Matematika Sekolah Menengah Trigonometri. doc
TUGAS KELOMPOK
MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH
“TRIGONOMETRI”
O L E H
ISABELA YULITA DAMI
JEFRIANUS KOLIMO
JEMMY VALENTINO MATARA
JENNY YULIA KOROH
MARIA SECILDA TONA
MERISTO BANUNAEK
NORBERTUS M. NGONGO
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2015
SEJARAH TRIGONOMETRI
1. Pengertian Trigonometri
Trigonometri berasal daro bahasa Yunani yaitu tri artinya tiga, gonomon
artinya sudut dan metria yang artinya ukuran jadi. Jadi, trigonometri adalah
pengukuran sudut segitiga. Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah
ciptaan orang arab. Oleh karena itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang
menggunakan istilah dari Arab.
2. Awal Kemunculan Trigonometri
Walaupun pada mulanya trigonometru dikaji sebagai cabang astronomi tetapi
akhirnya trigonometri berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Perkembangan
awal trogonometri terbukti digerakkan disebabkan keperluan penyelesaian
masalah astronomi. Kemunculan trigonometri merupakan proses yang perlahan.
Jika dibandingkan dengan cabang matematika lain, trigonometri berkembambang
disebabkan hubungan antara pendidikan matematika terapan dengan keperluan
sains dalam bidang astronomi. Hubungan ini dianggap saling berkait, tetapu
tersembunyi sehingga zaman Renaissans trigonometri dijadikan sebagai topik
tambahan dalam astronomi.
1. Perkembangan dan Tokoh-Tokoh Trigonometri
Trigonometri sebagai alat utama astronomi telah menjadi bidang kajian yang
sangat diminati oleh ahli-ahli matematika islam sehingga trigonometri dapat
berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Orang islam adalah orang yang
pertama kali menekankan pengkajian prinsip-prinsip cahaya. Ia adalah alHaitham, yang telah menulis risalah-risalah penting tentang topik. Al-Haitham
membina bentuk awal prinsip-prinsip cahaya yang akhirnya menjadi hukum snell
tentang pembiasan cahaya. Prinsip oprik al-Haitham memberu sesuatu insipirasi
supaya perhatian terhadap astronomi dan trigonometri lebih diutamakan. Berikut
ini beberapa nama tokoh dalam trigonometri :
a.
b.
Al-Khawarizmi
Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh matematika besar yang [ernah
dilahirkan islam dan disumbangkan pada peradaban dunia. Mungkin tak
seratus tahun sekali akan lahir kedunia orang-orang seperti beliau. AlKhawarizmi selain terkenal dengan teori algoritmanya, beliau juga
membangun teori-teori matematika lain. dalam bidang trigonometri beliau
menemukan pemakaian sin, cos, tangent dan secan.
Al-Battani
Nama lengkap al-Battani adalah Mohammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu
Abdullah Al-Battani, dilahirkan di Battan Mesopotamia pada tahun 850 M
dan meninggal meninggal dunia di Damsyik pada tahun 929 M. Beliau
adalah putera raja Arab, juga gubernur Syria yang dianggap sebagai ahli
astronomi dan ahli matematika islam yang tekemuka. Al-Battani yang
bertanggung
jawab
memperkenalkan
konsep-konsep
modern,
perkembangan fungsi-fungsi dan identity trigonometri. Beliau biasanya
menggunakan formula sinus dengan lebih jelas dibandingkan penjelasan
dari orang Yunani. Beliau juga menemukan rumus-rumus sebagai berikut :
c.
Abu al-Wafa
Nama lengkapnya adalah Abu al-Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn
Yaya Ibn Ismail al-Buzjani lahir di Buzjan, Nishapur, Iraq tahun 940 M.
sejak kecil, kecerdasannya sudah mulai nampak dan hal tersebut ditunjang
dengan minatnya yang besar di bidang ilmu alam. Setelah berhasil
menyelesaikan pendidikan dasar dan menengahnya, Abu al-Wafa
memutuskan untuk meneruskan ke jenjang yang lebih tinggi di Baghdad
pada tahun 959 M. Berkat bimbingan sejumlah ilmuwan terkemuka masa
itu, tak berapa lama ia menjelma menjadi seorang pemuda yang berotak
cemerlang. Dia pun lantas banyak membantu para ilmuwan serta secara
pribadi mengembangkan teori terutama dalam bidang trigonometri.
Konstruksi bangunan trigonometri versi abu al-Wafa diakui sengat besar
manfaatnya. Beliau mengembangkan metode baru tentang konstruksi segi
empat serta perbaikan nilai sinus 30 dengan memakai delapan decimal. Abu
al-Wafa pun mengembangkan hubungan sinus dengan rumus dan Banyak
buku dan karya ilmiah telah dihasilkannya dan mencakup banyak bidang
ilmu. Namun, tak banyak karyanya yang tertinggal hingga saat ini.
Sejumlah karyanya hilang, sedang yang masih ada sudah dimodifikasi. Abu
al-Wafa juga banyak menuangkan karya tulisnya di jurnal ilmiah Euclid,
Diophantus dan al-Khawarizmi, tetapi sayangnya banyak yang telah hilang.
Karena konstribusinya yang besar terhadap bidang trigonometri, beliau
dijuluki sebagai peletak dasar ilmu trigonomteri.
d.
Ibn al-Shatir
Nama lengkapnya adalah ‘Ala al-Din Ali Ibn Ibrahim Ibn al-Muwaqit, lahir
pada tahun 1306 M dan meninggal tahun 1375. karyanya tertuang dalam
rasad ibn shatir (pemerhati ibn shatir).
Selanjutnya, penemuan-penemuan tentang rumus dasar trigonometri oleh para
tokoh ilmuwan muslim adalah sebagai berikut :
a. Al Buzjani
Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail al
Buzjani, merupakan satu di antara sekian banyak ilmuwan Muslim yang turut
mewarnai khazanah pengetahuan masa lalu. Dia tercatat sebagai seorang ahli
di bidang ilmu matematika dan astronomi. Kota kecil bernama Buzjan,
Nishapur, adalah tempat kelahiran ilmuwan besar ini, tepatnya tahun 940 M.
Sejak masih kecil, kecerdasannya sudah mulai nampak dan hal tersebut
ditunjang dengan minatnya yang besar di bidang ilmu alam. Masa sekolahnya
dihabiskan di kota kelahirannya itu.
Konstruksi bangunan trigonometri versi Abul Wafa hingga kini diakui
sangat besar kemanfaatannya. Dia adalah yang pertama menunjukkan adanya
teori relatif segitiga parabola. Tak hanya itu, dia juga mengembangkan metode
baru tentang konstruksi segi empat serta perbaikan nilai sinus 30 dengan
memakai delapan desimal. Abul Wafa pun mengembangkan hubungan sinus
dan formula 2 sin2 (a/2) = 1 - cos a dan juga sin a = 2 sin (a/2) cos (a/2)
b. Abu Nasr Mansur
Nama lengkap dari Abu Nasr Mansur adalah Abu Nasr Mansur ibnu
Ali ibnu Iraq atau akrab disapa Abu Nasr Mansur (960 M – 1036 M). Abu
Nasr Mansur terlahir di kawasan Gilan, Persia pada tahun 960 M. Hal itu
tercatat dalam The Regions of the World, sebuah buku geografi Persia
bertarikh 982M.
Pada karya trigonometrinya, Abu Nasr Mansur menemukan hukum
sinus sebagai berikut: a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C.
Selanjutnya seiring dengan perkembangan ilmu matematika, rumusrumus trigonometri yang biasa dipakai dalam ilmu matematika adalah sebagai
berikut:
a. Rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut
Cos (A+B)= cos A cos B – sin A sin B
Cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
b. Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut
Sin (A+B)= sin A cos B + cos A sin B
Sin ( A-B)= sin A cos B - cos A sin B
c. Rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut
Tan ( A + B ) =
tan A + tan B
1−tan A tan B
Tan ( A - B ) =
tan A−tan B
1+ tan A tan B
d. Rumus sinus sudut rangkap
Sin 2A = 2 sin A cos A
Sin 3A = 3 sin A - 4 sin 3A
e. Rumus kosinus sudut rangkap
Cos 2A = cos 2 A−sin2 A = 1=2
2
cos A−1
Cos 3A = 4 cos A – 3 cos A
2
2 sin A
f. Rumus tangent sudut rangkap
Tan 2 A =
2 tan A
1−tan 2 A
Tan 3 A =
3 tan A−tan3 A
1−3 tan 2 A
g. Rumus sudut tengahan
√
√
1
1−cos A
A=±
2
2
1
1+cos A
Cos
A=±
2
2
Sin
√
1
1+cos A
A=±
2
1+cos A
1−cos A
sin A
Tan
=
sin A
1+cos A
h. Rumus perkalian kosinus
2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )
i. Rumus perkalian sinus dan sinus
2 sin A sin B = - cos ( A + B ) + cos ( A - B )
=
j. Rumus perkalian sinus dan kosinus
2 cos A sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B )
2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )
k. Aturan hukum sinus
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
l. Aturan/hokum kosinus
2
2
2
a = b +c −2 bc cos A
b2 = a2 +c 2−2 ac cos B
2
2
2
c = a +b −2 ab cos C
m. Rumus penjumlahan dan pengurangan kosinus
Sin A + sin B = 2 sin
1
2
( A + B) cos
1
2
1
2
( A + B) sin
1
2
( A - B)
Sin A - sin B = 2 cos
( A + B)
cos A + cos B = 2 cos
1
2
1
2
( A + B) cos
( A - B)
cos A - cos B = -2 sin
1
2
( A + B) sin
1
2
( A - B)
Rumus-rumus trigonometri yang tersebut di atas adalah rumus hasil
kombinasi dan relasi antara rumus trigonometri yang satu dengan rumus
trigonometri yang lainnya. Dalam beberapa buku referensi yang berbeda
namun masih pada bahasan yang sama yaitu trigonometri, ditemukan beberapa
metode yang berbeda untuk mendapatkan rumus-rumus tersebut. Hal demikian
sah-sah saja, karena masing-masing ahli matematika punya asumsi-asumsi
yang berbeda dalam menafsirkan rumus itu. Namun demikian, tentunya
mereka masih menggunakan kaidah-kaidah yang sama, yaitu aturan geometri,
relasi dan kombinasi dalam menafsirkan rumus-rumus trigonometri.
Namun, dalam kaitannya dengan penelitian ini peneliti hanya
menyoroti relasi antara trigonometri dengan bidang astronomi atau ilmu falak.
Diantaranya adalah dalam teori penentuan arah kiblatnya yaitu teori
trigonometri bola (spherical trigonometry), teori geodesi dan teori navigasi.
KONSEP TRIGONOMETRI
Pengertian
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah
sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometri
seperti sinus, cosinus, dan tangen.
Konsep
Trigonometri merupakan cabang matematika yang mengkaji bangun segitiga,
khususnya pada bidang datar yang salah satu sudutnya adalah 90 0 yang menjadi dasar dari
kajiannya adalah hubungan antara sudut-sudut dan sisi-sisinya. Hubungan tersebut dinyatakan
sebagai fungsi-fungsi trigonometri.
Prinsip atau konsep dasar trigonometri terletak pada tiga objek yaitu : sudut, lingkaran dan
segitiga siku-siku.
LINGKARAN
Definisi : Lingkaran adalah himpunan semua titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu yang disebut titik pusat. Jarak yang sama tersebut disebut jarijari.
Perhatikan gambar berikut:
Gambar ini adalah juring
lingkaran atau bagian
lingkaran
Pada juring terdapat sudut, sudut tersebut didefinisikan sebagai ∠ POQ=∠ QOP=∠ a .
SATUAN UKURAN SUDUT
Ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan
radian. Tanda “0”
dan “ rad ” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian.
Singkatnya, putaran penuh =
dibentuk oleh
360
0
, atau
1
0
didefenisikan sebagai besarnya sudut yang
1
kali putaran penuh.
360
Cermati gambar berikut:
Selanjutnya kita pelajari teori mengenai radian.
Perhatikan Gambar:
Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α yang panjang
busurnya sama dengan jari-jari.
Jika besar ∠ AOB=α , ^
AB=OA =OB , maka
α=
^
AB
=1 radian .
r
Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut ter-sebut dalam
satuan radian diselesaikan menggunakan rumus perbandingan: ∠ AOB=
^
AB
rad .
r
Hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad.
360
0
= 2 π rad atau 10 =
1
π rad ≈ 0,0175 radian atau 1rad =57,30 .
180
Perhatikan Segitiga ABC di samping. Pada pelajaran
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
mengenai kesebangunan gambar disamping dapat dilihat
sebagai tiga buah segitiga yang sebangun yaitu:
ABC; DEC; dan FGC.
Sehingga diperoleh:
AB DE FG
=
=
AC DC FC
Nilai dari perbandingan inilah yang kita sebut sebagai nilai Tangen dari sudut C, misalkan
sudut C adalah maka
θ=¿
AB DE FG
=
=
AC DC FC
tan ¿
Sedangkan nilai kesebangunan yang lain yaitu:
AB DE FG
=
=
BC EC GC
disebut sebagai nilai Sinus dari sudut C, sehingga:
θ=¿
AB DE FG
=
=
BC EC GC
sin ¿
Dan
AC DC FC
=
=
BC EC GC
Disebut sebagai nilai Cosinus dari Sudut C, sehingga:
θ=¿
AC DC FC
=
=
BC EC GC
cos ¿
Nilai kesebangunan yang lain yaitu:
BC EC GC
=
=
AB DE FG
Disebut sebagai nilai Cosecan (invers Sinus) dari sudut C, sehingga:
θ=¿
BC EC GC
=
=
AB DE FG
csc ¿
Nilai kesebangunan yang lain yaitu:
BC EC GC
=
=
AC DC FC
Disebut sebagai nilai Secan (invers Cosinus) dari sudut C, sehingga:
θ=¿
BC EC GC
=
=
AC DC FC
sec¿
Nilai kesebangunan yang lain yaitu:
AC DC FC
=
=
AB DE FG
Disebut sebagai nilai Cotangen (invers Tangen) dari sudut C, sehingga:
θ=¿
AC DC FC
=
=
AB DE FG
cot ¿
Definisi :
1. Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi depan sudut dengan sisi
miring, ditulis
sisi depan
sin θ=
sisimiring
2. Kosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi samping sudut dengan sisi
miring, ditulis
sisi samping
cos θ=
sisimiring
3. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di depan sudut dengan sisi di
samping sudut, ditulis
sisi depan
tan θ=
sisi samping
4. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi miring dengan sisi depan
sudut, ditulis
sisimiring
1
csc θ=
=
sisi depan sin A
5. Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi miring dengan sisi samping
sudut, dituls
sisimiring
1
sec θ=
=
sisi samping cos A
6. Cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan
sisi di depan sudut, ditulis
sisi samping
1
cot θ=
=
sisi depan
tan A
Untuk lebih mudah mengingat maka bisa disingkat dengan DEMI SuAMI di DESA.
Definisi ini tidak berlaku untuk sudut tumpul.
Jika siswa sudah mengetahui definisi ini, konsep matematika lain yang perlu diingat kembali
oleh siswa adalah teorema phytagoras dan pengenalan sisi miring , sisi depan dan sisi
samping sudut
Catatan : perlu diketahui bahwa yang disebut sisi pada suatu segitiga siku-siku tidak selalu
miring, tetapi sisi miring selalu dihadapan sudut siku-siku.
NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI
Dalam kajian trigonometri ada istilah sudut istimewa, yang artinya sudut-sudut yang nilai
perbandingan trigonometri dapat ditentukan secara eksak.
1.
Nilai perbandingan fungsi trigonometri sudut istimewa
Perhatikan persegi ABCD dengan sisi-sisi 1 satuan
panjang.
Sehingga
dengan
memanfaatkan
Pythagoras diperoleh panjang diagonal AC=
aturan
√2 .
Sekarang perhatikanlah segitiga siku-siku ABC siku-siku
di B. Karena persegi ABCD sama sisi maka besarnya
BAC= 45 0 .
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri yang sudah dibahas maka diperoleh:
sin 450 =
BC 1
=
AC √ 2
cos 450=
AB 1
=
AC √ 2
0
tan 45 =
BC 1
= =1
AB 1
Pandang segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi
adalah 2 satuan panjang. Jika dari C ditarik garis
tinggi CT yang tegak lurus pad sisi AB maka diperoleh
AT=BT=1. Perhatikan Segitiga siku-siku BTC yang
siku-siku
di
T.
Dengan
menggunakan
Pythagoras diperoleh panjang CT =
√3 .
aturan
Dengan cara yang sama mencari perbandingan trigonometri sebelumnya akan diperoleh:
sin 30 =
BT 1
=
BC 2
cos 300 =
CT 1
= √3
BC 2
0
tan 300 =
BT 1 1
= = √3
CT √ 3 3
Masih dengan segitiga yang sama BTC, sekarang perhatikan untuk B=600
perbandingan trigonometri akan diperoleh:
sin 600=
CT √ 3 1
= = √3
BC 2 2
cos 600 =
0
tan 60 =
BT 1
=
BC 2
CT √ 3
= =√ 3
BT 1
Untuk sudut
00 dan
900 perhatikan lingkaran pada sumbu kartesius di bawah yang
memiliki jari-jari 1 satuan panjang. Perhatikan jari-jari
r=1
yang membantuk sudut
terhadap sumbu x.
Jika r membentuk sudut 00 maka r berimpit
dengan sumbu
x, sehingga perbandingan
trigonometrinya diperoleh:
0
0
sin 0 = =0
1
1
cos 0 0= =1
1
0
tan 0 0= =0
1
Untuk sudut
90
0
, maka jari-jari r akan berimpit dengan sumbu y, sehingga untuk
perbandingan trigonometrinya diperoleh:
1
sin 900= =1
1
0
0
cos 90 = =0
1
1
tan 9 0 0= =
0
Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri sudut-sudut Istimewa:
Sudut
α
0
0
60
0
90
0
Cos α
Tan α
0
1
2
1
0
1
√3
2
1
√2
2
1
2
0
1
√3
3
0
30
45
Sin α
0
1
√2
2
1
√3
2
1
1
√3
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU DI BERBAGAI KUADRAN
Nilai semua perbandingan fungsi trigonometri akan dipelajari pada setiap kuadran
pada koordinat kartesius. Mari kita pahami melalui pembahasan berikut
Misalkan titik
A ( x , y ) , panjang OA=r
dan sudut
AOX =α
Perhatikan gambar di bawah, dari segitiga siku-siku yang terdapat si kuadran I,
Gambar segitiga siku-siku
yang berad di kuadran I
y
r
x
cos α =
r
y
tan α =
x
sin α =
AOX
Dengan mempertimbangkan semua kombinasi koordinat titi pada koordinat kartesius, kita
dapat telusuri perbedaan nilai tanda untuk ketiga perbandingan trigonometri yang utama.
Gambar segitiga siku-siku
yang berad di kuadran II
AOX
Gambar segitiga siku-siku
yang berad di kuadran III
Gambar segitiga siku-siku
yang berada di kuadran IV
AOX
AOX
Dari gambar ini, kita dapat merumuskan nilai perbandingan trigonometri disetiap kuadran
Sudut 300, 450, 600, 900 merupakan sudut istimewa di kuadran I. Selanjutnya (1200,
1350, 1500, 1800), (2100, 2250, 2400, 2700), (3000, 3150, 3300, 3600) berturut-turut adalah
sudut-sudut istimewa dikuadran ke-II, ke-III dank e-IV.
2. Nilai perbandingan fungsi trigonometri untuk sudut lainnya
Untuk sudut-sudut yang tidak istimewa, menghitung nilai fungsi trigonometrinya bisa
dengan mengukur besar sudut kemudian mengukur panjang sisi-sisi segitiga sehingga
bisa didapat nilainya.namun cara ini membutuhkan waktu yang lama sehingga untuk
menentukan nilai fungsi trigonometri sudut tidak itimewa biasanya menggunakan tabel
atau calculator scientific.
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Dari nilai fungsi trigonometri tersebut, di peroleh identitas trigonometri. Identitas
trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk
setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri dibagi atas tiga
yaitu identitas kebalikan, identitas perbandingan, dan identitas phytagoras. Yang masingmasing memiliki fungsi dasar yaitu
Identitas kebalikan
csc A=
sec A=
Identitas perbandingan
1
sin A
tan A=
1
cos A
sin A
cos A
cos A
cot A=
sin A
1
cot A=
tan A
Identitas phytagoras
2
2
sin A +cos A=1
1+tan 2 A=sec 2 A
2
Bukti:
tan α =
sin α
cos α
Dari gambar disamping, kita peroleh
sin α =
y
r
cos α =
x
r
Sehingga nilai perbandingan dari sin α
dan cos α dinyatakan sebagai :
y
sin α r y
= =
cos α x x
r
Sedangkan tan α
¿
Sehingga berlaku bahwa
y
x
sin α y
= =tan α (terbukti)
cos α x
2
1+cot A=csc A
2
2
sin α +cos α=1
Dari gambar diatas kita ketahui sin α=
2
= ( sin α )( sin α
y y
=
r r
y2
=
.
2
r
x2
α =¿ 2
dan tan 2 α =
r
cos2 ¿
Sehingga
y2 x2
α + cos2 α =¿ 2 + 2
r r
2
sin ¿
y2 + x2
¿ 2
r
2
r
¿ 2
r
¿1
Jadi, sin2 α +cos 2 α=1
sin α
y
r
, maka
)
( )( )
y2
.
x2
(terbukti).
Dari persamaan diatas bisa kita temukan turunan rumus lainnya
1
, kedua ruas dikali
sin2 α +cos 2 α=1
cos2 α
sin 2 α cos2 α
1
+ 2 =
2
cos α cos α cos 2 α
2
2
tan α + 1=sec α (terbukti)
Dari persamaan diatas bisa kita temukan turunan rumus lainnya
1
2
2
, kedua ruas dikali
sin α +cos α=1
sin2 α
sin2 α cos 2 α
1
+ 2 = 2
2
sin α sin α sin α
2
2
1+cot α =csc α (terbukti)
RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT YANG BERELASI
Dari gambar disamping diketahui Titik P1(x1,y1) bayangan dari
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90), (180), (360),
P(x,y) akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh:
dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku
a. XOP = dan XOP1 = 90-
(komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90- ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut
b. x1 = y, y1 = x dan r1 = r
dengan (180- ). Contoh: penyiku sudut
50adalah
40, pelurus
sudutdi110adalah
70.
Dengan
menggunakan
hubungan
atas dapat diperoleh:
y )x
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut
dengan
( 900 −α(90)= 1=
sin
=cos α
a.
r1 r
x1 y
0
b. cos ( 90 −α )= = =sin α
r1 r
y x
tan ( 900−α )= 1 = =cot α
c.
x1 y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan
(90- ) dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180- )
Berdasarkan
gambar
P1( x 1 , y 1)
titik
P( x , y )
diatas
,
Titik
adalah bayangan dari
akibat
pencerminan
terhadap sumbu y, sehingga
∠ XOP=a dan
a.
∠ XOP 1
180 °−a
b.
maka diperoleh hubungan:
a.
b.
c.
y1 y
= =sin α
r1 r
x −x
cos ( 1800 −α )= 1 =
=−cos α
r1
r
y
y
tan ( 1800 −α )= 1 =
=−tan α
x 1 −x
sin ( 1800−α ) =
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
x 1=−x , y 1= y dan r 1=r
=
3.
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180+ )
Dari gambar 2.9 titik
bayangan dari titik
terhadap garis
P1( x 1 , y 1)
P( x , y ) akibat pencerminan
y=−x , sehingga
a. ∠ XOP=a dan ∠ XOP 1=180 ° +a
b. x 1=−x , y 1=− y
maka diperoleh hubungan:
a.
b.
c.
y1 − y
=
=−sin α
r1
r
x 1 −x
0
cos ( 180 + α ) = =
=−cos α
r1
r
y −y
tan ( 1800 + α ) = 1 =
=tan α
x 1 −x
sin ( 1800 +α )=
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
4.
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )
adalah
dan r 1=r
Dari
gambar
P1( x 1 , y 1)
diatas
diketahui
bayangan dari
titik
P (x , y )
akibat pencerminan terhadap sumbu x,
sehingga
a. ∠ XOP=a dan ∠ XOP 1=−a
b.
x 1=x , y 1=−y
dan r 1=r
maka diperoleh hubungan
a.
b.
c.
y 1 −y
=
=−sin α
r1
r
x1 x
cos (−α )= = =cos α
r1 r
y −y
tan (−α )= 1 =
=−tan α
x1
x
sin (−α )=
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
Untuk relasi
α dengan
3600−α , misalnya sin
−α
tersebut identik dengan relasi
α dengan
(360 °−a)=−sin a .
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Untuk menyelesaikan masalah grafik fungsi trigonometri yang perlu dipahami adalah grafik
dasar fungsi trigonometri. Setelah mengetahui grafik dasarnya, selanjutnya adalah bagaimana
transformasi dari grafik fungsi trigonometri dasarnya. Perubahan yang terjadi paga grafik
trigonomteri adalah amplitudo, periode, dan pergeseran atas-bawah serta kanan – kiri. Berikut
ini adalah grafik fungsi trigonometri dasar.
Grafik di atas merupakan grafik dasar fungsi trigometri. Grafik tersebut bisa
ditransformasi. Transformasinya bisa berupa penyempitan – perenggangan atau
pergeseran. Berikut ini transformasi dari grafik fungsi trigonometri.
Grafik fungsi trigonometri secara umum adalah sebagai berikut :
y = A sin b ( x ± α ) ± c
Keterangan
sin = jenis fungsi trigonometri
A = amplitudo / simpangan terjauh
b = banyak gelombang dari 0 sampai 2π ( Periode =
2π
b
)
α = grafik geser ke kiri ( + ) dan ke kanan
c = grafik geser ke atas ( + ) dan ke bawah ( - )
Setelah mengetahui konsep trigonometri untuk segitiga siku-siku, selanjutnya kita akan
belajar menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sebarang segitiga.
1.
ATURAN COSINUS
Aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang
berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah
satu
sudut
dalam
segitiga
tersebut.
Perhatikan
gambar
segitiga
di
kanan.
Aturan kosinus menyatakan bahwa
Dengan
adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang
berhadapan dengan sudut
. Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:
Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh
kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya.
Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut
dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:
Aturan Cosinus Pertama
2.
Aturan Cosinus Kedua
ATURAN SINUS
Dalam trigonometri, aturan sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di
udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan
bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan
Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya
diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1
dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan
2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan
menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian
valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama
dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan
Dapat ditunjukkan bahwa:
dimana s merupakan semi-perimeter
APLIKASI ATURAN COSINUS
Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang dua sisi dan
besar sudut yang diapitnya.
Aturan cosinus merumuskan hubungan kuadrat antara sisi-sisi suatu segitiga
sembarang dengan satu sudutnya.
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab.cos γ
Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga sisinya.
Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang.
Perumusan aturan cosinus, dapat juga dinyatakan dengan cara seperti berikut:
Cos A =
b2 +c 2−a2
2bc
Cos B =
a +c −b
2ac
Cos C =
a2 +b2−c2
2 ab
2
2
2
TURUNAN FUNGSI TRINONOMETRI
Turunan fungsi trigonometri di peroleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan
limit. Bagaimana mendapatkan turunan fungsi trigonometri ? dengan menggunakan definisi
turunan
1.
Turunan sinus
f ( x )=sin x
f ( x +h )=sin ( x +h )
Sehingga
f ( x +h ) −f (x )
f ' ( x )=lim
h
h→0
sin( x +h)−sin x
¿ lim
h
h→0
sin x cos h+cos x sin h−sin x
¿ lim
h
h→0
sin x cos h−sin x +cos x sin h
¿ lim
h
h→0
sin ( cos h−1 )+cos x sin h
¿ lim
h
h→0
cos h−1
sin h
¿ lim sin x
+cos x
h
h
h→0
cos h−1
sin h
¿ sin x lim
+cos x lim
h
h
h→ 0
h →0
¿ sin x ( 0 ) +cos x(1)
¿ cos x
[
]
2. Turunan cosinus
f ( x )=cos x
f ( x +h )=cos ( x+ h )
Sehingga
f ' ( x )=lim
h→0
f ( x +h ) −f (x )
h
¿ lim
h→0
cos ( x+ h)−cos x
h
¿ lim
cos x cos h−sin x sin h−cos x
h
¿ lim
cos x cos h−cos x−sin x sin h
h
¿ lim
cos x ( cos h−1 )−sin x sin h
h
h→0
h→0
h→0
[
¿ lim cos x
h→0
¿ cos x lim
h →0
cos h−1
sin h
−sin x
h
h
]
cos h−1
sin h
−sin x lim
h
h
h→0
¿ cos x ( 0 )−sin x (1)
¿−sin x
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk menyelesaikan integral-integral yang memiliki
bentuk
di mana m dan n adalah bilangan bulat positif. Untuk menemukan antiturunan dari bentukbentuk tersebut, pecahlah bentuk tersebut menjadi kombinasi dari integral trigonometri
sedemikian sehingga kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.
Sebagai contoh, kita dapat menyelesaikan integral berikut dengan memisalkan u = sin x.
Sehingga, du = cos x dx dan diperoleh,
Untuk menyelesaikan integral-integral trigonometri, gunakan identitas-identitas berikut agar
kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.
Sin2 + cos2 x = 1
Identitas Pythagoras
Sin2 x =
1−cos 2 x
2
Identitas sudut setengah untuk sin2 x
Cos2 x =
1+cos 2 x
2
Identitas sudut setengah untuk cos2 x
Ide untuk membuktikan integral ini adalah menggunakan langkah mundur.
Dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian
membuktikan
definisi turunan
∫ sin x dx=−cos x
ekuivalen dengan
d
cos u = -sin u. Untuk membuktikan turunan ini, bisa memanfaatkan
du
Jadi terbukti
A.
∫ sin u du=−cos u+C
Penerapan Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari
1.
Aplikasi Trigononomerti Pada Ilmu Astronomi
Trigonometri sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi, karena ukuran benda-benda
langit tidak mungkin diukur dengan menggunakan penggaris, pasti dihitung dengan bermain
skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat diestimasi ukurannya secara akurat. Rumus
2.
3.
4.
trigonometri sudut ganda digunakan untuk nilai-nilai ukuran sisi akibat sudut-sudut yang tidak
istimewa.
Aplikasi Trigonometri Pada Perkembangan Ilmu Teknik SipiL
Selain di bidang ilmu astronomi, trigonometri juga sangat erat kaitannya dengan
pekerjaan seorang surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Keahlian trigonometri seorang
surveyor sangat mempermudah pekerjaanya sehingga beliau tak perlu terjun langsung ke
medan-medan sulit.
Aplikasi Trigonometri pada Geografi dan Navigasi
Jenis trigonometri yang diperlukan untuk memahami posisi pada bola disebut
trigonometri bola. Trigonometri bola jarang di ajarkan sekarang karena tugasnya telah
diambil oleh aljabar linear. Meskipun demikian ,satu aplikasi trigonometri adalah
astronomi.
Aplikasi Trigonometri Berhubungan Dengan Ilmu Fisika
Pelajaran trigonometri dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari contoh trigonometri
dalam bentuk usaha. Dalam kehidupan sehari-hari, kata usaha dapat diartikan sebagai kegiatan
dengan mengerahkan tenaga atau pikiran untuk mencapai tujuan tertentu. Usaha dapat juga
dipakai sebagai pekerjaan untuk mencapai suatu tujuan tertentu.
Dalam trigonometri pengertian usaha hampir sama dengan pengertian usaha dalam
kehidupan sehari-hari. Kesamaannya adalah dalam hal kegiatan dengan mengerahkan
tenaga.
Usaha yang dilakukan oleh gayat etap (besar mau pun arahnya) didefinisikan sebagai
hasil perkalian antara perpindahan titik tangkapnya dengan komponen gaya pada arah
perpindahan tersebut.
B.
Contoh Soal
Contoh :
Seseorang yang ingin mengukur tinggi sebuah pohon, menara, gedung bertingkat ataupun
sesuatu yang memiliki ketinggian tertentu maka tidaklah mungkin secara fisik akan
mengukur dari bawah ke atas (puncak) obyeknya dengan menggunakan meteran.
Contoh Soal
1. Andi berdiri 8 m dari sebuah pohon. Ia melihat puncak tersebut sehingga membentuk
sudut 45o dan di arah berlawanan ternyata Rudi melakukan hal yang sama dengan
berdiri 6 m dari pohon tersebut. Diketahui tinggi andi dan rudi adalah 120 cm dan 160
cm. Tentukan:
a. Tinggi pohon.
b. Sudut yang terbentuk saat rudi melihat puncak pohon.
Jawab :
tan β ¿
°
t
8
tan 45 ¿
1¿
∎ po h on ter h adap rudi
t
8
9,2 m – 1,6 m=7,6 m
t
8
t=8 m
tan α
tan α
=
7,6
6
=
de
sa
tan α = 1,27
α = 51,78
a.
b.
Jadi tinggi pohon tersebut adalah = t + tinggi badan andi : 8m + 1,2m = 9,2m
Sudut yang terbentuk saatrudi melihat puncak pohon adalah 51,78
2. Suatu pesawat terbang mendatar dengan ketinggian 750 m dari permukaan laut(dpm).
Dibawahnya terdapat sebuah menara pengawas, jika diketahui sudut depresi pesawat terhadap
menara adalah 60o . Tentukan jarak horizontal pesawat ke menara ?
Jawab :
s
750
tan 60 ° =
s
√ 3 = 750
S = 750 √ 3
Jadi jarak horizontal peasawat tersebut ke menara adalah 750
√3 m
MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH
“TRIGONOMETRI”
O L E H
ISABELA YULITA DAMI
JEFRIANUS KOLIMO
JEMMY VALENTINO MATARA
JENNY YULIA KOROH
MARIA SECILDA TONA
MERISTO BANUNAEK
NORBERTUS M. NGONGO
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2015
SEJARAH TRIGONOMETRI
1. Pengertian Trigonometri
Trigonometri berasal daro bahasa Yunani yaitu tri artinya tiga, gonomon
artinya sudut dan metria yang artinya ukuran jadi. Jadi, trigonometri adalah
pengukuran sudut segitiga. Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah
ciptaan orang arab. Oleh karena itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang
menggunakan istilah dari Arab.
2. Awal Kemunculan Trigonometri
Walaupun pada mulanya trigonometru dikaji sebagai cabang astronomi tetapi
akhirnya trigonometri berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Perkembangan
awal trogonometri terbukti digerakkan disebabkan keperluan penyelesaian
masalah astronomi. Kemunculan trigonometri merupakan proses yang perlahan.
Jika dibandingkan dengan cabang matematika lain, trigonometri berkembambang
disebabkan hubungan antara pendidikan matematika terapan dengan keperluan
sains dalam bidang astronomi. Hubungan ini dianggap saling berkait, tetapu
tersembunyi sehingga zaman Renaissans trigonometri dijadikan sebagai topik
tambahan dalam astronomi.
1. Perkembangan dan Tokoh-Tokoh Trigonometri
Trigonometri sebagai alat utama astronomi telah menjadi bidang kajian yang
sangat diminati oleh ahli-ahli matematika islam sehingga trigonometri dapat
berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Orang islam adalah orang yang
pertama kali menekankan pengkajian prinsip-prinsip cahaya. Ia adalah alHaitham, yang telah menulis risalah-risalah penting tentang topik. Al-Haitham
membina bentuk awal prinsip-prinsip cahaya yang akhirnya menjadi hukum snell
tentang pembiasan cahaya. Prinsip oprik al-Haitham memberu sesuatu insipirasi
supaya perhatian terhadap astronomi dan trigonometri lebih diutamakan. Berikut
ini beberapa nama tokoh dalam trigonometri :
a.
b.
Al-Khawarizmi
Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh matematika besar yang [ernah
dilahirkan islam dan disumbangkan pada peradaban dunia. Mungkin tak
seratus tahun sekali akan lahir kedunia orang-orang seperti beliau. AlKhawarizmi selain terkenal dengan teori algoritmanya, beliau juga
membangun teori-teori matematika lain. dalam bidang trigonometri beliau
menemukan pemakaian sin, cos, tangent dan secan.
Al-Battani
Nama lengkap al-Battani adalah Mohammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu
Abdullah Al-Battani, dilahirkan di Battan Mesopotamia pada tahun 850 M
dan meninggal meninggal dunia di Damsyik pada tahun 929 M. Beliau
adalah putera raja Arab, juga gubernur Syria yang dianggap sebagai ahli
astronomi dan ahli matematika islam yang tekemuka. Al-Battani yang
bertanggung
jawab
memperkenalkan
konsep-konsep
modern,
perkembangan fungsi-fungsi dan identity trigonometri. Beliau biasanya
menggunakan formula sinus dengan lebih jelas dibandingkan penjelasan
dari orang Yunani. Beliau juga menemukan rumus-rumus sebagai berikut :
c.
Abu al-Wafa
Nama lengkapnya adalah Abu al-Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn
Yaya Ibn Ismail al-Buzjani lahir di Buzjan, Nishapur, Iraq tahun 940 M.
sejak kecil, kecerdasannya sudah mulai nampak dan hal tersebut ditunjang
dengan minatnya yang besar di bidang ilmu alam. Setelah berhasil
menyelesaikan pendidikan dasar dan menengahnya, Abu al-Wafa
memutuskan untuk meneruskan ke jenjang yang lebih tinggi di Baghdad
pada tahun 959 M. Berkat bimbingan sejumlah ilmuwan terkemuka masa
itu, tak berapa lama ia menjelma menjadi seorang pemuda yang berotak
cemerlang. Dia pun lantas banyak membantu para ilmuwan serta secara
pribadi mengembangkan teori terutama dalam bidang trigonometri.
Konstruksi bangunan trigonometri versi abu al-Wafa diakui sengat besar
manfaatnya. Beliau mengembangkan metode baru tentang konstruksi segi
empat serta perbaikan nilai sinus 30 dengan memakai delapan decimal. Abu
al-Wafa pun mengembangkan hubungan sinus dengan rumus dan Banyak
buku dan karya ilmiah telah dihasilkannya dan mencakup banyak bidang
ilmu. Namun, tak banyak karyanya yang tertinggal hingga saat ini.
Sejumlah karyanya hilang, sedang yang masih ada sudah dimodifikasi. Abu
al-Wafa juga banyak menuangkan karya tulisnya di jurnal ilmiah Euclid,
Diophantus dan al-Khawarizmi, tetapi sayangnya banyak yang telah hilang.
Karena konstribusinya yang besar terhadap bidang trigonometri, beliau
dijuluki sebagai peletak dasar ilmu trigonomteri.
d.
Ibn al-Shatir
Nama lengkapnya adalah ‘Ala al-Din Ali Ibn Ibrahim Ibn al-Muwaqit, lahir
pada tahun 1306 M dan meninggal tahun 1375. karyanya tertuang dalam
rasad ibn shatir (pemerhati ibn shatir).
Selanjutnya, penemuan-penemuan tentang rumus dasar trigonometri oleh para
tokoh ilmuwan muslim adalah sebagai berikut :
a. Al Buzjani
Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail al
Buzjani, merupakan satu di antara sekian banyak ilmuwan Muslim yang turut
mewarnai khazanah pengetahuan masa lalu. Dia tercatat sebagai seorang ahli
di bidang ilmu matematika dan astronomi. Kota kecil bernama Buzjan,
Nishapur, adalah tempat kelahiran ilmuwan besar ini, tepatnya tahun 940 M.
Sejak masih kecil, kecerdasannya sudah mulai nampak dan hal tersebut
ditunjang dengan minatnya yang besar di bidang ilmu alam. Masa sekolahnya
dihabiskan di kota kelahirannya itu.
Konstruksi bangunan trigonometri versi Abul Wafa hingga kini diakui
sangat besar kemanfaatannya. Dia adalah yang pertama menunjukkan adanya
teori relatif segitiga parabola. Tak hanya itu, dia juga mengembangkan metode
baru tentang konstruksi segi empat serta perbaikan nilai sinus 30 dengan
memakai delapan desimal. Abul Wafa pun mengembangkan hubungan sinus
dan formula 2 sin2 (a/2) = 1 - cos a dan juga sin a = 2 sin (a/2) cos (a/2)
b. Abu Nasr Mansur
Nama lengkap dari Abu Nasr Mansur adalah Abu Nasr Mansur ibnu
Ali ibnu Iraq atau akrab disapa Abu Nasr Mansur (960 M – 1036 M). Abu
Nasr Mansur terlahir di kawasan Gilan, Persia pada tahun 960 M. Hal itu
tercatat dalam The Regions of the World, sebuah buku geografi Persia
bertarikh 982M.
Pada karya trigonometrinya, Abu Nasr Mansur menemukan hukum
sinus sebagai berikut: a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C.
Selanjutnya seiring dengan perkembangan ilmu matematika, rumusrumus trigonometri yang biasa dipakai dalam ilmu matematika adalah sebagai
berikut:
a. Rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut
Cos (A+B)= cos A cos B – sin A sin B
Cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
b. Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut
Sin (A+B)= sin A cos B + cos A sin B
Sin ( A-B)= sin A cos B - cos A sin B
c. Rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut
Tan ( A + B ) =
tan A + tan B
1−tan A tan B
Tan ( A - B ) =
tan A−tan B
1+ tan A tan B
d. Rumus sinus sudut rangkap
Sin 2A = 2 sin A cos A
Sin 3A = 3 sin A - 4 sin 3A
e. Rumus kosinus sudut rangkap
Cos 2A = cos 2 A−sin2 A = 1=2
2
cos A−1
Cos 3A = 4 cos A – 3 cos A
2
2 sin A
f. Rumus tangent sudut rangkap
Tan 2 A =
2 tan A
1−tan 2 A
Tan 3 A =
3 tan A−tan3 A
1−3 tan 2 A
g. Rumus sudut tengahan
√
√
1
1−cos A
A=±
2
2
1
1+cos A
Cos
A=±
2
2
Sin
√
1
1+cos A
A=±
2
1+cos A
1−cos A
sin A
Tan
=
sin A
1+cos A
h. Rumus perkalian kosinus
2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )
i. Rumus perkalian sinus dan sinus
2 sin A sin B = - cos ( A + B ) + cos ( A - B )
=
j. Rumus perkalian sinus dan kosinus
2 cos A sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B )
2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )
k. Aturan hukum sinus
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
l. Aturan/hokum kosinus
2
2
2
a = b +c −2 bc cos A
b2 = a2 +c 2−2 ac cos B
2
2
2
c = a +b −2 ab cos C
m. Rumus penjumlahan dan pengurangan kosinus
Sin A + sin B = 2 sin
1
2
( A + B) cos
1
2
1
2
( A + B) sin
1
2
( A - B)
Sin A - sin B = 2 cos
( A + B)
cos A + cos B = 2 cos
1
2
1
2
( A + B) cos
( A - B)
cos A - cos B = -2 sin
1
2
( A + B) sin
1
2
( A - B)
Rumus-rumus trigonometri yang tersebut di atas adalah rumus hasil
kombinasi dan relasi antara rumus trigonometri yang satu dengan rumus
trigonometri yang lainnya. Dalam beberapa buku referensi yang berbeda
namun masih pada bahasan yang sama yaitu trigonometri, ditemukan beberapa
metode yang berbeda untuk mendapatkan rumus-rumus tersebut. Hal demikian
sah-sah saja, karena masing-masing ahli matematika punya asumsi-asumsi
yang berbeda dalam menafsirkan rumus itu. Namun demikian, tentunya
mereka masih menggunakan kaidah-kaidah yang sama, yaitu aturan geometri,
relasi dan kombinasi dalam menafsirkan rumus-rumus trigonometri.
Namun, dalam kaitannya dengan penelitian ini peneliti hanya
menyoroti relasi antara trigonometri dengan bidang astronomi atau ilmu falak.
Diantaranya adalah dalam teori penentuan arah kiblatnya yaitu teori
trigonometri bola (spherical trigonometry), teori geodesi dan teori navigasi.
KONSEP TRIGONOMETRI
Pengertian
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah
sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometri
seperti sinus, cosinus, dan tangen.
Konsep
Trigonometri merupakan cabang matematika yang mengkaji bangun segitiga,
khususnya pada bidang datar yang salah satu sudutnya adalah 90 0 yang menjadi dasar dari
kajiannya adalah hubungan antara sudut-sudut dan sisi-sisinya. Hubungan tersebut dinyatakan
sebagai fungsi-fungsi trigonometri.
Prinsip atau konsep dasar trigonometri terletak pada tiga objek yaitu : sudut, lingkaran dan
segitiga siku-siku.
LINGKARAN
Definisi : Lingkaran adalah himpunan semua titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu yang disebut titik pusat. Jarak yang sama tersebut disebut jarijari.
Perhatikan gambar berikut:
Gambar ini adalah juring
lingkaran atau bagian
lingkaran
Pada juring terdapat sudut, sudut tersebut didefinisikan sebagai ∠ POQ=∠ QOP=∠ a .
SATUAN UKURAN SUDUT
Ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan
radian. Tanda “0”
dan “ rad ” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian.
Singkatnya, putaran penuh =
dibentuk oleh
360
0
, atau
1
0
didefenisikan sebagai besarnya sudut yang
1
kali putaran penuh.
360
Cermati gambar berikut:
Selanjutnya kita pelajari teori mengenai radian.
Perhatikan Gambar:
Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α yang panjang
busurnya sama dengan jari-jari.
Jika besar ∠ AOB=α , ^
AB=OA =OB , maka
α=
^
AB
=1 radian .
r
Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut ter-sebut dalam
satuan radian diselesaikan menggunakan rumus perbandingan: ∠ AOB=
^
AB
rad .
r
Hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad.
360
0
= 2 π rad atau 10 =
1
π rad ≈ 0,0175 radian atau 1rad =57,30 .
180
Perhatikan Segitiga ABC di samping. Pada pelajaran
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
mengenai kesebangunan gambar disamping dapat dilihat
sebagai tiga buah segitiga yang sebangun yaitu:
ABC; DEC; dan FGC.
Sehingga diperoleh:
AB DE FG
=
=
AC DC FC
Nilai dari perbandingan inilah yang kita sebut sebagai nilai Tangen dari sudut C, misalkan
sudut C adalah maka
θ=¿
AB DE FG
=
=
AC DC FC
tan ¿
Sedangkan nilai kesebangunan yang lain yaitu:
AB DE FG
=
=
BC EC GC
disebut sebagai nilai Sinus dari sudut C, sehingga:
θ=¿
AB DE FG
=
=
BC EC GC
sin ¿
Dan
AC DC FC
=
=
BC EC GC
Disebut sebagai nilai Cosinus dari Sudut C, sehingga:
θ=¿
AC DC FC
=
=
BC EC GC
cos ¿
Nilai kesebangunan yang lain yaitu:
BC EC GC
=
=
AB DE FG
Disebut sebagai nilai Cosecan (invers Sinus) dari sudut C, sehingga:
θ=¿
BC EC GC
=
=
AB DE FG
csc ¿
Nilai kesebangunan yang lain yaitu:
BC EC GC
=
=
AC DC FC
Disebut sebagai nilai Secan (invers Cosinus) dari sudut C, sehingga:
θ=¿
BC EC GC
=
=
AC DC FC
sec¿
Nilai kesebangunan yang lain yaitu:
AC DC FC
=
=
AB DE FG
Disebut sebagai nilai Cotangen (invers Tangen) dari sudut C, sehingga:
θ=¿
AC DC FC
=
=
AB DE FG
cot ¿
Definisi :
1. Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi depan sudut dengan sisi
miring, ditulis
sisi depan
sin θ=
sisimiring
2. Kosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi samping sudut dengan sisi
miring, ditulis
sisi samping
cos θ=
sisimiring
3. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di depan sudut dengan sisi di
samping sudut, ditulis
sisi depan
tan θ=
sisi samping
4. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi miring dengan sisi depan
sudut, ditulis
sisimiring
1
csc θ=
=
sisi depan sin A
5. Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi miring dengan sisi samping
sudut, dituls
sisimiring
1
sec θ=
=
sisi samping cos A
6. Cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan
sisi di depan sudut, ditulis
sisi samping
1
cot θ=
=
sisi depan
tan A
Untuk lebih mudah mengingat maka bisa disingkat dengan DEMI SuAMI di DESA.
Definisi ini tidak berlaku untuk sudut tumpul.
Jika siswa sudah mengetahui definisi ini, konsep matematika lain yang perlu diingat kembali
oleh siswa adalah teorema phytagoras dan pengenalan sisi miring , sisi depan dan sisi
samping sudut
Catatan : perlu diketahui bahwa yang disebut sisi pada suatu segitiga siku-siku tidak selalu
miring, tetapi sisi miring selalu dihadapan sudut siku-siku.
NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI
Dalam kajian trigonometri ada istilah sudut istimewa, yang artinya sudut-sudut yang nilai
perbandingan trigonometri dapat ditentukan secara eksak.
1.
Nilai perbandingan fungsi trigonometri sudut istimewa
Perhatikan persegi ABCD dengan sisi-sisi 1 satuan
panjang.
Sehingga
dengan
memanfaatkan
Pythagoras diperoleh panjang diagonal AC=
aturan
√2 .
Sekarang perhatikanlah segitiga siku-siku ABC siku-siku
di B. Karena persegi ABCD sama sisi maka besarnya
BAC= 45 0 .
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri yang sudah dibahas maka diperoleh:
sin 450 =
BC 1
=
AC √ 2
cos 450=
AB 1
=
AC √ 2
0
tan 45 =
BC 1
= =1
AB 1
Pandang segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi
adalah 2 satuan panjang. Jika dari C ditarik garis
tinggi CT yang tegak lurus pad sisi AB maka diperoleh
AT=BT=1. Perhatikan Segitiga siku-siku BTC yang
siku-siku
di
T.
Dengan
menggunakan
Pythagoras diperoleh panjang CT =
√3 .
aturan
Dengan cara yang sama mencari perbandingan trigonometri sebelumnya akan diperoleh:
sin 30 =
BT 1
=
BC 2
cos 300 =
CT 1
= √3
BC 2
0
tan 300 =
BT 1 1
= = √3
CT √ 3 3
Masih dengan segitiga yang sama BTC, sekarang perhatikan untuk B=600
perbandingan trigonometri akan diperoleh:
sin 600=
CT √ 3 1
= = √3
BC 2 2
cos 600 =
0
tan 60 =
BT 1
=
BC 2
CT √ 3
= =√ 3
BT 1
Untuk sudut
00 dan
900 perhatikan lingkaran pada sumbu kartesius di bawah yang
memiliki jari-jari 1 satuan panjang. Perhatikan jari-jari
r=1
yang membantuk sudut
terhadap sumbu x.
Jika r membentuk sudut 00 maka r berimpit
dengan sumbu
x, sehingga perbandingan
trigonometrinya diperoleh:
0
0
sin 0 = =0
1
1
cos 0 0= =1
1
0
tan 0 0= =0
1
Untuk sudut
90
0
, maka jari-jari r akan berimpit dengan sumbu y, sehingga untuk
perbandingan trigonometrinya diperoleh:
1
sin 900= =1
1
0
0
cos 90 = =0
1
1
tan 9 0 0= =
0
Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri sudut-sudut Istimewa:
Sudut
α
0
0
60
0
90
0
Cos α
Tan α
0
1
2
1
0
1
√3
2
1
√2
2
1
2
0
1
√3
3
0
30
45
Sin α
0
1
√2
2
1
√3
2
1
1
√3
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU DI BERBAGAI KUADRAN
Nilai semua perbandingan fungsi trigonometri akan dipelajari pada setiap kuadran
pada koordinat kartesius. Mari kita pahami melalui pembahasan berikut
Misalkan titik
A ( x , y ) , panjang OA=r
dan sudut
AOX =α
Perhatikan gambar di bawah, dari segitiga siku-siku yang terdapat si kuadran I,
Gambar segitiga siku-siku
yang berad di kuadran I
y
r
x
cos α =
r
y
tan α =
x
sin α =
AOX
Dengan mempertimbangkan semua kombinasi koordinat titi pada koordinat kartesius, kita
dapat telusuri perbedaan nilai tanda untuk ketiga perbandingan trigonometri yang utama.
Gambar segitiga siku-siku
yang berad di kuadran II
AOX
Gambar segitiga siku-siku
yang berad di kuadran III
Gambar segitiga siku-siku
yang berada di kuadran IV
AOX
AOX
Dari gambar ini, kita dapat merumuskan nilai perbandingan trigonometri disetiap kuadran
Sudut 300, 450, 600, 900 merupakan sudut istimewa di kuadran I. Selanjutnya (1200,
1350, 1500, 1800), (2100, 2250, 2400, 2700), (3000, 3150, 3300, 3600) berturut-turut adalah
sudut-sudut istimewa dikuadran ke-II, ke-III dank e-IV.
2. Nilai perbandingan fungsi trigonometri untuk sudut lainnya
Untuk sudut-sudut yang tidak istimewa, menghitung nilai fungsi trigonometrinya bisa
dengan mengukur besar sudut kemudian mengukur panjang sisi-sisi segitiga sehingga
bisa didapat nilainya.namun cara ini membutuhkan waktu yang lama sehingga untuk
menentukan nilai fungsi trigonometri sudut tidak itimewa biasanya menggunakan tabel
atau calculator scientific.
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Dari nilai fungsi trigonometri tersebut, di peroleh identitas trigonometri. Identitas
trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk
setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri dibagi atas tiga
yaitu identitas kebalikan, identitas perbandingan, dan identitas phytagoras. Yang masingmasing memiliki fungsi dasar yaitu
Identitas kebalikan
csc A=
sec A=
Identitas perbandingan
1
sin A
tan A=
1
cos A
sin A
cos A
cos A
cot A=
sin A
1
cot A=
tan A
Identitas phytagoras
2
2
sin A +cos A=1
1+tan 2 A=sec 2 A
2
Bukti:
tan α =
sin α
cos α
Dari gambar disamping, kita peroleh
sin α =
y
r
cos α =
x
r
Sehingga nilai perbandingan dari sin α
dan cos α dinyatakan sebagai :
y
sin α r y
= =
cos α x x
r
Sedangkan tan α
¿
Sehingga berlaku bahwa
y
x
sin α y
= =tan α (terbukti)
cos α x
2
1+cot A=csc A
2
2
sin α +cos α=1
Dari gambar diatas kita ketahui sin α=
2
= ( sin α )( sin α
y y
=
r r
y2
=
.
2
r
x2
α =¿ 2
dan tan 2 α =
r
cos2 ¿
Sehingga
y2 x2
α + cos2 α =¿ 2 + 2
r r
2
sin ¿
y2 + x2
¿ 2
r
2
r
¿ 2
r
¿1
Jadi, sin2 α +cos 2 α=1
sin α
y
r
, maka
)
( )( )
y2
.
x2
(terbukti).
Dari persamaan diatas bisa kita temukan turunan rumus lainnya
1
, kedua ruas dikali
sin2 α +cos 2 α=1
cos2 α
sin 2 α cos2 α
1
+ 2 =
2
cos α cos α cos 2 α
2
2
tan α + 1=sec α (terbukti)
Dari persamaan diatas bisa kita temukan turunan rumus lainnya
1
2
2
, kedua ruas dikali
sin α +cos α=1
sin2 α
sin2 α cos 2 α
1
+ 2 = 2
2
sin α sin α sin α
2
2
1+cot α =csc α (terbukti)
RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT YANG BERELASI
Dari gambar disamping diketahui Titik P1(x1,y1) bayangan dari
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90), (180), (360),
P(x,y) akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh:
dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku
a. XOP = dan XOP1 = 90-
(komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90- ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut
b. x1 = y, y1 = x dan r1 = r
dengan (180- ). Contoh: penyiku sudut
50adalah
40, pelurus
sudutdi110adalah
70.
Dengan
menggunakan
hubungan
atas dapat diperoleh:
y )x
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut
dengan
( 900 −α(90)= 1=
sin
=cos α
a.
r1 r
x1 y
0
b. cos ( 90 −α )= = =sin α
r1 r
y x
tan ( 900−α )= 1 = =cot α
c.
x1 y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan
(90- ) dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180- )
Berdasarkan
gambar
P1( x 1 , y 1)
titik
P( x , y )
diatas
,
Titik
adalah bayangan dari
akibat
pencerminan
terhadap sumbu y, sehingga
∠ XOP=a dan
a.
∠ XOP 1
180 °−a
b.
maka diperoleh hubungan:
a.
b.
c.
y1 y
= =sin α
r1 r
x −x
cos ( 1800 −α )= 1 =
=−cos α
r1
r
y
y
tan ( 1800 −α )= 1 =
=−tan α
x 1 −x
sin ( 1800−α ) =
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
x 1=−x , y 1= y dan r 1=r
=
3.
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180+ )
Dari gambar 2.9 titik
bayangan dari titik
terhadap garis
P1( x 1 , y 1)
P( x , y ) akibat pencerminan
y=−x , sehingga
a. ∠ XOP=a dan ∠ XOP 1=180 ° +a
b. x 1=−x , y 1=− y
maka diperoleh hubungan:
a.
b.
c.
y1 − y
=
=−sin α
r1
r
x 1 −x
0
cos ( 180 + α ) = =
=−cos α
r1
r
y −y
tan ( 1800 + α ) = 1 =
=tan α
x 1 −x
sin ( 1800 +α )=
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
4.
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )
adalah
dan r 1=r
Dari
gambar
P1( x 1 , y 1)
diatas
diketahui
bayangan dari
titik
P (x , y )
akibat pencerminan terhadap sumbu x,
sehingga
a. ∠ XOP=a dan ∠ XOP 1=−a
b.
x 1=x , y 1=−y
dan r 1=r
maka diperoleh hubungan
a.
b.
c.
y 1 −y
=
=−sin α
r1
r
x1 x
cos (−α )= = =cos α
r1 r
y −y
tan (−α )= 1 =
=−tan α
x1
x
sin (−α )=
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
Untuk relasi
α dengan
3600−α , misalnya sin
−α
tersebut identik dengan relasi
α dengan
(360 °−a)=−sin a .
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Untuk menyelesaikan masalah grafik fungsi trigonometri yang perlu dipahami adalah grafik
dasar fungsi trigonometri. Setelah mengetahui grafik dasarnya, selanjutnya adalah bagaimana
transformasi dari grafik fungsi trigonometri dasarnya. Perubahan yang terjadi paga grafik
trigonomteri adalah amplitudo, periode, dan pergeseran atas-bawah serta kanan – kiri. Berikut
ini adalah grafik fungsi trigonometri dasar.
Grafik di atas merupakan grafik dasar fungsi trigometri. Grafik tersebut bisa
ditransformasi. Transformasinya bisa berupa penyempitan – perenggangan atau
pergeseran. Berikut ini transformasi dari grafik fungsi trigonometri.
Grafik fungsi trigonometri secara umum adalah sebagai berikut :
y = A sin b ( x ± α ) ± c
Keterangan
sin = jenis fungsi trigonometri
A = amplitudo / simpangan terjauh
b = banyak gelombang dari 0 sampai 2π ( Periode =
2π
b
)
α = grafik geser ke kiri ( + ) dan ke kanan
c = grafik geser ke atas ( + ) dan ke bawah ( - )
Setelah mengetahui konsep trigonometri untuk segitiga siku-siku, selanjutnya kita akan
belajar menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sebarang segitiga.
1.
ATURAN COSINUS
Aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang
berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah
satu
sudut
dalam
segitiga
tersebut.
Perhatikan
gambar
segitiga
di
kanan.
Aturan kosinus menyatakan bahwa
Dengan
adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang
berhadapan dengan sudut
. Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:
Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh
kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya.
Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut
dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:
Aturan Cosinus Pertama
2.
Aturan Cosinus Kedua
ATURAN SINUS
Dalam trigonometri, aturan sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di
udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan
bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan
Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya
diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1
dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan
2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan
menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian
valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama
dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan
Dapat ditunjukkan bahwa:
dimana s merupakan semi-perimeter
APLIKASI ATURAN COSINUS
Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang dua sisi dan
besar sudut yang diapitnya.
Aturan cosinus merumuskan hubungan kuadrat antara sisi-sisi suatu segitiga
sembarang dengan satu sudutnya.
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab.cos γ
Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga sisinya.
Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang.
Perumusan aturan cosinus, dapat juga dinyatakan dengan cara seperti berikut:
Cos A =
b2 +c 2−a2
2bc
Cos B =
a +c −b
2ac
Cos C =
a2 +b2−c2
2 ab
2
2
2
TURUNAN FUNGSI TRINONOMETRI
Turunan fungsi trigonometri di peroleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan
limit. Bagaimana mendapatkan turunan fungsi trigonometri ? dengan menggunakan definisi
turunan
1.
Turunan sinus
f ( x )=sin x
f ( x +h )=sin ( x +h )
Sehingga
f ( x +h ) −f (x )
f ' ( x )=lim
h
h→0
sin( x +h)−sin x
¿ lim
h
h→0
sin x cos h+cos x sin h−sin x
¿ lim
h
h→0
sin x cos h−sin x +cos x sin h
¿ lim
h
h→0
sin ( cos h−1 )+cos x sin h
¿ lim
h
h→0
cos h−1
sin h
¿ lim sin x
+cos x
h
h
h→0
cos h−1
sin h
¿ sin x lim
+cos x lim
h
h
h→ 0
h →0
¿ sin x ( 0 ) +cos x(1)
¿ cos x
[
]
2. Turunan cosinus
f ( x )=cos x
f ( x +h )=cos ( x+ h )
Sehingga
f ' ( x )=lim
h→0
f ( x +h ) −f (x )
h
¿ lim
h→0
cos ( x+ h)−cos x
h
¿ lim
cos x cos h−sin x sin h−cos x
h
¿ lim
cos x cos h−cos x−sin x sin h
h
¿ lim
cos x ( cos h−1 )−sin x sin h
h
h→0
h→0
h→0
[
¿ lim cos x
h→0
¿ cos x lim
h →0
cos h−1
sin h
−sin x
h
h
]
cos h−1
sin h
−sin x lim
h
h
h→0
¿ cos x ( 0 )−sin x (1)
¿−sin x
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk menyelesaikan integral-integral yang memiliki
bentuk
di mana m dan n adalah bilangan bulat positif. Untuk menemukan antiturunan dari bentukbentuk tersebut, pecahlah bentuk tersebut menjadi kombinasi dari integral trigonometri
sedemikian sehingga kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.
Sebagai contoh, kita dapat menyelesaikan integral berikut dengan memisalkan u = sin x.
Sehingga, du = cos x dx dan diperoleh,
Untuk menyelesaikan integral-integral trigonometri, gunakan identitas-identitas berikut agar
kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.
Sin2 + cos2 x = 1
Identitas Pythagoras
Sin2 x =
1−cos 2 x
2
Identitas sudut setengah untuk sin2 x
Cos2 x =
1+cos 2 x
2
Identitas sudut setengah untuk cos2 x
Ide untuk membuktikan integral ini adalah menggunakan langkah mundur.
Dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian
membuktikan
definisi turunan
∫ sin x dx=−cos x
ekuivalen dengan
d
cos u = -sin u. Untuk membuktikan turunan ini, bisa memanfaatkan
du
Jadi terbukti
A.
∫ sin u du=−cos u+C
Penerapan Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari
1.
Aplikasi Trigononomerti Pada Ilmu Astronomi
Trigonometri sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi, karena ukuran benda-benda
langit tidak mungkin diukur dengan menggunakan penggaris, pasti dihitung dengan bermain
skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat diestimasi ukurannya secara akurat. Rumus
2.
3.
4.
trigonometri sudut ganda digunakan untuk nilai-nilai ukuran sisi akibat sudut-sudut yang tidak
istimewa.
Aplikasi Trigonometri Pada Perkembangan Ilmu Teknik SipiL
Selain di bidang ilmu astronomi, trigonometri juga sangat erat kaitannya dengan
pekerjaan seorang surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Keahlian trigonometri seorang
surveyor sangat mempermudah pekerjaanya sehingga beliau tak perlu terjun langsung ke
medan-medan sulit.
Aplikasi Trigonometri pada Geografi dan Navigasi
Jenis trigonometri yang diperlukan untuk memahami posisi pada bola disebut
trigonometri bola. Trigonometri bola jarang di ajarkan sekarang karena tugasnya telah
diambil oleh aljabar linear. Meskipun demikian ,satu aplikasi trigonometri adalah
astronomi.
Aplikasi Trigonometri Berhubungan Dengan Ilmu Fisika
Pelajaran trigonometri dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari contoh trigonometri
dalam bentuk usaha. Dalam kehidupan sehari-hari, kata usaha dapat diartikan sebagai kegiatan
dengan mengerahkan tenaga atau pikiran untuk mencapai tujuan tertentu. Usaha dapat juga
dipakai sebagai pekerjaan untuk mencapai suatu tujuan tertentu.
Dalam trigonometri pengertian usaha hampir sama dengan pengertian usaha dalam
kehidupan sehari-hari. Kesamaannya adalah dalam hal kegiatan dengan mengerahkan
tenaga.
Usaha yang dilakukan oleh gayat etap (besar mau pun arahnya) didefinisikan sebagai
hasil perkalian antara perpindahan titik tangkapnya dengan komponen gaya pada arah
perpindahan tersebut.
B.
Contoh Soal
Contoh :
Seseorang yang ingin mengukur tinggi sebuah pohon, menara, gedung bertingkat ataupun
sesuatu yang memiliki ketinggian tertentu maka tidaklah mungkin secara fisik akan
mengukur dari bawah ke atas (puncak) obyeknya dengan menggunakan meteran.
Contoh Soal
1. Andi berdiri 8 m dari sebuah pohon. Ia melihat puncak tersebut sehingga membentuk
sudut 45o dan di arah berlawanan ternyata Rudi melakukan hal yang sama dengan
berdiri 6 m dari pohon tersebut. Diketahui tinggi andi dan rudi adalah 120 cm dan 160
cm. Tentukan:
a. Tinggi pohon.
b. Sudut yang terbentuk saat rudi melihat puncak pohon.
Jawab :
tan β ¿
°
t
8
tan 45 ¿
1¿
∎ po h on ter h adap rudi
t
8
9,2 m – 1,6 m=7,6 m
t
8
t=8 m
tan α
tan α
=
7,6
6
=
de
sa
tan α = 1,27
α = 51,78
a.
b.
Jadi tinggi pohon tersebut adalah = t + tinggi badan andi : 8m + 1,2m = 9,2m
Sudut yang terbentuk saatrudi melihat puncak pohon adalah 51,78
2. Suatu pesawat terbang mendatar dengan ketinggian 750 m dari permukaan laut(dpm).
Dibawahnya terdapat sebuah menara pengawas, jika diketahui sudut depresi pesawat terhadap
menara adalah 60o . Tentukan jarak horizontal pesawat ke menara ?
Jawab :
s
750
tan 60 ° =
s
√ 3 = 750
S = 750 √ 3
Jadi jarak horizontal peasawat tersebut ke menara adalah 750
√3 m