Mendapatkan Solusi Sistem Persamaan Dife
Mendapatkan Solusi Sistem Persamaan
Diferensial Linier Biasa dengan
Menerapkan Teknik Diagonalisasi
Matriks
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya
Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
Email: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Suatu sistem persamaan diferensial linier yang tersusun atas n persamaan diferensial orde satu dengan n peubah tak bebas:
x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn
···
x˙ n = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn
(1)
dengan x1 , . . . , xn adalah peubah tak bebas, a11 , . . . , ann masing-masing adalah
konstanta, dan:
dx1
dt
dx2
x˙ 2 =
dt
···
dxn
x˙ n =
.
dt
x˙ 1 =
dengan t adalah peubah bebas. Di sini, diberikan
x1 (0), x2 (0), . . . , xn (0)
yang masing-masing adalah nilai x1 , x2 , . . . , xn ketika t = 0. Dalam bentuk
matriks vektor, (1) dapat dinyatakan sebagai:
x˙ = Ax,
1
(2)
dengan:
x˙ 1
x˙ 2
x˙ =
··· ,
x˙ n
a11
a21
A=
···
an1
dan:
a21
a22
···
an2
···
···
···
···
a1n
a2n
,
···
ann
x1
x2
x=
··· .
xn
Jika A pada (2) mempunyai nilai-nilai eigen:
{λ1 , λ2 , . . . , λn }
yang real dan berbeda, maka suatu matriks P yang tersusun dari vektor-vektor
eigen yang berhubungan dengan nilai-nilai eigen tersebut:
P = v1 v2 . . . vn
memiliki invers (invertible).1 Dapat ditunjukkan bahwa:
D = P−1 AP,
(3)
dengan
D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ,
adalah matriks diagonalisasi A.
Dalam hal (3) terpenuhi, suatu matriks:
E(t) = diag eλ1 t , eλ2 t , . . . , eλn t
membentuk solusi bagi sistem persamaan diferensial (1) yang dinyatakan oleh:
x(t) = PE(t)P−1 c
dengan:
x1 (t)
x2 (t)
x(t) =
··· ,
xn (t)
dan
1 Lihat
Perko (2001), Hal 6.
x1 (0)
x2 (0)
c=
··· .
xn (0)
2
(4)
2
Komputasi
Langkah pertama adalah mendapatkan A menyatakan (1) dalam bentuk (2).
Nilai-nilai eigen A selanjutnya diperoleh menggunakan persamaan:
|A − λIn | = 0,
(5)
dengan In adalah matriks identitas orde n. Nilai-nilai eigen A (λ1 , λ2 , . . . λn )
adalah setiap nilai λ yang memenuhi (5). Seperti diuraikan di atas, diperlukan
nilai-nilai eigen yang real dan berbeda agar (3) terpenuhi.
Vektor eigen vi yang berhubungan dengan dengan λi dihitung menggunakan
persamaan2 :
(A − λi In ) vi = 0.
(6)
Nilai vi adalah setiap solusi tak nol (non-trivial) persamaan (6)3 . Hal ini dapat
diperoleh, antara lain, dengan menyatakan (6) dalam bentu matriks diperbesar
(augmented matrix) dan selanjutnya melakukan reduksi eselon terhadap matriks tersebut. Langkah ini akan dijelaskan lebih lanjut pada bagian Contoh.
Setelah seluruh vektor eigen diperoleh, maka langkah berikutnya adalah membentuk matriks P:
P = v1 v2 . . . vn
dan selanjutnya menghitung P−1 . Akhirnya, solusi persamaan diferensial dapat
diperoleh dengan menghitung (4).
3
Contoh
Selesaikan sistem persamaan linier tergandeng
x˙ 1 = −9x1 − 2x2
(7)
x˙ 2 = 6x1 − x2
dengan nilai-nilai awal x1 (0) = 2 dan x2 (0) = 0.
3.1
Mendapatkan Nilai-nilai Eigen
Dalam bentuk matriks vektor, (7) menjadi:
x˙ 1
−9 −2
x1
.
=
x2
x˙ 2
6
1
Nilai-nilai eigen A diperoleh menggunakan (5):
|A − λI| = 0
−9 −2
λ 0 −9 − λ
−
=
0 λ
6
6 −1
−2
=0
−1 − λ
(−9 − λ)(−1 − λ) − (−2)(6) = λ2 + 10λ + 21 = 0
(λ + 3)(λ + 7) = 0,
diperoleh nilai-nilai eigen masing-masing: λ1 = −3 dan λ2 = −7.
2 Perhatikan
3 Pilih
bahwa ruas kanan pada (6) adalah vektor nol.
satu saja.
3
3.2
Mendapatkan Vektor-vektor Eigen
• Menerapkan (6) untuk mendapatkan salah satu vektor eigen yang berhubungan dengan λ1 = −3:
(A − λ1 In ) v1 = 0
−9 −2
1 0
⇔
− (−3)
v1 = 0
6 −1
0 1
−9 −2
−3
0
⇔
−
v1 = 0
6 −1
0 −3
−6 −2
⇔
v1 = 0
6
2
Dalam bentuk matriks diperbesar, reduksi sistem persamaan di atas ke
dalam bentuk eselon menghasilkan:
1
−6 −2 0
6 2 0
3 1 0
B1+B2→B2
2 B1→B1
−−−−−−→
−−−−−−−−→
6
2 0
0 0 0
0 0 0
Misalkan v1 =
x
y
T
, maka dari bentuk eselon di atas:
3x + y = 0.
Pilih y = 3:
3x − 3 = 0 −→ x = −1.
Dengan demikian salah satu eigenvektor yang berhubungan dengan λ =
−3 adalah:
−1
v1 =
.
3
• Menerapkan (6) untuk mendapatkan salah satu vektor eigen yang berhubungan dengan λ2 = −7:
∴ (A − λ2 In ) v2 = 0
−9 −2
1 0
⇔
− (−7)
v2 = 0
6 −1
0 1
−9 −2
−7
0
⇔
−
v2 = 0
6 −1
0 −7
−2 −2
⇔
v2 = 0
6
6
Dalam bentuk matriks diperbesar, reduksi
dalam bentuk eselon menghasilkan:
−2 −2 0
−2 −2
3B1+B2→B2
−−−−−−−−→
6
6 0
0
0
4
sistem persamaan di atas ke
1
0
− 2 B1→B1
1 1
0 −−−−−−−→ 0 0
0
0
Misalkan v2 =
x
y
T
, maka dari bentuk eselon di atas:
x + y = 0.
Pilih y = 1:
x + 1 = 0 −→ x = −1.
Dengan demikian salah satu eigenvektor yang berhubungan dengan λ =
−7 adalah:
−1
v2 =
.
1
3.3
Mendapatkan P dan Menghitung P−1
Matriks yang dibentuk dari vektor-vektor eigen adalah:
P = v1 v2
−1 −1
.
=
3
1
Dengan demikian:
P
−1
1
=
(−1)(1) − (−1)(3)
1
1
2
2
=
.
− 32 − 21
1
−3
1
−1
Dapat diperiksa bahwa:
P
−1
AP =
1
2
− 32
1
2
− 21
=
−3
0
0
−7
−9 −2
6 −1
−1
3
−1
1
= diag (λ1 , λ2 ) .
3.4
Mendapatkan x(t)
Karena P memiliki invers, maka:
E(t) = diag eλ1 t , eλ2 t
−3t
e
0
=
0
e−7t
dapat digunakan untuk mendapatkan solusi sistem persamaan diferensial linier
(7). Ini berarti seluruh komponen penyusun persamaan
x(t) = PE(t)P−1 c,
5
telah diperoleh. Dalam hal ini:
−1 −1 −3t
x1 (t)
e
=
0
x2 (t)
3
1
1
−7t
− e−3t
2 3e
=
3
−3t
− e−7t
2 e
−7t
3e
− e−3t
,
=
−3t
−7t
e
−e
0
e−7t
1
2
1
2
1
2
3
−2
1
2
− 21
3e−7t − e−3t
e−3t − e−7t
2
0
2
0
atau:
x1 (t) = 3e−7t − e−3t
x2 (t) = e−3t − e−7t
Kepustakaan
1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines).
Third Edition, McGraw-Hill, 2006.
2. Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics. Ninth Edition, Wiley,
2006.
3. Lipschutz, S. & Lipson, M.L., Linear Algebra (Schaum’s Outlines). Fourth
Edition, McGraw-Hill, 2009.
4. Perko, L., Differential Equations and Dynamical Systems. Third Edition,
Springer, 2001.
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun
konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli
penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any
concept or method in this paper that represents the author’s original contribution.
Versi 0.2, April 19, 2018
6
Diferensial Linier Biasa dengan
Menerapkan Teknik Diagonalisasi
Matriks
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya
Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
Email: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Suatu sistem persamaan diferensial linier yang tersusun atas n persamaan diferensial orde satu dengan n peubah tak bebas:
x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn
···
x˙ n = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn
(1)
dengan x1 , . . . , xn adalah peubah tak bebas, a11 , . . . , ann masing-masing adalah
konstanta, dan:
dx1
dt
dx2
x˙ 2 =
dt
···
dxn
x˙ n =
.
dt
x˙ 1 =
dengan t adalah peubah bebas. Di sini, diberikan
x1 (0), x2 (0), . . . , xn (0)
yang masing-masing adalah nilai x1 , x2 , . . . , xn ketika t = 0. Dalam bentuk
matriks vektor, (1) dapat dinyatakan sebagai:
x˙ = Ax,
1
(2)
dengan:
x˙ 1
x˙ 2
x˙ =
··· ,
x˙ n
a11
a21
A=
···
an1
dan:
a21
a22
···
an2
···
···
···
···
a1n
a2n
,
···
ann
x1
x2
x=
··· .
xn
Jika A pada (2) mempunyai nilai-nilai eigen:
{λ1 , λ2 , . . . , λn }
yang real dan berbeda, maka suatu matriks P yang tersusun dari vektor-vektor
eigen yang berhubungan dengan nilai-nilai eigen tersebut:
P = v1 v2 . . . vn
memiliki invers (invertible).1 Dapat ditunjukkan bahwa:
D = P−1 AP,
(3)
dengan
D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ,
adalah matriks diagonalisasi A.
Dalam hal (3) terpenuhi, suatu matriks:
E(t) = diag eλ1 t , eλ2 t , . . . , eλn t
membentuk solusi bagi sistem persamaan diferensial (1) yang dinyatakan oleh:
x(t) = PE(t)P−1 c
dengan:
x1 (t)
x2 (t)
x(t) =
··· ,
xn (t)
dan
1 Lihat
Perko (2001), Hal 6.
x1 (0)
x2 (0)
c=
··· .
xn (0)
2
(4)
2
Komputasi
Langkah pertama adalah mendapatkan A menyatakan (1) dalam bentuk (2).
Nilai-nilai eigen A selanjutnya diperoleh menggunakan persamaan:
|A − λIn | = 0,
(5)
dengan In adalah matriks identitas orde n. Nilai-nilai eigen A (λ1 , λ2 , . . . λn )
adalah setiap nilai λ yang memenuhi (5). Seperti diuraikan di atas, diperlukan
nilai-nilai eigen yang real dan berbeda agar (3) terpenuhi.
Vektor eigen vi yang berhubungan dengan dengan λi dihitung menggunakan
persamaan2 :
(A − λi In ) vi = 0.
(6)
Nilai vi adalah setiap solusi tak nol (non-trivial) persamaan (6)3 . Hal ini dapat
diperoleh, antara lain, dengan menyatakan (6) dalam bentu matriks diperbesar
(augmented matrix) dan selanjutnya melakukan reduksi eselon terhadap matriks tersebut. Langkah ini akan dijelaskan lebih lanjut pada bagian Contoh.
Setelah seluruh vektor eigen diperoleh, maka langkah berikutnya adalah membentuk matriks P:
P = v1 v2 . . . vn
dan selanjutnya menghitung P−1 . Akhirnya, solusi persamaan diferensial dapat
diperoleh dengan menghitung (4).
3
Contoh
Selesaikan sistem persamaan linier tergandeng
x˙ 1 = −9x1 − 2x2
(7)
x˙ 2 = 6x1 − x2
dengan nilai-nilai awal x1 (0) = 2 dan x2 (0) = 0.
3.1
Mendapatkan Nilai-nilai Eigen
Dalam bentuk matriks vektor, (7) menjadi:
x˙ 1
−9 −2
x1
.
=
x2
x˙ 2
6
1
Nilai-nilai eigen A diperoleh menggunakan (5):
|A − λI| = 0
−9 −2
λ 0 −9 − λ
−
=
0 λ
6
6 −1
−2
=0
−1 − λ
(−9 − λ)(−1 − λ) − (−2)(6) = λ2 + 10λ + 21 = 0
(λ + 3)(λ + 7) = 0,
diperoleh nilai-nilai eigen masing-masing: λ1 = −3 dan λ2 = −7.
2 Perhatikan
3 Pilih
bahwa ruas kanan pada (6) adalah vektor nol.
satu saja.
3
3.2
Mendapatkan Vektor-vektor Eigen
• Menerapkan (6) untuk mendapatkan salah satu vektor eigen yang berhubungan dengan λ1 = −3:
(A − λ1 In ) v1 = 0
−9 −2
1 0
⇔
− (−3)
v1 = 0
6 −1
0 1
−9 −2
−3
0
⇔
−
v1 = 0
6 −1
0 −3
−6 −2
⇔
v1 = 0
6
2
Dalam bentuk matriks diperbesar, reduksi sistem persamaan di atas ke
dalam bentuk eselon menghasilkan:
1
−6 −2 0
6 2 0
3 1 0
B1+B2→B2
2 B1→B1
−−−−−−→
−−−−−−−−→
6
2 0
0 0 0
0 0 0
Misalkan v1 =
x
y
T
, maka dari bentuk eselon di atas:
3x + y = 0.
Pilih y = 3:
3x − 3 = 0 −→ x = −1.
Dengan demikian salah satu eigenvektor yang berhubungan dengan λ =
−3 adalah:
−1
v1 =
.
3
• Menerapkan (6) untuk mendapatkan salah satu vektor eigen yang berhubungan dengan λ2 = −7:
∴ (A − λ2 In ) v2 = 0
−9 −2
1 0
⇔
− (−7)
v2 = 0
6 −1
0 1
−9 −2
−7
0
⇔
−
v2 = 0
6 −1
0 −7
−2 −2
⇔
v2 = 0
6
6
Dalam bentuk matriks diperbesar, reduksi
dalam bentuk eselon menghasilkan:
−2 −2 0
−2 −2
3B1+B2→B2
−−−−−−−−→
6
6 0
0
0
4
sistem persamaan di atas ke
1
0
− 2 B1→B1
1 1
0 −−−−−−−→ 0 0
0
0
Misalkan v2 =
x
y
T
, maka dari bentuk eselon di atas:
x + y = 0.
Pilih y = 1:
x + 1 = 0 −→ x = −1.
Dengan demikian salah satu eigenvektor yang berhubungan dengan λ =
−7 adalah:
−1
v2 =
.
1
3.3
Mendapatkan P dan Menghitung P−1
Matriks yang dibentuk dari vektor-vektor eigen adalah:
P = v1 v2
−1 −1
.
=
3
1
Dengan demikian:
P
−1
1
=
(−1)(1) − (−1)(3)
1
1
2
2
=
.
− 32 − 21
1
−3
1
−1
Dapat diperiksa bahwa:
P
−1
AP =
1
2
− 32
1
2
− 21
=
−3
0
0
−7
−9 −2
6 −1
−1
3
−1
1
= diag (λ1 , λ2 ) .
3.4
Mendapatkan x(t)
Karena P memiliki invers, maka:
E(t) = diag eλ1 t , eλ2 t
−3t
e
0
=
0
e−7t
dapat digunakan untuk mendapatkan solusi sistem persamaan diferensial linier
(7). Ini berarti seluruh komponen penyusun persamaan
x(t) = PE(t)P−1 c,
5
telah diperoleh. Dalam hal ini:
−1 −1 −3t
x1 (t)
e
=
0
x2 (t)
3
1
1
−7t
− e−3t
2 3e
=
3
−3t
− e−7t
2 e
−7t
3e
− e−3t
,
=
−3t
−7t
e
−e
0
e−7t
1
2
1
2
1
2
3
−2
1
2
− 21
3e−7t − e−3t
e−3t − e−7t
2
0
2
0
atau:
x1 (t) = 3e−7t − e−3t
x2 (t) = e−3t − e−7t
Kepustakaan
1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines).
Third Edition, McGraw-Hill, 2006.
2. Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics. Ninth Edition, Wiley,
2006.
3. Lipschutz, S. & Lipson, M.L., Linear Algebra (Schaum’s Outlines). Fourth
Edition, McGraw-Hill, 2009.
4. Perko, L., Differential Equations and Dynamical Systems. Third Edition,
Springer, 2001.
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun
konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli
penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any
concept or method in this paper that represents the author’s original contribution.
Versi 0.2, April 19, 2018
6