Materi Diklat MATEMATIKA BP3IP BAB II

BAB II

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

a) Bentuk umum persamaa linear : Determinan persamaan kalimat matematika yang ditandai dengan tanda (*=*) dengan 1 variabel / symbol 1. Ax + b = 0. Dengan ketentuan a tidak boleh o. a dan b adalah konstanta

Contoh : 1) 4x + 5 = 0

4x = -5 X = -5/4

2) 3 / 5x + 2 = 4 / 2x – 2 = 3 (2x – 2) = 4 (5x + 2) = 6x – 6

= 6x – 20x = 8 + 6 = -14x = 14 X = 14/-144 = -1

3) 2x – 8 = 15 2x = 15 + 8 = 23

X = 23/2 = 11 ½

4) 5x + 6 = -2x – 8 5x + 2x = -8 – 6 7x = -14

X = -14/7 = -2

5) 3x + 7 = 0 3x = -7 X = -7/3

6) A memiliki $20 lebih dari B, tetapi nilainya ½ dari C, jika jumlah ketiganya adalah = $80 , berapa masing-masing uang mereka

Jawab :

Mis : uang B = $ x mata uang A = $20 + x dan A = ½ C atau C = 2A Jumlah A + B + C = 20 + x + x + 2 (20 + x) = 80

60 + 2x + 4x = 80 – 80 4x = 20 X= 5

Jadi B = 15$ A = 25$ C = 36$

b) System persamaan linear dengan 2 peubah (variable) bentuk umum dari (P,S,L dengan 2 peubah adalah :

1. A1x + b1y + c1 = 0 a1x + b1y = -c1 2. A2x + b27 + c2 = 0 a2x + b2y = -c2

- C1 a1, b1, c1, a2, b2, c2 = R - C2

Persamaan 1 a 1 / b1 boleh ( 0 ) tetapi tidak boleh kedua-duanya 0, demikian juga pada persamaan ke 2. Persamaan tersebut diatas adalah persamaan garis lurus. Sehingga penyelesaian dari system penyelesaian diatas dapat ditentukan sebagai koordinat titik potong antara 2 buah garis lurus (x, y) dan himpunan penyesuaiannya (x,y) untuk menentukan penyelesaian tersebut dapat dilakukan beberapa cara :

a) Metode grafik b) Metode subtitusi c) Metode eliminasi d) Metode determinan

A. METODE GRAFIK

Dengan metode ini, setiap garis pada persamaan linear tersebut diatas kita gambar grafiknya pada system koordinat cartesius. Yaitu koordinat titik potong antara ke 2 garis yang hasilnya akan sama dengan cara hitung metode subtitusi dan metode eliminasi.

Contoh :

Tentukan : Hp dari s. persamaan I = x + y = 4 II = x – y = 16 Dengan metode grafik

Solusi jawaban  X + y = 4

Untuk x = 0 x + y = 4

0 + y = 4

Y = 4 x,y = (0,4) Untuk y = 0 x + y = 4

X + 0 = 4

X = 4 x.y = (4,0)  X – 2y = 16

Untuk x = 0 x – 2y = 16 0 – 2y = 16

-2y = 16

Y = y =16/-2 = -8 x,y = (0, -8) Untuk y = 0 x – 2y = 16

X – 0 = 16

Model grafiknya :

B. MODEL SUBTISUSI

Subtitusi artinya : menggantikan / memasukan nilainya. Metode ini lebih tepat dipergunakan apabila pada system persamaan linear dengan 2 perubah / variable. Terdapat persamaan dengan salah satukoefisiend dari salah satu perubahan variablernya adalah satu.

Contoh :

1. 3x + y =1 (I) 2x – 3y = 8 (Z) Persamaan I 3x + y = 1

Y = 1 – 3x (3)

Subs (masukkan) y = 1 – 3 x ke pers (z)

2x – 3x = 8 untuk x = 1 subs ke pers (3) 2x – 3 (1 – 3x) = 8 y = 1 – 3 x

2x – 3 + 9x = 8 y = 1 – 3 (1) 11x = 11 = 1 – 3 X = 11/11 y = - 2

2. 2x + 3x = 20 3x – y = -3

Jawab : Pres (2) = 3x – y = 3 -y = -3 -3x (x) –

Y = 3 + 3x ….. (x) Y = 3+ 3x subs ke pers (1)

2x + 3y = 20 11x = 11 2x + 3 (3 + 3x) = 20 x = 1 X = 1 sub ke pers (3) y = 3 + 3 (I)

Y = 6 hp (1,6)

C. METODE ELIMINASI

Eliminasi artinya menghilangkan salah satu unsure / variable, sehinggga dari 2 variabel semua menjadi hanya 1 variabel. System p.s tersebut dapat diselesaikan, cara menghilangkan salah satu variable tersebut adalah, dengen menyamakan koefisiens dari variable tersebut. Kemudian dikurangkan apabila tanda-tandanya berlawanan / berbeda.

Contoh :

Tentukan Hp. Dengan eliminasi

1. 3x + y = 1 (1) 2x – 3y = 8 (2) Jawab :

3x + y = 1 x2 6x + 2y = 2 2x – 3y = 8 x3 6x – 9y = 24

11y = -22 Y = -22/11

Mencari y y = -2

3x + y =1 x 3 9x + 3y = 3 2x – 3y = 8 x1 2x – 3y = 8

11x = -22 X = 11/11

Mencari x 1 = 1

Jadi Hp = (1, -2)

C. PENGGABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI 1. 3x + y = 1… … (1)

2x –3y = 8 … … (2) Cara eliminasi :

3x + y = 1 .2 6x + 2y = 2 2x – 3y = 8 .3 6x – 9y = 24

11y = -22 Y = -2 Cara subtitusi

Y = -2 sub ke persamaan (1) 3x + y = 1

3x + y – 2 = 1 3x – 1 + 2 X = 1

a. Yang lebih umum untuk dipergunakan adalah metode eliminasi yang digabungkan dengan subtitsi.

b. Metode subtitusi lebih tepat digunakan apabila salah satu koefisien darisalah satu variabbel itu adalah 1

c. Metode grafik lebih tepat dipergunakan untuk memperkirakan/mengecek hasil penyelesaian dengan metode sustitusi / eliminasi dengan cara menggambarkan grafik garis-garis pada system persamaan tersebut dan menentukan titik potongnya.

D. METODE DETERMINAN (S) Persamaan dengan 2 variabel 1. Ax + by = k … … (I)

Cx + dy = I … … (II) Untuk met x dan y X = Sy/S y = Sy/y

S = a b = ad – bc c d

Sx = K b = kd – bl L d Sy = ak = al – kc Cl

X = kd – bl y = al – kc Ad bc ad – bc

Contoh :

1. X + y = 7 D.M Det X – y = 19

Solusi

S = 1 1 = 1. ( 1) – 1 (1) 1 -1 -1 -1 2

Sx = 7 1 = 7 (-1) -1 (19) 19 -1 -7 -19 = -26

Jadi x = 26 / -2 = 13 Y = 12 / -2

Hp ( 13, 6) 2. 2x + y = 5

2x + 3y = -1

S = 2 1 = 6 – 2 = 4 2 3

Sx = 5 1 = 15 – (-1) = 16 -1 3

Sy = 2 5 = -2 – 10 = 12 2 -1

X = 16 / 4 = 4 Y = -12 / 4 = 3

METODE DETERMINAN DENGAN 3 VARIABEL 1. Persamaan dengan 3 variabel / peubah adalah

A1x + b1y = ciz = k ( I ) A2x + b2y = c2z = I ( II ) A3x + b3y = c3z = m ( III )

Karena memiliki 3 variabel maka harus memiliki 3 persamaan

X = sx / s y = sy / s z = sz / s

Sy = c1 a1 k c1 a1

C2 a2 I c2 a2

C3 a3 m c3 a3

Sz = A1 b1 k a1 b1

A2 b2 I a2 b2

X = sx / s = ** / *

Y = sz / s = **** / * HP ( X, Y, Z ) Z = sz / s = **** / *

A1x + b1y = ciz = 0 ( I ) A2x + b2y = c2z = 0 ( II ) A3x + b3y = c3z = 0 ( III )

Eliminasi pers . ( I ) & ( II ) A1x + b1y + c1z = 0 x pers (2) … A2x + b2y + c2z = 0 x pers (1) …

Menjadi (a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 …. (IV) Eliminasi pers II dan III

A2x + b2y + c2z = 0 x pers (2) … A3x + b3y + c3z = 0 x pers (1) …

Menjadi (a2 – a3) x + (b2 –b3) y = 0 …. (IV)

Pada * dan ** yang dicoret harus z agar mendapatkan nilai x dan y lebih mudah.

Persamaan (IV) dan (V) dapat dengan cara subtitsi / eliminasi

(a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 dapat ditentukan variabelnya

(a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0 x dan y dengan cara subtitusi/eliminasi

Subtitusi ke salah satu persamaan awal (1) (2) dan (3) maka didapatkan hp (X,Y,Z)

Contoh soal

1. 2x – y –2z = 15 … (I) 3x + 2y + z = 17 … (II) X + 4y –3z = 29 … (III) Eliminasi pers I dan II

2x – y – 2z = 5 x 1 = 2x – y – 2z = 5 3x + 2y + z = 17 x 2 = 6x + 2z = 34

8x + 3y = 39 ….. (IV) Eliminasi pers II dan III

3x + 2y + z = 17 x 3 9x + 6y + 3z = 51 3x + 2y + z = 17 x 2 x + 4z - 3/z = 29

10x + 10y = 80

X + y = 80 … (IV)

Pers (4 dan 5) dapat dikerjakan dengan cara eliminasi / subtitusi. Sustitusi apabila pada persamaan 4 dan 5 terdapat 1 koefisien (apabila tidak ada maka harus dengan eliminasi)

8x + 3y = 39 … (IV) X + y = 8 … (V)

M AB = m BP satu garis

Y2 – y1 = y – y2 y2 – y1 = x2 –x1 … (4) X2 – x1 x – x1 y – y2 x – x2

Y – y1 = x – x1 Y2 – y1 x2 – x1

LATIHAN :

1. Carilah hambatan parallel untuk R1 = 2V3 ohm dan R3 = V12 ohm

2. Diketahui suatu rangkain listrik parael terdiri dari 3 hambatan yang dipasang secara prarel : jika R total = 0,5 ohm : R1 = 2 ohm : R2 = 1 ½ ohm dan R3 = x – 2 ohm, carilah nilai x itu

3. Jumlah dari dua bilangan A dan B adalah 16, sedangkan selisih dua bilangan tersebut adalah 4, berapakah bilangan-bilangan itu?

4. Carilah nilai x dan y dari system persamaan dibawah ini : 2x / 3 – 3y / 5 = ¾ dan x / 2 – y / 4 = 13 / 16

5. Hitunglah nilai a, b, dan c dari system persamaan linear dibawah ini : 3a + 2b – c = 4

2a + b + c = 7 A – b + c = 2

6. Dua buah kapal adalah 99 nautical mil jaraknya steaming pada kecepatan yang berbeda, jika dua kapal tersebut mengadakan perjalanan langsung kedepan bersama-sama mereka akan bertemu dalam waktu 3 jam. Jika mereka steaming dalam arah yang sama pada tempat yang sama mereka akan bertemu dalam waktu 49 ½ jam. Berapakah kecepatan kedua kapal tersebut masing-masing

7. Hokum wiliam mengenai hubungan antara konsumsi uap dan tenanga yang dikembangkan oleh sebuah steam engine dalam kondisi tertentu dapat dijelaskan

M = a + bP

Dimana m adalah mass uap yang digunakan perjam P adalah tenaga yang dikembangkan

A dan b adalah konstanta

Jika pada suatu ketika pada mesin itu m = 2025 kg/jam saat P = 250 kw dan m = 1515 kg/jam saat P = 175kw

a. Carilah besarnya konstanta a dan b b. Berapa kg/jam nilai m saat p = 200kw

11x = -22 X = 11/11

Mencari x 1 = 1

Jadi Hp = (1, -2)

C. PENGGABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI 1. 3x + y = 1… … (1)

2x –3y = 8 … … (2) Cara eliminasi :

3x + y = 1 .2 6x + 2y = 2 2x – 3y = 8 .3 6x – 9y = 24

11y = -22 Y = -2 Cara subtitusi

Y = -2 sub ke persamaan (1) 3x + y = 1

3x + y – 2 = 1 3x – 1 + 2 X = 1

a. Yang lebih umum untuk dipergunakan adalah metode eliminasi yang digabungkan dengan subtitsi.

b. Metode subtitusi lebih tepat digunakan apabila salah satu koefisien darisalah satu variabbel itu adalah 1

c. Metode grafik lebih tepat dipergunakan untuk memperkirakan/mengecek hasil penyelesaian dengan metode sustitusi / eliminasi dengan cara menggambarkan grafik garis-garis pada system persamaan tersebut dan menentukan titik potongnya.

D. METODE DETERMINAN (S) Persamaan dengan 2 variabel 1. Ax + by = k … … (I)

Cx + dy = I … … (II) Untuk met x dan y X = Sy/S y = Sy/y

S = a b = ad – bc c d

Sx = K b = kd – bl L d Sy = ak = al – kc Cl

X = kd – bl y = al – kc Ad bc ad – bc

Contoh :

1. X + y = 7 D.M Det X – y = 19

Solusi

S = 1 1 = 1. ( 1) – 1 (1) 1 -1 -1 -1 2

Sx = 7 1 = 7 (-1) -1 (19) 19 -1 -7 -19 = -26

Jadi x = 26 / -2 = 13 Y = 12 / -2

Hp ( 13, 6) 2. 2x + y = 5

2x + 3y = -1

S = 2 1 = 6 – 2 = 4 2 3

Sx = 5 1 = 15 – (-1) = 16 -1 3

Sy = 2 5 = -2 – 10 = 12 2 -1

X = 16 / 4 = 4 Y = -12 / 4 = 3

METODE DETERMINAN DENGAN 3 VARIABEL 1. Persamaan dengan 3 variabel / peubah adalah

A1x + b1y = ciz = k ( I ) A2x + b2y = c2z = I ( II ) A3x + b3y = c3z = m ( III )

Karena memiliki 3 variabel maka harus memiliki 3 persamaan

X = sx / s y = sy / s z = sz / s

Sy = c1 a1 k c1 a1

C2 a2 I c2 a2

C3 a3 m c3 a3

Sz = A1 b1 k a1 b1

A2 b2 I a2 b2

X = sx / s = ** / *

Y = sz / s = **** / * HP ( X, Y, Z ) Z = sz / s = **** / *

A1x + b1y = ciz = 0 ( I ) A2x + b2y = c2z = 0 ( II ) A3x + b3y = c3z = 0 ( III )

Eliminasi pers . ( I ) & ( II ) A1x + b1y + c1z = 0 x pers (2) … A2x + b2y + c2z = 0 x pers (1) …

Menjadi (a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 …. (IV) Eliminasi pers II dan III

A2x + b2y + c2z = 0 x pers (2) … A3x + b3y + c3z = 0 x pers (1) …

Menjadi (a2 – a3) x + (b2 –b3) y = 0 …. (IV)

Pada * dan ** yang dicoret harus z agar mendapatkan nilai x dan y lebih mudah.

Persamaan (IV) dan (V) dapat dengan cara subtitsi / eliminasi

(a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 dapat ditentukan variabelnya

(a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0 x dan y dengan cara subtitusi/eliminasi

Subtitusi ke salah satu persamaan awal (1) (2) dan (3) maka didapatkan hp (X,Y,Z)

Contoh soal

1. 2x – y –2z = 15 … (I) 3x + 2y + z = 17 … (II) X + 4y –3z = 29 … (III) Eliminasi pers I dan II

2x – y – 2z = 5 x 1 = 2x – y – 2z = 5 3x + 2y + z = 17 x 2 = 6x + 2z = 34

8x + 3y = 39 ….. (IV) Eliminasi pers II dan III

3x + 2y + z = 17 x 3 9x + 6y + 3z = 51 3x + 2y + z = 17 x 2 x + 4z - 3/z = 29

10x + 10y = 80

X + y = 80 … (IV)

Pers (4 dan 5) dapat dikerjakan dengan cara eliminasi / subtitusi. Sustitusi apabila pada persamaan 4 dan 5 terdapat 1 koefisien (apabila tidak ada maka harus dengan eliminasi)

8x + 3y = 39 … (IV) X + y = 8 … (V)

M AB = m BP satu garis

Y2 – y1 = y – y2 y2 – y1 = x2 –x1 … (4) X2 – x1 x – x1 y – y2 x – x2

Y – y1 = x – x1 Y2 – y1 x2 – x1

LATIHAN :

1. Carilah hambatan parallel untuk R1 = 2V3 ohm dan R3 = V12 ohm

2. Diketahui suatu rangkain listrik parael terdiri dari 3 hambatan yang dipasang secara prarel : jika R total = 0,5 ohm : R1 = 2 ohm : R2 = 1 ½ ohm dan R3 = x – 2 ohm, carilah nilai x itu

3. Jumlah dari dua bilangan A dan B adalah 16, sedangkan selisih dua bilangan tersebut adalah 4, berapakah bilangan-bilangan itu?

4. Carilah nilai x dan y dari system persamaan dibawah ini : 2x / 3 – 3y / 5 = ¾ dan x / 2 – y / 4 = 13 / 16

5. Hitunglah nilai a, b, dan c dari system persamaan linear dibawah ini : 3a + 2b – c = 4

2a + b + c = 7 A – b + c = 2

6. Dua buah kapal adalah 99 nautical mil jaraknya steaming pada kecepatan yang berbeda, jika dua kapal tersebut mengadakan perjalanan langsung kedepan bersama-sama mereka akan bertemu dalam waktu 3 jam. Jika mereka steaming dalam arah yang sama pada tempat yang sama mereka akan bertemu dalam waktu 49 ½ jam. Berapakah kecepatan kedua kapal tersebut masing-masing

7. Hokum wiliam mengenai hubungan antara konsumsi uap dan tenanga yang dikembangkan oleh sebuah steam engine dalam kondisi tertentu dapat dijelaskan

M = a + bP

Dimana m adalah mass uap yang digunakan perjam P adalah tenaga yang dikembangkan

A dan b adalah konstanta

Jika pada suatu ketika pada mesin itu m = 2025 kg/jam saat P = 250 kw dan m = 1515 kg/jam saat P = 175kw

a. Carilah besarnya konstanta a dan b b. Berapa kg/jam nilai m saat p = 200kw