ganjil 2q + 1. Selanjutnya jika diambil a = 3, maka menurut dalil Algoritma Pembagian, dengan mengambil r= 0, r=l dan r=2. Sehingga
sebarang bilangan bulat b dapat dinyatakan sebagai bentuk dari salah satu persamaan berikut:
b = 3q b = 3q + 1
b = 3q + 2 Dengan alasan yang sama, setiap bilangan bulat selalu dapat dinyatakan
antara lain: 1. Salah satu dari 4q, 4q+1, 4q+2, 4q+3 q
Z
2. Salah satu dari 5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3, 5q+4 q
Z
3. Salah satu dari 6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, 6q+5 q
Z
Disinilah sebenarnya letak dari konsep algoritma pembagian, suatu konsep mendasar yang dapat digunakan untuk membantu pembuktian
sifat-sifat tertentu. Contoh:
1. Diketahui n adalah bilangan bulat, buktikan bahwa 2 │n
3
– n . Bukti:
Menurut dalil Algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat q sedemikian sehingga n = 2q atau n = 2q + 1,
Untuk n = 2q maka n
3
– n = n n
2
– 1 = nn-1n+1
= 2q2q-12q+1
Teori Bilangan - 28
= 2{q2q-12q+1 n
3
– n = 2{q2q-12q+1 Sehingga 2 │2{q2q-12q+1 atau 2 │ n
3
– n Untuk n = 2q+1 maka
n
3
– n = n n
2
– 1 = nn-1n+1
= 2q+12q+1-12q+1+1 = 2q+12q2q+2
n
3
– n = 2q+12q2q+2 Sehingga 2 │2q+12q2q+2 atau 2 │ n
3
– n
2. Tunjukkan bahwa 4 ┼ n
2
+ 2 untuk sebarang n
Z
Jawab Dengan bukti tidak langsung, anggaplah 4 │ n
2
+ 2. Sesuai dengan dalil algoritma pembagian, untuk n
Z dapat dinyatakan sebagai
n = 2q atau n = 2q + 1, q
Z. Untuk n = 2q, maka n
2
+ 2 = 2q
2
+ 2 = 4q
2
+ 2 4 │n
2
+ 2 n
2
+ 2 = 4q
2
+ 2
4 │4q
2
+ 2
4 │4q
2
, maka 4 │2, hal ini terjadi kontradiksi karena 4 ┼ 2. Jadi anggapan bahwa 4 │ n
2
+ 2. adalah salah sehingga 4 ┼ n
2
+ 2. Untuk n = 2q + 1, maka n
2
+ 2 = 2q+1
2
+ 2 = 4q
2
+ 4q + 3 = 4q
2
+q + 3
Teori Bilangan - 29
4 │n
2
+ 2 n
2
+ 2 = 4q
2
+q + 3
4 │4q
2
+ q + 3
4 │4q
2
+ q, maka 4 │3, hal ini terjadi kontradiksi karena 4 ┼ 3.
Definisi 2.2 Ditentukan x,y
Z yang keduanya tidak bersama-sama bernilai 0, a
Z disebut pembagi persekutuan dari x dan y jika a │x dan a │
y.
a
Z disebut pembagi persekutuan terbesar FPB dari x dan y jika a
adalah bilangan bulat positip terbesar
sehingga a│x dan a│y. Untuk selanjutnya jika a adalah pembagi persekutuan terbesar dari x dan
y dinyatakan dengan x,y = a. Perlu diperhatikan bahwa x,y = a didefinisikan untuk setiap pasangan
bilangan bulat x,y
Z kecuali untuk x = 0 dan y = 0. Demikian pula perlu
dipahami bahwa x,y selalu bernilai positip yaitu x,y 0, atau x,y ≥ 1. Contoh:
1. Faktor dari 8 adalah -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. 2. Faktor dari 20 adalah –20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20
3. Faktor Persekutuan 8 dan 20 adalah –4,-2,-1, 1, 2, 4 4. Faktor Persekutuan terbesar 8 dan 20 adalah 4 atau 8,20 = 4
Selanjutnya perhatikan bahwa 12,16 = 4, 60,105 = 15, 3,5 = 1, 17,19= 1. dan seterusnya.
Teori Bilangan - 30
Dalil 2.4
1. Jika d = x,y maka d adalah bilangan bulat positip terkecil yang
