SEJARAH MATEMATIKA (1) SEJARAH MATEMATIKA (1) SEJARAH MATEMATIKA (1)
1.SEJARAH AWAL MATEMATIKA
Bagaimanakah manusia zaman dulu memunculkan matematika? Proses apa yang
terjadi sampai terbentuk ilmu matematika seperti sekarang? Sebagai seorang historian of
mathematics terlebih dahulu harus mengatahui produk dan metode-metode matematika dari
awal kemunculan dan perkembangannya. Kemudian memahami ide dan konsep dasar serta
hubungannya dengan kehidupan sehari-hari, manfaatnya dan bagaiamana kemudian menjadi
konstruksi matematis dan tersebar luas ke seluruh penjuru dunia. Lebih lanjut seorang
historian mathematics juga harus dapat menggunakan pikirannya untuk dapat
mengimplementasikan dan menggunakan apa yang dipelajarinya dari sejarah matematika,
untuk selanjutnya dikembangkan dan menjadi suatu aktualisasi yang nyata dalam kehidupan.
Matematika mulai muncul dan berkembang di Mesopotamia, Mesir Kuno, dan Yunani
Kuno. Manusia prasejarah telah berhasil mengetahui cara mencacah objek-objek fisik,
mereka juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun.
Manusia zaman itu mengidentifikasi hal-hal atau kejadian-kejadian dari alam kemudian
dilakukan pengukuran, sehingga terciptalah produk-produk seperti jam air, jam pasir, dan jam
matahari. Mereka menggunakan hakikat alam yakni ruang dan waktu sehingga terbentuk ide
dan konsep menganai waktu.
Penggunaan terkuno matematika yang lain adalah dalam perdagangan, pengukuran
tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan berkembang luas sejak tahun 3000 SM ketika
orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dangeometri untuk
penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.
Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. \
Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di
pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35000 SM. Tulang ini
berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat
bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28
sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda.
Juga artefak prasejarah ditemukan di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur
20.000 tahun, menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu.
Banyak artefact-artefact matematika, produk matematika, ide dan konsep matematika
dari Zaman Archaic, Tibal, Tradisional, Feodal, hingga Zaman Modern, Pos Modern, dan
Kontemporer. Matematika Babilonia dan Matematika Mesir Kuno hidup pada Zaman Archaic
hingga Tradisional. Sedangkan Matematika Yunani Kuno pada Zaman Tradisional hingga
Feodal. Catatan-catatan matematika dalam bentuk artifact berasal dari Zaman Archaic hingga
Tribal, sedangakan Zaman Tradisona hingga Feodal sudah dalam bentuk buku.
Temuan-temuan matematika sejak zaman pra sejarah tentu memberikan pengaruh dan
manfaat yang sangat besar. Dibutuhkan proses yang sangat panjang hingga diperoleh ilmu
matematika seperti saat ini. Ilmu matematika adalah ilmu yang terus berkembang, seiring
kehidupan berjalan, masalah-masalah yang bermunculan, dan usaha memecahkannya.
1.1 Sejarah matematika
Halaman dari Buku Ikhtisar Perhitungan dengan Penyelesaian dan Perimbangan
karya Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī(sekitar 820 Masehi)
Cabang pengkajian yang dikenal sebagai sejarah matematika adalah penyelidikan
terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan
terhadap metode dan notasi matematika pada masa silam.
Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contohcontoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa
tempat. Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322(matematika
Babilonia sekitar 1900 SM),[1] Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 20001800 SM)[2] dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM).
Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang
tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah
aritmetika dasar dan geometri.
Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui
pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika)
dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata "matematika" itu sendiri diturunkan dari kata
Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti "mata pelajaran". Matematika Cinamembuat
sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan
penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah
pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat
melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan
memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan
Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah
pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika
seringkali diikuti oleh abad-abad
kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan
matematika baru,
berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang
berlanjut hingga kini.
1.2 Tahapan dalam Matematika
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam
perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian peristiwa dalam astronomi. Ketiga
kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika:
struktur, ruang, dan perubahan.
a) Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan. Pertama dan yang sangat umum adalah
bilangan natural dan bilangan bulat berikut operasi arimetikanya, yang dijabarkan dalam
aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.
b) Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari
ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan
juga digeneralisasi ke geometri Noneuclid yang memainkan peran sentral dalam teori
relativitas umum. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar
menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri diferensial menekankan pada
konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness, dan arah. Sementara itu, dalam geometri
aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan
polinomial.
c) Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu
yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan
tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi.
Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan
laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan
differensial.
d) Untuk merepresentasikan kuantitas yang terus menerus digunakanlah bilangan riil. Di sisi
lain, studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil.
Agar dapat menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika
matematika, dan teori model dikembangkan. Bidang-bidang penting dalam matematika
terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan
deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis
bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah
matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam
laporan.
1.3 Pengertian Matematika
Apa sebenarnya matematika itu? Pada saat berbicara tentang matematika, yang
terbayang dalam pikiran kita selalu tentang “bilangan”, “angka”, “simbol-simbol”, atau
“perhitungan”. Pakar yang sangat tertarik dengan perilaku bilangan, melihat matematika dari
sudut bilangan. Pakar lain lebih mencurahkan perhatian kepada struktur-struktur, dengan
melihat matematika dari sudut pandang struktur-strukturnya. Pakar lain lebih tertarik pada
pola pikir atau sistematika, maka ia melihat matematika dari sudut pandang sistematikanya.
Adakah definisi tunggal matematika yang disepakati bersama? Berdasarkan uraian di
atas, beberapa definisi atau ungkapan pengertian matematika hanya dikemukakan terutama
berfokus pada sudut pandang pembuat definsi tersebut. Hal demikian dikemukakan dengan
maksud agar pembaca dapat menangkap dengan mudah keseluruhan pandangan para ahli
matematika. Dengan kata lain tidak terdapat satu definisi yang tunggal dan disepakati oleh
semua tokoh atau pakar matematika.
Di bawah ini disajikan beberapa definisi atau pengertian tentang matematika.
• Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara
sistematik.
• Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasinya.
• Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logis dan berhubungan dengan bilangan.
• Matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang
dan bentuk.
• Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logis.
• Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.
Dengan begitu banyak cabang matematika dan begitu luas lapangan garapnya,
bagaimana kita dapat menggambarkan matematika secara sederhana? Jadi, bila kita harus
menjawab pertanyaan matematika itu apa, maka kita hanya bisa mendeskripsikan beberapa
sifatnya. Dengan cara begini pula para ahli telah mendeskripsikan matematika. Sebagian
definisi begitu sederhana dan sebagian yang lain cukup kompleks, tetapi tidak ada deskripsi
yang menjadi suatu definisi formal matematika. Apa saja sifat-sifat yang sering digunakan
para ahli untuk mendeskripsikan matematika? Pada topik berikutnya kita akan membahas
sifat atau karakteristik tersebut beserta implikasinya pada pembelajaran matematika.
2.PERKEMBANGAN MATEMATIKA
Perkembangan matematika ini sangat berkaitan pada sejarah matematika itu sendiri.
Perkembangan ini dimulai dari perkembangan matematika sebelum abad 15-16,
perkembangan matematika abad 15-16, perkembangan matematika setelah abad 15-16.
a.
Perkembangan matematika sebelum abad 15-16
1) Matematika Prasejarah (Prehistoric Mathematics)
Asal usul pemikiran matematika terletak pada konsep angka, besar, dan bentuk. Konsep
angka juga telah berevolusi secara bertahap dari waktu ke waktu. Seperti halnya pada zaman
purba, berabad-abad sebelum Masehi, manusia telah mempunyai kesadaran akan bentukbentuk benda di sekitarnya yang berbeda. Seperti batu berbeda dengan kayu, pohon yang satu
berbeda dengan pohon yang lain. Kesadaran seperti ini yang menjadi bibit lahirnya
matematika terutama pada geometri. Itulah sebabnya geometri dianggap sebagai bagian
matematika yang tertua.
2) Timut Dekat Kuno (Ancient Near East)
a) Mesopotamia (Matematika Babylonia)
Matematika babylonia telah mengembangkan matematika dengan menuliskan tabel
perkalian pada tablet tanah liat, menangani latihan geometri, masalah pembagian serta
mencakup topik mengenai pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan perhitungan pasangan
berbalik nilai. Pada masa ini telah ditulis sistem angka sexagesimal (basis-60). Dari sini
berasal penggunaan modern dari 60 detik dalam satu menit, 60 menit dalam satu jam, dan
360 (60 x 6) derajat dalam lingkaran, serta penggunaan detik dan menit dari busur untuk
menunjukkan pecahan derajat.
b) Mesir (Matematika Mesir)
Teks matematika yang paling luas adalah papirus Rhind (Papyrus Ahmes) yang berisi
tentang uraian belajar aritmatika, geometri, teori bilangan, dan persamaan linier.
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir.
Sejak peradaban helenistik, Yunani menggantikan bahasa Mesir sebagai bahasa tertulis bagi
kaum terpelajar Bangsa Mesir, dan sejak itulah matematika Mesir melebur dengan
matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian
matematika di Mesir berlanjut di bawahKhilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam,
ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadangkadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari
tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua
dariKerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi
bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara
perkalian, perbagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi
pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata
aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan
Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara
menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Juga tiga unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran Rhind menyiratkan bahasan
paling sederhana mengenai geometri analitik: (1) pertama, cara memperoleh hampiran
yang akurat kurang dari satu persen; (2) kedua, upaya kuno penguadratan lingkaran; dan (3)
ketiga, penggunaan terdini kotangen.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari
zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal
kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Satu soal dipandang
memiliki kepentingan khusus karena soal itu memberikan metoda untuk memperoleh
volume limas terpenggal: "Jika Anda dikatakan: Limas terpenggal setinggi 6 satuan panjang,
yakni 4 satuan panjang di bawah dan 2 satuan panjang di atas. Anda menguadratkan 4, sama
dengan 16. Anda menduakalilipatkan 4, sama dengan 8. Anda menguadratkan 2, sama dengan
4. Anda menjumlahkan 16, 8, dan 4, sama dengan 28. Anda ambil sepertiga dari 6, sama
dengan 2. Anda ambil dua kali lipat dari 28 twice, sama dengan 56. Maka lihatlah, hasilnya
sama dengan 56. Anda memperoleh kebenaran."
Akhirnya, lembaran Berlin (kira-kira 1300 SM ) menunjukkan bahwa bangsa Mesir kuno
dapat menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.
c) Yunani (Matematika Yunani dan Helenistik)
Matematikawan Yunani menggunakan logika untuk mendapatkan kesimpulan dari
defenisi dan aksioma dan digunakan ketelitian matematika untuk bukti mereka. Thales dari
Miletus adalah matematikawan pertama yang menerapkan penalaran deduktif pada geometri.
Pythagoras dari Samos
Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa
Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota
sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka
dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode
setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut Matematika Helenistik.
Thales dari Miletus
Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh
kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih
terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulangulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani
menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan
simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan
matematika untukmembuktikannya.
Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai
546 SM) danPythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan
pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh Matematika
Mesir dan Babilonia. Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari
matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.
Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian
piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Dia dihargai sebagai orang pertama yang
menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat
akibat wajar dari teorema Thales. Hasilnya, dia dianggap sebagai matematikawan sejati
pertama dan pribadi pertama yang menghasilkan temuan matematika. Pythagoras
mendirikan Mazhab Pythagoras, yang mendakwakan bahwa matematikalah yang menguasai
semesta dan semboyannya adalah "semua adalah bilangan". Mazhab Pythagoraslah yang
menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah yang memulakan pengkajian matematika.
Mazhab Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertamateorema Pythagoras, meskipun
diketahui bahwa teorema itu memiliki sejarah yang panjang, bahkan dengan bukti keujudan
bilangan irasional.
Eudoxus (kira-kira 408 SM sampai 355 SM) mengembangkan metoda kelelahan,
sebuah rintisan dari Integral modern. Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM)
mulai menulis hukum logika. Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari
format yang masih digunakan oleh matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma,
teorema, dan bukti. Dia juga mengkaji kerucut. Bukunya, Elemen, dikenal di segenap
masyarakat terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-20. Selain teorema geometri
yang terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan bukti bahwa akar
kuadrat dari dua adalah irasional dan terdapat tak-hingga banyaknya bilangan
prima. Saringan Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan
bilangan prima.
Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse menggunakan metoda
kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur parabola dengan penjumlahan
barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi. Dia
juga mengkajispiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda
putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.
d) India (Matematika India)
Catatan tertua matematikawan India seperti The Sulba Sutra berisi lampiran teks-teks
agama yang memberikan aturan sederhana untuk membangun altar berbagai bentuk, seperti
kotak, persegi panjang, dan lain-lain. lampiran ini juga memberi metode untuk membuat
lingkaran dengan memberikan persegi yang luasnya sama. Sedangkan catatan The Siddhanta
Surya memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan sinus invers, dan meletakkan
aturan untuk menentukan gerakan yang sebenarnya posisi benda-benda langit. Madhava dari
Sangamagrama menemukan seri Madhava-Leibniz dan menghitung nilai π sebagai
3,14159265359.
e) Matematika Islam (Abad Pertengahan)
Matematikawan Persia, Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi sering disebut "bapak
aljabar" menulis beberapa buku metode untuk memecahkan persamaan aljabar.
Perkembangan lebih lanjut dalam aljabar dibuat oleh Al-Karaji dengan memperluas
metodologi untuk menggabungkan kekuatan dan akar integer-integer dari jumlah yang tidak
diketahui.
Sedangkan Omar Khayyam menulis Discussions of the Difficulties in Euclid, sebuah
buku tentang kelemahan dalam Euclid's Elements, terutama postulat paralel dan meletakkan
dasar untuk geometri analitik dan geometri non-Euclidean. Sharaf al-Din al-Tusi
memperkenalkan konsep fungsi dan dia adalah orang pertama yang menemukan turunan dari
polinomial pangkat tiga yang dikembangkan dari konsep kalkulus diferensial.
3) Matematika Eropa Abad Pertengahan (Medieval European Mathematics)
a) Abad Pertengahan Awal (Early Middle Ages)
Pada masa ini, Boethius seorang matematikawan memasukkan matematika ke dalam
kurikulum ketika menciptakan quadrivium istilah untuk menggambarkan studi aritmatika,
geometri, astronomi, dan musik.
b) Kebangkitan Kembali (Rebirth)
Semenjak buku Khawarizmi The Compendious Book on Calculation by Completion
and Balancing diterjemahkan dan teks lengkap Euclid's Elements. Berdampak dengan
banyaknya pembaruan dalam matematika. Seperti halnya Fibonacci yang menulis dalam
Abaci Liber.
b.
Perkembangan matematika abad 15-16
Perkembangan matematika hampir berhenti antara abad keempat belas dan paruh
pertama abad kelima belas. Karena banyak faktor-faktor sosial menyebabkan situasi ini.
Namun pada awal pertengahan abad kelima belas terjadi perubahan secara bertahap.
c.
Perkembangan matematika setelah abad 15-16
Pada abad ke-17, Simon Stevin menciptakan dasar notasi desimal modern yang mampu
menggambarkan semua nomor, baik rasional atau tidak rasional. Gottfried Wilhelm Leibniz
di Jerman, mengembangkan kalkulus dan banyak dari notasi kalkulus masih digunakan
sampai sekarang.
Ahli matematika yang paling berpengaruh pada abad ke-18 adalah Leonhard Euler.
Kontribusinya berupa pendirian studi tentang teori graph dengan Tujuh tangga dari masalah
Königsberg untuk standardisasi banyak istilah matematika modern dan notasi serta
mempopulerkan penggunaan π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya.
Selanjutnya Joseph Louis Lagrange banyak memiliki karya pada matematika, seperti teori
bilangan, aljabar, kalkulus diferensial dan kalkulus variasi
Pada abad ke-19, banyak matematikawan yang mengkaji berbagai bidang pada
matematika. Seperti Hermann Grassmann di Jerman memberikan versi pertama ruang vector,
William Rowan Hamilton di Irlandia mengembangkan aljabar noncommutative, George
Boole di Inggris merancang aljabar yang sekarang disebut aljabar Boolean yang menjadi titik
awal dari logika matematika dan memiliki aplikasi penting dalam ilmu komputer, dan Georg
Cantor mendirikan dasar pertama dari teori himpunan.
Salah satu tokoh fenomenal dalam matematika abad ke-20 Srinivasa Aiyangar Ramanujan,
seorang otodidak India yang membuktikan lebih dari 3000 teorema. Termasuk sifat-sifat
angka yang sangat komposit, fungsi partisi dan asymptotics, dan fungsi theta. Dia juga
membuat investigasi besar di bidang fungsi gamma, bentuk modular, seri berbeda, seri
hipergeometrik dan teori bilangan prima. Perkembangan terakhir adalah pada tahun 2003
konjektur Poincaré diselesaikan oleh Grigori Perelman.
Beberapa Contoh Sejarah Perkembangan Matematika
Contoh 1: Pembelajaran yang Realistik/Konstruktivis
Pemahaman pembagian sebagai distribusi sesungguhnya tidak membutuhkan
”ceramah” dari guru, karena siswa memiliki potensi untuk ”menemukan” konsep tersebut.
Lalu daripada langsung menyuguhkan lambang formal semacam 36 : 3, guru dapat
menggunakan soal yang kontekstual, seperti di bawah ini.
Tiga anak akan membagi 36 permen sama rata. Berapa permen yang akan diperoleh oleh tiaptiap anak?
Gambar 1.2. Anak dan Kumpulan Permen
Siswa-siswi mungkin akan menemukan salah satu dari model atau prosedur penyelesaian
berikut ini:
a) Membagi dengan dasar geometris, yaitu dengan membagi susunan permen menjadi tiga
daerah bagian yang sama.
b) Mendistribusi satu demi satu. Mungkin dengan menyilang permen yang telah didistribusi
ke salah satu anak.
c) Mengelompokkan tiga-tiga. Mungkin dengan pertimbangan setiap kali permen didistribusi,
akan terdistribusi ke tiga orang anak.
Model atau strategi penyelesaian tersebut di atas secara implisit memuat ide tentang
pengurangan berulang (repeated subraction) maupun bagi adil (fair sharing), bahkan ide
tentang kebalikan perkalian (invers of mmultiplication). Tugas guru adalah memfasilitasi
siswa-siswi sampai pada ide-ide tersebut sebelum benar-benar menyatakannya sebagai
kalimat matematika formal (penggunaan simbol dan konsep/prinsip matematika).
Contoh 2: Sejarah Bilangan Negatif dan Bilangan Positif di Cina Kuno
Di Cina, penggunaan bilangan positif ditandai dengan batang (atau gambar batang)
merah, sedangkan bilangan negatif ditandai dengan batang hitam. Mungkin ini telah dikenal
ribuan tahun yang lalu, dan kita dapat melihatnya pada Jianzhong Suanshu (antara tahun 206
SM – 220 M). Apa yang digunakan oleh orang Cina Kuno tersebut dapat digunakan dalam
pembelajaran untuk menunjukkan bilangan bulat (bulat positif, nol, dan bulat negatif).
Illustrasi dari Cina kuno dapat digunakan untuk menunjukkan sifat negatif sebagai hutang
dan positif sebagai piutang (atau mempunya).
Contoh 3: Batang Napier dalam Pembelajaran aturan perkalian
John Napiler (1550 – 1617) dalam bukunya Rabdologiae yang diterbitkan tahun 1617
menyuguhkan sebuah alat melakukan perkalian yang disebut Batang Napiler dan menjadi
terkenal pada zamannya. Alat tersebut menggunakan prinsip perkalian desimal yang telah
dikenal di Arab melalui apa yang disebut lattice diagram.
Sebuah batang Napiler terdiri atas 10 kotak, dengan kotak teratas menunjukkan
sebuah bilangan dasar (digit) dan kotak selanjutnya berturut-turut merupakan hasil perkalian
bilangan dasar tersebut dengan bilangan 1 hingga 9 dengan bagian satuan diletakkan di posisi
tengah diagonal dan bagian puluhan diletakkan di bagian atas diagonal.
Sebagai contoh: bilangan 1615 dikalikan dengan bilangan 365. Cara
menyelesaikannya adalah (a) susun Batang Napiler 1, 6, 1, dan 5; (b) perhatikan bahwa hasil
3 x 1615 ditunjukkan oleh bilangan dalam tiap daerah diagonal yaitu 4 (dari 3 + 1), 8 (dari 8
+ 0), 4 (dari 3 + 1) dan 5 (dari 5 saja), sehingga hasilnya 4845. (c) Demikian seterusnya untuk
perkalian 5 (1615) dan 6 (1615). (d) Jumlahkan ketiga hasil sesuai urutan posisi bilangan
pengali. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1.3 Batang Napier
3.MANFAAT MATEMATIKA DI SEKOLAH
A.Manfaat sejarah matematika dalam pembelajaran di sekolah
Menurut Fauvel (2000) nilai sejarah matematika meliputi tiga dimensi berbeda: (1)
sebagai materi pembelajaran/kuliah, (2) sebagai konteks materi pembelajaran, dan (3) sebagai
sumber strategi pembelajaran. Yang pertama dimaksudkan sebagai suatu pokok bahasan atau
materi pembelajaran, yang membahas segi fakta, kronologis, maupun evolusi sejarah
matematika. Hal ini tentu menyangkut banyak sekali aspek, dari fakta matematika hingga
filsafat matematika. Sejarah matematika sebagai pokok bahasan mulai diberikan di tingkat
perguruan tinggi walaupun bukan menjadi materi inti sehingga tidak setiap perguruan tinggi
menyelenggarakannya. Yang kedua dimaksudkan bahwa dalam pembelajaran matematika,
kita dapat mengambil soal-soal atau masalah awal dari sejarah matematika termasuk memberi
perspektif humanis dalam pembelajaran dengan menampilkan hasil karya dan biografi
matematikawan. Sementara yang ketiga dimaksudkan bahwa sejarah matematika
memberikan alternatif cara atau strategi pembelajaran suatu pokok materi matematika.
Sejalan dengan makin diterimanya filsafat konstruktivisme dalam pembelajaran, maka
studi tentang penggunaan sejarah matematika dalam pembelajaran terus meningkat. Hingga
kini sudah ratusan bahkan ribuan makalah dan penelitian yang berkaitan dengan penggunaan
sejarah matematika dalam pembelajaran, baik di tingkat sekolah dasar hingga perguruan
tinggi. Salah satu argumentasi kuat perspektif sejarah dalam pendidikan matematika adalah
apa yang disebut sebagai phylogeny yang mengikuti ontogeny, yaitu perkembangan
matematika dalam diri individu mengikuti jalan yang sama seperti perkembangan matematika
itu sendiri. Walaupun pandangan ini tidak secara ketat diterima, tetapi telah memberikan
dorongan yang kuat bagi usaha menggunakan sejarah matematika ke dalam pembelajaran.
Banyak manfaat yang dapat diambil dari penggunaan sejarah matematika dalam
pembelajaran. Fauvel (2000) menyatakan terdapat tiga dimensi besar pengaruh positif sejarah
matematika dalam proses belajar siswa:
1. Understanding (pemahaman)
Pada tahap apa pun, perspektif sejarah dan perspektif matematika (struktur modern)
saling melengkapi untuk memberikan gambaran yang jelas dan menyeluruh, yaitu
pemahaman yang rinci tentang konsep-konsep dan teorema-teorema matematika, serta
pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana konsep-konsep matematika saling
berhubungan dan bertemu.
2. Enthusiasm (antusiasme)
Sejarah matematika memberikan sisi aktivitas manusia dan tradisi/kebudayaan
manusia. Pada sisi ini, siswa merasa menjadi bagiannya sehingga menimbulkan antusiasme
dan motivasi tersendiri.
3. Skills (keterampilan)
Yang dimaksud Fauvel bukan keterampilan matematis semata, tetapi keterampilan
dalam hal: keterampilan research dalam menata informasi, keterampilan menafsirkan secara
kritis berbagai anggapan dan hipotesis, keterampilan menulis secara koheren, keterampilan
mempresentasikan kerja, dan keterampilan menempatkan dan menerima suatu konsep pada
level yang berbeda-beda. Keterampilan-keterampilan di atas jarang diantisipasi dalam
pembelajaran konvensional/tradisional.
Tentu saja perkembangan pemahaman, antusiasme, dan keterampilan tersebut
bergantung pada apa yang dikandung oleh sejarah matematika yang disuguhkan, serta
bagaimana sejarah matematika dipahami dan diimplementasikan dalam pembelajaran.
Pengayaan sejarah matematika sebagai bahan untuk menarik kesenangan siswa pada
matematika sudah merupakan langkah yang memadai. Syukur bila para guru memiliki
kemampuan untuk mengambangkan model pembelajaran berdasarkan informasi sejarah
matematika.
Di bawah ini beberapa manfaat yang berkaitan dengan penerapan sejarah matematika di
sekolah yang dapat diambil, yaitu: (disarikan dari John Fauvel seperti dikutip Garner (1997) ;
1.
2.
3.
4.
Meningkatkan motivasi dalam belajar.
Meningkatkan aspek humanistis matematika.
Mengubah persepsi siswa terhadap matematika ke arah yang positif.
Siswa mendapatkan kesenangan/kepercayaan diri dengan memastikan bahwa mereka
bukan satu-satunya yang dihadapkan dengan masalah matematika.
5. Mengurangi kesan bahwa matematika itu menakutkan.
6. Dengan menyelami sejarah membantu menopang ketertarikan dan kegembiraan
siswa.
7. Dengan membandingkan terhadap teknik-teknik kuno, dapat memberikan nilai lebih
pada teknik modern.
8. Membantu menjelaskan peranan matematika dalam masyarakat.
9. Memberikan kesempatan untuk bekerja lintas kurikulum dengan guru lain atau subjek
lain.
10. Membantu mengembangkan pendekatan yang multikultural.
B.Cara Memanfaatkan Sejarah Matematika di Sekolah
Sesungguhnya sangat banyak cara yang dapat ditempuh sesuai dengan tujuan apa
yang kita inginkan. Furinghetti (1997) menyarankan suatu taksonomi penggunaan sejarah
matematika dalam pembelajaran, sbb:
1. Menginformasikan sejarah untuk mengubah image siswa tentang matematika,
Ini artinya guru dapat menggunakan sejarah matematika yang bernilai positif, seperti
semangat para matematikawan dan kisah hidupnya yang menarik, kegunaan matematika di
berbagai bidang ilmu, serta persoalan-persoalan yang menarik dari sejarah matematika,
semisal tentang teka-teki dan permainan.
Tentang kisah hidup matematikawan memang agak jarang di buku-buku resmi, tetapi
tidak berarti tidak tersedia di pasaran. Guru pun dapat mengakses internet untuk memperoleh
informasi tsb. dengan cepat, mudah, dan gratis.
Beberapa yang dapat disebutkan antara lain: Thales (624 SM ), Pythagoras (582 SM ),
Euclides (300 SM ), Archimedes (287–212 SM), Apollonius (260–190 SM), Diophantus (250
SM– ), Liu Hui (abad ke-3 M), Tsu Chung Cih atau Zu Chong Zhi (480 SM ), Seki Kowa
(abad ke-17), Aryabhata (abad ke-6), Brahmagupta (628 M), Bhaskara (1114–1185), alKhowarizmi (825 M ), Tsabit ibn Qorra (836–901), al-Karkhi atau al-Karaji (1020 M ), Omar
Khayyam (1050–1125), al-Kasyi atau al-Kashi (abad ke-15), Fibonacci (1180–1250),
Cardano (1501-1576), John Napier (1550-1617), Descartes (1596-1650), Blaise Pascal
(1623–1662), Newton (1642–1727), Euler (1707–1783), Gauss (1777–1855).
2. Menggunakan sejarah matematika sebagai sumber masalah/soal,
Banyak masalah matematika dari sejarah yang dapat menjadi sumber pembelajaran
atau pelengkap pembelajaran. Contohnya cara penyelesaian yang diberikan para
matematikawan, dan soal-soal dari matematikawan. Beberapa sumber dapat
disebutkan: saringan erastotenes untuk menemukan bilangan prima, sejarah Lou-Shu dari
Cina dalam bentuk bujursangkar ajaib untuk melatih keterampilan berhitung dan penalaran,
sejarah tentang ukuran dan ketelitian bangunan piramida di Mesir, penemuan pecahan
desimal oleh al-Kasyi, penggunaan Batang Napier dalam konsep perhitungan (perkalian),
penggunaan sifat bilangan 9 dari al-Khowarizmi, bukti teorema Pythagoras dalam segitiga
secara geometris, metode Fang Ceng di Cina yang ekuivalen dengan metode Gauss-Jordan,
determinan dari Seki Kowa, penemuan bilangan Pi oleh Archimedes, Tsu Chung Chih,
Ramanujan, dan lainnya, serta masih banyak lagi topik sejarah lainnya.
3. Menggunakan sejarah matematika sebagai aktivitas tambahan,
Aktivitas tambahan dari sejarah matematika perlu dicoba untuk menambah
kegairahan anak dalam belajar matematika, mulai dari yang sederhana semisal melukis atau
mencetak poster matematikawan, gambar-gambar matematis dari sejarah matematika, hingga
kegiatan eksplorasi dan eksperimen semacam mencoba teknik berhitung dari Brahmagupta,
dan lain-lain.
4.menggunakan sejarah matematika sebagai pendekatan alternatif mengenalkan
konsep matematika
Masalah-masalah berupa soal dari sejarah matematika dapat menjadi pendekatan
alternatif pembelajaran konsep matematika (problem based learning). Contohnya,
penggunaan soal yang memuat penggunaan FPB dan KPK dari sejarah matematika sebagai
sumber pembelajaran tentang FPB dan KPK. Dapat pula kronologis konsep matematika
dalam sejarah menjadi alur dalam penyampaian konsep matematika di kelas, contohnya
dalam sejarah matematika orang mulai mengenal bilangan asli, lalu bilangan pecahan positif,
lalu bilangan negatif dan nol, baru kemudian bilangan irasional. Dengan demikian,
pembelajaran bilangan dapat dimulai dari pengenalan bilangan asli, lalu pecahan positif,
bilangan nol (atau cacah), lalu bilangan negatif (atau bulat), dan kemudian baru pengenalan
bilangan irasional. Tetapi tentu hal ini membutuhkan penyesuaian dalam hal penyajian
materi.
Sementara Siu Man-Keung (1997) menyatakan terdapat empat level penggunaan contoh
ilustrasi dalam sejarah matematika dalam pembelajaran di kelas yaitu:
1. Anecdotes (cerita yang menyenangkan),
2. Broad Outline (garis besar yang penting),
3. Content (materi yang detail), dan
4. Development of mathematical ideas (pengembangan gagasan matematika).
Terlihat bahwa dua level yang pertama merupakan level yang cocok untuk
pembelajaran di SD, SMP, maupun SMA. Bagaimana cara pemanfaatannya, tentu tidak jauh
berbeda dari yang telah dipaparkan di atas. Hanya saja untuk dua level yang terakhir, perlu
kehati-hatian dalam menerapkan di sekolah, karena pemanfaatan sejarah matematika pada
dua level terakhir tersebut menuntut kecermatan dan pemikiran yang lebih tajam yang cocok
untuk sekolah menengah lanjutan (SMP) atau umum (SMA).
Demikian sedikit kajian tentang pemanfaatan sejarah matematika dalam pembelajaran
matematika di sekolah. Tulisan ini masih berupa kajian awal, tetapi paling tidak dapat
memberikan nuansa baru dan langkah awal bagi perkembangan pembelajaran matematika di
sekolah.
Bagaimanakah manusia zaman dulu memunculkan matematika? Proses apa yang
terjadi sampai terbentuk ilmu matematika seperti sekarang? Sebagai seorang historian of
mathematics terlebih dahulu harus mengatahui produk dan metode-metode matematika dari
awal kemunculan dan perkembangannya. Kemudian memahami ide dan konsep dasar serta
hubungannya dengan kehidupan sehari-hari, manfaatnya dan bagaiamana kemudian menjadi
konstruksi matematis dan tersebar luas ke seluruh penjuru dunia. Lebih lanjut seorang
historian mathematics juga harus dapat menggunakan pikirannya untuk dapat
mengimplementasikan dan menggunakan apa yang dipelajarinya dari sejarah matematika,
untuk selanjutnya dikembangkan dan menjadi suatu aktualisasi yang nyata dalam kehidupan.
Matematika mulai muncul dan berkembang di Mesopotamia, Mesir Kuno, dan Yunani
Kuno. Manusia prasejarah telah berhasil mengetahui cara mencacah objek-objek fisik,
mereka juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun.
Manusia zaman itu mengidentifikasi hal-hal atau kejadian-kejadian dari alam kemudian
dilakukan pengukuran, sehingga terciptalah produk-produk seperti jam air, jam pasir, dan jam
matahari. Mereka menggunakan hakikat alam yakni ruang dan waktu sehingga terbentuk ide
dan konsep menganai waktu.
Penggunaan terkuno matematika yang lain adalah dalam perdagangan, pengukuran
tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan berkembang luas sejak tahun 3000 SM ketika
orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dangeometri untuk
penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.
Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. \
Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di
pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35000 SM. Tulang ini
berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat
bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28
sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda.
Juga artefak prasejarah ditemukan di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur
20.000 tahun, menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu.
Banyak artefact-artefact matematika, produk matematika, ide dan konsep matematika
dari Zaman Archaic, Tibal, Tradisional, Feodal, hingga Zaman Modern, Pos Modern, dan
Kontemporer. Matematika Babilonia dan Matematika Mesir Kuno hidup pada Zaman Archaic
hingga Tradisional. Sedangkan Matematika Yunani Kuno pada Zaman Tradisional hingga
Feodal. Catatan-catatan matematika dalam bentuk artifact berasal dari Zaman Archaic hingga
Tribal, sedangakan Zaman Tradisona hingga Feodal sudah dalam bentuk buku.
Temuan-temuan matematika sejak zaman pra sejarah tentu memberikan pengaruh dan
manfaat yang sangat besar. Dibutuhkan proses yang sangat panjang hingga diperoleh ilmu
matematika seperti saat ini. Ilmu matematika adalah ilmu yang terus berkembang, seiring
kehidupan berjalan, masalah-masalah yang bermunculan, dan usaha memecahkannya.
1.1 Sejarah matematika
Halaman dari Buku Ikhtisar Perhitungan dengan Penyelesaian dan Perimbangan
karya Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī(sekitar 820 Masehi)
Cabang pengkajian yang dikenal sebagai sejarah matematika adalah penyelidikan
terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan
terhadap metode dan notasi matematika pada masa silam.
Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contohcontoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa
tempat. Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322(matematika
Babilonia sekitar 1900 SM),[1] Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 20001800 SM)[2] dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM).
Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang
tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah
aritmetika dasar dan geometri.
Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui
pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika)
dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata "matematika" itu sendiri diturunkan dari kata
Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti "mata pelajaran". Matematika Cinamembuat
sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan
penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah
pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat
melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan
memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan
Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah
pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika
seringkali diikuti oleh abad-abad
kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan
matematika baru,
berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang
berlanjut hingga kini.
1.2 Tahapan dalam Matematika
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam
perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian peristiwa dalam astronomi. Ketiga
kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika:
struktur, ruang, dan perubahan.
a) Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan. Pertama dan yang sangat umum adalah
bilangan natural dan bilangan bulat berikut operasi arimetikanya, yang dijabarkan dalam
aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.
b) Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari
ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan
juga digeneralisasi ke geometri Noneuclid yang memainkan peran sentral dalam teori
relativitas umum. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar
menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri diferensial menekankan pada
konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness, dan arah. Sementara itu, dalam geometri
aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan
polinomial.
c) Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu
yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan
tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi.
Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan
laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan
differensial.
d) Untuk merepresentasikan kuantitas yang terus menerus digunakanlah bilangan riil. Di sisi
lain, studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil.
Agar dapat menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika
matematika, dan teori model dikembangkan. Bidang-bidang penting dalam matematika
terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan
deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis
bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah
matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam
laporan.
1.3 Pengertian Matematika
Apa sebenarnya matematika itu? Pada saat berbicara tentang matematika, yang
terbayang dalam pikiran kita selalu tentang “bilangan”, “angka”, “simbol-simbol”, atau
“perhitungan”. Pakar yang sangat tertarik dengan perilaku bilangan, melihat matematika dari
sudut bilangan. Pakar lain lebih mencurahkan perhatian kepada struktur-struktur, dengan
melihat matematika dari sudut pandang struktur-strukturnya. Pakar lain lebih tertarik pada
pola pikir atau sistematika, maka ia melihat matematika dari sudut pandang sistematikanya.
Adakah definisi tunggal matematika yang disepakati bersama? Berdasarkan uraian di
atas, beberapa definisi atau ungkapan pengertian matematika hanya dikemukakan terutama
berfokus pada sudut pandang pembuat definsi tersebut. Hal demikian dikemukakan dengan
maksud agar pembaca dapat menangkap dengan mudah keseluruhan pandangan para ahli
matematika. Dengan kata lain tidak terdapat satu definisi yang tunggal dan disepakati oleh
semua tokoh atau pakar matematika.
Di bawah ini disajikan beberapa definisi atau pengertian tentang matematika.
• Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara
sistematik.
• Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasinya.
• Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logis dan berhubungan dengan bilangan.
• Matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang
dan bentuk.
• Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logis.
• Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.
Dengan begitu banyak cabang matematika dan begitu luas lapangan garapnya,
bagaimana kita dapat menggambarkan matematika secara sederhana? Jadi, bila kita harus
menjawab pertanyaan matematika itu apa, maka kita hanya bisa mendeskripsikan beberapa
sifatnya. Dengan cara begini pula para ahli telah mendeskripsikan matematika. Sebagian
definisi begitu sederhana dan sebagian yang lain cukup kompleks, tetapi tidak ada deskripsi
yang menjadi suatu definisi formal matematika. Apa saja sifat-sifat yang sering digunakan
para ahli untuk mendeskripsikan matematika? Pada topik berikutnya kita akan membahas
sifat atau karakteristik tersebut beserta implikasinya pada pembelajaran matematika.
2.PERKEMBANGAN MATEMATIKA
Perkembangan matematika ini sangat berkaitan pada sejarah matematika itu sendiri.
Perkembangan ini dimulai dari perkembangan matematika sebelum abad 15-16,
perkembangan matematika abad 15-16, perkembangan matematika setelah abad 15-16.
a.
Perkembangan matematika sebelum abad 15-16
1) Matematika Prasejarah (Prehistoric Mathematics)
Asal usul pemikiran matematika terletak pada konsep angka, besar, dan bentuk. Konsep
angka juga telah berevolusi secara bertahap dari waktu ke waktu. Seperti halnya pada zaman
purba, berabad-abad sebelum Masehi, manusia telah mempunyai kesadaran akan bentukbentuk benda di sekitarnya yang berbeda. Seperti batu berbeda dengan kayu, pohon yang satu
berbeda dengan pohon yang lain. Kesadaran seperti ini yang menjadi bibit lahirnya
matematika terutama pada geometri. Itulah sebabnya geometri dianggap sebagai bagian
matematika yang tertua.
2) Timut Dekat Kuno (Ancient Near East)
a) Mesopotamia (Matematika Babylonia)
Matematika babylonia telah mengembangkan matematika dengan menuliskan tabel
perkalian pada tablet tanah liat, menangani latihan geometri, masalah pembagian serta
mencakup topik mengenai pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan perhitungan pasangan
berbalik nilai. Pada masa ini telah ditulis sistem angka sexagesimal (basis-60). Dari sini
berasal penggunaan modern dari 60 detik dalam satu menit, 60 menit dalam satu jam, dan
360 (60 x 6) derajat dalam lingkaran, serta penggunaan detik dan menit dari busur untuk
menunjukkan pecahan derajat.
b) Mesir (Matematika Mesir)
Teks matematika yang paling luas adalah papirus Rhind (Papyrus Ahmes) yang berisi
tentang uraian belajar aritmatika, geometri, teori bilangan, dan persamaan linier.
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir.
Sejak peradaban helenistik, Yunani menggantikan bahasa Mesir sebagai bahasa tertulis bagi
kaum terpelajar Bangsa Mesir, dan sejak itulah matematika Mesir melebur dengan
matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian
matematika di Mesir berlanjut di bawahKhilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam,
ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadangkadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari
tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua
dariKerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi
bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara
perkalian, perbagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi
pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata
aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan
Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara
menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Juga tiga unsur geometri yang tertulis di dalam lembaran Rhind menyiratkan bahasan
paling sederhana mengenai geometri analitik: (1) pertama, cara memperoleh hampiran
yang akurat kurang dari satu persen; (2) kedua, upaya kuno penguadratan lingkaran; dan (3)
ketiga, penggunaan terdini kotangen.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari
zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal
kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Satu soal dipandang
memiliki kepentingan khusus karena soal itu memberikan metoda untuk memperoleh
volume limas terpenggal: "Jika Anda dikatakan: Limas terpenggal setinggi 6 satuan panjang,
yakni 4 satuan panjang di bawah dan 2 satuan panjang di atas. Anda menguadratkan 4, sama
dengan 16. Anda menduakalilipatkan 4, sama dengan 8. Anda menguadratkan 2, sama dengan
4. Anda menjumlahkan 16, 8, dan 4, sama dengan 28. Anda ambil sepertiga dari 6, sama
dengan 2. Anda ambil dua kali lipat dari 28 twice, sama dengan 56. Maka lihatlah, hasilnya
sama dengan 56. Anda memperoleh kebenaran."
Akhirnya, lembaran Berlin (kira-kira 1300 SM ) menunjukkan bahwa bangsa Mesir kuno
dapat menyelesaikan persamaan aljabar orde dua.
c) Yunani (Matematika Yunani dan Helenistik)
Matematikawan Yunani menggunakan logika untuk mendapatkan kesimpulan dari
defenisi dan aksioma dan digunakan ketelitian matematika untuk bukti mereka. Thales dari
Miletus adalah matematikawan pertama yang menerapkan penalaran deduktif pada geometri.
Pythagoras dari Samos
Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa
Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota
sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka
dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode
setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut Matematika Helenistik.
Thales dari Miletus
Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh
kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih
terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulangulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani
menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan
simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan
matematika untukmembuktikannya.
Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai
546 SM) danPythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan
pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh Matematika
Mesir dan Babilonia. Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari
matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.
Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian
piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Dia dihargai sebagai orang pertama yang
menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat
akibat wajar dari teorema Thales. Hasilnya, dia dianggap sebagai matematikawan sejati
pertama dan pribadi pertama yang menghasilkan temuan matematika. Pythagoras
mendirikan Mazhab Pythagoras, yang mendakwakan bahwa matematikalah yang menguasai
semesta dan semboyannya adalah "semua adalah bilangan". Mazhab Pythagoraslah yang
menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah yang memulakan pengkajian matematika.
Mazhab Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertamateorema Pythagoras, meskipun
diketahui bahwa teorema itu memiliki sejarah yang panjang, bahkan dengan bukti keujudan
bilangan irasional.
Eudoxus (kira-kira 408 SM sampai 355 SM) mengembangkan metoda kelelahan,
sebuah rintisan dari Integral modern. Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM)
mulai menulis hukum logika. Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari
format yang masih digunakan oleh matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma,
teorema, dan bukti. Dia juga mengkaji kerucut. Bukunya, Elemen, dikenal di segenap
masyarakat terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-20. Selain teorema geometri
yang terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan bukti bahwa akar
kuadrat dari dua adalah irasional dan terdapat tak-hingga banyaknya bilangan
prima. Saringan Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan
bilangan prima.
Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse menggunakan metoda
kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur parabola dengan penjumlahan
barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi. Dia
juga mengkajispiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda
putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.
d) India (Matematika India)
Catatan tertua matematikawan India seperti The Sulba Sutra berisi lampiran teks-teks
agama yang memberikan aturan sederhana untuk membangun altar berbagai bentuk, seperti
kotak, persegi panjang, dan lain-lain. lampiran ini juga memberi metode untuk membuat
lingkaran dengan memberikan persegi yang luasnya sama. Sedangkan catatan The Siddhanta
Surya memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan sinus invers, dan meletakkan
aturan untuk menentukan gerakan yang sebenarnya posisi benda-benda langit. Madhava dari
Sangamagrama menemukan seri Madhava-Leibniz dan menghitung nilai π sebagai
3,14159265359.
e) Matematika Islam (Abad Pertengahan)
Matematikawan Persia, Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi sering disebut "bapak
aljabar" menulis beberapa buku metode untuk memecahkan persamaan aljabar.
Perkembangan lebih lanjut dalam aljabar dibuat oleh Al-Karaji dengan memperluas
metodologi untuk menggabungkan kekuatan dan akar integer-integer dari jumlah yang tidak
diketahui.
Sedangkan Omar Khayyam menulis Discussions of the Difficulties in Euclid, sebuah
buku tentang kelemahan dalam Euclid's Elements, terutama postulat paralel dan meletakkan
dasar untuk geometri analitik dan geometri non-Euclidean. Sharaf al-Din al-Tusi
memperkenalkan konsep fungsi dan dia adalah orang pertama yang menemukan turunan dari
polinomial pangkat tiga yang dikembangkan dari konsep kalkulus diferensial.
3) Matematika Eropa Abad Pertengahan (Medieval European Mathematics)
a) Abad Pertengahan Awal (Early Middle Ages)
Pada masa ini, Boethius seorang matematikawan memasukkan matematika ke dalam
kurikulum ketika menciptakan quadrivium istilah untuk menggambarkan studi aritmatika,
geometri, astronomi, dan musik.
b) Kebangkitan Kembali (Rebirth)
Semenjak buku Khawarizmi The Compendious Book on Calculation by Completion
and Balancing diterjemahkan dan teks lengkap Euclid's Elements. Berdampak dengan
banyaknya pembaruan dalam matematika. Seperti halnya Fibonacci yang menulis dalam
Abaci Liber.
b.
Perkembangan matematika abad 15-16
Perkembangan matematika hampir berhenti antara abad keempat belas dan paruh
pertama abad kelima belas. Karena banyak faktor-faktor sosial menyebabkan situasi ini.
Namun pada awal pertengahan abad kelima belas terjadi perubahan secara bertahap.
c.
Perkembangan matematika setelah abad 15-16
Pada abad ke-17, Simon Stevin menciptakan dasar notasi desimal modern yang mampu
menggambarkan semua nomor, baik rasional atau tidak rasional. Gottfried Wilhelm Leibniz
di Jerman, mengembangkan kalkulus dan banyak dari notasi kalkulus masih digunakan
sampai sekarang.
Ahli matematika yang paling berpengaruh pada abad ke-18 adalah Leonhard Euler.
Kontribusinya berupa pendirian studi tentang teori graph dengan Tujuh tangga dari masalah
Königsberg untuk standardisasi banyak istilah matematika modern dan notasi serta
mempopulerkan penggunaan π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya.
Selanjutnya Joseph Louis Lagrange banyak memiliki karya pada matematika, seperti teori
bilangan, aljabar, kalkulus diferensial dan kalkulus variasi
Pada abad ke-19, banyak matematikawan yang mengkaji berbagai bidang pada
matematika. Seperti Hermann Grassmann di Jerman memberikan versi pertama ruang vector,
William Rowan Hamilton di Irlandia mengembangkan aljabar noncommutative, George
Boole di Inggris merancang aljabar yang sekarang disebut aljabar Boolean yang menjadi titik
awal dari logika matematika dan memiliki aplikasi penting dalam ilmu komputer, dan Georg
Cantor mendirikan dasar pertama dari teori himpunan.
Salah satu tokoh fenomenal dalam matematika abad ke-20 Srinivasa Aiyangar Ramanujan,
seorang otodidak India yang membuktikan lebih dari 3000 teorema. Termasuk sifat-sifat
angka yang sangat komposit, fungsi partisi dan asymptotics, dan fungsi theta. Dia juga
membuat investigasi besar di bidang fungsi gamma, bentuk modular, seri berbeda, seri
hipergeometrik dan teori bilangan prima. Perkembangan terakhir adalah pada tahun 2003
konjektur Poincaré diselesaikan oleh Grigori Perelman.
Beberapa Contoh Sejarah Perkembangan Matematika
Contoh 1: Pembelajaran yang Realistik/Konstruktivis
Pemahaman pembagian sebagai distribusi sesungguhnya tidak membutuhkan
”ceramah” dari guru, karena siswa memiliki potensi untuk ”menemukan” konsep tersebut.
Lalu daripada langsung menyuguhkan lambang formal semacam 36 : 3, guru dapat
menggunakan soal yang kontekstual, seperti di bawah ini.
Tiga anak akan membagi 36 permen sama rata. Berapa permen yang akan diperoleh oleh tiaptiap anak?
Gambar 1.2. Anak dan Kumpulan Permen
Siswa-siswi mungkin akan menemukan salah satu dari model atau prosedur penyelesaian
berikut ini:
a) Membagi dengan dasar geometris, yaitu dengan membagi susunan permen menjadi tiga
daerah bagian yang sama.
b) Mendistribusi satu demi satu. Mungkin dengan menyilang permen yang telah didistribusi
ke salah satu anak.
c) Mengelompokkan tiga-tiga. Mungkin dengan pertimbangan setiap kali permen didistribusi,
akan terdistribusi ke tiga orang anak.
Model atau strategi penyelesaian tersebut di atas secara implisit memuat ide tentang
pengurangan berulang (repeated subraction) maupun bagi adil (fair sharing), bahkan ide
tentang kebalikan perkalian (invers of mmultiplication). Tugas guru adalah memfasilitasi
siswa-siswi sampai pada ide-ide tersebut sebelum benar-benar menyatakannya sebagai
kalimat matematika formal (penggunaan simbol dan konsep/prinsip matematika).
Contoh 2: Sejarah Bilangan Negatif dan Bilangan Positif di Cina Kuno
Di Cina, penggunaan bilangan positif ditandai dengan batang (atau gambar batang)
merah, sedangkan bilangan negatif ditandai dengan batang hitam. Mungkin ini telah dikenal
ribuan tahun yang lalu, dan kita dapat melihatnya pada Jianzhong Suanshu (antara tahun 206
SM – 220 M). Apa yang digunakan oleh orang Cina Kuno tersebut dapat digunakan dalam
pembelajaran untuk menunjukkan bilangan bulat (bulat positif, nol, dan bulat negatif).
Illustrasi dari Cina kuno dapat digunakan untuk menunjukkan sifat negatif sebagai hutang
dan positif sebagai piutang (atau mempunya).
Contoh 3: Batang Napier dalam Pembelajaran aturan perkalian
John Napiler (1550 – 1617) dalam bukunya Rabdologiae yang diterbitkan tahun 1617
menyuguhkan sebuah alat melakukan perkalian yang disebut Batang Napiler dan menjadi
terkenal pada zamannya. Alat tersebut menggunakan prinsip perkalian desimal yang telah
dikenal di Arab melalui apa yang disebut lattice diagram.
Sebuah batang Napiler terdiri atas 10 kotak, dengan kotak teratas menunjukkan
sebuah bilangan dasar (digit) dan kotak selanjutnya berturut-turut merupakan hasil perkalian
bilangan dasar tersebut dengan bilangan 1 hingga 9 dengan bagian satuan diletakkan di posisi
tengah diagonal dan bagian puluhan diletakkan di bagian atas diagonal.
Sebagai contoh: bilangan 1615 dikalikan dengan bilangan 365. Cara
menyelesaikannya adalah (a) susun Batang Napiler 1, 6, 1, dan 5; (b) perhatikan bahwa hasil
3 x 1615 ditunjukkan oleh bilangan dalam tiap daerah diagonal yaitu 4 (dari 3 + 1), 8 (dari 8
+ 0), 4 (dari 3 + 1) dan 5 (dari 5 saja), sehingga hasilnya 4845. (c) Demikian seterusnya untuk
perkalian 5 (1615) dan 6 (1615). (d) Jumlahkan ketiga hasil sesuai urutan posisi bilangan
pengali. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1.3 Batang Napier
3.MANFAAT MATEMATIKA DI SEKOLAH
A.Manfaat sejarah matematika dalam pembelajaran di sekolah
Menurut Fauvel (2000) nilai sejarah matematika meliputi tiga dimensi berbeda: (1)
sebagai materi pembelajaran/kuliah, (2) sebagai konteks materi pembelajaran, dan (3) sebagai
sumber strategi pembelajaran. Yang pertama dimaksudkan sebagai suatu pokok bahasan atau
materi pembelajaran, yang membahas segi fakta, kronologis, maupun evolusi sejarah
matematika. Hal ini tentu menyangkut banyak sekali aspek, dari fakta matematika hingga
filsafat matematika. Sejarah matematika sebagai pokok bahasan mulai diberikan di tingkat
perguruan tinggi walaupun bukan menjadi materi inti sehingga tidak setiap perguruan tinggi
menyelenggarakannya. Yang kedua dimaksudkan bahwa dalam pembelajaran matematika,
kita dapat mengambil soal-soal atau masalah awal dari sejarah matematika termasuk memberi
perspektif humanis dalam pembelajaran dengan menampilkan hasil karya dan biografi
matematikawan. Sementara yang ketiga dimaksudkan bahwa sejarah matematika
memberikan alternatif cara atau strategi pembelajaran suatu pokok materi matematika.
Sejalan dengan makin diterimanya filsafat konstruktivisme dalam pembelajaran, maka
studi tentang penggunaan sejarah matematika dalam pembelajaran terus meningkat. Hingga
kini sudah ratusan bahkan ribuan makalah dan penelitian yang berkaitan dengan penggunaan
sejarah matematika dalam pembelajaran, baik di tingkat sekolah dasar hingga perguruan
tinggi. Salah satu argumentasi kuat perspektif sejarah dalam pendidikan matematika adalah
apa yang disebut sebagai phylogeny yang mengikuti ontogeny, yaitu perkembangan
matematika dalam diri individu mengikuti jalan yang sama seperti perkembangan matematika
itu sendiri. Walaupun pandangan ini tidak secara ketat diterima, tetapi telah memberikan
dorongan yang kuat bagi usaha menggunakan sejarah matematika ke dalam pembelajaran.
Banyak manfaat yang dapat diambil dari penggunaan sejarah matematika dalam
pembelajaran. Fauvel (2000) menyatakan terdapat tiga dimensi besar pengaruh positif sejarah
matematika dalam proses belajar siswa:
1. Understanding (pemahaman)
Pada tahap apa pun, perspektif sejarah dan perspektif matematika (struktur modern)
saling melengkapi untuk memberikan gambaran yang jelas dan menyeluruh, yaitu
pemahaman yang rinci tentang konsep-konsep dan teorema-teorema matematika, serta
pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana konsep-konsep matematika saling
berhubungan dan bertemu.
2. Enthusiasm (antusiasme)
Sejarah matematika memberikan sisi aktivitas manusia dan tradisi/kebudayaan
manusia. Pada sisi ini, siswa merasa menjadi bagiannya sehingga menimbulkan antusiasme
dan motivasi tersendiri.
3. Skills (keterampilan)
Yang dimaksud Fauvel bukan keterampilan matematis semata, tetapi keterampilan
dalam hal: keterampilan research dalam menata informasi, keterampilan menafsirkan secara
kritis berbagai anggapan dan hipotesis, keterampilan menulis secara koheren, keterampilan
mempresentasikan kerja, dan keterampilan menempatkan dan menerima suatu konsep pada
level yang berbeda-beda. Keterampilan-keterampilan di atas jarang diantisipasi dalam
pembelajaran konvensional/tradisional.
Tentu saja perkembangan pemahaman, antusiasme, dan keterampilan tersebut
bergantung pada apa yang dikandung oleh sejarah matematika yang disuguhkan, serta
bagaimana sejarah matematika dipahami dan diimplementasikan dalam pembelajaran.
Pengayaan sejarah matematika sebagai bahan untuk menarik kesenangan siswa pada
matematika sudah merupakan langkah yang memadai. Syukur bila para guru memiliki
kemampuan untuk mengambangkan model pembelajaran berdasarkan informasi sejarah
matematika.
Di bawah ini beberapa manfaat yang berkaitan dengan penerapan sejarah matematika di
sekolah yang dapat diambil, yaitu: (disarikan dari John Fauvel seperti dikutip Garner (1997) ;
1.
2.
3.
4.
Meningkatkan motivasi dalam belajar.
Meningkatkan aspek humanistis matematika.
Mengubah persepsi siswa terhadap matematika ke arah yang positif.
Siswa mendapatkan kesenangan/kepercayaan diri dengan memastikan bahwa mereka
bukan satu-satunya yang dihadapkan dengan masalah matematika.
5. Mengurangi kesan bahwa matematika itu menakutkan.
6. Dengan menyelami sejarah membantu menopang ketertarikan dan kegembiraan
siswa.
7. Dengan membandingkan terhadap teknik-teknik kuno, dapat memberikan nilai lebih
pada teknik modern.
8. Membantu menjelaskan peranan matematika dalam masyarakat.
9. Memberikan kesempatan untuk bekerja lintas kurikulum dengan guru lain atau subjek
lain.
10. Membantu mengembangkan pendekatan yang multikultural.
B.Cara Memanfaatkan Sejarah Matematika di Sekolah
Sesungguhnya sangat banyak cara yang dapat ditempuh sesuai dengan tujuan apa
yang kita inginkan. Furinghetti (1997) menyarankan suatu taksonomi penggunaan sejarah
matematika dalam pembelajaran, sbb:
1. Menginformasikan sejarah untuk mengubah image siswa tentang matematika,
Ini artinya guru dapat menggunakan sejarah matematika yang bernilai positif, seperti
semangat para matematikawan dan kisah hidupnya yang menarik, kegunaan matematika di
berbagai bidang ilmu, serta persoalan-persoalan yang menarik dari sejarah matematika,
semisal tentang teka-teki dan permainan.
Tentang kisah hidup matematikawan memang agak jarang di buku-buku resmi, tetapi
tidak berarti tidak tersedia di pasaran. Guru pun dapat mengakses internet untuk memperoleh
informasi tsb. dengan cepat, mudah, dan gratis.
Beberapa yang dapat disebutkan antara lain: Thales (624 SM ), Pythagoras (582 SM ),
Euclides (300 SM ), Archimedes (287–212 SM), Apollonius (260–190 SM), Diophantus (250
SM– ), Liu Hui (abad ke-3 M), Tsu Chung Cih atau Zu Chong Zhi (480 SM ), Seki Kowa
(abad ke-17), Aryabhata (abad ke-6), Brahmagupta (628 M), Bhaskara (1114–1185), alKhowarizmi (825 M ), Tsabit ibn Qorra (836–901), al-Karkhi atau al-Karaji (1020 M ), Omar
Khayyam (1050–1125), al-Kasyi atau al-Kashi (abad ke-15), Fibonacci (1180–1250),
Cardano (1501-1576), John Napier (1550-1617), Descartes (1596-1650), Blaise Pascal
(1623–1662), Newton (1642–1727), Euler (1707–1783), Gauss (1777–1855).
2. Menggunakan sejarah matematika sebagai sumber masalah/soal,
Banyak masalah matematika dari sejarah yang dapat menjadi sumber pembelajaran
atau pelengkap pembelajaran. Contohnya cara penyelesaian yang diberikan para
matematikawan, dan soal-soal dari matematikawan. Beberapa sumber dapat
disebutkan: saringan erastotenes untuk menemukan bilangan prima, sejarah Lou-Shu dari
Cina dalam bentuk bujursangkar ajaib untuk melatih keterampilan berhitung dan penalaran,
sejarah tentang ukuran dan ketelitian bangunan piramida di Mesir, penemuan pecahan
desimal oleh al-Kasyi, penggunaan Batang Napier dalam konsep perhitungan (perkalian),
penggunaan sifat bilangan 9 dari al-Khowarizmi, bukti teorema Pythagoras dalam segitiga
secara geometris, metode Fang Ceng di Cina yang ekuivalen dengan metode Gauss-Jordan,
determinan dari Seki Kowa, penemuan bilangan Pi oleh Archimedes, Tsu Chung Chih,
Ramanujan, dan lainnya, serta masih banyak lagi topik sejarah lainnya.
3. Menggunakan sejarah matematika sebagai aktivitas tambahan,
Aktivitas tambahan dari sejarah matematika perlu dicoba untuk menambah
kegairahan anak dalam belajar matematika, mulai dari yang sederhana semisal melukis atau
mencetak poster matematikawan, gambar-gambar matematis dari sejarah matematika, hingga
kegiatan eksplorasi dan eksperimen semacam mencoba teknik berhitung dari Brahmagupta,
dan lain-lain.
4.menggunakan sejarah matematika sebagai pendekatan alternatif mengenalkan
konsep matematika
Masalah-masalah berupa soal dari sejarah matematika dapat menjadi pendekatan
alternatif pembelajaran konsep matematika (problem based learning). Contohnya,
penggunaan soal yang memuat penggunaan FPB dan KPK dari sejarah matematika sebagai
sumber pembelajaran tentang FPB dan KPK. Dapat pula kronologis konsep matematika
dalam sejarah menjadi alur dalam penyampaian konsep matematika di kelas, contohnya
dalam sejarah matematika orang mulai mengenal bilangan asli, lalu bilangan pecahan positif,
lalu bilangan negatif dan nol, baru kemudian bilangan irasional. Dengan demikian,
pembelajaran bilangan dapat dimulai dari pengenalan bilangan asli, lalu pecahan positif,
bilangan nol (atau cacah), lalu bilangan negatif (atau bulat), dan kemudian baru pengenalan
bilangan irasional. Tetapi tentu hal ini membutuhkan penyesuaian dalam hal penyajian
materi.
Sementara Siu Man-Keung (1997) menyatakan terdapat empat level penggunaan contoh
ilustrasi dalam sejarah matematika dalam pembelajaran di kelas yaitu:
1. Anecdotes (cerita yang menyenangkan),
2. Broad Outline (garis besar yang penting),
3. Content (materi yang detail), dan
4. Development of mathematical ideas (pengembangan gagasan matematika).
Terlihat bahwa dua level yang pertama merupakan level yang cocok untuk
pembelajaran di SD, SMP, maupun SMA. Bagaimana cara pemanfaatannya, tentu tidak jauh
berbeda dari yang telah dipaparkan di atas. Hanya saja untuk dua level yang terakhir, perlu
kehati-hatian dalam menerapkan di sekolah, karena pemanfaatan sejarah matematika pada
dua level terakhir tersebut menuntut kecermatan dan pemikiran yang lebih tajam yang cocok
untuk sekolah menengah lanjutan (SMP) atau umum (SMA).
Demikian sedikit kajian tentang pemanfaatan sejarah matematika dalam pembelajaran
matematika di sekolah. Tulisan ini masih berupa kajian awal, tetapi paling tidak dapat
memberikan nuansa baru dan langkah awal bagi perkembangan pembelajaran matematika di
sekolah.