakan untuk mengatasi aspek musiman, secara umum ditulis sebagai berikut : s
ARIMA ( p , d , q )( P , D , Q )
Komponen (p,d,q) adalah bagian tidak musiman dari model (P,D,Q) adalah bagian musiman dari model dan S adalah jumlah periode per musim.
12 Model ARIMA yang mengandung faktor musiman, ARIMA (1,1,1,) ( 1 , 1 , 1 )
mempunyai persamaan sebagai berikut :
(
1 − Φ B ( 1 ) t 12 1 − B )( 1 − B ) Y = δ ( 12 1 − θ B ) 1 ( 1 − Θ B e (2-14) 1 ) t 12 Dengan : = Parameter autoregressive ke-1
- 1 − φ B ) 1 (
φ 1 B = Operator penggerak mundur (backward shift operator)
= Sudut fase (dalam radian)
Φ 1 Y = Data aktual t δ = Konstanta
= Nilai rata – rata bergerak MA
θ 1
= Nilai SMA
Θ 1 e = Sisaan (residu) ke – t t
Dalam hal ini :
1 B = proses AR (1) bukan musiman
( − φ ) 1 12
= proses AR (1) musiman
1 − Φ B 1 ( ) ( 1 − B ) = pembedaan ordo pertama bukan musiman 12
1 B = pembedaan ordo pertama musiman − ( )
= proses MA (1) bukan musiman
( 1 − θ B ) 1 12 1 − Θ B = proses MA (1) musiman ( 1 )
2.5.3 White Noise
Deret , , ,....... yang merupakan deret sisaan (residu) diharapkan bersifat
e e e t t 1 t 2 − − White noise maksudnya residu tersebut berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan gangguan kecil yang tidak perlu diperhatikan. Hal ini dapat dilihat dari nilai 2 Q Box-Pierce <
χ tabel dan koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial residu yang tidak berbeda nyata
dari nol.2.6 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial populasi dapat di estimasi dengan menghitung fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial sampel yang biasa disebut dengan fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial contoh. Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk mengidentifikasi model box-jenkins dengan melihat prilaku dari kedua fungsi tersebut.
2.6.1 Fungsi Autokorelasi
Koefisien autokorelasi merupakan derajat hubungan antara Y dan Y . Menurut Spyros t t k
−
Makridakis, Steven C. Wheelwright dan Victor E. McGee dengan persamaan : n k
− Y − Y Y − Y
( t )( t k ) ∑ t 1
- =
r
(2-15) k = n 2 Y − Y
( t ) ∑ t = 1 Dengan :
= Koefisien autokorelasi
r k Y = Data actual pada periode t t Y = Nilai tengah (mean) dari data aktual Y = Data aktual pada periode t dengan time lag (ketertinggalan) k t k +
Nilai SE (Standart Error) dari r adalah : k
1
(2-16)
SE ( ) r = k n
Dengan :
r = Koefisien autokorelasi k n = Periode musiman
Koefisien autokorelasi dari data acak mempunyai distribusi sampling yang mendekati kurva
1
normal baku dengan nilai tengah (mean) nol dan kesalahan standar . Suatu deret bersifat
n
acak apabila koefisien korelasinya berada dalam batas interval - .
Z SE ( ) r ≤ r ≤ Z SE ( ) r α k k α k 2 2 Fungsi autokorelasi dapat digunakan untuk pendugaan parameter model ARIMA.
Makridakis (1991) menyatakan bahwa persamaan autokorelasi untuk proses MA(q) adalah sebagai berikut :
− θ θ + + θ θ + θ ...
1 k + k 1 q − k q k = q
ρ = ; k 1 , 2 ,....., (2-17)
2
2
2 θ θ θ 1 ... + + + +
1 2 q 0 ; k = q
Dengan :
ρ = Nilai teoritis k
= q = ketertinggalan waktu (time lag)
k
Proses rataan bergerak berordo q mempunyai nilai nol untuk lag lebih dari q. Karena nilai teoritis ρ tidak diketahui, maka nilai taksiran pendahuluan dari koefisien k θ , θ , θ ,....., θ dapat diperoleh dengan mensubstitusi autokorelasi empiris r . 1 2 3 q k
2.6.2 Fungsi Autokorelasi Parsial
Koefisien autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara Y t dan , apabila pengaruh dari time lag 1,2,3,…,k-1 dianggap terpisah. Dalam analisa deret
Y t k − berkala koefisien autokorelasi parsial berguna untuk membantu menetapkan model ARIMA Koefisien autokorelasi parsial berorde m didefenisikan sebagai koefisien autoregressive terakhir dari model AR(m). Nilai koefisien autokorelasi parsial dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :
φ φ
(2-18)
Y Y ... Y e t k 1 t k kk t k t + + = + − −
Dengan : = Data aktual
Y t φ = Parameter autoregressive ke-k k
= Nilai keterlambatan pada saat k periode
Y t k −
= Kesalahan ramalan
e t
2.7 Pemeriksaan Ketepatan Model
Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter, langkah selanjutnya adalah menguji apakah model yang didefenisikan telah tepat. Untuk itu dilakukan pemeriksaan terhadap :
2.7.1 Nilai Sisaan (Residu)
Model yang telah ditetapkan akan memperlihatkan perbedaan residu atau kesalahan antara nilai-nilai data deret waktu dan nilai-nilai estimasi dari model sangat kecil atau tidak berarti. Kesalahan ramalan dapat diperoleh dari persamaan berikut :
e = Y − Y (h ) t t t
(2-19) Dengan :
e = Kesalahan ramalan t
= Data aktual
Y t Y (h ) = Nilai ramalan t
= Kesalahan ramalan
e t
Dari nilai-nilai kesalahan dapat diperoleh koefisien autokorelasi residu. Jika tidak terdapat pola data yang secara nyata berbeda dari nol, sehingga kesalahan diasumsikan menjadi acakan atau tidak perlu diperhatikan maka model dianggap cukup tepat.
2.7.1.1 Pemeriksaan Kesalahan Standar Residu
Rumus kesalahan standar untuk memeriksa apakah tertentu secara nyata
r (e ) k
berbeda dari nol adalah :
1 SE r ( k ) =
(2-20)
[ ] e n
Dengan : = Koefisien autokorelasi
r k
= Periode musiman
n
Koefisien autokorelasi dari data random akan mempunyai distribusi sampling yang
1
mendekati kurva normal baku dengan nilai tengah nol dan kesalahan standar , sehingga
n
untuk menetapkan apakah r (e ) berasal dari populasi yang mempunyai nilai autokorelasi k kesalahan nol pada time lag k, dilakukan pengujian apakah r (e ) dengan tingkat kepercayaan k 95% terletak dalam batas interval yang telah ditentukan dengan menggunakan persamaan :
1 1
(2-21)
− 1 , 96 ≤ r ≤ k 1 ,
96 n n
Dengan :
n = Jumlah sampel r = koefisien autokorelasi k
2.7.1.2 Statistik Box-Pierce
(bersifat white noise), digunakan statistik Box-Pierce Sebagai berikut : m 2 (2-22)
Q = n r ( e ) k ∑ k = 1 Dengan :
= Hasil perhitungan statistik Box-Pierce
Q
= Jumlah autokorelasi residu (jumlah lag)
m n = N – d – SD
= Jumlah anggota sampel
N
= Ordo pembedaan bukan musiman
d
= Ordo pembedaan musiman
D
= Jumlah periode per musim
S r (e ) = Koefisien autokorelasi residu pada lag – k k 2 Jika model cukup tepat, maka statistik Q akan berdistribusi χ dengan m-p-q-P-Q
derajat kebebasan, dengan p,q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) bukan musiman sedangkan P , Q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) musiman. Pengujian hipotesis adalah tolak . 2 H Bahwa residu bersifat white noise jika nilai statistik Q χ yang diperoleh dari tabel.
2.7.2 Overfitting Model ARIMA
Langkah pemeriksaan ketepatan model selanjutnya adalah overfitting model ARIMA yang telah ditetapkan. Overfitting dilakukan dengan menambahkan parameter yang diestimasi pada model yang telah ditetapkan. Nilai-nilai statistic yang telah ditetapkan untuk melihat kcocokan dari model yang sedang dipelajari. Perbandingan ini dimaksudkan untuk meyakini bahwa model yang ditetapkan adalah model yang tepat.
2.8 Peramalan Dengan Model ARIMA Box-Jenkins
= Sisaan (residu) ke-1 Untuk meramalkan satu periode kedepan yaitu )
δ = Konstanta
= Parameter autoregressive ke-i
Y = Nilai keterlambatan pertama 1 φ
Y = Data aktual 1 − t
= Nilai peramalan satu periode ke depan t
Y
(2-24) Dengan : 1
Y e e Y Y Y
1
1 1 1 1 1 θ δ φ φ − + + − + =indeks yang menunjukkan waktu, yaitu : t t t t t t
1 ( t Y , maka ditambahkan satu angka
− t e
adalah menggunkana model tersebut untuk peramalan. Untuk tujuan ilustrasi, tetapkan model ARIMA (1,1,1). Agar dapat digunakan, maka model tersebut dikembangkan dalam bentuk persamaan regresi biasa, yaitu : 1 1 2 1 1 1 1
= Nilai rata – rata bergerak MA 1
θ
δ = Konstanta t e = Sisaan (residu) ke – t 1
= Parameter autoregressive ke-i
Y = Nilai keterlambatan pertama 1 φ
= Data aktual 1 − t
Y
(2-23) Dengan : t
Y e e Y Y Y θ δ φ φ
− − − − − + + − + = t t t t t t
- − +
- t
- t
- − + + − + − + − +
- = Nilai peramalan h periode kedepan h t
- −1
- = Nilai sisaan (residu) peramalan h periode kedepan h t
- −1
T = Banyak sistem (residu)
= Data hasil ramalan
) (h Y t
= Data aktual
Y
(2-26) Dengan : t
T MSE
= − = t t t t Y h Y
1 ∑
) (
1. MSE (Mean Square Error) [ ] 2 1
= Nilai sisaan (residu) keterlambatan pertama saat h periode kedepan Untuk mengetahui ketepatan ramalan ini dapat dihitung nilai MSE dan MAPE yang merupakan ukuran ketepatan ramalan.
e
δ = Konstanta h t e
= Parameter autoregressive ke-i
φ
= Nilai periode keterlambatan pertama saat h periode kedepan 1
Y
Y
(2-25) Dengan : h t
− + + − + = 1 1 2 1 1 1 1 θ δ φ φ
Y e e Y Y Y
maka persamaan menjadi : h t h t h t h t h t h t
) (h Y
t= Sisaan (residu) satu periode kedepan Untuk meramalkan h periode kedepan yaitu
e
θ = Nilai rata – rata bergerak MA 1
= Sisaan (residu) ke – t 1
t e
2. MAPE (Mean Absolute Presentase Error)
% 100 ) (
1 1 ×
−
=
∑ = k t t t t
Y Y h Y L MAPE
(2-27) Dengan : t
Y = Data aktual ) (h Y t
= Data hasil ramalan
I = Banyak periode ramalan