13. Relasi Referensi & FMADM(SAW dan FSAW)

  I.1 RELASI REFERENSI & FUZZY MULTI

  ^I.1

  17/9/2015 Kode MK :TIF ........, MK : Fuzzy Logic

  ^I.2

  I.2

OUTLINE

• Metode FIS Sugeno • Langkah-langkah FIS-Sugeno
• Contoh FIS-Sugeno

  17/9/2015 Kode MK :TIF ........, MK : Fuzzy Logic

  ^I.3

  I.3 Pokok Pembahasan

• Pendahuluan • Fuzzy Multi Atribute Decision Making (FMADM)

  11/08/2011 ^{Logika Fuzzy}

  ^I.4

  I.4

Relasi preferensi

• Untuk melakukan agregasi terhadap preferensi para expert ke dalam grup preferensi, dibutuhkan relasi preferensi.
• Pada relasi preferensi, setiap expert menghubungkan nilai preferensi antar setiap alternatif.
• Ada 2 macam relasi preferensi yang sering digunakan, yaitu: relasi preferensi multiplikatif (multiplicative

  

preference relations) dan relasi preferensi fuzzy (fuzzy

preference relations).

  I.5

  ^I.5

• Relasi preferensi multiplikatif, A, pada himpunan alternatif X direpresentasikan sebagai matriks A 

  X X X, A = (a ), a merupakan rasio preferensi _{ij ij} alternatif x terhadap x , berarti bahwa x a kali lebih _{i j i ij} baik daripada x . _j

• Saaty merekomendasikan untuk menggunakan nilai

  1-9 untuk a . Jika a = 1 berarti tidak ada perbedaan _{ij ij} antara xi dan x ; jika a = 9 berarti x mutlak lebih _{j ij i} baik daripada x . _j

  ^I.6

  I.6

Relasi preferensi fuzzy

• Relasi preferensi fuzzy biasanya digunakan oleh pengambil keputusan dalam memberikan derajat preferensi alternatif x terhadap alternatif x . _i
j<
• Relasi preferensi fuzzy, P, pada himpunan alternatif X adalah himpunan fuzzy dalam bentuk X X X, yang dicirikan dengan fungsi keanggotaan:

   _P : X X X  [0, 1] dengan P = (p ), dan p =  (x ,x _{ij ij P i j} ) i,j = {1,2,...,n} adalah derajat preferensi alternatif x terhadap alternatif x . Jika _{i j} p = ½ berarti bahwa tidak ada perbedaan antara x _{ij i} dengan x ; jika p = 1 berarti bahwa x mutlak lebih baik _{j ij i} daripada x ; dan jika p &gt; ½ berarti bahwa xi lebih baik _{j ij} daripada x . _j

  ^I.7

  I.7

• Menjaga konsistensi dari relasi preferensi fuzzy, dibutuhkan suatu properti konsistensi.
• Salah satu properti yang sering digunakan adalah transitivitas.
• Pada properti ini, disebutkan bahwa nilai preferensi yang diperoleh dengan cara membandingkan 2 alternatif secara langsung harus sama atau lebih dari nilai preferensi 2 alternatif dengan pembanding lainnya, mengikuti aturan sebagai berikut:

  I.8 Triangle condition p _ij + p _jk

   p _ik , i,j,k Weak transitivity Jika p _ij

   0,5 dan p _jk  0,5; maka p _ik  0,5; i,j,k Max-min transitivity p _ik

   min(p _ij , p _jk ); i,j,k Max-max transitivity p _ik

   max(p _ij , p _jk ); i,j,k Restricted max-min transitivity

  Jika p _ij  0,5 dan p _jk  0,5; maka p _ik  min(p _ij , p _jk ); i,j,k Restricted max-max transitivity

  Jika p _ij  0,5 dan p _jk  0,5; maka p _ik  max(p _ij , p _jk ); i,j,k Multiplicative transitivity (p _ji /p _ij ).(p _kj /p _jk ) = (p _ki /p _ik

  ), i,j,k Additive transitivity p _ij + p _ij + p _jk + p _ki

  = 3/2 i,j,k

  I.9

  ^I.9

Ordered Vectors

• Format preferensi adalah: _{k k k k}

  O = (o (1), o (2), ..., o (m)) _k dengan o (.) adalah fungsi permutasi pada himpunan _k indeks {1,2,...,m} dan o (i) merepresentasikan ranking yang diberikan oleh pengambil keputusan ek dari alternatif S , i=1,2,...,m. _i

• Penulisan ranking dimulai dari yang terbaik sampai terburuk.

  ^I.10

  I.10

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya terhadap 4 alternatif {A , A , A , A }
_{1 2 3 4} dengan urutan (menurun) sebagai berikut A → A _{3 2} → A → A maka format preferensi yang diberikan, _{4 1 1} dinotasikan sebagai: O = {3, 2, 4, 1}.

  ^I.11

  I.11

Utility Vectors

• Format preferensi adalah: _{k k k k}

  U = (u , u , ..., u ) _{1 2 m} dengan ukm [0,1]; dengan 1 ≤ i ≤ m dan ukm adalah nilai utilitas yang diberikan oleh pengambil _k keputusan e dari alternatif A , i=1,2,...,m _i

  ^I.12

  I.12

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya terhadap 4 alternatif {A , A , A , A }
_{1 2 3 4} dengan utilitas untuk setiap alternatif, dia berikan sebagai berikut A = 0,5; A = 0,7; A = 0,6; dan A = _{1 2 3 4}

  0,3; maka format preferensi yang diberikan, ₁ dinotasikan sebagai: U = {0,5; 0,7; 0,6; 0,3}.

  ^I.13

  I.13

Linguistic Terms

• Format preferensi adalah: _{k k k k}

  L = (l , l , ..., l ) _{k 1 2 m} dengan l merepresentasikan evaluasi yang diberikan _{m k} oleh pengambil keputusan e secara linguistik dari alternatif S , i=1,2,...,m _i

  ^I.14

  I.14

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya secara linguistik terhadap 4 alternatif {A , A , A , A } masing-masing: A = ”Baik”; A =
_{1 2 3 4 1 2} ”Sangat Baik”; A = ”Cukup”; dan A = ”Baik”; maka _{3 4} format preferensi yang diberikan, dinotasikan ₁ sebagai: L = {“Baik”, “Sangat Baik”, “Cukup”,

  “Baik”}.

  I.15

  ^I.15

Selected Subsets of A

• Format preferensi adalah:

  ~ k k k k

  A A , A , , A A





   i 1 i 2 im

   

  dengan i &lt; m. Alternatif-alternatif yang ada di _m

  ~

  ekuivalen dan mendominasi dari sisanya yang ada di

  A

  A

  ^I.16

  I.16

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya terhadap 4 alternatif {A , A , A , A },
_{1 2 3 4} dan pengambil keputusan tersebut hanya memilih alternatif A dan A , maka format preferensi yang _{1 3} diberikan, dinotasikan sebagai: {A , A }. _{1 3}

  I.17 ^I.17

Fuzzy Selected Subsets of S

• Format preferensi adalah: dengan i _m

  &lt; m. dan l ^k _ij adalah bentuk linguistik.

          k im k i k 2 i k i k 1 i k i k

  

, l A , , l , A , l , A A

~  

  ^I.18

  I.18

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya terhadap 4 alternatif {A , A , A , A },
_{1 2 3 4} dan pengambil keputusan tersebut hanya memilih alternatif A dengan status ”Baik” dan alternatif A _{1 3} dengan status ”Sangat Baik”, maka format preferensi yang diberikan, dinotasikan sebagai: {(A , “Baik”); ₁ (A , “Sangat Baik”)}. ₃

  ^I.19

  I.19

Normal Preference Relation

• Format ini biasanya diberikan sebagai, seorang pengambil keputusan lebih memilih A daripada A , _{i j} dst.
• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya terhadap 4 alternatif {A , A , A , A },
_{1 2 3 4} dan pengambil keputusan tersebut lebih memilih A ₃ daripada A ; dan lebih memilih A daripada A . _{2 4 1}

  ^I.20

  I.20

Fuzzy Preference Relation

• Seorang pengambil keputusan memberikan suatu matriks P = {p | i,j=1,2,..,m}, dengan p adalah _ij
_ij derajat preferensi alternatif A terhadap A , p + p = _{i j ij ji} 1.

  I.21 ^I.21

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya terhadap 4 alternatif {A
₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ }, dan pengambil keputusan tersebut memberikan prefer
• – A
₁ terhadap A ₂ sebes
• – A
₁ terhadap A ₃ sebes
• – A
₁ terhadap A ₄ sebes
• – A
₂ terhadap A ₃ sebes
• – A
₂ terhadap A ₄ sebes
• – A
₃ terhadap A ₄ sebesar 3
• – A
₃ terhadap A ₄ sebesar 2;

  I.22 ^I.22

• – maka matriks relasi preferensi fuzzy dapat diberikan sebagai berikut:

       

       

     

   3 / 1 7 /

  1 2 /

  1

  3 5 / 1 5 /

  1

  7

  5 3 /

  1

  2

  5

  1

  ^I.23

  I.23

Penyeragaman Format Preferensi

• Pada dasarnya, format preferensi yang ada dapat ditransformasikan ke dalam bentuk relasi preferensi fuzzy.
• Salah satu kegunaan dari transformasi ini adalah untuk melakukan penyeragaman format preferensi, apabila proses pengambilan keputusan dilakukan dalam bentuk group (Group Decision Making) yang mana setiap pengambil keputusan memberikan preferensinya dengan format preferensi yang berbeda-beda

  I.24 ^I.24 Ordered vectors to fuzzy preference

relations

• Transformasi ke relasi preferensi fuzzy antara alternatif A _i

  dan A _j dirumuskan sebagai: dengan o ^k (j) adalah posisi ranking alternatif A _j di O ^k , j=1,2,...,m

  m j i 1 ; 1 m ) i ( o

  1 m ) j ( o

  1

  2

  1 p ^{k k k} _ij    

     

     

     

  I.25 ^I.25

• Misalkan format preferensi diberikan oleh seorang pengambil keputusan dalam bentuk vektor urutan: O
¹ = {3, 2, 4, 1}; maka format tersebut dapat ditransformasikan ke dalam bentuk relasi preferensi fuzzy, P ¹ , sebagai berikut

       

       

   

   

   00 , 1 67 ,

  83 , 00 , 17 ,

  33 , 33 , 83 ,

  67 , 17 , 67 ,

  33 , P ¹

  I.26 Utility vectors to fuzzy preference

relations

  ^I.26

• Transformasi ke relasi preferensi fuzzy antara alternatif A dan A dirumuskan sebagai: _{i j}

  2 k u k i

    p

  ; 1 i j m     ij

  2

  2 k k u u  i j _k     _k

  dengan u adalah preferensi yang diberikan oleh e _{i k} terhadap alternatif S di U , i=1,2,...,m _i

  I.27 ^I.27

• Misalkan format preferensi diberikan oleh seorang pengambil keputusan dalam bentuk vektor utilitas: U
¹ = {0,5; 0,7; 0,6; 0,3}.; maka format tersebut dapat ditransformasikan ke dalam relasi preferensi, P ¹ , sebagai berikut:

       

       

   

   

   20 , 16 , 26 ,

  80 , 42 , 59 ,

  84 , 58 , 66 ,

  74 , 41 , 34 ,

  P ¹

  I.28 Linguistic term vectors to fuzzy preference relations

  ^I.28

  

~

A ( u , , )   
• Suatu bentuk linguistik, , diberikan sebagai bilangan fuzzy segitiga dengan derajat keanggotaan:

  x  

   ; x [ , u ]

     u

     x

    

  [ x ] ; x [ u , ]     _A

   u  

   ; lainnya

     dengan  ≤ u ≤ ,  adalah batas bawah, dan  adalah batas atas

  I.29 ^I.29

• Cheng (1999) mendefinisikan bentuk linguistik (u _i

  ,  _i ,  _i

  ) sebagai berikut:

• – Sangat Baik (Very Good) = (1; 0,8; 1)
• – Baik (Good)

  = (0,75; 0,6; 0,9)

• – Cukup (Fair)

  = (0,5; 0,3; 0,7)

• – Buruk (Poor)

  = (0,25; 0.05; 0,45)

• – Sangat Buruk (Very Poor) = (0; 0; 0,2)
• Misal diberikan 2 alternatif S _i dan S _j

   

  A x ~

  ~ f g p 

  ~ , A

  u u u A

      ² _j ² _i ^{2 i j i k ij}

  ( f

  , A ~

  ) A ~

  A x ~

  A ~

  A x ~

  A ~

  A ~

  I.30 ^I.30

  , , u u u

    _{2 j 2 i} ^{2 i} _{2 j 2 i} ^{2 i} _{2 j 2 i} ^{2 i} _{j j i i} ^{i i} _{j i}

   

     

     

     

     

  ~ _{j j j j}   

     ) , , u ( A

  ) , , u ( A ~ _{i i i i}

  Selanjutnya akan digunakan fungsi defuzzy Max g dan transformasi f, sebagai berikut:

  secara linguistik, dan .

• Sehingga:

  I.31 ^I.31

• Misalkan format preferensi diberikan oleh seorang pengambil keputusan dalam bentuk linguistik : L
¹ = {“Baik”, “Sangat Baik”, “Cukup”, “Baik”}; maka format tersebut dapat ditransformasikan ke dalam relasi preferensi, P ¹ , sebagai berikut:

       

       

   

   

   69 , 36 , 50 ,

  31 , 20 , 31 ,

  64 , 80 , 64 ,

  50 , 69 , 36 ,

  P ¹

  ^I.32

  I.32 Selected Subsets to fuzzy preference

relations

• Relasi preferensi fuzzy antara 2 alternatif A dan A _{i j} dirumuskan sebagai berikut:

   _{k  } 1 ; jika A Aˆ , A A / Aˆ _{i j} p ; 1 i j m _ij 

      , 5 ; lainnya 

  I.33 ^I.33

• Misalkan format preferensi diberikan oleh seorang pengambil keputusan dalam bentuk himpunan bagian: {A
₁ , A ₃ }; maka format tersebut dapat ditransformasikan ke dalam relasi preferensi, P ¹ , sebagai berikut

       

       

     

   5 ,

  1

  1 5 , 5 ,

  1

5 ,

  ¹

  I.34 Fuzzy Selected Subsets to fuzzy preference relations k k

  ^I.34

• Misalkan l = (u ,  ,  ) dan l = (u ,  ,  ); maka _{i i i i j j j j} relasi preferensi fuzzy antara 2 alternatif A dan A _{i j} dirumuskan sebagai:

  ~ A dan A berada pada , maka:

• – Jika A _{i j}

  2 u ~ ~ k i p g f A , A ; 1 i j m

    

ij i j

     

  

2

  2 u u  i j

  I.35 ^I.35

• – Jika A _i

  dan A _j keduanya tidak berada pada , maka:

• – Jika A _i

  berada pada , sedangkan A _j tidak berada pada , maka

  A ~

  A ~ A ~ m j i 1 ;

  5 , p k ij

      m j i 1 ; u p i k ij

     

  I.36 ^I.36

• Misalkan format preferensi diberikan oleh seorang pengambil keputusan dalam bentuk himpunan bagian fuzzy: {(A
₁ , “Baik”); (A ₃ , “Sangat Baik”)}; maka format tersebut dapat ditransformasikan ke dalam relasi preferensi, P ¹ , sebagai berikut:

       

       

   

   

   5 , 25 ,

  1

  1 64 , 5 , 25 , 75 , 36 ,

  75 , P ¹

  I.37 Fuzzy MADM dengan Indeks

  ^I.37

  

Kekuatan &amp; Kelemahan

  I.38 ^I.38

Gambaran umum

• Misalkan terdapat himpunan X = {X
₁ , ... , X _m } yang merupakan himpunan alternatif; C = {C ₁ , ... , C _n }, adaah himpunan krit

• • Kinerja setiap alternatif pada setiap kriteria direpresentasikan

  dalam bentuk bilangan fuzzy, dan terangkum dalam matriks

  D, sebagai berikut:

       

       

  

  mn ^{2 m 1 m n 2 21 n 1 12 11} A A A

  A A A A A D 

    

  

• Bobot setiap kriteria yang menunjukkan pengaruh setiap kriteria adalam sistem, juga direpresentasikan dengan bilangan fuzzy, W = {W
₁

, …, W

_n }.

  I.39

  ^I.39

Algoritma

• Tetapkan matriks keputusan D = (A ), dan vektor _ij bobot, W = (W ); i = 1, …, m; dan j = 1, …, n. _j
• Hitung matriks kekuatan, S = (S ), sebagai berikut: _ij

  P A , A jika j J  _{ij kj}   

    _{k i } S _ij  

  P A , A jika j J' _{kj ij}   

    _{k i } 

  I.40

  ^I.40

  dengan

  A , A jika A , A    _{F ij kj F ij kj}     

  P A , A _{ij kj}   

   jika A , A   _{F ij kj}

    

  Andaikan J adalah atribut keuntungan (benefit), dan J’ adalah atribut biaya (cost), maka: J = {1  j  n, dan j berada pada atribut keuntungan} J’ = {1

   j  n, dan j berada pada atribut biaya} dan J

   J’ = {1, ..., n} Perlu diingat kembali bahwa nilai:

  a 2 a a b 2 b b     

  1

  2

  3

  1

  2

  3 A , B  

  F  

  2

  I.41

  ^I.41

  ), sebagai berikut:

• Hitung matriks kelemahan, I = (I _ij

  P A , A jika j J  _{kj ij}   

    _{k i }

  I _ij   P A , A jika j J' _{ij kj} 

    

   _{k i } 

  I.42 ^I.42

• Hitung indeks kekuatan terbobot fuzzy:
• Hitung indeks kelemahan terbobot fuzzy:

  

  

  

  n 1 j j ij i

  W S S ~ 

  

  

  n 1 j j ij i

  W

  I I ~

  I.43 ^I.43

• Hitung indeks kekuatan, S _i

  , dari indeks kekuatan dan kelemahan terbobot fuzzy:

• Hitung indeks kelemahan, I _i

  , dari indeks kekuatan dan kelemahan terbobot fuzzy:

        _{ }

    i k i k i k k i i

  I ~ ,

  I ~

P S

~

  , S ~ P S

        _{ }

    i k k i i k i k i

  I ~ ,

  I ~

P S

~

  , S ~ P

  I i i i i

  I S S t 

  I.44 ^I.44

• Agregasikan indeks kekuatan dan kelemahan untuk mendapatkan indeks kinerja sebagai berikut:
• Lakukan perankingan berdasarkan indeks kinerja total, t _i , 1  i  m.

  

  I.45

  ^I.45

Contoh:

• Suatu basis pengetahuan untuk melakukan diagnosis penyakit, berisi sekumpulan aturan yang mendukung dalam pengambilan keputusan. Aturan tersebut diberikan oleh seorang pakar (dokter spesialis).
• Setiap aturan menunjukkan hubungan antara fitur-fitur (gejala, tanda atau ukuran) dengan kategori penyakit tertentu.
• Bentuk aturan ke-r (R ) dituliskan sebagai: _r

  R : IF C AND C AND ... AND C THEN A (d ) _{r r1 r2 rn r r} dengan C adalah kriteria atau fitur-fitur ke-i yang menjadi sebab _ri munculnya kategori penyakit A ; sedangkan d merupakan certainty _{r r}

  

factor (CF) yang menunjukkan faktor kepastian terjadinya penyakit

apabila diberikan fitur-fitur terkait pada aturan ke-r.

  ^I.46

  I.46

• Misalkan diberikan himpunan alternatif kategori penyakit, A = {Migren, Sakit kepala cluster, Hipertensi, Glaukoma}.
• Setiap kategori penyakit tentunya memiliki fitur-fitur tertentu yang berkaitan dengan tingkat resiko munculnya kategori penyakit tersebut, misalkan, C = {frekuensi sakit, lama rasa sakit, kualitas rasa sakit, nyeri di satu sisi kepala, nyeri di sekitar mata, mual &amp; muntah}.
• Kinerja setiap alternatif pada setiap kriteria direpresentasikan dalam bentuk bilangan fuzzy.

  I.47 Tabel keputusan Kategori penyakit Fitur-fitur (gejala, tanda atau ukuran) C ₁ C ₂ C ₃ C ₄ C ₅ C ₆ A ₁ Sewaktu- waktu Lama Berat

  Hampir pasti Kadang Sering

  A ₂ Sering Singkat Sangat berat

  Hampir pasti Kadang Hampir tidak

  A ₃ Jarang Cukup Sedang Kadang Hampir tidak

  Hampir tidak A ₄ Sewaktu- waktu Cukup Berat Kadang

  Hampir pasti Kadang

  Dengan vektor bobot:

W = (Penting; Sangat Penting; Sangat Penting; Cukup;

Cukup; Kurang Penting)

  I.48 ^I.48

• Bilangan fuzzy pada contoh diberikan memiliki parameter sebagai berikut:
• – Fitur C1: sewaktu-waktu = (0; 0,25; 0,5); jarang = (0,25; 0,5; 0,75); dan sering = (0,5; 0,75; 1).
• – Fitur C2: singkat = (0; 0,25; 0,5); cukup = (0,25; 0,5; 0,75); dan lama = (0,5; 0,75; 1).
• – Fitur C3: sedang = (0,25; 0,5; 0,75); berat = (0,5; 0,75; 0,9); dan sangat berat = (0,75; 0,9; 0,9).
• – Fitur C4: kadang = (0,25; 0,5; 0,75); dan hampir pasti = (0,75; 0,9; 0,9).
• – Fitur C5: hampir tidak = (0,1; 0,1; 0,25); kadang = (0,25; 0,5; 0,75); dan hampir pasti = (0,75; 0,9; 0,9).
• – Fitur C6: hampir tidak = (0,1; 0,1; 0,25); kadang = (0,25; 0,5; 0,75); dan sering = (0,5; 0,75; 0,9).
• – W: kurang penting = (0,25; 0,25; 0,5); cukup = (0,25; 0,5; 0,75); penting = (0,5; 0,75; 1); sangat penting = (0,75; 1; 1).

  I.49 Tabel Nilai parameter pada tabel keputusan. Kategori penyakit Fitur-fitur (gejala, tanda atau ukuran) C ₁ C ₂ C ₃ C ₄ C ₅ C ₆ A ₁

  (0,1; 0,1; 0,25) (0,1; 0,1; 0,25)

  

(0,75; 1;

1)

(0,25; 0,5; 0,75)

  (0,5; 0,75; 1) (0,75; 1; 1)

  (0,25; 0,5; 0,75) W

  (0,25; 0,5; 0,75) (0,75; 0,9; 0,9)

  (0,25; 0,5; 0,75)

(0,5;

0,75; 1)

  A ₄ (0; 0,25; 0,5)

  

(0,25;

0,5; 0,75)

(0,25; 0,5; 0,75)

  (0; 0,25; 0,5) (0,5; 0,75; 1)

  (0; 0,25; 0,5) (0,25; 0,5; 0,75)

  (0,1; 0,1; 0,25) A ₃

  (0,75; 0,9; 0,9) (0,25; 0,5; 0,75)

  (0; 0,25; 0,5)

(0,75;

0,9; 0,9)

  A ₂ (0,5; 0,75; 1)

  (0,25; 0,5; 0,75) (0,5; 0,75; 0,9)

  

(0,5;

0,75; 1)

(0,75; 0,9; 0,9)

  (0,25; 0,5; 0,75) (0,25; 0,25; 0,5)

  I.50 ^I.50

• Menghitung matriks kekuatan
• – Hitung S
₁₁ : ) A , A ( P

  1

  2 1 ) ( 75 ,

  2 5 , ) 5 , ( 25 ,

  2 ) A , A ( _{21 11 21 11 F}         

    ) A , A ( P

  2 ) 5 , ( 25 ,

  

2

) 5 , ( 25 ,

  2 ) A , A ( _{31 11 31 11 F}        

    ) A , A ( P

  2 ) 5 , ( 25 ,

  

2

) 5 , ( 25 ,

  2 ) A , A ( _{41 11 41 11 F}        

   

  S ₁₁ 

• – Hitung S
₂₁ :

  1

  3 , 2 725 450 , 800 ,

  , 1 000 000 ,

  , 2 000 500 , 500 , 000 , , 000 000 , 000 , 000 , 500 , 000 , , 725 000 , 450 , , 1 175

   , 1 900 450 ,

       

  ₂₁          

  1

  3

  I.51 ^I.51

           

  2 5 , ) A , A ( _{11 21 11 21 F}

  

2

1 ) ( 75 ,

  2 ) 5 , ( 25 ,

  1

  A 1 ) , A ( P

  ₂₁ , A ₃₁ ) dan P(A ₂₁ , A ₄₁ ) juga bernilai 1. dan seterusnya, sehingga diperoleh:

  , 1 500 000 , , 2 000 S

• Menghitung matriks kelemahan
• – Hitung I
₁₁ : A 1 ) , A ( P

  2 ) A , A ( _{11 31 11 31 F}        

  1

   

  2 ) A , A ( _{11 41 11 41 F}        

  

2

) 5 , ( 25 ,

  2 ) 5 , ( 25 ,

    ) A , A ( P

  

2

) 5 , ( 25 ,

  I.52 ^I.52

  2 ) 5 , ( 25 ,

  ) A , A ( P

           

  2 5 , ) A , A ( _{11 21 11 21 F}

  

2

1 ) ( 75 ,

  2 ) 5 , ( 25 ,

  1

  1 I ₁₁    

• – Hitung I
₃₁ : ) 225 , A , A ( P 225 ,

            

  I

  , 225 225 ,

           

  2 5 , ) A , A ( _{13 41 13 41 F}

  

2

5 , ( 75 , 1 )

  2 1 ) ( 75 ,

  ) A , A ( P

  2 25 , ) A , A ( _{13 33 13 33 F}

  I.53 ^I.53

  2 5 , ) 75 , ( 5 ,

  ( 75 ,

  ) A , A ( P 5 , 2 1 )

           

  2 75 , ) A , A ( _{13 23 13 23 F}

  2 5 , ) 9 , ( 9 ,

  2 1 ) ( 75 ,

  13    

  I.54 dan seterusnya, sehingga diperoleh:

       

       

   , 000 450 , 450 , , 1 225 500 , 000 ,

  1 , 1 900 900 ,

  , 2 450 , 1 725 , 1 500 000 ,

  1 , 1 725 000 , 000 , 000 , 900 ,

  , 2 000 , 725 000 , 000 , 225 , 000 , 000 ,

  I.55

  ^I.55

• Menghitung indeks kekuatan terbobot:

  ~ S ( )( , 5 ) ( 2 )( , 75 ) ( , 5 )( , 75 ) ( 1 ,

45 )( ,

25 ) ( , 725 )( , 25 ) ( 2 , 8 )( , 25 ) 3 , 1187 _{1 a}       

  ~ S ( )( , 75 ) ( 2 )( 1 ) ( , 5 )( 1 ) ( 1 , 45 )( , 75 ) ( , 725 )( , 75 ) ( 2 , 8 )( , 5 ) 4 , 2875 _{1 b}        ~

  S ( )( 1 ) ( 2 )( 1 ) ( , 5 )( 1 ) ( 1 , 45 )( , 75 ) ( , 725 )( , 75 ) ( 2 , 8 )( , 5 ) 5 , 5313 _{1 c}        ~ S ( 3 )( , 5 ) ( )( , 75 ) ( 1 , 175 )( , 75 ) ( 1 , 45 )( , 25 ) ( , 725 )( , 25 ) ( )( , 25 ) 2 , 925 _{2 a}        ~

  S ( 3 )( , 75 ) ( )( 1 ) ( 1 , 175 )( 1 ) ( 1 , 45 )( , 75 ) ( , 725 )( , 75 ) ( )( , 5 ) 4 , 5125 _{2 b}        ~ S ( 3 )( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 , 175 )( 1 ) ( 1 , 45 )( , 75 ) ( , 725 )( , 75 ) ( )( , 5 ) 5 , 8062 _{2 c}       

  I.56

  ~ S ( )( , 5 ) ( , 5 )( , 75 ) ( )( , 75 ) ( )( , 25 ) ( )( , 25 ) ( )( , 25 ) , 375 _{3 a}        ~ S ( )( , 75 ) ( , 5 )( 1 ) ( )( 1 ) ( )( , 75 ) ( )( , 75 ) ( )( , 5 ) ,

  5 _{3 b}        ~ S ( )( 1 ) ( , 5 )( 1 ) ( )( 1 ) ( )( , 75 ) ( )( , 75 ) ( )( , 5 ) ,

  5 _{3 c}       

  ~ S ( )( , 5 ) ( , 5 )( , 75 ) ( , 5 )( , 75 ) ( )( , 25 ) ( 2 , 9 )( , 25 ) ( 1 , 45 )( , 25 ) 1 , 8375 _{4 a}       

  ~ S ( )( , 75 ) ( , 5 )( 1 ) ( , 5 )( 1 ) ( )( , 75 ) ( 2 , 9 )( , 75 ) ( 1 , 45 )( , 5 ) 2 , 8125 _{4 b}        ~

  S ( )( 1 ) ( , 5 )( 1 ) ( , 5 )( 1 ) ( )( , 75 ) ( 2 , 9 )( , 75 ) ( 1 , 45 )( , 5 ) 3 ,

  9 _{4 c}       

• Hitung indeks kelemahan terbobot:

    

  , 8500 1 ;

  2 7687 , , 3375 1 ;

  , 1563 2 ;

  3 4938 , , 8375 3 ;

  , 7312 5 ;

  1 4375 , , 6250 7 ;

  , 3125 3 ; , 5188 2 ;

   0375 ,

       

       

     

  I.57 ^I.57

  3 S ~ 

  2 5313 , , 2875 5 ; , 1187 4 ;

  , 9250 4 ;

  1 ; 5000 , 5000 , ; 3750 , , 5125 5 ; 8062 ,

  , 8375 2 ;

   , 8125 3 ; 9000 ,

       

        

     

    

  I ~

  I.58

  ^I.58

• Indeks kekuatan:

  24 , 1281     16 , 9500   S

    , 0000    12 , 4344  

• Indeks kelemahan:

  , 2656     4 , 0875  

  

I

 41 , 0875  

    8 , 0719  

  I.59 ^I.59

• Indeks kinerja diperoleh berdasarkan agregasi indeks kekuatan dan indeks kelemahan:

  9892 , , 1281 2656 , 24 1281 ,

  24 t ₁  

   8057 , 0875 ,

  4 95 , 16 95 ,

  16 t ₂



 

  0875 ,

  41 t ₃   

  6064 , 0719 , , 8 4344

  12 4344 , 12 t ₄

   

  

  ^I.60

  I.60

• Resiko kategori penyakit (certainty factor) yang paling tinggi adalah:
• – Migren (0,9892);
• – Sakit kepala cluster (0,8057);
• – Glaukoma (0,6064); dan – Hipertensi (0).

  I.61 Operator-operator agregasi untuk Fuzzy Group

  ^I.61

  

Decision Making

  ^I.62

  I.62

Fuzzy Quantifier

• Quantifier digunakan untuk merepresentasikan sejumlah item yang memenuhi suatu predikat yang diberikan.
• Pada logika klasik ada 2 quantifier yang digunakan, yaitu untuk setiap (for all), dan terdapat (there exists).
• Namun pada kenyataannya, di dunia ini banyak sekali quantifier yang sebenarnya dapat digunakan, seperti: hampir semua, sebagian besar, banyak, sebanyak mungkin, dll.
• Zadeh mengklasifikasikan quantifier ke dalam 2 bentuk, yaitu absolut dan relatif.

  I.63 ^I.63

• Quantifier absolut biasanya digunakan untuk merepresentasikan nilai-nilai yang bersifat mutlak, seperti sekitar 2 (about 2) atau lebih dari 5 (more than 5).
• Biasanya yang menggunakan ini adalah konsep pencacahan atau penjumlahan elemen.
• Zadeh mendefinisikan quantifier absolut sebagai suatu himpunan bagian fuzzy yang berisi bilangan real non ⁺ negatif, .

  

• Quantifier absolut dapat direpresentasikan sebagai himpunan bagian fuzzy, Q, sedemikian hingga untuk ⁺ setiap r , derajat keanggotaan r yang terletak di

    dalam Q, Q(r), menunjukkan derajat yang mana nilai r kompatibel dengan quantifier yang direpresentasikan oleh Q.

  I.64

  ^I.64

• Quantifier relatif, seperti paling (most), setidaknya setengah (at least half), dapat direpresentasikan dengan himpunan bagian fuzzy pada interval [0, 1], yang mana untuk setiap r

   [0, 1], Q(r), menunjukkan derajat proporsi r kompatibel terhadap maksud dari quantifier tersebut.

• Secara fungsional, quantifier relatif fuzzy, biasanya merupakan salah satu dari 3 tipe, yaitu Regular

  Increasing Monotone (RIM), Regular Decreasing Monotone (RDM), atau Regular Unimodal (RUM)

  (Yager, 1996).

• RIM dicirikan dengan hubungan: Q(r ) jika r &gt;
₁ )  Q(r _{2 1} r . Quantifier yang digunakan pada RIM biasanya adalah ₂ ”most” dan ”at least half&rd
• RDM dicirikan dengan Q(r ) ) jika r &lt; r .
₁  Q(r _{2 1} 2<
• RUM diekspresikan sebagai interseksi antara RIM dan

  RDM

  I.65

  ^I.65

• Parameter-parameter pada RIM, diberikan oleh Yager _ sebagai Q(r) = r

  , dengan   0. Linguistic quantifer ”most” diberikan dengan parameter  = 2.

• Nilai dari fungsi ini senantiasa naik, sehingga apabila kita dihadapkan pada operator yang mana nilai bobot tinggi menunjukkan konsistensi rendah, maka dapat dimodifikasi dengan:
• – pengambil keputusan diurutkan berdasarkan kriteria yang berlawanan, atau;
½<
• – menggunakan RIM dengan nilai  &lt; 1, misal Q(r) = r untuk merepresentasikan ”most”.

  I.66

  ^I.66

• Menurut (Zadeh,1983), fuzzy linguistic quantifier, Q, dapat direpresentasikan dengan pasangan (a,b) sebagai berikut:

  ; x a 

    x a

   Q ( x ) ; a x b

      b a

    1 ; x b

    dengan a, b, x  [0,1].

• Untuk beberapa linguistik, seperti:
• – “At least half” = (0; 0,5)
• – “Most” = (0,3; 0,8)

  I.67 Ordered Weighted Averaging (OWA) _n

  ^I.67

  :

• Operator OWA dari suatu fungsi berdimensi n, yang     berhubungan dengan himpunan bobot atau vektor bobot W _{n w }
₁ = (w ,...,w ) dengan w _{1 n i} [0,1] dan serta digunakan untuk i

   _{i  1}

  mengagregasikan barisan nilai {p ,...,p }: _{1 n}

  n ( p , , p ) w p 

    w 1 n i ( i ) _

  



i

_

  1

• menjadi suatu permutasi sedemikian

  : { 1 ,  , n } { 1 ,  , n }  

  hingga ; adalah nilai tertinggi pada

  p p p , i _{   ( i ) ( i     1 ) } 1 ,  ( n 1 ) _{( i )}

  himpunan {p ,...,p } _{1 n}

  I.68

  ^I.68

• Apabila diberikan n kriteria sebagai himpunan bagian fuzzy dari himpunan alternatif X, operator OWA digunakan untuk mengimplementasikan konsep mayoritas fuzzy pada tahap agregasi dengan menggunakan fuzzy linguistic quantifier.
• Hal ini digunakan untuk menghitung bobot OWA, sehingga untuk Q kriteria (atau pakar), e , pada alternatif _k x, dapat dihitung bobot-bobot OWA sebagai berikut:

  i i

  1      w Q Q ; i 1 ,  , n . _{i    }    n n

     

• Apabila fuzzy quantifier Q digunakan untuk menghitung bobot pada OWA, maka operator , dinotasikan dengan  _Q .

  ^I.69

  I.69

Contoh

• Misalkan ada 3 pengambil keputusan (P , P , P ), yang
_{1 2 3} memberikan preferensinya dalam bentuk relasi preferensi fuzzy untuk 3 alternatif sebagai berikut:

  , 50 , 66 ,

  94 , 50 , 75 ,

  87   ₁   ₂

     

  P , 34 , 50 ,

  87 P , 25 , 50 , 66  

     

  , 06 , 13 ,

  50  

  , 13 , 34 ,

  50  

     

  , 50 , 66 ,

  75 ₃

 

 

P , 34 , 50 ,

  66 

 

 ,

  25 , 34 , 50 

 

  I.70

  ^I.70

• Apabila digunakan operator agregasi OWA dengan fuzzy

  

linguistic quantifier “most” yang didefinisikan sebagai

_1/2

  Q(r) = r , maka vektor bobot yang bersesuaian dapat dihitung sebagai berikut:

  1

  1     w Q Q ,

  58 _{1    }     

  3

  3

  3    

  2

  1

  2

  1     w Q Q ,

  24 _{2    }     

  3

  3

  3

  3    

  3

  2

  2     w Q Q

  1 ,

  18 _{3    }     

  3

  3

  3    

• Kemudian dilakukan pengurutan elemen-elemen untuk setiap relasi preferensi untuk mendapatkan p _

  34 , 13 , 66 , 50 ,

  66 , 50 , 25 , 75 ,

   50 , 13 , 06 ,

      

       

      

  P ^{' 2}     

  34 , 87 , 66 , 50 ,

   ; 50 ,

  I.71 ^I.71

      

      

  75 , 50 , P ^{' 1}

  87 , 50 , 34 , 94 ,

  ; 50 , 34 , 25 ,

  p

  (i), sehingga diperoleh: ^k ₁₁

  66 , 50 , P ^{' 3}

  I.72 ^I.72

  89 , 71 , 50 , 50 ,

  34 , 94 , 75 , 50 ,

  34 , 25 , 87 , 50 ,

  ) ( 24 , 50 ,

  34 , 87 , 66 , 50 ,

  34 , 13 , 66 , 50 ,

  ) ( 18 , 50 ,

  25 , 75 , 66 , 50 ,

  13 , 06 , 66 , 50 ,

  19 , 78 , 50 , 32 ,

      

     50 , 30 ,

      

       

      

       

      

       