KALKULUS 2 TEKNIK ELEKTRO SEMESTER 2 UNI

2017

DAFTAR ISI

BAB 1.

SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

Dasar bilangan kompleks
Penjumlahan dan pengurangan
Perkalian bilangan kompleks

BAB 2.

BAB 3.

BAB 4.

1.4

Kesamaan bilangan kompleks

1.5

Bilangan kompleks secara grafis

1.6

Bilangan kompleks bentuk kutub

DETERMINAN
2.1

Sifat-sifat determinan

2.2

Perhitungan nilai determinan

2.3

Determinan 3 variabel

DIFERENSIAL
3.1

Diferensial Baku

3.2

Fungsi dari Suatu Fungsi

3.3

Perkalian Dua Fungsi

3.4

Pembagian Dua Fungsi

3.5

Diferensial Logaritmik

3.6

Diferensial Fungsi Implisit

INTEGRAL
4.1

Integral Baku

4.2

Fungsi dari Suatu Fungsi Linier

4.3

Bentuk Integral

4.4

Integral Parsial (Pembagian)

I. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

Tujuan :
1. Mahasiswa dapat memahami asal bilangan kopleks dan pangkat j
2. Mahasiswa mampu menuliskan bilangan kompeks kedalam bentuk grafis
3. Mahasiswa mengenal bentuk-bentuk bilangan komples
4. Mahasiswa mampu mengoperasikan persamaan bilangan kompeks pada
operator penjumlahan dan pengurangan.

Dasar bilangan kompleks
Bilangan komplek merupakan bilangan yang banyak digunakan dalam teknik elektro
untuk menyelesaikan berbagai persoalan analitik. Banyak pemecahan masalah ke teknik
elektro

yang mampu diselesaikan dengan menggunakan bilangan kompels. Bilangan

komplek berasal dari akar-akar persamaan kuadrat yang tidak dapat di definisikan lebih
lanjut. Biasanya akar-akar persamaan kuadrat pada kondisi tersebut dikatakan sebagai
bilangan imajiner atau bilangan khayal. Bilangan khayal merupakan kesepakatan para ahli
matematika untuk menyelesaikan persamaan yang memiliki akar –1 atau

1

1 ? Akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dengan mengunakan

Dari mana munculnya
rumus abc. Rumus abc :

x1 , x2 

b  b 2  4.a .c
2.a

Perhatikan soal berikut :
x2+4x+3 =0
Akar-akar persamaan kuadratnya adalah :

x1 

2  16  4.1.3
2.1

atau

2  4
2
x1   1  1
x1 

x2 

2  16  4.1.3
2.1

2  4
2
x2   1  1

x2 

Pada prinsipnya akar-akar persamaan kuadrat tidak dapat diselesaikan. Bilangan yang
muncul dari akar-akar imajiner persamaan kuadrat tersebut bilangan kompleks. Bilangan
kompleks yang terbentuk biasa ditulis dengan notasi sebagai berikut :
x= a + j b

atau

x=a–jb

a adalah bilangan real dan jb adalah bilangan imajiner
Buku Ajar Kalkulus II

-1-

jadi bilangan komplek adalah penggabungan antara bilangan real dan bilangan imajiner.

1 atau

j merupakan simbole dari

1  j

Hasil dari persolan diatas adalah :

x1   1  j

x2   1  j

kenapa hasilnya dua ?
Dikatakan bahwa x1 memiliki konjugasi bilangan yaitu x2.
Maka bilangan kompleks terdiri dari bagian real dan imajiner, dalam pernyataan seperti ;
x = 3 + j5.
3

disebut bagian real dari x

5 disebut bagian imajiner dari x

Dengan mengingat bahwa j menyatakan

1

j =

1 , beberapa pangkat dari j.

j2 = -1
j3 = (j2)j = -1 . j = -j
j4 = (j2)2 = (-1)2 = 1
Dengan cara yang sama berapa nilai j6, j9, j15.

Penjumlahan dan pengurangan
Contoh 1.
(4 + j5) + (3 – j2) = 4 + j5 + 3 – j2
= (4 + 3) + j(5 – 2)
= 7 + j3
Contoh 2.
(4 + j5) - (3 – j2) = 4 + j5 - 3 + j2

= (4 - 3) + j(5 + 2)
= 1 + j7
Jadi secara umum, (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Sekarang kerjakan :
(i)

(5 + j6) + (3 – j4) – (6 – j3) = .......

(ii)

(6 + j5) - (4 – j3) + (2 – j7) = .......

(iii)

(3 + j5) - (5 + j4) – (6 + j3) = .......

Buku Ajar Kalkulus II

-2-

Perkalian bilangan kompleks
Perkalian dikerjakan dengan cara yang sama seperti kita menghitung perkalian,
dengan cara :
(i)

kedua suku yang kiri

(ii)

kedua suku yang dalam

(iii)

kedua suku yang luar

(iv)

kedua suku yang kanan

Contoh 1.
(5 + j6) (3 – j4) = 15 + j18 – j20 – j2 24
= 15 – j2 + 24
= 39 – j2
Contoh 2.
(4 + j5) (3 + j2) = 12 + j15 + j8 + j2 10
= 12 + j23 - 10
= 2 + j23

Jika perkaliannya memuat lebih dari dua faktor, maka perkaliannya dilakukan secara
bertahap.
Contoh
(4 + j5) (3 + j2) (2 - j) = (12 + j15 + j8 + j2 10) (2 - j)
= (12 + j23 – 10) (2 - j)
= (2 + j23) (2 - j)
= ...........
Jika ada perkalian dua bilangan komplek yang tanda didalam operasinya saling
meniadakan disebut bilangan kompleks konjugat dan hasil bilangannya selalu riil.
Contoh.
(5 + j8) (5 – j8) = 25 + j40 – j40 – j2 64
= 25 + 64
= 89

Membagi bilangan kompleks dengan bilangan riil :
Buku Ajar Kalkulus II

-3-

5  j4
5
4

 j
 1,67  j1,33
3
3
3

Tetapi jika penyebut dan pembilangnya sama dengan faktornya maka caranya adalah :

7  j 44  j 3  28  j 37  12  16  j 37
7  j4

4  j 34  j 3
4  j3
16  9
25
16
37

 j
 0,64  j1,48
25
25
1.4

Kesamaan bilangan kompleks
Jika dua buah bilangan kompleks sama, maka :
(i)

kedua bagian riilnya sama

(ii)

kedua bagian imajinernya sama

Sebagai contoh, jika x + jy = 5 + j4, maka kita ketahui nilai x = 5 dan y = 4.
Jangan lupa menyertakan juga tandanya.
Sekarang bagaimana kalau ada permasalahan berikut :
Jika (a + b) + j(a – b) = 7 + j2, tentukan harga a dan b.
Karena :
a + b = 7 dan a – b = 2
maka 2a = 9 → a = 4,5
2b = 5 → b = 2,5
Sekarang kerjakan soal berikut dengan cara diatas :

1.5

(i)

(a + b) + j(a – b) = 9 + j3

(ii)

(a - b) + j(a + b) = 4 + j8

(iii)

(a + b) - j(a – b) = 2 - j3

Bilangan kompleks secara grafis

Buku Ajar Kalkulus II

-4-

Y

j3

-3

3
0

X1

X

-j3

Y1

Baiklah kita nyatakan kedua garis acuan diatas dengan xx1 dan yy1 seperti biasa, maka akan
kita dapatkan :
(i)

Skala sepanjang sumbu x menyatakan bilangan riil, karena itu xx1 disebut
sumbu riil.

(ii)

Skala sepanjang sumbu y menyatakan bilangan imajiner, karena itu yy1 disebut
sumbu imajiner.

Pernyataan grafis ini dikenal sebagai diagram Argand

Contoh.
(i).

Z1 = 2 + j3

(ii).

Z1 = 4 - j3

Jawab.
Y

3

0

2

-3

Buku Ajar Kalkulus II

-5-

4

x

1.6

Bilangan kompleks bentuk kutub
Kadang-kadang lebih memudahkan menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk

kutub, karena z = a + jb maka bentuk kutub (polar) dapat ditulis :

r 2  a 2  b2 r 
tan  

a 2  b2

b
b
   tan 1
a
a

a  r cos  dan b  r sin 
Contoh.
Nyatakanlah Z = 4 + j3 dalam bentuk kutub.
Jawab.

r 2  a 2  b2

tan  

r 

  36 0 52 '

r 

4 2  32
25  5

3
4
tan   0,75

Maka z  5(cos 360 52'  j sin 360 52 ' )

Latihan soal.
1.

Nyatakan dalam bentuk a + jb
(i)

(4 – j7)(2 + j3)
4  j3
2 j

(ii)
(iii)

5(cos 2250 + j sin2250)

(iv)
4

2.

3.

3300

Nyatakan dalam bentuk kutub
(i)

3 + j5

(ii)

-4 - j5

Carilah harga x dan y yang memenuhi persamaan ;
(x + y) + j(x –y) = 14,8 + j 6,2

Buku Ajar Kalkulus II

-6-

BAB 2
DETERMINAN

Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara teratur dalam sebuah bujur
sangkar, yang letaknya horisontal dan vertikal serta mempunyai satu harga tertentu.
2.1

Sifat-sifat determinan
a) Apabila semua unsur dalam suatu baris atau suatu kolom sama dengan nol, maka
harga determinan = 0

2

4 1

2 0 4

D = 2 3 5 = 0

0

D= 3 0 1

0 0

=0

5 0 2

b) Harga determinan tidak berubah, bila semua baris diubah menjadi kolom atau
semua kolom diubah menjadi baris.

D=

1 1
2 3

=1

D=

1 2
=1
1 3

c) Pertukaran tempat diantara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada
suatu determinan akan mengubah tanda determinan.

D=

1 1
2 3

=1

→ ditukar baris

D=

→ ditukar kolom

D=

2 3
1 1
1 1
3 2

= –1
= –1

d) Bila suatu determinan terdapat dua baris atau kolom yang sama (identik), maka
harga determinan itu = 0

1 2 4

1 1 3

D= 1 2 4 =0
3 5 6

D= 2 2 5 =0
4 4 6

Ada 2 baris yang sama

Ada 2 kolom yang sama

e) Bila semua unsur sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor
tidak bernilai 0, maka harga determinan dikalikan dengan bilangan itu.
Buku Ajar Kalkulus II

-7-

1 1

D=

2 3

=1

↔ baris 1 dikalikan 2 → D =
↔ kolom 1 dikalikan 2 → D =

2 2
2 3

=6–4=2

2 1

=6–4=2

4 3

f) Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang baris atau kolom
dapat dikalikan dengan sebuah faktor (≠ 0) dan menambahkannya pada atau
mengurangi dari sembarang baris (kolom) yang lain.

1 2

D=

3 4

= –2

↔ ekspansi baris H21 (-2) D =

D=
↔ ekspansi kolom K21 (-1) D =
2.2

1 2
3 4

=

1 2
= –2
1 0
1 1
= –2
3 1

Perhitungan nilai determinan
a) Metode Sarrus
Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan tingkat atau orde
tiga saja.

D=

a11
a 21

a12
a 22

a13 a11
a 23 a 21

a12
a 22

a 31

a 32

a 33 a 31

a 32

D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 . a31) –
(a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33)
Contoh soal:

1
[A] =

1

2

2

3
4

4
1
1

1
→→

1

2

2

3
4

4
1
1

1 2
1 3
2 4

= (1.(– 3).1) + (2.1.(– 2)) + ((– 4).1.4) – ((– 4).(– 3).(–2)) – (1.1.4) – (2.1.1)
= (– 3) + (– 4) + (– 16) + 24 – 4 – 2
= – 5.
Buku Ajar Kalkulus II

-8-

b) Metode Chio
Harus dibuat MSA

 1 2 4 
A =   1 3  1 
 2  4 1 

1  2 4 
0 1
3 

0 0  7

H21 (1)
~
H31 (-2)

= Harga determinannya menjadi = 1.1.(– 7) = – 7 (Kalikan diagonal
utamanya)

Contoh soal:



A= 




1 2 3 0 
 2 4  4 1 
3 5
1 1 

1 3 0 2 

1  2 3
0 0
2

0  1 10

0  1  3

H21 (2)
~
H31 (3)
~
H41 (–1)

0
1
1

2

Karena tidak boleh ada bilangan 0 pada a22 maka diadakan pertukaran baris
dengan baris (baris ke 2 dan ke 3 ditukar)
Setelah diadakan pertukaran baris, maka dikalikan (–1).

1  2 3
0  1 10
(–1) 
0 0
2

0  1  3

1  2 3
0  1 10
(–1) 
0 0
2

0 0  13

0
1
1

2

→→

0
1
1

1

[A] = (–1) . 1 . (–1) . 2 .

1  2 3
0  1 10
H42 (–1)
(–1) 
~
0 0
2

0 0  13

→ → H43

132 

~
15

2

1  2 3
0  1 10
(–1) 
0 0
2

0
0 0

0
1
1

1

0
1 
1

15
2

= 15.

c) Metode minor (ekspansi)
Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen pada baris ke-i
dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu determinan tingkat (m–1), simbol
yang ditulis Mij.

Contoh soal:

Buku Ajar Kalkulus II

-9-

1 2 3 0 
 2 4  4 1 
3 5
1 1 

1 3 0 2 



1). A = 




a11
2). D =

a12

 1 2 0 
→ → Minor (M23) =   3 5 1 
 1  3 2 
 2 3 0 
→ → Minor (M41) =  4  4 1 
 5
1 1 

a13

a 21 a 22 a 23
a 31 a 32

a 33

Harga determinannya adalah:
D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] –
[(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)]
= [a11(a22 . a33 – a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] +
[a13 (a21 . a32 – a22 . a31)]
= a11

a 22

a 23

a 32

a 33

– a12

a 21 a 23
a 31 a 33

+ a13

a 21 a 22
a 31 a 32

= (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13)
d) Metode Eliminasi
Bagaimana menyelesaikan pasangan persamaan simultan dengan cara eliminasi,
misalnya ;
2x + 3y + 2 = 0

……..(i)

3x + 4y + 6 = 0

……..(ii)

kita dapat mengeliminasi y dahulu untuk memperoleh harga x.
maka :

2x + 3y + 2 = 0

x4

8x + 12y + 8 = 0

3x + 4y + 6 = 0

x3

9x + 12y +18 = 0

maka diperoleh :

x = -10 dan y = 6
Buku Ajar Kalkulus II

- 10 -

e) Metode Determinan
Jika persamaan diatas kita selesaikan dalam bentuk determinan maka persamaan
tersebut kita sederhanakan menjadi ;
a 1 x  b1 y  d 1  0

a 2 x  b2 y  d 2  0

 a1
a
 2

b1 
, disebut determinan orde dua (karena ada dua baris dan dua kolom)
b2 


dan bentuk ini mewakili bentuk a 1 .b2  a 2 .b1 . Kita dapat mengingat dengan
mudah dengan +

contoh.

, -

 4 2
1). 
  4.3  5.2  12  10  2
 5 3

7 4
2). 
  7.3  6.4  21  24   3
6 3

Dalam memecahkan persamaan : a 1 x  b1 y  d 1  0

a 2 x  b2 y  d 2  0

Kita peroleh bahwa : x 

b1 .d 2  b2 .d 1
a 1 .b2  a 2 .b1

 a .d  a 2 .d 1 
y 1 2

 a 1 .b2  a 2 .b1 

Bentuk determinannya :

 b1
b
 2
x
 a1
a
 2

d1 
d 2 
dan y  
b1 
b2 

maka :

 b1
b
 2

x

d1 
d 2 



 a1
a
 2

1

b1 
b2 

dan

 a1
a
 2

y

d1 
d 2 

Kalau kita gabungkan menjadi :

 b1
b
 2
Buku Ajar Kalkulus II

- 11 -

x

d1 
d 2 





 a1
a
 2
 a1
a
 2

d1 
d 2 
b1 
b2 

1
 a 1 b1 
a

 2 b2 

y
1

 a 1 d 1   a 1 b1 

 
a
 2 d 2   a 2 b2 

Tinjaulah bahwa :

b
1   1
b2

Sehingga :

d1 
,
d 2 

a
2   1
a 2

d1 
,
d 2 

a
0   1
a 2

b1 
b2 

x
y
1


1
2
0

Contoh :
1). Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan.
5 x  2 y  19  0
3x  4 y  17  0

Penyelesaian.
a
0   1
a 2

b
1   1
b2

a
2   1
a 2

b1  5

b2  3

2
 5 x4  3x2  20  6  14
4

d 1  2 19

 2 x17  4 x19  34  76   42
d 2  4 17

d 1  5 19
 5 x17  3x19  85  57  28

d 2  3 17
x
y
1


2
0
1

x
 42
1

x
 3
 42
14
14

y
x
1


 42
28
14

→

dan

1
28
y

y
28
14
14
y 2

2). Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan.
2 x  3 y  12  2

3x  2 y  5  0

Penyelesaian.

2 x  3 y  12  2

3x  2 y  5  0
a
0   1
a 2

b
1   1
b2

Buku Ajar Kalkulus II

→

b1  2

b2  3

2 x  3 y  12  2  0
2 x  3 y  14  0
→
3x  2 y  5  0
3x  2 y  5  0
3 
 2 x  2  3 x 3   4  9   13
 2

d 1   3  14

 3 x 5   2 x  14  15  28   13
d 2   2
5 
- 12 -

a
2   1
a 2

d 1  2  14

 2 x 5  3 x  14  10  42  52
d 2  3
5 
x
y
1


2
0
1

→

x
1
 13
1

x
 13
 13
 13

y
1
x


 13
52
 13
dan

1
52
y

y
52
 13
 13
y 4

Latihan soal.
1. Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan.
4 x  3 y  20  0

3x  2 y  2  0

2. Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan.
2x  3y  2  2
3x  y  13  0

2.3

Determikan 3 variabel
Sebuah determinan orde ketiga mempunyai 3 baris dan 3 kolom, yaitu :
a1

b1

c1

a2

b2

c2

a3

b3

c3

Masing-masing elemen dalam determinan ini berkaitan dengan MINOR nya, yang diperoleh
dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut, misalnya ;
Minor a 1 adalah

Minor b1 adalah

Minor c1 adalah

b2

c2

b3

c3

a2

c2

a3

c3

a2

b2

a3

b3

a1

b1

c1

diperoleh dari a 2

b2

c2

a3

b3

c3

a1

b1

c1

diperoleh dari a 2

b2

c2

a3

b3

c3

a1

b1

c1

diperoleh dari a 2
a3

b2

c2

b3

c3

Untuk menghitung determinan orde ketiga kita tuliskan elemen-elemen dari baris yang atas,
kemudian masing-masing kita kalikan dengan minornya dan kita berikan tanda plus dan
minus bergantian pada suku-sukunya.
Buku Ajar Kalkulus II

- 13 -

a1

b1

c1

a2

b2

c2  a1

a3

b3

c3

b2

c2

b3

c3

 b1

a2

c2

a3

c3

 c1

a2

b2

a3

c3

4

6

2

9

Contoh.

3

2

5

4

6

7  3

2

9

2

6

7

9

2

2

4

7

2

2

5

 3(12  63)  2(8  14)  5(36  12)

 3( 51)  2( 6)  5( 24)
 153  12  120
 21

Sekarang metode ini kita perluas dengan memecahkan persamaan simultan dengan 3
(tiga anu).

a 1 x  b1 y  c1 z  d 1  0

a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2  0
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3  0

Jika kita cari nilai x, y, dan z dengan cara eliminasi akan kita dapatkan bahwa hasilnya
dapat dinyatakan dalam bentuk determinan, yaitu :
a1

y

c1
d1
a1

z
b1

d1

d2

a2

c2

d2

a2

b2

d3

a3

c3

d3

a3

b3

b1

x
c1

d1

b2

c2

b3

c3



a1

1
b1

c1

d2

a2

b2

c2

d3

a3

b3

c3



Kita dapat menyederhanakan hasil ini dengan mudah dalam bentuk :

 y
x
z
1



1
2
3
0

Dengan :
∆1 = determinan dari semua koefisien bila suku x dihilangkan
∆2 = determinan dari semua koefisien bila suku y dihilangkan
∆3 = determinan dari semua koefisien bila suku z dihilangkan
∆0 = determinan dari semua koefisien bila suku konstan dihilangkan.

Buku Ajar Kalkulus II

- 14 -

Contoh.

2x  3y  z  4  0

Carilah harga x dari persamaan 3 x  y  2 z  13  0
x  2 y  5 z  11  0
Jawab.

x
1

1
0

Untuk memperoleh harga x maka hubungan
2

0  3
1

3
1
2

1

1
2  2
2
5

 18  51  5
 28

3

1  1
2

1

2
5

2

5

4

2
 13  3
5
11

3

3

2

5

1

 13
11

1

1

3

1

1

2

1

 13

2

11

4

1
2

 129  37  36
 56

Jadi :

2

5

1
x
x
1

→

0
1
 56
28
x 

56
28
x  2

Latihan soal.

(i)

2 7 5
Hitunglah 4 6 3
8 9 1

(ii)

Carilah harga x dan z dengan cara determinan dari persamaan berikut :

(iii)

Carilah harga x, y dan z dengan cara determinan dari persamaan berikut :

3x  4 y  2 z  8  0
5x  3 y  z  6  0
x  2 y  5 z  11  0

2x  2 y  z  3  0
4x  5 y  2z  3  0

3x  4 y  5 z  7  0

Buku Ajar Kalkulus II

- 15 -

BAB 3
DIFERENSIAL

3.1

Diferensial Baku
y  f ( x)

1

xn

nxn-1

2

ex

ex

3

ekx

kekx

4

ax

ax ln a

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

1
x
1
x. ln a

ln x
loga x
sin x

cos x

cos x

-sin x

tan x

sec2 x

cot x

-cosec2 x

sec x

sec x.tan x

cosec x

-cosec x.cot x

sinh x

cosh x

cosh x

sinh x

Contoh.
1). y = x5
dy
 nx n 1  5 x51  5 x 4
dx

2). y = e3x
dy
 kekx  3 e 3 x
dx
3). y = a5
Buku Ajar Kalkulus II

dy
dx

- 16 -

dy
 a x ln a  a 5 . ln a
dx

4). y = x-4
dy
 nx n 1   4 x 41   4 x 5
dx

3.2

Fungsi dari Suatu Fungsi
Sin x ádalah fungsi x karena harga sin x bergantung kepada harga sudut x. Demikian

pula sin (2x + 5) adalah fungsi sudut (2x + 5).
Jadi sin (2x + 5) adalah fungsi dan fungsi x dan secara umum ungkapan ini sering dikatakan
sebagai fungsi dari suatu fungsi.
Contoh.
1). Diferensialkan y = sin (2x + 5).
misalkan u = 2x + 5 , y = sin u →
maka

dy
dy dy du
du
→
2
 cos u ,

.
du
dx du dx
dx

dy
 cos(2 x  5) . 2  2 cos(2 x  5)
dx

2). Diferensialkan y = (2x + 5)4.
jawab.

dy
 (2 x  5) 4  4(2 x  5) 3 . 2  8(2 x  5)
dx

3). Diferensialkan y = cos 2x.
jawab.

dy
 cos 2 x   sin 2 x . 2   2 sin 2 x
dx

Latihan.
1). y = cos (x2)
2). y = ln (3 – 4 cos x)
3). y = esin 2x
4). y = sin2 x
5). y = log10 (2x – 1).
3.3

Perkalian Dua Fungsi
Untuk mendiferensiasikan suatu perkalian harus memperhatikan hal-hal sebagai

berikut :
-

tuliskan fungsi yang pertama dan diferensiasikan fungsi yang kedua, plus

-

tuliskanlah fungsi yang kedua dan diferensiasikanlah fungsi yang pertama.

Buku Ajar Kalkulus II

- 17 -

Jika

y = u.v, dengan u dan v adalah fungsi x, maka diferensiasinya adalah :

du
dv
dy
u
v
dx
dx
dx

Contoh.
1). y = x3 . sin 3x
dimana nilai u = x3, dan v = sin 3x
du
dv
dy
u
v
dx
dx
dx
dy
 x 3 .3 cos 3x  sin 3x . 3x 2
dx
 3x 2 x . cos 3x  sin 3x

2). y = e2x ln 5x
dimana nilai u = e2x, dan v = ln 5x
du
dv
dy
u
v
dx
dx
dx

1
dy
 e 2 x . .5  ln 5 x . 2e 2 x
5x
dx

1
 e 2 x   2 ln 5 x 

x
3.4

Pembagian Dua Fungsi
y

Jika
dy

dx

v

u
, dengan u dan v adalah fungsi x, maka telah kita ketahui bahwa :
v

du
dv
u
dx
dx
2
v

Contoh.
1). y 

sin 3x
x 1
dy

dx

v

dv
du
u
dx
dx
2
v

dy ( x  1).3 cos 3x  sin 3x.1

dx
( x  1) 2

dy (3x cos 3x  3 cos 3x)  sin 3x

dx
x2  2x  1
Buku Ajar Kalkulus II

- 18 -

2). y 

ln x
e 2x
du
dv
u
dx
dx
2
v

dy

dx

v

dy

dx

e 2x .

1
 ln x.2e 2 x
x
e 4x

1

e 2 x   2 ln x 
dy
x


4x
dx
e

1

  2 ln x 
dy  x


2x
dx
e
Latihan soal.

3.5

1)

y = x2 tan x

2)

y = e4x (5x + 1)

3)

y

4)

y

cos 5 x
x2
e 3x
2x  1

Diferensial Logaritmik
Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan atas atau bawah, koefisien

diferensial lebih baik dicari melalui apa yang kita kenal sebagai diferensiasi logaritmik.
Dengan mengingat marilah kita tinjau sebuah kasus :

y

uv
, dengan u , v, dan w begitu pula y adalah fungsi x.
w

Pertama-tama kita ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e.

ln y  ln u  ln v  ln w

Kemudian kita diferensiasikan masing-masing ruas terhadap x, dengan mengingat bahwa u,
v, w dan y semuanya adalah fungsi x.
1 dy
1 du
1 dv
1 dw
.

.

.

.
y dx
u dx
v dx
w dx

Untuk memperoleh
Buku Ajar Kalkulus II

dy
nya saja, kita tinggal mengalikan seluruh hasil diatas dengan y.
dx
- 19 -

dy
u v  1 du
1 dv
1 dw 



.
.

 .
dx
w  u dx
v dx
w dx 
Bentuk ini bukanlah suatu rumus yang harus dihafalkan, tetapi langkah pengerjaannyalah
yang harus diingat.
Contoh.
1). y 

x 2 sin x
cos 2 x

Tentukanlah

dy
nya.
dx

Jawab.

ln y  ln x2  ln sin x  ln cos 2 x

1 dy
1
1
1
.
.2 x 
. cos x 
.( 2 sin 2 x)

2
sin x
cos 2 x
y dx
x
2

 ctg x  2tg 2 x
x
dy
x2 sin x  2

 ctg x  2 tg 2 x

cos 2 x  x
dx
2). y  x e
4

3x

Tentukanlah

tg x
dy
nya.
dx

Jawab.

ln y  ln x4  ln e3 x  ln tg x
1 dy
1
1
1
.
. sec 2 x
 4 .4 x3  3 x .3e 3 x 
y dx
x
e
tg x
4
sec 2 x

3
x
tg x

4
dy
sec 2 x 
 x4 e 3 x tg x  3 

dx
tg x 
x
3.6

Diferensial Fungsi Implisit

Jika y  x  4 x  2 , y terdefinisi sepenuhnya oleh x dan y disebut sebagai fungsi
2

eksplisit dari x. Jika kaitan antara x dan y sangat ketat, ada kalanya kita tidak dapat
memisahkan y di ruas kiri, misalnya :
Buku Ajar Kalkulus II

- 20 -

xy + sin y = 2.
Dalam hal semacam ini, y disebut fungsi implicit dari x, karena hubungan dalam bentuk y =
f(x) tersirat di dalamnya.
Contoh.

2
2
1). y  x  y  2 x  6 y  5  0

Tentukanlah

dy
dx

Jawab.

(i ) 2 x  2 y

dy
dy
26
0
dx
dx
dy
 2  2x
( 2 y  6)
dx
dy
2  2x

dx
2y  6

2). y  x  2 xy  3 y
2

Tentukanlah

2

4

dy
nya.
dx

Jawab.

2x  2x

dy

dx
dy
( 2 x  6 y)
dx
dy
(2 x 

dx
(2 x 

2y  6y

dy
0
dx

  ( 2 x  2 y)

2 y)
( x  y)

6 y)
( x  3 y)

Latihan Soal.

dy
, jika
dx

x3  y3  3xy 2  8

1.

Tentukanlah

2.

Diferensialkanlah terhadap x, dari fungsi y  x5 sin 2 x cos 4 x

3.

Diferensialkanlah terhadap x, dari fungsi y 

Buku Ajar Kalkulus II

- 21 -

(3 x  1) cos 2 x
e2x

BAB 4
INTEGRAL
4.1

Integral Baku
x n 1
C
n 1

1

∫xn dx

2

1
 dx
x

3

∫ex dx

ex + C

∫ekx dx

e kx
C
k

∫ax dx

ax
C
ln a

6

∫sin x dx

-cos x + C

7

∫cos x dx

sin x + C

8

∫sec2 x dx

tan x + C

9

∫sinh x dx

cosh x + C

10

∫cosh x dx

sinh x + C

ln x + C

4

5

11
12
13
14
15
16

1  x 



1

1



2

1  x 
2



dx

sin 1 x  C

dx

cos 1 x  C

1
dx
1  x2
1
dx

x2  1
1
dx

x2  1
1

dx
1  x2








Contoh.
e 5x
C
1).  e dx 
5
5x

Buku Ajar Kalkulus II

- 22 -

tan 1 x  C
sinh 1 x  C
cosh 1 x  C
tanh 1 x  C

2).  x 6 dx 

x7
C
7

x 2
3).  xdx   x dx  2
C
3
3

1

2

5
4).  dx  5 ln x  C
x

4.2

Fungsi dari Suatu Fungsi Linier
Sebelum kita dapat menyelesaikan operasi ini, kita harus mengubah variabelnya

dahulu.
Contoh.
1).  sec 2 4 x dx 
2). 
3).

tan 4 x
C
4

1
ln( 2 x  3)
dx 
C
2x  3
2

3
3


2 x  7
2 x  7
 2 x  7  dx 
C 
C
2

2.3

6

Latihan.

1).  e 5 x dx

2).  x 7 dx

3).  cos7 x  2dx
4).  e 5 x 4 dx
5). 

1
dx
4x  3

4.3

Bentuk Integral



f l ( x)
dx dan
f ( x)

Contoh.
1).
2).



6x2
dx
x3  4

x

 2

2x2
dx
3
4



 f ( x). f

l

3x 2
dx
x3  4

( x) dx

 2 ln( x 3  4)  C

2
3x 2
2
dx  ln ( x 3  4)  C
3

3 x 4
3

Sekarang coba soal berikut ini,
Buku Ajar Kalkulus II

- 23 -

i)



x2
dx
x3  4

4.4

ii )

x

2

4x  8
dx
 4x  5

Integral Parsial (Pembagian)
Bentuk integral ini lebih mudah diingat, tetapi bentuk sebelumnya memberikan artinya

secara lebih terperinci. Cara ini dikenal dengan sebagai cara integrasi perbagian atau integrasi
parsial.

 u dx dx  u v   v dx dx
dv

du

 u dv  u v   v du
Contoh.

3
1).  x2 . ln x dx  misal u  ln x dan dv  x2  u.v   v du  ln x  x   1  x3 . 1 dx



 3 

dx

1
x3
ln x   x 2 dx
3
3



1 x3
x3
ln x  .
C
3
3 3



1
x3
(ln x  )  C
3
3

 2

  e 3 x . x dx

 3  3


 1
3x

  3  e dx


x2 e 3 x
2 x e3 x
2 e3 x



C
3
9
9 3




2x
2
e3 x
x2 
 C
3
3
9

Latihan.

1).  e 3 x sin x dx

4 3x
dx
2).  x e

3).  sinh x dx
cosh x

4). 

2x  4
dx
x
 4x 1
2

Buku Ajar Kalkulus II

- 24 -

x



2)  x2 .e 3 x dx  misal u  x2 dan dv  e 3 x  u.v   v du x2  e
x2 e 3 x
2   e3 x

  x
3
3 
 3

3

3x

Buku Ajar Kalkulus II

- 25 -