Peramalan Penjualan Produksi Teh Botol Sosro Pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara Tahun 2014 Dengan Metode Arima Box-Jenkins

PERAMALAN PENJUALAN PRODUKSI TEH BOTOL SOSRO

PADA PT. SINAR SOSRO SUMATERA BAGIAN UTARA

TAHUN 2014 DENGAN METODE ARIMA

BOX-JENKINS

SKRIPSI

PUSPA LINDA

110823023

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

PERAMALAN PENJUALAN PRODUKSI TEH BOTOL SOSRO

PADA PT. SINAR SOSRO SUMATERA BAGIAN UTARA

TAHUN 2014 DENGAN METODE ARIMA

BOX-JENKINS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

PUSPA LINDA

110823023

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

PESETUJUAN

Judul

: PERAMALAN PENJUALAN PRODUKSI TEH BOTOL

SOSRO PADA PT. SINAR SOSRO SUMATERA

BAGIAN UTARA TAHUN 2014 DENGAN METODE

ARIMA BOX-JENKINS

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: PUSPA LINDA

Nomor Induk Mahasiswa : 110823023

Program studi

: SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(MIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan

Medan, September 2013

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Gim Tarigan M,Si

NIP. 19550202 198601 1 001 NIP. 19631214 198903 1 001

Drs. Marihat Situmorang M.Kom

Diketahui oleh :

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua

Prof. Dr. Tulus. M,Si

PERNYATAAN

PERAMALAN PENJUALAN PRODUKSI TEH BOTOL SOSRO PADA

PT. SINAR SOSRO SUMATERA BAGIAN UTARA TAHUN 2014

DENGAN METODE ARIMA BOX-JENKINS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, September 2013

PUSPA LINDA

110823023

PENGHARGAAN

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pengasih lagi

Maha Penyayang yang tiada hentinya memberikan nikmat dan rahmat-Nya sehingga

penulis dapat menyelesaikan penyusunan Skripsi ini dengan judul Peramalan

Penjualan Produksi Teh Botol Sosro Pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara

Tahun 2014 dengan Metode ARIMA Box-Jenkins.

Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Drs. Marihat Situmorang,

M.Kom selaku pembimbing 1 dan Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku pembimbing

2 yang telah bersedia meluangkan waktu kepada penulis dengan memberikan

bimbingan sehingga dapat menyelesaikan Skripsi ini dengan sebaiknya. Teima kasih

kepada Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku penguji 1 dan Bapak Drs. Rachmad

Sitepu, M.Si selaku penguji 2 atas kritik, saran dan masukan yang diberikan.

Terimakasih kepada Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku Ketua Pelaksana

Jurusan Program S1 Matematika Ekstensi, Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Sc dan Ibu Dra.

Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekertaris Departemen Matematika FMIPA

USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, seluruh staf dan Dosen

Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU dan rekan-rekan kuliah. Teristimewa

penulis ucapkan terimakasih kepada kedua orangtua penulis Bapak Hendang dan Ibu

Tumirah, S.PdI, kakak-kakak dan abang Penulis Rahmayuni, S.Pd, Ade Rita

Endayani, Am.Keb, dan Syafrizal, teman-teman penulis Fizi dan Zabo, serta yang

selalu memberi dukungannya Taufik Ritonga atas semua dukungan dalam doa,

motivasi dan kasih sayang. Semoga Allah akan membalasnya.

Medan, September 2013

Penulis

ABSTRAK

PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara adalah perusahaan yang memproduksi

berbagai jenis teh dalam berbagai kemasan. Dalam perusahaan terkadang terjadi

perbedaan antara jumlah persediaan produksi dengan jumlah penjualan di pasaran.

Oleh karena itu perusahaan membutuhkan peramalan penjualan produksi. Dalam hal

ini penulis mencoba untuk meramalkan penjualan produksi teh botol sosro pada PT.

Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara Tahun 2014 dengan metode ARIMA Box-Jenkins

yang merupakan salah satu metode peramalan kuantitatif. Data yang diambil adalah

data periode Juni 2007 sampai dengan Mei 2013.

Dalam penelitian ini model yang tepat yaitu model ARIMA (2,1,2)(1,1,1)

3

.

Yang digunakan untuk meramalkan penjualan produksi teh botol sosro 12 periode ke

depan. Pemilihan tersebut didasarkan atas nilai MSE (rata-rata kuadrat kesalahan)

terkecil yaitu sebesar 0,036823269 dan MAPE (rata-rata absolute persentase

kesalahan) terkecil yaitu sebesar 1,37120 %. Jumlah penjualan produksi teh botol

sosro hasil peramalan mulai bulan Juni 2013 sampai dengan Mei 2014 adalah sebesar

1305140,586 krat dengan rata-rata penjualan setiap bulannya adalah sebesar

108761,7155 krat. Model peramalan tersebut dapat digunakan selama tidak terjadi

perubahan pola dasar dari data.

ABSTRACT

PT. Sinar Sosro North of Sumatera is a company producing various kind of tea

in different packaging.

Sometimes in the company of any difference between the

amount of production inventory by the number of sales in the market. Therefore,

companies need sales forecasting productions. In this case the writer tries to predict

sales of bottled tea production sosro at PT. Sinar Sosro of North Sumatera at 2014

with ARIMA Box-Jenkins methods which is one of the quantitative methods. It taken is

the period covering June 2007 to May 2013.

In this study, an appropriate model is ARIMA (2,1,2)(1,1,1)

3

. That is used to

predict of bottled tea sales sosro 12 periods ahead. The selection is based on the value

that is equal to the smallest MSE (Mean Square Error) 0,036823269 and that is equal

to the smallest MAPE (Mean Absolute Persentage Error) 1,37120 %. The amount of

sales of bottled tea production sosro forecasting results from June 2013 to May 2014

amounted to 1305140,586 crates with average monthly sales amounted to

108761,7155 crates. The forecasting model can be used as long as no changes in the

basic pattern of the data.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel x

Daftar Gambar xii

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 2

1.3. Batasan Masalah 2

1.4. Tujuan Penelitian 2

1.5. Kontribusi Penelitian 2

1.6. Tinjauan Pustaka 3

1.7. Metode Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 8

2.1 Beberapa Uji yang Digunakan 8

2.1.1 Uji Kecukupan Sampel 8

2.1.2 Uji Musiman 8

2.1.3 Uji Trend 11

2.2 Jenis-jenis Peramalan ` 11

2.3 Metode Peramalan 12

2.3.1 Pengertian Metode Peramalan 12

2.3.2 Jenis-jenis Metode Peramalan 13

2.4 Klasifikasi Model Box-Jenkins 13

2.4.1 Model Autoregressive 14

2.4.2 Model Rataan Bergerak (Moving Averange) 14 2.4.3 Model Campuran Autoregressive – Rataan Bergerak 14 2.4.4 Model Integrasi Autoregressive – Moving Average (ARIMA) 14

2.5 Kestasioneran dan Faktor Musiman 15

2.5.1 Kestasioneran 15

2.6 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial 17

2.6.1 Fungsi Autokorelasi 18

2.6.2 Fungsi Autokorelasi Parsial 19

2.7 Pemeriksaan Ketepatan Model 19

2.7.1 Nilai Sisaan (Residu) 20

2.7.1.1 Pemeriksaan Kesalahan Standard Residu 20

2.7.1.2 Statistik Box-Pierce 21

2.7.2 Overfitting Model ARIMA 21

2.8 Peramalan dengan Model ARIMA Box-Jenkins 22

Bab 3 Pembahasan 24

3.1. Pengujian Data 24

3.1.1 Uji Kecukupan Sampel 24

3.1.2 Uji Musiman 25

3.1.3 Uji Trend 28

3.2. Analisa Data Penjualan Produksi Teh Botol Sosro 29

3.3

Identifikasi Model 35

3.4 Pendugaan Parameter Model ARIMA 35

3.5 Pemeriksaan Ketepatan Model 37

3.5.1 Pemeriksaan Kesalahan Standar Autokorelasi Sisaan (residu) 37

3.5.2 Uji Statistik Q Box-Pierce 39

3.5.3 Overfitting Model ARIMA 40

3.6 Peramalan 47

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 53

4.1. Kesimpulan 53

4.2. Saran 54

Daftar Pustaka

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1.: Perhitungan uji musiman 9

Tabel 2.2.: Perhitungan Anava uji musiman 10 Tabel 3.1.: Data penjualan produksi teh botol sosro perode Juni 2007

Sampai dengan Mei 2013 24

Tabel 3.2.: Perhitungan Anava uji musiman 27 Tabel 3.3.: Perhitungan Anava uji musiman 28 Tabel 3.4.: Estimasi model ARIMA (2,1,2)(1,1,1)3 pada logaritma data

Penjualan 36

Tabel 3.5.: Estimasi model ARIMA (1,1,1)(1,1,1)3 pada logaritma data

Penjualan 40

Tabel 3.6.: Estimasi model ARIMA (2,1,1)(1,1,1)3 pada logaritma data

Penjualan 41

Tabel 3.7.: Estimasi model ARIMA (1,1,2)(1,1,1)3 pada logaritma data

Penjualan 42

Tabel 3.8.: Estimasi model ARIMA (2,1,2)(0,1,1)3 pada logaritma data

Penjualan 43

Tabel 3.9.: Estimasi model ARIMA (2,1,2)(1,1,2)3 pada logaritma data

Penjualan 44

Tabel 3.10.: Estimasi model ARIMA (3,1,2)(1,1,1)3 pada logaritma data

Penjualan 45

Tabel 3.11: Estimasi model ARIMA (4,1,2)(1,1,1)3 pada logaritma data

Penjualan 46

Tabel 3.12.: Nilai chi-square tabel untuk delapan model yang diterima 47 Tabel 3.13.: Nilai MAPE untuk delapan model yang diterima 50

Halaman Tabel 3.14.: Nilai MSE untuk delapan model yang diterima 50 Tabel 3.15.: Nilai-nilai ramalan penjualan produksi teh botol sosro

Model ARIMA (2,1,2)(1,1,1)3 periode Juni 2013 sampai dengan Mei 2014 serta batas atas dan

batas bawah (dalam bentuk logaritma) 51 Tabel 3.16.: Nilai-nilai ramalan penjualan produksi teh botol sosro

Model ARIMA (2,1,2)(1,1,1)3 periode Juni 2013 sampai dengan Mei 2014 serta batas atas dan

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar.1. : Plot data penjualan produksi teh botol sosro 29

Gambar.2. : Plot autokorelasi data penjualan 31

Gambar.3. : Plot autokorelasi parsial data penjualan 31

Gambar.4. : Plot data hasil transformasi logaritma 32

Gambar.5. : Plot data pembedaan pertama 32

Gambar.6. : Plot autokorelasi data pembedaan pertama 32

Gambar.7. : Plot autokorelasi parsial data pembedaan pertama 33

Gambar.8. : Plot autokorelasi data pembedaan musiman pertama 34

Gambar.9. : Plot autokorelasi parsial pembedaan musiman pertama 34

Gambar.10. : Plot autokorelasi residu (sisaan) ARIMA (2,1,2)(1,1,1)3 39

Gambar.11. : Plot autokorelasi parsial residu (sisaan) ARIMA (2,1,2)(1,1,1)3 39

Gambar.12. : Plot autokorelasi residu ARIMA (1,1,1)(1,1,1) 3 40

Gambar.13. : Plot autokorelasi parsial residu ARIMA (1,1,1)(1,1,1) 3 40

Gambar.14. : Plot autokorelasi residu ARIMA (2,1,1)(1,1,1) 3 41

Gambar.15. : Plot autokorelasi parsial residu ARIMA (2,1,1)(1,1,1) 3 41

Gambar.16. : Plot autokorelasi residu ARIMA (1,1,2)(1,1,1) 3 42

Gambar.17. : Plot autokorelasi parsial residu ARIMA (1,1,2)(1,1,1) 3 42

Gambar.18. : Plot autokorelasi residu ARIMA (2,1,2)(0,1,1) 3 43

Gambar.19. : Plot autokorelasi parsial residu ARIMA (2,1,2)(0,1,1) 3 43

Gambar.20. : Plot autokorelasi residu ARIMA (2,1,2)(1,1,2) 3 44

Gambar.21. : Plot autokorelasi parsial residu ARIMA (2,1,2)(1,1,2) 3 44

Gambar.22. : Plot autokorelasi residu ARIMA (3,1,2)(1,1,1) 3 45

Gambar.23. : Plot autokorelasi parsial residu ARIMA (3,1,2)(1,1,1) 3 45

Halaman Gambar.25. : Plot autokorelasi parsial residu ARIMA (4,1,2)(1,1,1) 3 46

ABSTRAK

PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara adalah perusahaan yang memproduksi

berbagai jenis teh dalam berbagai kemasan. Dalam perusahaan terkadang terjadi

perbedaan antara jumlah persediaan produksi dengan jumlah penjualan di pasaran.

Oleh karena itu perusahaan membutuhkan peramalan penjualan produksi. Dalam hal

ini penulis mencoba untuk meramalkan penjualan produksi teh botol sosro pada PT.

Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara Tahun 2014 dengan metode ARIMA Box-Jenkins

yang merupakan salah satu metode peramalan kuantitatif. Data yang diambil adalah

data periode Juni 2007 sampai dengan Mei 2013.

Dalam penelitian ini model yang tepat yaitu model ARIMA (2,1,2)(1,1,1)

3

.

Yang digunakan untuk meramalkan penjualan produksi teh botol sosro 12 periode ke

depan. Pemilihan tersebut didasarkan atas nilai MSE (rata-rata kuadrat kesalahan)

terkecil yaitu sebesar 0,036823269 dan MAPE (rata-rata absolute persentase

kesalahan) terkecil yaitu sebesar 1,37120 %. Jumlah penjualan produksi teh botol

sosro hasil peramalan mulai bulan Juni 2013 sampai dengan Mei 2014 adalah sebesar

1305140,586 krat dengan rata-rata penjualan setiap bulannya adalah sebesar

108761,7155 krat. Model peramalan tersebut dapat digunakan selama tidak terjadi

perubahan pola dasar dari data.

ABSTRACT

PT. Sinar Sosro North of Sumatera is a company producing various kind of tea

in different packaging.

Sometimes in the company of any difference between the

amount of production inventory by the number of sales in the market. Therefore,

companies need sales forecasting productions. In this case the writer tries to predict

sales of bottled tea production sosro at PT. Sinar Sosro of North Sumatera at 2014

with ARIMA Box-Jenkins methods which is one of the quantitative methods. It taken is

the period covering June 2007 to May 2013.

In this study, an appropriate model is ARIMA (2,1,2)(1,1,1)

3

. That is used to

predict of bottled tea sales sosro 12 periods ahead. The selection is based on the value

that is equal to the smallest MSE (Mean Square Error) 0,036823269 and that is equal

to the smallest MAPE (Mean Absolute Persentage Error) 1,37120 %. The amount of

sales of bottled tea production sosro forecasting results from June 2013 to May 2014

amounted to 1305140,586 crates with average monthly sales amounted to

108761,7155 crates. The forecasting model can be used as long as no changes in the

basic pattern of the data.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Keadaan dunia usaha yang selalu berubah membutuhkan langkah-langkah untuk mengendalikan kegiatan usaha di suatu perusahaan. Perencanaan adalah salah satu langkah yang diperlukan dalam pengambilan keputusan yang efektif. Keberhasilan suatu rencana tidak terlepas dari usaha-usaha untuk memproyeksi kebutuhan sumber daya yang dibutuhkan perusahaan pada masa yang akan datang. Untuk dapat mengetahui proyeksi kebutuhan yang hendak dicapai, diperlukan suatu peramalan yang mampu menerangkan proyeksi kebutuhan berdasarkan data masa lalu.

Seperti halnya peramalan penjualan produksi untuk masa yang akan datang merupakan satu hal yang sangat penting dalam suatu perusahaan karena dari hasil peramalan penjualan produksi tersebut dapat diperkirakan situasi dan kondisi yang terjadi pada masa yang akan datang dan oleh sebab itu dapat pula disusun rencana produksi selanjutnya.

Sering terjadi dimana suatu perusahaan mempunyai jumlah permintaan yang terlalu besar, sedangkan jumlah persediaan produksi sedikit sehingga tidak dapat memenuhi jumlah permintaan dari konsumen. Hal ini mengakibatkan hilangnya kepercayaan konsumen terhadap perusahaan dan hilangnya kesempatan untuk memperoleh keuntungan. Sebaliknya jika jumlah persediaan produksi terlalu besar sementara jumlah permintaan dari konsumen sangat kecil, maka perusahaan akan mengalami kerugian.

Begitu juga halnya dengan PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara yang memproduksi berbagai jenis teh dalam kemasan yang beragam seperti teh dalam kemasan botol kaca 220ml, kemasan kotak 200ml, kemasan kotak 250ml, kemasan kotak 1L, pouch 150ml dan kemasan PET botol plastik 500ml. Perusahaan ini tentunya memerlukan peramalan penjualan untuk meramalkan situasi apa yang akan dihadapi perusahaan pada masa yang akan datang. Karena peramalan penjualan merupakan dasar bagi perencanaan operasi-operasi perusahaan seperti penyusunan rencana kerja, penjadwalan produksi, persediaan bahan baku produksi dan pengendalian produksi.

Berdasarkan pertimbangan di atas penulis mencoba menerapkan metode Box-Jenkins dalam meramalkan penjualan produksi teh botol sosro pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara,

sebagai bahan penulisan skripsi dengan judul “PERAMALAN PENJUALAN PRODUKSI TEH BOTOL SOSRO PADA PT. SINAR SOSRO SUMATERA BAGIAN UTARA TAHUN 2014 DENGAN METODE ARIMA BOX-JENKINS”

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan permasalahan dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana bentuk persamaan peramalan yang dapat dipakai untuk meramalkan penjualan produksi teh botol pada masa yang akan datang dengan menggunakan metode ARIMA Box-Jenkins.

2. Berapa penjualan produksi teh botol yang diramalkan pada masa yang akan datang.

1.3 Batasan Masalah

Agar pembahasan dapat lebih terarah maka perlu dilakukan pembatasan masalah yaitu:

1. Hanya penjualan produksi teh botol dengan kemasan botol kaca 220ml saja yang diramalkan.

2. Data yang dibutuhkan yaitu data penjualan produksi teh botol periode Juni 2007 sampai dengan Mei 2013.

3. Peramalan dilakukan secara kuantitatif.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk mengetahui jumlah penjualan produksi teh botol pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara tahun 2014 dengan menggunakan metode ARIMA Box-Jenkins.

1.5 Kontribusi Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat sebagai berikut :

a. Sebagai informasi bagi perusahaan di dalam mengambil kebijakan sehubungan dengan penjualan produksi teh botol pada masa yang akan datang

b. Sebagai referensi bagi peneliti selanjutnya yang akan melakukan penelitian yang sama di masa mendatang

1.6 Tinjauan Pustaka

Lerbin R. Aritonang R. dalam bukunya Peramalan Bisnis mengemukakan bahwa data yang di analisa dalam model ARIMA Box-Jenkins adalah data yang bersifat stasioner, yaitu data yang mempunyai rata-rata dan variansi yang konstan dari periode ke periode.

Peramalan dengan menggunakan ARIMA dilakukan melalui lima tahap :

1. Pemeriksaan kestasioneran data

Pada tahap satu, data runtut waktu harus diperiksa kestasionerannya (apakah rata-rata dan variansinya konstan, homogen dari waktu ke waktu) karna data yang di analisi pada ARIMA adalah data yang stasioner. Pemeriksaan itu dilakukan berdasarkan analisis otokorelasi dan otokorelasi parsial (dibicarakan kemudian)atas datanya. Jika datanya telah stasioner kemudian dilanjutkan ke tahap kedua. Bila datanya belum stasioner maka datanya harus di transformasi dengan metode tertentu hingga menjadi stasioner.

2. Pengidentifikasian model

Pada tahap dua, model untuk data yang telah stasioner diidentifikasi berdasarkan hasil analisis otokorelasi dan otokorelasi parsial atas data yang stasioner atau yang telah distasionerkan itu. Jadi, data yang dianalisi otokorelasi dan otokorelasi parsialnya mungkin saja berupa data yang asli atau data yang telah ditransformasi sehingga menjadi stasioner.

Model-model pengembangan ARIMA :

• Model umum AR(p)

• Model Umum MA(p)

• Model ARI

• Model IMA

• Model ARIMA

3. Pengestimasian parameter model 4. Pengujian model

5. Penggunaan model untuk peramalan

Spyros Makridakis, Steven C. Wheelwright dan Victor E. McGee dalam bukunya

berkala adalah koefisien autokorelasi yang menggambarkan hubungan antara suatu deret berkala dengan deret berkala itu sendiri pada kelambatan waktu (lag) ke periode.

Autokorelasi untuk time lag 1,2,3,…,k dapat dicari dan di notasikan

r

_k sebagai berikut :

∑

∑

= + − =

−

−

−

=

_n t t k t k n t t k

Y

Y

Y

Y

Y

Y

r

1 2 1

)

(

)

(

)

(

(1-1) Dengan :

=

k

r

koefisien autokorelasi

=

t

Y

data actual pada periode t

=

Y

nilai tengah (mean) dari data aktual

=

+k t

Y

data aktual pada periode t dengan time lag (ketertinggalan) k

Sakti Silaen dalam bukunya Statistika Untuk Bisnis Dan Ekonomi mengemukakan

bahwa penaksiran interval yaitu menaksir suatu nilai statistic, seperti μ dengan suatu tingkat

keyakinan. Dikemukakan juga bahwa semakin besar sampel yang dipergunakan sebagai penaksir, maka akurasi taksiran pun akan semakin mendekat. Demikian juga sebaliknya jika sampel yang dipergunakan semakin kecil, maka akurasi harga penaksir yang ditemukan juga relatif rendah. Kisaran nilai penaksir tertentu ada batasan nilai terendah dan nilai tertinggi disekitar yang ditaksir, inilah yang disebut sebagai penaksiran interval. Dengan menganggap

bahwa distribusi sampel adalah normal, atau jika jumlah sampel relatif besar. Maka μ adalah

penkasir bagi

µ

_x dan

_











=

n

x

σ

σ

yang disebut juga standard error (kesalahan baku). Sehingga Z terletak sedemikian rupa diantara batas

2 α

Z

−

dan

2 α

Z

+

yaitu sebagai peluang atau luas dibawah kurva normal = 0,95 dengan menggunakan tabel distribusi normal, ditemukan bahwa nilai Z terletak diantara :













≤

≤













−

n

r

n

k

1

96

,

1

1

96

,

Dengan :

n = Jumlah sampel

=

k

r

koefisien autokorelasi

Syafrizal Helmi Situmorang, Iskandar Muda, Doli M. Ja’far Dalimunthe, Fadli, dan Fauzie Syarief dalam bukunya Analisis Data untuk Riset Manajemen dan Bisnis

mengemukakan mengenai penggunaan SPSS untuk peramalan (forecasting), yaitu dengan menu Analyze, Forecasting, dan lainnya.

C. Tri Hendradi dalam bukunya Statistik SIX SIGMA dengan MINITAB

mengemukakan mengenai pengenalan dan penggunaan Minitab untuk peramalan (Forecasting).

1.7 Metode Penelitian

Peramalan adalah kegiatan untuk memperkirakan apa yang akan terjadi di masa yang akan datang. Ramalan tersebut dapat didasarkan atas berbagai macam metode, yaitu Metode Pemulusan Eksponensial atau Rata-rata Bergerak, Metode Box-Jenkins dan Metode Regresi, semua itu dikenal dengan metode peramalan. Metode peramalan adalah cara untuk memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan dasar data yang relevan pada masa lalu. Dengan kata lain metode peramalan ini digunakan dalam peramalan yang bersifat objektif.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :

1. Pengumpulan data penjualan produksi teh botol dari Juni 2007 sampai dengan bulan Mei 2013.

2. Memplot data penjualan tersebut untuk mengetahui pola data.

3. Memeriksa kestasioneran data dengan menghitung koefisien autokorelasi dan koefisien autokorelasi parsial.

4. Identifikasi model ARIMA sementara.

5. Menetapkan model ARIMA sementara untuk peramalan. 6. Pendugaan nilai awal parameter model ARIMA

7. Pengujian terhadap model yang telah ditetapkan untuk mengetahui apakah model yang ditetapkan telah tepat.

8. Menggunakan model untuk peramalan. 9. Menarik kesimpulan.

DATA PENJUALAN

PLOT DATA PENJUALAN PLOT KOEFISIEN AUTOKORELASI

APAKAH DATA STASIONER

YA

IDENTIFIKASI MODEL

PENETAPAN MODEL

PENAKSIRAN PARAMETER MODEL

PENGUJIAN MODEL

APAKAH MODEL TELAH MEMADAI

YA

PENGGUNAAN MODEL UNTUK PERAMALAN

BAB 2

LANDASAN TEORI

Peramalan adalah kegiatan umtuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang berdasarkan pengalaman di masa lalu. Metode peramalan yang sering digunakan dalam ekonomi dan dunia usaha adalah deret waktu (time series).

2.1 Beberapa Uji Yang Digunakan 2.1.1 Uji Kecukupan Sampel

Sebelum melakukan analisa terhadap data, langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap anggota sampel. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel. Dengan tingkat keyakinan 95% (

α

=0,05) rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah:

2

1

2

1 1

2

20 '

    

 

    

 

      − =

∑

∑

∑

= = =

N

t t

N

t t N

t t

Y Y Y

N

N (2-1)

Dengan :

=

'

N Ukuran sampel yang dibutuhkan

=

N Ukuran sampel percobaan

=

t

Y

Data aktual

Apabila N' < N, maka sampel percobaan dapat diterima sebagai sampel.

2.1.2 Uji Musiman

Untuk mengetahui adanya komponen musiman dilakukan uji musiman. Hipotesa ujinya adalah sebagai berikut :

o

H

: Data tidak dipengaruhi musiman

1

H

: Data dipengaruhi musiman

Tabel 2.1 Perhitungan Uji Musiman

Periode Musiman

1 2 3 4 . . . k 1

2 3 4 . . .

N

11

Y

Y

₁₂

Y

₁₃

Y

₁₄ . . .

Y

_1k

21

Y

Y

₂₂

Y

₂₃

Y

₂₄ . . .

Y

_2k

31

Y

Y

₃₂

Y

₃₃

Y

₃₄ . . .

Y

_3k

41

Y

Y

₄₂

Y

₄₃

Y

₄₄ . . .

Y

_4k

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 n

Y

Y

_n2

Y

_n3

Y

_n4

Y

_nk

Jumlah 1

J

J

₂

J

₃

J

₄

J

_k

Untuk perhitungan digunakan notasi :

∑

∑

= =













=

k

i i k

i i

y

n

J

R

1 2

1

(2-2)

Dengan :

y

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

i

i

n

= Ukuran sampel percobaan

y k

i i

i

y

R

n

J

A

=

∑

−

=1 2

(2-3)

Dengan :

y

A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

y

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

i

J

= Jumlah nilai pengamatan

i

n

= Ukuran sampel percobaan

2 2

12 2 11 2

...

Y

_nk

Y

Y

Y

=

+

+

+

∑

(2-4)

Dengan :

Y = Jumlah data aktual

y y

y

Y

R

A

D

=

∑

2

−

−

(2-5)

Dengan :

Y = Jumlah data aktual

y

D = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok

y

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

y

A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

Sehingga F hitung = y y D

A

Dengan :

y

A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

y

D = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok

Kemudian akan disusun dalam tabel ANAVA.

Tabel 2.2 Perhitungan Anava Uji Musiman Sumber

Variasi

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat

Jumlah Kuadrat Rata-rata

Statistik Uji Antar Musim

Dalam Musim

1

−

k

∑

n

−

k

y A

y

D

1

−

=

k

A

A

y

k

n

D

D

y

−

=

D

A

F =

Total

∑

_n

_-1

∑

2

Y

Dengan

k = Menyatakan musiman

n = Periode musiman

Maka kriteria pengujiannya adalah :

0

H

: Diterima jika F hitung > F (k-1, n-k)

1

2.1.3 Uji Trend

Tujuan dari uji trend adalah untuk melihat apakah ada pengaruh komponen trend terhadap data. Hipotesis ujinya adalah :

0

H

: frekuensi naik dan turun dalam data adalah sama, artinya tidak ada trend

1

H

: frekuensi naik lebih besar dari frekuensi turun, artinya trend menaik

Statistik penguji :

σ

µ

)

(

−

=

m

Z

(2-7)

2 1

− = n

µ

(2-8)

2

1

+

=

n

σ

(2-9)

Dengan :

=

m

frekuensi naik

=

n

jumlah data

=

µ

frekuensi naik yang diharapkan

=

σ

standar error antara naik dan turun

Kriteria penguji :

Dengan taraf signifikan

α

maka : 0

H

: Diterima jika Z hitung > Z tabel

1

2.2 Jenis-jenis Peramalan

Berdasarkan sifat ramalan yang telah disusun, ramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu :

1. Peramalan Kualitatif

Peramalan kualitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya. Hal ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, pendapat, dan pengetahuan serta pengalaman dari penyusunnya.

2. Peramalan Kuantitatif

Peramalan kuantitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang digunakan dalam peramalan tersebut. Dengan metode yang berbeda akan diperoleh hasil peramalan yang berbeda. Metode yang baik adalah metode yang memberikan nila-nilai perbedaan atau penyimpangan yang kecil antara hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi.

Peramalan kuantitatif hanya dapat digunakan apabila tiga kondisi sebagai berikut dipenuhi :

a. Adanya informasi tentang keadaan yang lalu

b. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data

c. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan datang.

2.3 Metode Peramalan

2.3.1 Pengertian Metode Peramalan

Metode peramalan adalah cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa depan, berdasarkan data yang relevan pada masa lalu. Oleh karena metode peramalan ini didasarkan pada data yang relevan pada masa lalu, maka metode peramalan ini dipergunakan dalam peramalan yang objektif.

Disamping itu, metode peramalan juga merupakan cara memperkirakan secara kuantitatif, oleh karena itu metode peramalan termasuk dalam metode peramalan kuantitatif.

2.3.2 Jenis-Jenis Metode Peramalan

Peramalan dapat dibedakan atas peramalan kuantitatif dan kualitatif. Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas :

a. Metode Regresi (kausal)

Metode peramalan kausal ini didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang mempengaruhinya, yang bukan waktu. Metode ini mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dengan satu atau lebih variabel bebas.

Metode regresi ini terdiri dari :

1. Metode regresi dan korelasi 2. Metode ekonometrika 3. Metode input output b. Deret waktu

Metode peramalan deret berkala (time series) didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antar variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan deret waktu (time series). Metode peramalan deret waktu data historis dianalisa untuk mengidentifikasi pola data dan diasumsikan bahwa pola data tersebut akan terus berlanjut pada masa yang akan datang. Pola data yang diperoleh kemudian dianalisa untuk memperoleh nilai peramalan pada masa yang akan datang. Dalam model peramalan deret waktu tidak ada usaha menemukan faktor yang mempengaruhi terhadap data historis yang dianalisa.

Metode peramalan deret waktu ini terdiri dari :

1. Metode Smoothing 2. Metode Box-Jenkins

3. Metode Proyeksi Trend dengan Regresi

2.4 Klasifikasi Model Box-Jenkins

Model Box-Jenkins dikelompokkan ke dalam tiga kelompok yaitu :

1. Model Autoregressive (AR)

2. Model Rataan Bergerak / Moving Average (MA)

Model campuran ini dapat berupa model campuran model Autoregressive Moving Average (ARMA) dan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).

2.4.1 Model Autoregressive Persamaan umum dari model AR(p) :

(

)

t t

p

p

B

Y

e

B

B

−

−

−

=

+

−

φ

φ

...

φ

δ

1

_{1 2} 2 (2-10)

Dengan :

B = operator penggerak mundur (backward shift operator)

1

φ

= parameter autoregressive ke-i (dengan i = 1,2,3,…,p)

=

t

Y

Data aktual

δ

= suatu konstanta t

e

= sisaan (residu) ke – t

2.4.2 Model Rataan Bergerak (Moving Average)

Bentuk umum dari model rataan bergerak dengan ordo q atau biasa ditulis MA(q).

2.4.3 Model Campuran Autoregressive – Rataan Bergerak

Secara singkat bentuk umum model campuran autoregressive rataan bergerak berordo (p,q) yang mengkombinasikan proses autoregressive ordo p dan proses rataan bergerak ordo q atau biasa ditulis dengan ARMA(p,q).

2.4.4 Model Integrasi Autoregressive – Moving Average (ARIMA)

Untuk deret waktu yang tidak stasioner, model Box-Jenkins dapat diterapkan dengan jalan mentransformasikannya menjadi deret yang stasioner dengan pembedaan ordo pertama atau lebih. Box-Jenkins menyatakan model tersebut Integrasi Autoregressive-Rataan Bergerak (Autoregressive-Integrated-Moving Average / ARIMA).

Bentuk umum model ARIMA berordo (p,d,q) yang mengkombinasikan proses autoregressive berodo p, dan proses rataan bergerak berordo q pada deret waktu yang sudah di transformasikan dengan pembedaan ordo ke-d atau biasa ditulis dengan ARIMA(p,d,q) adalah sebagai berikut :

(

)

(

)

t

q q t

p

p

B

W

B

B

e

B

φ

δ

θ

θ

φ

−

−

=

+

−

−

−

−

...

1

...

1

_{1 1} (2-11)

Dengan :

1

φ

= parameter autoregressive ke-i

B = operator penggerak mundur (backward shift operator)

t

W

= deret yang sudah dideferensi dengan ordo d

δ

= konstanta t

e

= sisaan (residu) ke – t

Dalam praktek, nilai p,d,q yang biasa digunakan adalah 0,1,2. Meskipun demikian dengan nilai p,d,q yang seperti itu dapat dibuat banyak variasi model yang cukup berguna. Persamaan model yang sederhana, ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut :

(

1

−

1

)

−1

−

1 −2

+

+

−

1 −1

=

_{t t t t}

t

Y

Y

e

e

Y

φ

φ

δ

θ

(2-12)

Dengan :

=

t

Y

Data aktual

1

φ

= parameter autoregressive ke-i

δ

= konstanta t

e

= sisaan (residu) ke – t

2.5 Kestasioneran dan Faktor Musiman 2.5.1 Kestasioneran

Parsial. Data yang dianalisa dalam model ARIMA adalah data yang bersifat stasioner, yaitu data yang rata-rata dan variansinya relative konstan dari satu periode ke periode selanjutnya.

Autokorelasi-autokorelasi dari data yang tidak stasioner berbeda secara signifikan dari nol dan mengecil secara perlahan membentuk garis lurus sedangkan autokorelasi-autokorelasi dari data stasioner mengecil secara drastis membentuk garis lengkung ke arah nol setelah periode kedua atau ketiga. Jadi bila autokorelasi pada periode satu, dua maupun periode ketiga tergolong signifikan sedangkan autokorelasi-autokorelasi pada periode lainnya tergolong tidak signifikan, maka datanya bersifat stasioner.

Menurut Box-Jenkins deret data yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi deret data yang stasioner dengan melakukan pembedaan (diferensi) pada data aktual. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut :

1

−

−

=

_{t t}

t

Y

Y

W

(2-13)

Dengan :

t

W

= deret yang sudah dideferensi dengan ordo d

=

t

Y

Data aktual

Biasanya dengan melakukan pembedaan pertama dan kedua data akan menjadi data yang stasioner dengan melihat koefisien autokorelasi data pembedaan akan turun mendekati nol setelah lag ke-2 atau lag ke-3.

2.5.2 Faktor Musiman

Makridakis (1991) dan Assauri (1984) mendefenisikan musiman sebagai suatu

pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Pola musiman dapat berupa musiman triwulan (3 bulanan), kuartal (4 bulanan), semesteran (6 bulanan) atau tahunan (12 bulanan). Notasi ARIMA yang digunakan untuk mengatasi aspek musiman, secara umum ditulis sebagai berikut :

s

Q

D

P

q

d

p

ARIMA

(

,

,

)(

,

,

)

Komponen (p,d,q) adalah bagian tidak musiman dari model (P,D,Q) adalah bagian musiman dari model dan S adalah jumlah periode per musim.

Model ARIMA yang mengandung faktor musiman, ARIMA (1,1,1,)

(

1

,

1

,

1

)

12

mempunyai persamaan sebagai berikut :

(

B

)

(

B

)

B B Yt

(

B

)

(

B

)

et

12 1 1

12 12

1

1 1 (1 )(1 ) 1 1

1−

φ

−Φ − − =

δ

+ −

θ

−Θ (2-14)

Dengan :

1

φ

= Parameter autoregressive ke-1

B = Operator penggerak mundur (backward shift operator)

1

Φ

= Sudut fase (dalam radian) t

Y

= Data aktual

δ

= Konstanta 1

θ

= Nilai rata – rata bergerak MA 1

Θ

= Nilai SMA

t

e

= Sisaan (residu) ke – t

Dalam hal ini :

(

1

−

φ

₁

B

)

= proses AR (1) bukan musiman

(

12

)

1

1

−

Φ

B

= proses AR (1) musiman

(

1

−

B

)

= pembedaan ordo pertama bukan musiman

(

12

)

1

−

B

= pembedaan ordo pertama musiman

(

1

−

θ

₁

B

)

= proses MA (1) bukan musiman

(

12

)

1

1

−

Θ

B

= proses MA (1) musiman

2.5.3 White Noise

White noise maksudnya residu tersebut berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan varians konstan. Jika residu bersifat white noise maka residu hanya merupakan suatu proses gangguan kecil yang tidak perlu diperhatikan. Hal ini dapat dilihat dari nilai Q Box-Pierce <

2

χ

tabel dan koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial residu yang tidak berbeda nyata dari nol.

2.6 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial

Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial populasi dapat di estimasi

dengan menghitung fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial sampel yang biasa disebut dengan fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial contoh. Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk mengidentifikasi model box-jenkins dengan melihat prilaku dari kedua fungsi tersebut.

2.6.1 Fungsi Autokorelasi

Koefisien autokorelasi merupakan derajat hubungan antara

Y

_t dan

Y

_t−k. Menurut Spyros Makridakis, Steven C. Wheelwright dan Victor E. McGee dengan persamaan :

(

)(

)

(

)

∑

∑

= −

= +

−

−

−

=

_n

t t k n

t

k t t

k

Y

Y

Y

Y

Y

Y

r

1

2

1 _(2-15)

Dengan :

k

r

= Koefisien autokorelasi

t

Y

= Data actual pada periode t

Y = Nilai tengah (mean) dari data aktual

k t

Y

₊ = Data aktual pada periode t dengan time lag (ketertinggalan) k

( )

n

r

SE

_k

=

1

(2-16)

Dengan :

k

r

= Koefisien autokorelasi

n = Periode musiman

Koefisien autokorelasi dari data acak mempunyai distribusi sampling yang mendekati kurva

normal baku dengan nilai tengah (mean) nol dan kesalahan standar

n

1

. Suatu deret bersifat

acak apabila koefisien korelasinya berada dalam batas interval -

( )

r

k

r

k

Z

SE

( )

r

k

SE

Z

2

2 α

α

≤

≤

.

Fungsi autokorelasi dapat digunakan untuk pendugaan parameter model ARIMA. Makridakis (1991) menyatakan bahwa persamaan autokorelasi untuk proses MA(q) adalah sebagai berikut :

k

ρ

=

k

q

q q k q k k

,...,

2

,

1

;

...

1

...

2 2 2 2 1 1 1

₌

+

+

+

+

+

+

+

−

_{+ −}

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

(2-17)

0 ; k = q

Dengan :

k

ρ

= Nilai teoritis

k = q = ketertinggalan waktu (time lag)

Proses rataan bergerak berordo q mempunyai nilai nol untuk lag lebih dari q. Karena nilai teoritis

ρ

_k tidak diketahui, maka nilai taksiran pendahuluan dari koefisien

q

θ

θ

θ

θ

₁, ₂, ₃,..., dapat diperoleh dengan mensubstitusi autokorelasi empiris

r

_k.

2.6.2 Fungsi Autokorelasi Parsial

Koefisien autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara

Y

_t dan

Y

_t−k, apabila pengaruh dari time lag 1,2,3,…,k-1 dianggap terpisah. Dalam analisa deret

berkala koefisien autokorelasi parsial berguna untuk membantu menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan.

Koefisien autokorelasi parsial berorde m didefenisikan sebagai koefisien autoregressive terakhir dari model AR(m).

Nilai koefisien autokorelasi parsial dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :

t k t kk k

t k

t

Y

Y

e

Y

=

φ

_{1 −}

+

...

+

φ

₋

+

(2-18)

Dengan :

t

Y

= Data aktual

k

φ

= Parameter autoregressive ke-k

k t

Y

₋ = Nilai keterlambatan pada saat k periode

t

e

= Kesalahan ramalan

2.7 Pemeriksaan Ketepatan Model

Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter, langkah selanjutnya adalah menguji apakah model yang didefenisikan telah tepat. Untuk itu dilakukan pemeriksaan terhadap :

2.7.1 Nilai Sisaan (Residu)

Model yang telah ditetapkan akan memperlihatkan perbedaan residu atau kesalahan antara nilai-nilai data deret waktu dan nilai-nilai estimasi dari model sangat kecil atau tidak berarti. Kesalahan ramalan dapat diperoleh dari persamaan berikut :

)

(

h

Y

Y

e

_t

=

_t

−

_t (2-19)

Dengan :

t

e

= Kesalahan ramalan

t

Y

= Data aktual

)

(

h

t

e

= Kesalahan ramalan

Dari nilai-nilai kesalahan dapat diperoleh koefisien autokorelasi residu. Jika tidak terdapat pola data yang secara nyata berbeda dari nol, sehingga kesalahan diasumsikan menjadi acakan atau tidak perlu diperhatikan maka model dianggap cukup tepat.

2.7.1.1 Pemeriksaan Kesalahan Standar Residu

Rumus kesalahan standar untuk memeriksa apakah

r

_k

(

e

)

tertentu secara nyata berbeda dari nol adalah :

[

]

n

k

r

SE

_e

(

)

=

1

(2-20)

Dengan :

k

r

= Koefisien autokorelasi

n = Periode musiman

Koefisien autokorelasi dari data random akan mempunyai distribusi sampling yang

mendekati kurva normal baku dengan nilai tengah nol dan kesalahan standar

n

1

, sehingga

untuk menetapkan apakah

r

_k

(

e

)

berasal dari populasi yang mempunyai nilai autokorelasi kesalahan nol pada time lag k, dilakukan pengujian apakah

r

_k

(

e

)

dengan tingkat kepercayaan 95% terletak dalam batas interval yang telah ditentukan dengan menggunakan persamaan :













≤

≤













−

n

r

n

k

1

96

,

1

1

96

,

1

(2-21)

Dengan :

n = Jumlah sampel

=

k

2.7.1.2 Statistik Box-Pierce

Untuk memeriksa apakah autokorelasi nilai-nilai sisaan (residu) berpola acakan (bersifat white noise), digunakan statistik Box-Pierce Sebagai berikut :

∑

=

=

m

k k

e

r

n

Q

1 2

)

(

(2-22)

Dengan :

Q

= Hasil perhitungan statistik Box-Pierce

m

= Jumlah autokorelasi residu (jumlah lag)

n

= N – d – SD

N = Jumlah anggota sampel

d = Ordo pembedaan bukan musiman

D = Ordo pembedaan musiman

S = Jumlah periode per musim

)

(

e

r

_k = Koefisien autokorelasi residu pada lag – k

Jika model cukup tepat, maka statistik Q akan berdistribusi

χ

2 dengan m-p-q-P-Q

derajat kebebasan, dengan p,q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) bukan musiman sedangkan P , Q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) musiman. Pengujian hipotesis adalah tolak

H

₀. Bahwa residu bersifat white noise jika nilai statistik Q

χ

2 yang diperoleh dari tabel.

2.7.2 Overfitting Model ARIMA

Langkah pemeriksaan ketepatan model selanjutnya adalah overfitting model ARIMA yang telah ditetapkan. Overfitting dilakukan dengan menambahkan parameter yang diestimasi pada model yang telah ditetapkan. Nilai-nilai statistic yang telah ditetapkan untuk melihat kcocokan dari model yang sedang dipelajari. Perbandingan ini dimaksudkan untuk meyakini bahwa model yang ditetapkan adalah model yang tepat.

2.8 Peramalan Dengan Model ARIMA Box-Jenkins

Setelah parameter-parameter model ARIMA diestimasi, maka langkah selanjutnya adalah menggunkana model tersebut untuk peramalan. Untuk tujuan ilustrasi, tetapkan model ARIMA (1,1,1). Agar dapat digunakan, maka model tersebut dikembangkan dalam bentuk persamaan regresi biasa, yaitu :

1 1 2

1 1 1

1 − − −

−

+

−

+

+

−

=

_{t t t t t}

t

Y

Y

Y

e

e

Y

φ

φ

δ

θ

(2-23)

Dengan :

t

Y

= Data aktual

1

−

t

Y

= Nilai keterlambatan pertama

1

φ

= Parameter autoregressive ke-i

δ

= Konstanta t

e

= Sisaan (residu) ke – t

1

θ

= Nilai rata – rata bergerak MA 1

−

t

e

= Sisaan (residu) ke-1

Untuk meramalkan satu periode kedepan yaitu

Y

_t

(

1

)

, maka ditambahkan satu angka indeks yang menunjukkan waktu, yaitu :

t t

t t t

t

Y

Y

Y

e

e

Y

₊₁

=

+

φ

₁

−

φ

_{1 −1}

+

δ

+

₊₁

−

θ

₁ (2-24)

Dengan :

1

+

t

Y

= Nilai peramalan satu periode ke depan

t

Y

= Data aktual

1

−

t

Y

= Nilai keterlambatan pertama

1

φ

= Parameter autoregressive ke-i

t

e

= Sisaan (residu) ke – t

1

θ

= Nilai rata – rata bergerak MA 1

+

t

e

= Sisaan (residu) satu periode kedepan

Untuk meramalkan h periode kedepan yaitu

Y

_t

(

h

)

maka persamaan menjadi :

h t h t h

t h t h t h

t

Y

Y

Y

e

e

Y

₊

=

₋₁₊

+

φ

_{1 −1+}

−

φ

_{1 −2+}

+

δ

+

₊

−

θ

_{1 −1+} (2-25) Dengan :

h t

Y

₊ = Nilai peramalan h periode kedepan

h t

Y

₋₁₊ = Nilai periode keterlambatan pertama saat h periode kedepan

1

φ

= Parameter autoregressive ke-i

δ

= Konstanta h

t

e

₊ = Nilai sisaan (residu) peramalan h periode kedepan

h t

e

₋₁₊ = Nilai sisaan (residu) keterlambatan pertama saat h periode kedepan

Untuk mengetahui ketepatan ramalan ini dapat dihitung nilai MSE dan MAPE yang merupakan ukuran ketepatan ramalan.

1. MSE (Mean Square Error)

[

]

2

1

)

(

1

∑

=

−

=

t

t

t t

Y

h

Y

T

MSE

(2-26)

Dengan :

t

Y

= Data aktual

)

(

h

Y

_t = Data hasil ramalan

T = Banyak sistem (residu)

% 100 )

( 1

1

×    



 −

=

∑

=

k

t t

t t

Y h Y Y L

MAPE (2-27)

Dengan :

t

Y

= Data aktual

)

(

h

Y

_t = Data hasil ramalan

BAB 3 PEMBAHASAN

Data yang akan dianalisa dalam penelitian ini adalah data penjualan produksi teh botol sosro pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara. Data yang diambil untuk dianalisa adalah data penjualan dari bulan Juni 2007 sampai dengan Mei 2013, dapat dilihat pada Tabel 3.1 sebagai berikut :

Tabel 3.1 Data Penjualan Produksi Teh Botol Sosro Periode Juni 2007 Sampai dengan Mei 2013 (dalam krat)

BULAN

Penjualan Produksi Teh Botol Sosro Juni 2007 sampai dengan Mei 2013 (dalam krat)

2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013

Juni 12766 22779 28644 34992 78348 99811

Juli 12367 24080 31256 47012 71745 141559

Agustus 16852 31410 41432 72234 114989 171002

September 14112 24173 28231 40512 83261 144371

Oktober 17211 15453 22413 49631 86541 161981

November 22770 35398 43411 48711 132131 112081

Desember 12260 23921 22867 49723 97130 92340

Januari 15952 23433 29655 45978 81741 86114

Februari 21433 48571 35403 54342 108121 103450

Maret 17568 29510 34609 56874 101352 110721

April 14455 28342 31323 63400 98642 116163

Mei 19624 29201 35897 70659 126433 104230

Jumlah 197370 336271 385141 634068 1180434 1443823

3.1 Pengujian Data

3.1.1 Uji Kecukupan Sampel

Sebelum melakukan penganalisaan data terlebih dahulu dilakukan uji pengambilan sampel. Hal ini diperlukan untuk menentukan apakah banyaknya sampel data penjualan produksi teh botol sosro dapat diterima sebagai sampel atau tidak. Dari Lampiran 2 (pada hal.56) diperoleh :

N = 72

∑

= N t t Y 1

= 4177107

∑

= N t t Y 1 2 )

( =

1

,

7448222

×

10

13

∑

= N t t

Y

1 2

=

3

,

63615

×

10

11

dengan menggunakan persamaan :

2 1 2 1 1 2

20

'









































−

=

∑

∑

∑

= = = N t t N t t N t t

Y

Y

Y

N

N

Dengan : = '

N Ukuran sampel yang dibutuhkan

=

N Ukuran sampel percobaan

=

t

Y

Data aktual

maka diperoleh :

148575

,

14

'

4177107

)

10

7448222

,

1

(

)

10

63615

,

3

(

72

20

'

2 13 11

=

















_×

₋

_×

=

N

N

3.1.2 Uji Musiman

Untuk melihat pengaruh musiman dilakukan uji musiman sesuai pada landasan teori sebagai berikut :

∑

∑

= =













=

_k

i i k

i i

y

n

J

R

1 2

1

Dengan :

y

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

i

J

= Jumlah nilai pengamatan

i

n

= Ukuran sampel percobaan

Diperoleh :

y

R =

(

)

72

1443823

1180434

634068

383031

336271

197370

+

+

+

+

+

2

=

(

)

72 4177107 2

=

2

,

4233642

×

10

11

y k

i i

i

y

R

n

J

A

=

∑

−

=1 2

Dengan :

y

A = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

y

i

J

= Jumlah nilai pengamatan

i

n

= Ukuran sampel percobaan

Diperoleh :

y

A =

(

)

11

2 2

2 2

2 2

10

4233642

,

2

12

1443823

1180434

634068

383031

336271

197370

×

−

+

+

+

+

+

=

3

,

4837166

×

10

11

−

2

,

4233642

×

10

11

=

1

,

0603524

×

10

11

2 2

12 2 11 2

...

Y

_nk

Y

Y

Y

=

+

+

+

∑

Dengan :

Y = Jumlah data aktual

Diperoleh :

∑

2

Y

=

12766

2

+

12367

2

+

....

+

104230

2

=

3

,

6361457

×

10

11

y y

y

Y

R

A

D

=

∑

2

−

−

Y = Jumlah data aktual

y

D = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok

y

R = Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

y

Diperoleh :

y

D =

3

,

6361457

×

10

11 -

2

,

4233642

×

10

11 -

1

,

0603524

×

10

11

=

1

,

524291

×

10

10

y y hit

D A

F =

=

10 11

10

524291

,

1

10

0603524

,

1

×

×

= 6,95636463

Kemudian akan disusun dalam tabel ANAVA.

Tabel 3.2 Perhitungan Anava Uji Musiman Sumber

Variasi

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat

Jumlah Kuadrat Rata-rata

Statistik Uji Antar Musim

Dalam Musim

1

−

k

∑

n

−

k

y A

y D

1

−

=

k

A

A

y

k

n

D

D

y

−

=

D

A

F =

sehingga hasilnya dapat disusun dalam tabel anava di bawah ini :

Tabel 3.3 Perhitungan Anava Uji Musiman

Sumber Variasi

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat Jumlah Kuadrat Rata-rata

Statistik Uji

Antar Musim

Dalam Musim

5

66

11

10

0603524

,

1

×

10

10

524291

,

1

×

10

10

2,1207048

×

230953181,8

91,82401314

Total 71

Dari daftar distribusi F dengan dk pembilang 5 dan dk penyebut 66 untuk

α

=0,05

diperoleh F tabel = 2,55 sehingga tolak

H

₁ karena F hit > F tabel artinya data dipengaruhi musiman.

3.1.3 Uji Trend

Untuk menunjukkan adanya pola trend maka dilakukan uji trend sesuai hipotesis pada landasan teori. Dari data diperoleh :

m = 39 ;

5

,

35

2

1

72

2

1

=

−

=

−

=

µ

µ

µ

n

;

04

,

6

2

1

72

2

1

=

+

=

+

=

σ

σ

σ

n

maka didapat :

58 , 0 04 , 6 5 , 35 39 ) ( = − = − = Z Z m Z

σ

µ

Dari daftar normal standart diperoleh Z tabel = 0,0359. Karena Z hit > Z tabel maka

1

H

ditolak yang berarti data penjualan produksi teh botol sosro dipengaruhi oleh trend menaik.

3.2 Analisa Data Penjualan Produksi Teh Botol Sosro

Langkah awal dalam menganalisa data penjualan produksi teh botol sosro pada PT. Sinar Sosro Sumatera Bagian Utara adalah dengan memplot data penjualan produksi teh botol sosro dari Juni 2007 sampai dengan mei 2013. Plot data penjualan produksi teh botol sosro dapat dilihat pada Gambar 1 dibawah ini :

70 63 56 49 42 35 28 21 14 7 1 180000 160000 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0

I nde x

Da ta Pe nju ala n

Ti me Se r i e s Pl ot of Da t a Pe nj ua l a n

Gambar 1. Plot Data Penjualan Produksi Teh Botol Sosro

juga dapat dilihat dari plot data bahwa terdapat pola trend menaik yang menyatakan data tidak stasioner dalam varians. Untuk lebih meyakinkan hal tersebut dapat dilihat koefisien autokorelasi dari data penjualan produksi teh botol sosro.

Koefisien autokorelasi dapat dihitung dengan menggunakan persamaan :

∑

∑

= + − =

−

−

−

=

_n t t k t k n t t k

Y

Y

Y

Y

Y

Y

r

1 2 1

)

(

)

(

)

(

Dengan :

=

k

r

koefisien autokorelasi

=

t

Y

data actual pada periode t

=

Y nilai tengah (mean) dari data aktual

=

+k t

Y

data aktual pada periode t dengan time lag (ketertinggalan) k

Diperoleh nilai koefisien autokorelasi data penjualan produksi teh botol sosro untuk :

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

Y Y

) (

Y Y

)

(

Y Y

) (

Y Y

)

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y r − + − + + − + − − − + − − + + − − + − − = 72 2 71 2 2 2 1 72 71 71 70 3 2 2 1 1 ... ...

(

)(

) (

)(

)

(

12766

58015,38

) (

12367

58015,38

)

...

...

38

,

8015

5

16852

38

,

8015

5

12367

38

,

8015

5

12367

58015,38

12766

2 2 1

+

−

+

−

+

−

−

+

−

−

=

r

(

)(

) (

)(

)

(

) (

2

)

2

58015,38

104230

58015,38

116163

...

38

,

58015

104230

38

,

58015

116163

38

,

58015

116163

38

,

58015

110721

...

−

+

−

+

−

−

+

−

−

+

0,895434

1

=

r

Dengan cara yang sama, nilai-nilai koefien autokorelasi data penjualan produksi teh botol sosro dapat diperoleh seperti pada lampiran 3.

Untuk melihat apakah data sudah stasioner atau belum, dapat dilihat dari nilai koefisien autokorelasi (lampiran 3)(pada hal.57) yang berbeda nyata dari nol yaitu nilai koefisien yang masih diluar batas interval. Koefisien autokorelasi dari data acak mempunyai

distribusi sampling yang mendekati kurva normal baku dengan nilai tengah (mean) nol dan kesalahan standar

n

1

. Suatu deret bersifat acak apabila koefisien korelasinya berada dalam

batas interval

Z

SE

( )

r

_k

r

_k

Z

SE

( )

r

_k 2

2 α

α

≤

≤

−

atau

_











≤

≤













−

n

Z

r

n

Z

1

_k

1

2

2 α

α . Maka

batas interval untuk data penjualan produksi teh botol sosro dengan n = 72, maka 95% dari

seluruh koefisien autokorelasi harus berada pada :

_











≤

≤













−

72

1

96

,

1

72

1

96

,

1

r

_k atau

berada pada batas nilai

−

0

,

231

≤

r

_k

≤

0

,

231

. Terlihat bahwa masih kurang dari 95% nilai koefisien autokorelasi data penjualan yang berada dalam batas interval yaitu pada lag-1 (0,895434), lag-2 (0,846844), lag-3 (0,824277), lag-4 (0,744387), lag-5 (0,73568), lag-6 (0,73466), lag-7 (0,673896), lag-8 (0,63796), lag-9 (0,609394), lag-10 (0,517599), lag-11 (0,487841), lag-12 (0,45885), lag-13 (0,380986), lag-14 (0,34325). Hal ini menyatakan bahwa data belum stasioner.

Plot koefisien autokorelasi dan plot autokorelasi parsial data penjualan dapat dilihat pada Gambar 2 dan Gambar 3 berikut :

70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 - 0. 2 - 0. 4 - 0. 6 - 0. 8 - 1. 0

La g Au toc orr ela tio n

Aut ocor r e l a t i on Funct i on f or Da t a Pe nj ua l a n ( w it h 5% signif icance lim it s f or t he aut ocor r elat ions)

Gambar 2. Plot Autokorelasi Data Penjualan

70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 - 0. 2 - 0. 4 - 0. 6 - 0. 8 - 1. 0

La g Pa rti al Au toc orr ela tio n

Pa r t i a l Aut ocor r e l a t i on Funct i on f or Da t a Pe nj ua l a n ( w it h 5% signif icance lim it s f or t he par t ial aut ocor r elat ions)

Untuk mengatasi ketidakstasioneran dalam varians maka dapat dilakukan transformasi logaritma sedangkan untuk mengatasi ketidakstasioneran dalam rataan dapat dilakukan pembedaan. Data hasil transformasi dapat dilihat pada lampiran 5 (pada hal.59) dan data hasil pembedaan pertama dapat dilihat pada lampiran 6 (pada hal.60). Selanjutnya data yang dianalisa adalah data hasil transformasi logaritma natural.

Plot data hasil transformasi dan plot data pembedaan pertama dapat dilihat pada gambar 4 dan gambar 5 berikut ini :

Gambar 4. Plot Data Hasil Transformasi Logaritma Natural

Gambar 5. Plot Data Pembedaan Pertama

Selanjutnya dihitung nilai koefisien autokorelasi data pembedaan pertama (lampiran 7)(pada hal.61) dan nilai koefisien autokorelasi parsial data pembedaan pertama (lampiran 8)(pada hal 62). Plot autokorelasi dan autokorelasi parsial data pembedaan pertama dapat dilihat pada gambar 6 dan gambar 7. Dari plot autokorelasi data pembedaan pertama dapat dilihat dengan jelas adanya pengaruh musiman, hal ini terlihat pada nilai koefisien autokorelasi untuk lag-3, lag-6, lag-9 dan selanjutnya yang signifikan. Oleh karena pendekatan metode Box-Jenkins mengasumsikan bahwa data yang dianalisa bersifat stasioner, maka langkah selanjutnya menstasionerkan data tersebut.

70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 - 0. 2 - 0. 4 - 0. 6 - 0. 8 - 1. 0

La g Au toc orr ela tio n

Aut ocor r e l a t i on Funct i on f or Da t a Pe mbe da a n

( w it h 5% signif icance lim it s f or t he aut ocor r elat ions)

Gambar 6. Plot Autokorelasi Data Pembedaan Pertama

70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 - 0. 2 - 0. 4 - 0. 6 - 0. 8 - 1. 0

La g Pa rti al Au to co rre lat ion

Par t i al Aut ocor r el at i on Funct i on f or Dat a Pembedaan

( w it h 5% signif icance lim it s f or t he par t ial aut ocor r elat ions)

Gambar 7. Plot Autokorelasi Parsial Data Pembedaan Pertama Seperti terlihat pada plot autokorelasi nilai-nilai yang signifikan adalah nilai-nilai dengan pola musiman dengan periode musiman 3 periode. Oleh karena itu untuk menstasionerkannya dilakukan pembedaan yang musiman.

(

)

t

t B Y

W = 1− 3

Dengan :

t

W

= deret yang sudah dideferensi dengan ordo d

B = Operator penggerak mundur (backward shift operator)

t

Y

= Data aktual

Data hasil pembedaan musiman pertama dapat dilihat pada lampiran 9 (lihat pada hal.64). Selanjutnya dihitung nilai koefisien autokorelasi data pembedaan musiman pertama dan nilai koefisien autokorelasi parsial data pembedaan musiman pertama, dapat dilihat pada lampiran 10 (pada hal.64) dan lampiran 11 (pada hal.65).

Jika data sudah stasioner maka nilai koefisien autokorelasi akan menurun mendekati nol sesudah lag ke-2. Dari lampiran 10 (lihat pada hal.64) nilai koefisien autokorelasi pada lag ke-2 turun mendekati nol yaitu (0,028755) hal ini menyatakan data pembedaan musiman pertama telah stasioner. Untuk lebih meyakinkan bahwa data sudah stasioner, dapat dilihat dari nilai koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial data pembedaan musiman pertama dengan melihat nilai-nilai koefisien autokorelasi berada dalam batas interval yang ditentukan dengan menggunakan persamaan :

( )

r

k

r

k

Z

SE

( )

r

k

SE

Z

2

2 α

α

≤

≤

−

atau

_











≤

≤













−

n

Z

r

n

Z

1

_k

1

2

2 α

α

Dengan :

n = Jumlah sampel

=

k

r

koefisien autokorelasi

Maka didapat batas interval :













≤

≤













−

n

r

n

k

1

96

,

1

1

96

,

1

yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%,

maka 95% dari seluruh koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial yang didasarkan atas sampel harus terletak didalam interval tersebut. Untuk data hasil pembedaan musiman pertama dengan n = 69, maka 95% dari seluruh koefisien autokorelasi harus berada pada interval :













≤

≤













−

n

Z

r

n

Z

1

_k

1

2

2 α

α menjadi 

     ≤ ≤       − 69 1 96 , 1 69 1 96 ,

1 r_k atau

berada pada batas nilai

−

0

,

236

≤

r

_k

0

,

236

.

Plot autokorelasi dan autokorelasi parsial data pembedaan musiman pertama dapat dilihat pada Gambar 8 dan Gambar 9 berikut :

Lampiran 14

Luas Area di Bawah Kurva Normal

Nilai di dalam tabel merupakan proporsi luas di bawah keseluruhan kurva yang terletak di

antara z = 0 dan suatu nilai positif z. Luas area untuk nilai z yang negative didapat secara

simetris.

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 0,0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159 .3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713 .4772 .4821 .4861 .4893 .4918 0,0040 .0438 .0832 .1217 .1591 .1950 .2291 .2611 .2910 .3186 .3438 .3665 .3869 .4049 .4207 .4345 .4463 .4564 .4649 .4719 .4778 .4826 .4864 .4896 .4920 0,0080 .0478 .0871 .1255 .1628 .1985 .2324 .2642 .2939 .3212 .3461 .3686 .3888 .4066 .4222 .4357 .4474 .4563 .4656 .4726 .4783 .4830 .4868 .4898 .4922 0,0120 .0517 .0910 .1293 .1664 .2019 .2357 .2673 .2967 .3238 .3485 .3708 .3907 .4082 .4236 .4370 .4484 .4582 .4664 .4732 .4788 .4834 .4871 .4901 .4925 0,0160 .0557 .0948 .1331 .1700 .2054 .2389 .2704 .2995 .3264 .3508 .3729 .3925 .4099 .4251 .4382 .4495 .4591 .4671 .4738 .4793 .4838 .4875 .4904 .4927 0,0199 .0596 .0987 .1368 .1736 .2088 .2422 .2734 .3023 .3289 .3531 .3749 .3944 .4115 .4265 .4394 .4505 .4599 .4678 .4744 .4798 .4842 .4878 .4906 .4929 0,0239 .0636 .1026 .1406 .1772 .2123 .2454 .2764 .3051 .3315 .3554 .3770 .3962 .4131 .4279 .4406 .4515 .4608 .4686 .4750 .4803 .4846 .4881 .4909 .4931 0,0279 .0675 .1064 .1443 .1808 .2157 .2486 .2794 .3078 .3340 .3577 .3790 .3980 .4147 .4292 .4418 .4525 .4616 .4693 .4756 .4808 .4850 .4884 .4911 .4932 0,0319 .0714 .1103 .1480 .1844 .2190 .2517 .2823 .3106 .3365 .3599 .3810 .3997 .4162 .4306 .4429 .4535 .4625 .4699 .4761 .4812 .4854 .4887 .4913 .4934 0,0359 .0753 .1141 .1517 .1879 .2224 .2549 .2852 .3133 .3389 .3621 .3830 .4015 .4177 .4319 .4441 .4545 .4633 .4706 .4767 .4817 .4857 .4890 .4916 .4936

2,5

2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

.4938

.4953 .4965 .4974 .4981 4987

.4940

.4955 .4966 .4975 .4982 .4987

.4941

.4956 .4967 .4976 .4982 .4987

.4943

.4957 .4968 .4977 .4983 .4988

.4945

.4959 .4969 .4977 .4984 .4988

.4946

.4960 .4970 .4978 .4984 .4989

.4948

.4961 .4971 .4979 .4985 .4989

.4949

.4962 .4972 .4979 .4985 .4989

.4951

.4963 .4973 .4980 .4986 .4990

.4952

.4964 .4974 .4981 .4986 .4990

Sumber: Donald J. Koosis, Business Statistics. New York: John Wiley & Sons Inc., 1972.

Lampiran 15

Nilai-nilai Kritis Dari Statistik Chi-Kuadrat

Kolom pertama merupakan angka derajat bebas. Judul pada kolom lainnya merupakan probabilitas (P) untuk yang melebihi

χ

2 nilai di dalam tabel.

df P

0,050 0,025 0,010 0,005

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

20 21 22

3,84146 5,99147 7,81473 9,48773

11,0705 12,5916 14,0671 15,5073 16,9190

18,3070 19,6751 21,0261 22,3621 23,6848

24,9958 26,2962 27,5871 28,8693 30,1435

31,4104 32,6705 33,9244

5,02389 7,37776 9,34840 11,1433

12,8325 14,4494 16,0128 17,5346 19,0228

20,4831 21,9200 23,3367 24,7356 26,1190

27,4884 28,8454 30,1910 31,5246 32,8523

34,1696 35,4789 36,7807

6,63490 9,21034 11,3449 13,2767

15,0863 16,8119 18,4753 20,0902 21,6660

23,2093 24,7250 26,2170 27,6883 29,1413

30,5779 31,9999 33,4087 34,8053 36,1908

37,5662 38,9321 40,2894

7,87944 10,5966 12,8381 14,8602

16,7496 18,5476 20,2777 21,9550 23,5893

25,1882 26,7569 28,2995 29,8194 31,3193

32,8013 34,2672 35,7185 37,1564 38,5822

39,9968 41,4010 42,7956

23 24

25 26 27 28 29

30 40 50 60

70 80 90 100

35,1725 36,4151

37,6525 38,8852 40,1133 41,3372 42,5569

43,7729 55,7585 67,5048 79,0819

90,5312 101,879 113,145 124,342

38,0757 39,3641

40,6465 41,9232 43,1944 44,4607 45,7222

46,9792 59,3417 71,4202 83,2976

95,0231 106,629 118,136 129,561

41,6384 42,9798

44,3141 45,6417 46,9630 48,2782 49,5879

50,8922 63,6907 76,1539 88,3794

100,425 112,329 124,116 135,807

44,1813 45,5585

46,9278 48,2899 49,6449 50,9933 52,3356

53,6720 66,7659 79,4900 91,9517

104,215 116,321 128,299 140,169

Lampiran 16

Nilai-nilai Kritis Untuk Statistik – t

Kolom pertama merupakan angka derajat bebas (k). Judul dari kolom lainnya merupakan probabilitas (P) untuk t yang melebihi nilai di dalam tabel. Gunakan sifat simetris untuk nilai t negatif.

df P

0,10 0,005 0,025 0,01 0,005

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476

1,440 1,415 1,397 1,383 1,372

1,363 1,356 1,350 1,345 1,341

1,337 1,333 1,330 1,328 1,325

1,323 1,321 1,319

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015

1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

1,796 1,782 1,771 1,761 1,753

1,746 1,740 1,734 1,729 1,725

1,721 1,717 1,714

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571

2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

2,201 2,179 2,160 2,145 2,131

2,120 2,110 2,101 2,093 2,086

2,080 2,074 2,069

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365

3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

2,718 2,681 2,650 2,624 2,602

2,583 2,567 2,552 2,539 2,528

2,518 2,508 2,500

63,657 9,925 5,841 4,604 4,032

3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

3,106 3,055 3,012 2,977 2,947

2,921 2,898 2,878 2,861 2,845

2,831 2,819 2,807

24 25

26 27 28 29 30

40 60 120

∞

1,318 1,316

1,315 1,314 1,313 1,311 1,310

1,303 1,296 1,289 1,282

1,711 1,708

1,706 1,703 1,701 1,699 1,697

1,684 1,671 1,658 1,645

2,064 2,060

2,056 2,052 2,048 2,045 2,042

2,021 2,000 1,980 1,960

2,492 2,485

2,479 2,473 2,467 2,462 2,457

2,423 2,390 2,358 2,326

2,797 2,787

2,779 2,771 2,763 2,756 2,750

2,704 2,660 2,617 2,576