MODUL BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS X

===

MATEMATIKA KELAS X

Oleh: Maya Kurniawati,S.Pd SMA NEGERI 1 SUMBER

BAB 1

BENTUK PANGKAT (EKSPONEN), AKAR DAN LOGARITMA

Standar Kompetensi:

1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar:

1.1. Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.

1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma.

A. Bilangan Berpangkat (Eksponen)

Kalian tentu masih ingat materi di kelas IX tentang perkalian berulang.

Uji Materi Prasyarat

Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut:

1. Hitunglah:

a) 5   1 =…

3 b)

2. Jika p  2 , q   3 , dan r   1 , hitunglah:

Jika anda telah berhasil menyelesaikan latihan diatas dengan baik, maka anda akan lebih mudah memahami materi selanjutnya.

1. Pangkat Bulat Positif

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka n a (dibaca "a pangkat n") adalah hasil

kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

a  a  a  a  ...  a

Sebanyak n faktor

dengan:

a = bilangan pokok (basis) n = pangkat atau eksponen n a = bilangan berpangkat

Contoh Soal Tentukan nilai pemangkatan berikut.

a. 5 3  3 3 3 3 81 d.   1  1 1 1 1 1 1

b. 3       e. 4 w  4 www  3  3 3 3 27

3 c. 3  4 w  4 www  4  4  64 w

b. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif Untuk menemukan sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif, lakukanlah kegiatan berikut:

LEMBAR KEGIATAN SISWA

Menemukan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif Lakukan kegiatan berikut secara berpasangan, untuk menyelidiki sifat perkalian, pembagian,

pangkat perkalian, pangkat bentuk pecahan, dan pangkat bilangan berpangkat. Kemudian kemukakan hasilnya di depan kelas.

5 1. Bagaimana sifat perkalian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah 3 a a

5  3 Tulis a dan a sebagai perkalian berulang!

a 5  .....  .....  

.... 3 ....  .... dan a  .....  .....  ....  ....

5 a 3  a  a  a  a  ...  a … (1) (….+….) faktor

 Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (1). Kemudian, tulislah ruas kanan

dalam bentuk 5  3 a . Jadi, a a  ..... a

 Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.

....  a .....  = a  a  ....  a  a

....   ..... Jadi, a  a  a

2. Bagaiman sifat pembagian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah 3 , dengan a

5 Tulis 3 a dan a sebagai perkalian berulang! …..faktor

…..faktor …..faktor

a 7 a  a  ...  a  a  a  a  a  a  ....  a 

a a  ...  a  a  a  a 

…..faktor

…..faktor

 Sederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dalam ruas kanan persamaan (2), hitung banyak faktor a yang tersisa dalam bentuk n a

Jadi, ......

a  Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, lakukanlah perkalian berikut dengan

a sebarang bilangan real, a  0 dan m, n bilangan bulat dengan m n .

a m a  a  ...  a  a  a  ...  a  a  a  ....  a 

a a  a  ...  a  a  a  ...  a 

.......   ........ a  a  ...  a  a

(…. - ….) faktor

a m .....   ..... Jadi,

3. Bagaiman sifat pemangkatan perkalian? Untuk mengetahuinya, hitunglah 5  ab .  5 Tulis  ab sebagai perkalian berulang.

 5 ab  ab  ab  ....   ab

…..faktor

 Kumpulkan faktor a dan factor b dalam ruas kanan secara tersendiri

 5 ab  a  a  ...  a  b  b  ...  b ….(3)

…..faktor

…..faktor

 Hitung masing-masing banyak faktor a dan banyak faktor b dalam ruas kanan persamaan (3).

Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk n a dan b

 5 ab  ...... a  ....... b

 Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.

 n a  b   a  b   a  b   ...   a  b 

…..faktor

 ......  a  a  ...  a   b  b  ...  b   a  b

Jadi, .....  a  b   a  b

4. Bagaimana sifat pemangkatan bentuk pecahan? Untuk mengetahuinya, hitunglah   , untuk  b  4. Bagaimana sifat pemangkatan bentuk pecahan? Untuk mengetahuinya, hitunglah   , untuk  b 

 b  5 …..faktor  a 

…..faktor  Hitung masing-masing banyak factor a pada pembilang dan banyak faktor b pada penyebut

dalam persamaan (4). Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk n a dan b. 5  .....  a

 a  .....  b 

b  Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan perkalian berikut dengan a

sebarang bilangan real, b  0 , dan n bilangan bulat. …..faktor

 ..... a  a a a a  a  ...  a a

 Jadi,    ..... , b  0 .

2 5. Bagaimana sifat pemangkatan bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah 5 

2 Tulis 5 

a sebagai perkalian berulang

a  a  a  ... a  …..faktor

  a  ...  a 

..... ..... faktor  Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (5). Kemudian, tulislah dalam

2 5 bentuk ..... a . Jadi, 

 Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real dan m, n bilangan bulat.

m n   m

a m ...  a

…..faktor

  a  ...  a   a  ...  a   ...   a  ...  a 

…..faktor …..faktor

…..faktor

…..faktor

......   ........ a  a  ...  a  a

…..faktor 

 a  a

.....  Jadi, ......

Contoh Soal; Tentukan operasi dari bilangan berikut.

4 2 3 2 a. 3 3x x c. 

2q p 

4 2 4 2 4  2 a. 6 3 x x  3 x  x  3 x  3 x sifat 1 5 1 5 1  5 3 6 x x 3 x x 3 x 3 x

6  4 b. 2 4 

sifat 1 dan 2

xx

3 2 3 3 3 3 2 c. 3 

2 p q   2   p  q sifat 3

3  3 2  3 9  6 8  p  q  8 p q sifat 5

2 3 2 3 3 2 3  6 3 a  

3 a 3  a 27 a

sifat 4, sifat 3, dan sifat 5

2. Pangkat Bulat Nol

LEMBAR KEGIATAN SISWA

Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol Lakukan tugas berikut secara perorangan. Kemudian, presentasikan di depan kelas.

m  Perhatikan sifat n n  a untuk a  0 . Sifat tersebut berlaku untuk m n . Jika diambil m n , a

apa yang Anda peroleh? Substitusikan m n pada kedua ruas persamaan tersebut (ganti m dengan

n). Misalnya kita ganti m  n  3 , sehingga:

3  a ...(1)

a  3 Tulis a sebagai perkalian berulang

......   ...... a …(2)

.....  .....  .....  Sederhanakan kedua ruas.

..... a ......  …(3)

 Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 diatas untuk nilai m dan n lainnya dengan m n . Perhatikan persamaan (3) yang Anda peroleh.

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?  ...... Jadi, a  ...... Atau untuk menemukan nilai dari 0 a bisa diperoleh dengan menemukan pola pangkat dari contoh

berikut. Isilah titik-titik berikut kemudian perhatikan pola pangkatnya:

dibagi …..

dibagi …..

1 dibagi …..

0 2 dibagi …..  .....

Pada ruas kiri kebawah, pangkatnya ……………………………, dan pada ruas kanan kebawah hasilnya selalu dibagi ….. Dari pola tersebut , 2 = ⋯

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?

Jika a bilangan real, 0 a  0 , dan n = 0, maka a  1 Nah, bagaimana jika 0 a  0 ? Maka berapa nilai 0?

m  Dari sifat pembagian bilangan berpangkat yang sudah kita pelajari sebelumnya bahwa n

Jika a  0 dan m, kita ganti sebarang bilangan misalnya n m  n  3 maka kita peroleh:

 Tulis 3 0 sebagai perkalian berulang .....  .....  .....

0 ......  Sederhanakan kedua ruas. Ingat bahwa  tak terdefinis i .

3. Pangkat Bulat Negatif Anda telah memahami definisi bilangan berpangkat bulat positif dan nol. Bagaimana dengan definisi

bilangan berpangkat bulat negatit? Untuk memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut.

LEBAR KEGIATAN SISWA

Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol Lakukan kegiatan ini secara perseorangan. Kemudian, presentasikan hasilnya di depan kelas.

m  1. Perhatikan sifat pembagian bilangan berpangkat n n  a untuk a  0 dan m n .

2. Sifat pada langkah 1 hanya berlaku untuk m  . Jika ditetapkan bilangan m dan n dengan n m n ,

misalnya m  5 dan n  7 maka sifat pada Langkah 1 memberikan:

7  a  a …(1)

5 3. Sekarang, hitunglah 7

7 dengan menyatakan a dan a dalam perkalian berulang a.

…..faktor a 5 a  a  ...  a

7  a a  a  ...  a

…..faktor Sederhanakan factor yang sama pada pembilang dan penyebut di ruas kanan dan tulis hasilnya.

4. Ruas kiri persamaan (1) dan (2) adalah sama sehingga Anda dapat menyamakan ruas kanannya

dan diperoleh a ..... …(3)

5. Ulangi langkah 2 sampai dengan langkah 4 untuk nilai m dan n lainnya dengan m n . Perhatikan persamaan (3) yang Anda peroleh.

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat negatif?

1 1 n Jika a bilangan real, a  0 , dan n bilangan bulat positif, maka a  n atau  n  a

Contoh Soal Nyatakan bilangan berpangkat bulat negative berikut ke bilangan berpangkat bulat positif. Kemudian,

tentukan hasil pemangkatannya.

a.   2 b.  3

Penyelesaian:

a.   2 

b.  3  4  4  4  4  64

Uji Kompetensi 1.1

Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda!

1. Tulislah dalam notasi bilangan berpangkat

a. 5  5  5  p p b.     2 a 2 a 2 a

2. Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat

a. 3 3b

3 b. 3 x y

c. 4  2q

3. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.

2 5 5  2  a. 3 

4 xy  , x  0 , y  0 d.  a b  , a  0 , b  0

3 , y  0 e.   xy     2 x y 4 x y

3 b. 3

c.   4  , p  0 , q  0

4. Hitunglah nilainya, jika x   5 dan y  3

 a. 1 

 3x  c.  x  y 

 p q 

2 b. 2 d. 4

5. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.

 2 a b c

a.  1 2  3 2 b.  1 3 

6. Nyatakan dalam pecahan sederhana

a.  1  1 b.   1  1 

Soal aplikasi

7. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan persamaan   1 1 1  R      R 3 Tentukan R jika R 1  0 , 75  , R 2  0 , 50  dan R 3  0 , 60   R 1 R 2 

8. Energy diam E sebuah proton dengan massa diam m dinyatakan dengan persamaan Einstein

 E 27 m c , dengan c = kecepatan cahaya. Tentukan E jika m  ,1 7  10 kg dan

c 8  ,3 0  10 m / det ik . Nyatakan jawaban Anda dalam notasi ilmiah.

 9. Satu atomic mass unit (amu) sama dengan 27 ,1 66  10 kg . Berapakah massa 15.000.000 atom karbon (dalam kg) jika massa 1 atom karbon sama dengan 12,0 amu?

24 21 10. Massa bumi kira-kira 3 5 , 98 10 kg dan volumenya kira-kira ,1 08  10 m . Gunakan notasi ilmiah untuk menghitung massa jenis rata-rata bumi.

12. Jika p q r  1 , hitunglah nilai dari

q   r 1  r  p

13. Jika a  2 dan b  3 maka nilai dari

adalah …

 1 1  ab

========= GOOD LUCK =========

B. Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

1. Konsep Bilangan Irasional Sebelum kita mendiskusikan apa itu bilangan irasional, perlu diingat kembali definisi dari bilangan rasional. Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang ataupun pecahan

p biasa ( dengan p , q R dan q  0 ) disebut bilangan rasional. Sedangkan bilangan irasional

q adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang atau pecahan

biasa. Contoh bilangan rasional:

Contoh bilangan irasional:

a. 2 ,1 414213 ...

b. 7 2 , 6457 ...

c. e  2 , 718281 ...

d.   3 , 141592 ...

 Buktikan bahwa 2 bukan bilangan rasional Bukti:

Misalkan 2 

Dimana p dan q tidak mempunyai factor yang sama kecuali 1. Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada persamaan (1) diperoleh:

2  2 atau q

2 p 2 2q …(2)

2 2 Karena 2 p 2q maka p bilangan genap dan p juga genap. Andaikan p2  r , dimana r bilangan bulat dan disubtitusikan ke persamaan (2) maka:

2 Karena 2 q 2r maka q bilangan genap Jika p dan q bilangan genap maka memiliki factor perkalian yang sama yaitu 2. Hal ini

bertentangan dengan pemisalan, jadi

2 bukan bilangan rasional.

 Nyatakan pecahan decimal 3,242424… dalam ; p dan q bilangan bulat

Jawab:

Misalkan x  3 , 242424 ... kalikan 100 pada kedua ruas

100  x 324 , 2424 ... _  99 x   321 321

Maka x  . atau

2. Bentuk Akar

a. Pemahaman Definisi Bentuk Akar Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Contoh:

1) 2 ,1 414213 ... ( 2 merupakan bil rasional, namun 1,414213… bilangan irasional) 2)

7 2 , 6457 ... ( 7 merupakan bil rasional, namun 2,6457… bilangan irasional) 3)

9 bukan bentuk akar sebab

9  (bil rasional) 3

0 , 25 bukan bentuk akar sebab 0 , 25  0 , 5 (bil rasional)

Bentuk umum bentuk akar ditulis:

dengan: n a disebut bentuk akar (radikal) disebut lambing bentuk akar

n disebut indeks (pangkat akar)

a disebut radikan (bilangan dibawah tanda akar) dengan a bilangan riil positif untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.

b. Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional

Definisi Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional

Untuk mempelajari definisi sifat-sifat pecahan pelajarilah uraian berikut. Misalkan: 2 a 2

Uraian tersebut menggambarkan definisi bilangan berpangkat pecahan sebagai berikut. Jika a  0 , m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli), maka

nnmn

a m a atau

a n a

Catatan: a boleh diganti negative jika n bilangan ganjil, sebagai contoh:

Akan tetapi untuk n bilangan genap diperoleh

2  1   1 tak terdefinisi untuk bilangan real

Sifat-sifat Bilangan Pangkat Pecahan

Sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku bagi bilangan berpangkat pecahan.

 a  a

m  3) n

mm

4) m  a b  a b

5)    m , untuk b  0

6) 0 a  1 , untuk a  0

7) a  m , untuk a  0

 a , untuk a R , n  2 , dan n bilangan asli

 a  a , untuk a  R , m bilangan bulat , n  2 , dan n bilangan asli

Contoh Tentukan nilai dari:

a) 27 3 3  1  3 3  3  3

3 3  3 3 b) 2 a  3 a a  a  a 3 3  3 3 b) 2 a  3 a a  a  a

2 3 2 2 3 3 d) 2 25  8   5  2 3  5  2  125  4  500

Latihan Soal Kerjakan soal-soal berikut.

1) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat rasional:

3 2 a) 3 ab c) x

6 8 b) 6 4xy d) 4 x 16 y

2) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk akar:

a)

3 c)  5 3 a b 

2 b) 2 2 p q 3  d) 

3) Tentukan hasil operasi dari:

a)  27 3  3 

b)  125 3  81 4   

4) Jika x = 25 dan y = 64, tentukan nilai dari

5) Tentukan bentuk sederhana dari:

c. Jenis-Jenis Bentuk Akar Bentuk akar terdiri atas 2 jenis:

1) Akar senama

Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama. Contoh:

a) 2 , 3 , 5 mempunyai indeks 2

3 3 b) 3 5 , 10 , 11 mempunyai indeks 3

2) Akar sejenis Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama. Contoh:

3 3 2 3 , 2 2 , 5 2 mempunyai indeks 3, radikannya 2 3 3 2 3 , 2 2 , 5 2 mempunyai indeks 3, radikannya 2

4)  a  

 a , jika n genap

 a , jika n ganjil

7) mn a a Contoh:

mn

Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakan bentuk akar berikut.

e. Menyederhanakan Bentuk Akar Syarat-syarat yang harus dipenuhi agar bentuk akar dikatakan paling sederhana .

1) Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu, contohnya x , x 0 bentuk paling sederhana

5 x 2 dan x bukan bentuk sederhana

2) Tidak ada bentuk akar pada penyebut, contohnya 1

bukan bentuk sederhana x

x bentuk sederhana

3) Tidak mengandung pecahan, contohnya

5 bukan bentuk sederhana

bentuk sederhana 2

Contoh: Sederhanakan bentuk akar berikut!

a) 12 9 c)  3 x  5  ; dengan 3 x  5  0

4 b) 13 48 x y ; dengan y  0

Penyelesaian:

a) 12  4  3  4  3  2 3

4  12 b) 1 48 x y  16 3  x 

4 12 2 6 4 12 2 6  2 16 x y  3 y  4 x y 3 y karena 16 x y  

9 8 c) 1  3 x  5    3 x  5   3 x  5 

8 4 8 4  2  3 x  5    3 x  5   3 x  5  3 x  5 karena  3 x  5    

f. Operasi Aljabar Bentuk Akar

1) Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Ingat kembali !! Operasi aljabar dan sSuku-suku sejenis di kelas VIII Contoh:

5 a3 b tidak dapat dijumlahkan Begitu pula pada penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, variable pada bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika sejenis.

Jika p , q R dan a  0 , maka

Misal:

2 5  3 2 tidak dapat dijumlahkan

2) Perkalian Bentuk Akar

Berdasarkan sifat bentuk akar a  b  a  b maka, Untuk p , q R dan a  0 dan b  0 , berlaku:

p a  q b  pq ab

Misal

3) Pembagian Bentuk Akar

Untuk a , b R dan a  0 dan b  0 , berlaku:

Contoh: Selesaikan operasi aljabar berikut

a) 5 2  32  3 8 b)  4 3  3 5  2 3  5 

Penyelesaian:

a) 5 2  32  3 8  5 2  16  2  3 4  2  5 2  4 2  3  2 2  5 2  4 2  6 2

b)  4 3  3 5  2 3  5   4 3  2 3  5   3 5  2 3  5 

g. Merasionalkan Penyebut

1) Merasionalkan Penyebut

ba

Untuk merasionalkan penyebut dalam pecahan , pecahan tersebut harus anda kalikan

a dengan

. Dengan demikian, proses merasionalkan penyebut dalam pecahan adalah

Contoh Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya

a)

b)

10 5 3 x

Penyelesaian:

a)

b)

3 x 5  3 x 15 x

Tugas

1) Sederhanakan perkalian berikut

a)  x  2  x 2  c)  x  y  x  y 

b)  x  5  x 5  d)  x  y  x  y 

2) Pola apakah yang anda temukan dari hasil pada langkah 1 diatas? Dengan melihat pola tsb, dapatkah anda menyederhanakan bentuk berikut?

a)  a  b  a  b   .... c)  a  b  a  b 

b)  a  b  a  b   .... d)  a  b  a  b 

3) Rasionalkan penyebut dari dengan melakukan perkalian berikut:

4) Rasionalkan penyebut dari pecahan

5) Dari hasil pada langkah 3 dan langkah 4, jelaskan bagaimana merasionalkan penyebut yang melibatkan bentuk akar berikut:

2) Merasionalkan Penyebut bentuk

atau

Dari tugas diatas, dengan menggunakan sifat perkalian  a  b  a  b   2 a  2 b atau  2 a  2 b  a  b   a  b selalu menghasilkan bilangan rasional. Bentuk  a  merupakan b 

kawan dari  a  begitu juga sebaliknya. b 

a  b  a  b   a   b  a  b dan

a  b  a  b   a  b  a  b

Berdasarkan dua hal diatas maka untuk merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dari pecahan tersebut dengan pasangan bentuk sekawannya seperti yang telah dikerjakan pada tugas 1.3 langkah 5:

a  b a  b a  b  a   b a  b

a  b a  b a  b  2 a   b a  b

a  b a  b a  b  a  b a  b

a  b a  b a  b  a  b a  b

Contoh

1) Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya

2) Jika p 

dan q 

, hitunglah operasi berikut

1) a) Pasangan sekawan dari  4 6  adalah  4 6  , sehingga untuk merasionalkan

penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan

b) Pasangan sekawan dari  15  10  adalah  15  10  , sehingga untuk

15  10 merasionalkan penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan

b) p  q 

c) p  q 

d) p  q 

e)

h. Menyederhanakan Bentuk a2  b dengan  a  2 b   0

Bentuk a2  b dapat diubah menjadi bentuk lain yang sederhana misalnya p q atau p q . Untuk lebih jelasnya pelajari contoh berikut. Contoh

Sederhanakan bentuk akar berikut a)

a) Misalkan, x  6 2 8 dengan x  0 . Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh

2 2 2 2 x 2   4 2  sehingga x  4 2 karena a  2 ab  b   a  b 

 Jadi , 6  2 8  4  2  2  2

b) Misalkan, x  5 24 dengan x  0 . Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh

x 2  5  24  5  4  6

2 2 x 2  3  2 3  2  2  

3 2  sehingga x  3 2

 Jadi, 5  24  5  2 6  3  2

Tugas Lakukan tugas ini dengan teman sebangku. Kemukakan hasilnya di depan kelas

1) Perhatikan hasil penyederhanaan bentuk akar a2  b dengan  a  2 b   0 yang

anda peroleh pada contoh diatas:

2) Perhatikan kesamaan (*). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut dengan

tanda operasi   ,  ,  ,   agar diperoleh pernyataan yang benar?

4 ….. 2 = 8 Sekarang perhatikan kesamaan (**). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut dengan tanda operasi   ,  ,  ,   agar diperoleh pernyataan yang benar?

3 ….. 2 = 6 Dengan mengamati kesamaan (*) dan kesamaan (**) dengan saksama dan hasil pada langkah 2. Dapatkah anda menyatakan rumus untuk menyederhanakan bentuk

a2  b ke dalam bentuk jumlah atau selisih dari dua bentuk akar? Kesimpulan:

Untuk  a  2 b   0 , berlaku a  2 b  p  q ; dengan p  q  0 jika dan

hanya jika p  q  a dan p  q  b

b) 2 2 20  80 d) 

2. Sederhanakan bentuk berikut

a) 5 6  4 2  3 6  c)  3 5  2 2  3 5  2 2 

 2  3  6  2  d)  2 7  3 2 

b) 2

3. Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut

4. Sederhanakan bentuk berikut a)

15  2 54 b)

5. Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRSdengan panjang   cm dan lebar  2  3 

 cm. Tentukan:  5  2 3 

a) keliling persegi panjang tersebut

b) luas persegi panjang tersebut b) luas persegi panjang tersebut

5 Persamaan yang berbentuk a  disebut persamaan pangkat. Misalnya b 3 27 , 5 

2 x  dan 1 2  4

f ( x )  1) Bentuk c a a ; c konstanta dan a  0 , a 1 , maka f ( x )  c

Contoh Tentukan nilai x jika:

a) 3 27 c) 5 

x  b) 1 2  128 Penyelesaian:

a) x 3 27

Jadi, x  3

x  b) 1 2  128

x  1 2 7  2 x  1 7

Jadi, x  6

c) 5 

Jadi, x  

f ( x )  g ( x 2) Bentuk ) a a ; a  0 , a 1 , maka f ( x )  g ( x )

Contoh Tentukan nilai x yang memenuhi:

2 2 x  2 1  

3 x  4 x  2 Jadi, x  2

5 x  2 x  b) 4 3  9

5 x  2 2 x  3 4  

3 x 6

Jadi, x  2

f ( x 3) Bentuk ) a  b ; a , b  0 , a , b  1 , maka f ( x ) 0

Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi

x  2 a)  3  x 2 2 x  x 2 x  x b) 2 2  5

Penyelesaian:

x  2 x  a) 2 3  2 maka f ( x ) 0 sehingga x  2 0 Jadi, x   2

x  x 2 x  x 2 b) 2 2  5 maka x  x  0 sehingga x  1  x   0

Jadi, x  0 atau x  1

Latihan Kerjakanlah soal-soal berikut

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a) x 2  256 c) 0 , 001  0 1,

b) 8 2 d)   4 

2. Tentukan nilai x yang memenuhi 3 x  2 1

a) 9  2 x  5

x  3 3 x   b) 5 4 8

C. LOGARITMA

1. Logaritma sebagai Invers dari Pangkat

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya

2 4  16 , 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4.

Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

4 2 2  16  log 16  4

Secara umum:

a a Jika n x  maka a log x  n dan sebaliknya jika log x  n maka x. a

Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

log n x n  x  a

dengan: a = bilangan pokok atau basis, a> 0; a≠ 1; x = numerus(yang dicari nilai logaritmanya), x

n= hasil logaritma. ( a log dibaca"logaritma x dengan basis a") x

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Contoh:

1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat atau sebaliknya

2. Tentukan nilai dari:

b) 5 log 125 Penyelesaian:

2. a) Misalkan 2 log 32  x 2 x 32

Jadi, x  5

b) Misalkan 5 log 125  p

5 p 125

Jadi, p  3

c) Misalkan 2 log  m

Jadi, m  6

2. Sifat-Sifat Logaritma

Untuk menemukan sifat-sifat logaritma lakukan kegiatan berikut secara berpasangan dan kemukakan hasilnya di depan kelas.

Sifat 1  Misalkan:

p log a  m maka a  ..... p log b  n maka b  .....

 Kalikan a dan b sehingga diperoleh

a .....  b  p  p  p

 Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma

p log  a  b   .....  ..... …(**)

 p Substitusikan kembali log a  m dan log b  n ke persamaan (**)

pp

log p  a  b   log .....  log ..... …(***)

Jika a dan b bilangan real positif p  0 dan p  1 , berlaku

log p  a  b   log a  log b

Contoh:

Jika 4 log 3 p , log 5 

q 4 , dan log 8  r , hitunglah:

4 a) 4 log 15  log 64

b) 4 log 120 Penyelesaian:

4 4 4 a) 4 log 15  log 64  log  3  5   log  8  8 

4 4 4  4 log 3  log 5  log 8  log 8

4 4 4 4 b) 4 log 120  log  3  5  8   log 3  log 5  log 8

 p  q  r Sifat 2

 Misalkan:

p log a  m maka a  ..... p log b  n maka b  .....

 Bagilah a dan b sehingga diperoleh

a ..... p .....   ....

.....  p

b p  Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma

log    .....  ..... …(**)

 p Substitusikan kembali log a m dan log b  n ke persamaan (**)

 a  p log p    log .....  log ..... …(***)

 b  Jika a dan b bilangan real positif p  0 dan p  1 , berlaku

log p    log a  log b

Contoh:

a) Jika log 2 = 0,3010, hitunglh log 5

b) Sederhanakan dan hitung log 21 – log 210 Penyelesaian:

a) log 5  log  log 10  log 2  1  0 , 3010  0 , 6990 2

b) log 21  log 210  log

 log

 log 1  log 10  0  1   1

Sifat 3  Misalkan:

p log a  m maka a  ..... …(*)

 Kedua ruas dalam (*) dipangkatkan n , sehingga diperoleh

 n .....  a ..... 

pp

 Tulis persamaan (**) dalam bentuk logaritma

 a  ..... …(***)  p Substitusikan kembali log a  m ke persamaan (***)

log n

Jika a dan b bilangan real positif p  0 dan p  1 , berlaku

log  p a n log a

Jika n a p maka log p  n Contoh:

Nyatakan dahulu sebagai logaritma tunggal dan hitunglah 5 1 5

Sifat 4  Misalkan:

p log a  y maka a  ..... …(*)

 Kedua ruas dalam (*) diambil logaritmanya dengan bilangan pokok baru (misalnya q) , sehingga diperoleh

log q a log .....

q log 

a q .....  log .....

q loga y 

 p Substitusikan kembali log a  y ke persamaan (**) sehingga diperoleh

qp

log a log a 

Jika a  0 , p  0 , p  1 , q  0 , dan q  1 berlaku

Jika diambil q  maka diperoleh a

log  a a

log p

Contoh Jika 3 log 5  p , tunjukkan bahwa:

Dengan menuliskan log  a dan log  a akan diperoleh sifat sebagai berikut:

log p

log a

Jika b a, , dan p  0 , a  1 , p  1 berlaku

a log p a  log b  log b

Contoh: Kerjakan soal-soal berikut

2 a) Hitunglah 5 log 5  log 16

a b b) Sederhanakan c log b  log c  log d

Penyelesaian:

2 5 2 2 a) 4 log 5  log 16  log 16  log 2  4

a b c a c b) a log b  log c  log d  log c  log d  log d

Sifat 6

log a

Dengan menuliskan log a 

(Sifat 4a) dan sifat 3a buktikan bahwa

log p

m log a 

p log a …(*)

Jika diambil p m  buktikan pula n log a  log a

Contoh Hitunglah

a) 8 log 16

b) Jika 3 log 5 

a 25 , hitung log 27

Sifat 7 Perhatikan uraian berikut

Misalkan n n  log a , maka a p

p log Karena a n  log a , maka a  p  p

p log Jika p dan a bilangan real positif a p  1 maka p  a

Contoh Sederhanakan

log x a) 2 10

9 log b) b 27 Penyelesaian

log x 2 10 log x a) 2 10  10

9 log b 9 log log b b  1 1  

b)

3 9 log b 9 log  b 

9 log 3

4 3 b 4 b

Latihan Kerjakanlah soal-soal berikut

1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.

2. Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk pangkat 2 1

5 b) 3 log  2 p  1   q d) 4  log r  24

3. Tentukan nilai x dari logaritma berikut.

a) 2 log  2 x  6   3

3 b) 2 log x  2

 x  2 x  22   2

5 c) 2 log

4. Sederhanakan bentuk logaritma berikut

5. Sederhanakan bentuk logaritma berikut

5 10 5 2 a   b  c 

6. Jika a  log 1 ; b  log 0 , 01 ; c  log 0 , 2 ; dan d  log 8 . Tentukan nilai dari !

7. Jika 2 log  2 x  1   4 ; log 0 , 125   3 ; log

z  2 . Tentukan nilai x  y z !

8. Jika 5 log 2  x dan log 3  y , tentukan nilai dari log 24 !

9. Jika 5 log 3 

a 3 dan log 4 

b 12 , tentukan nilai dari log 75 !

a 3 , tentukan nilai dari 4  27 1

10. Jika

2 log 3 

log

log 2 

3 1 log

Evaluasi

1. Bentuk sederhana dari

7. Bentuk sederhana dari =…

2. Bentuk sederhana dari

5 4 7 c 4 bc 8. Bentuk sederhana dari

3. Bentuk sederhana dari 

2 9 2  b. 3 (ab) 6 e.

( ab )

a. 24 + 12 6

c. 9 (ab) 2 b. –24 + 12 6 3  2 ( 4 5 a b )

4. Bentuk sederhana dari

2 4 c. 5 2 a b 10. Hasil dari 12  27  3 adalah …

5. Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 – 5 . Nilai

a. 6

dari a 2 –b 2 =…

11. Bentuk sederhana dari

e. 8 5

8  75   32  243  adalah …

6. Bentuk sederhana dari

a. 2 2 + 14 3

b. –2 2 – 4 3 20  5 15 20  5 15

a. d.

22  22 c. –2 2 + 4 3

23  5 15 23  5 15 d. –2 2 + 4 3

b. e.

22  22 e. 2 2 – 4 3

c.  22

 3 2  4 3  2  3  17. Jika log 2 = a dan log3 = b, maka log 14 = …

7 2 12. Bentuk sederhana dari 6

e. 18 + 6 18. Jika diketahui 3 log 5 = m dan 7 log 5 = n, maka

35 log 15 = … 24

13. Bentuk sederhana dari

14. Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36. Nilai dari

19. Nilai dari log  log  log =…   1  1 3

2 20. Diketahui 2 log5 = x dan log3 = y. Nilai

3 log 6 3

15. Nilai dari

 log 18   log 2 

16. Nilai dari

3 3 =…

log 2  log 18

 14 a. 14 3 d. 6

b.  14 e. 14 6 3

c.  10 6