Persamaan dan Pertidaksamaan
57
x
2
+ 2x – 48 = 0 x + 8 x – 6 = 0
x + 8 = 0 atau x – 6 = 0 x = –8 atau x = 6
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–8, 6}.
c. 2x
2
+ 9x + 7 = 0 Dengan nilai a = 2, b = 9, c = 7
p + q = 9; p · q = a · c = 14 Untuk nilai p dan q dapat ditentukan dengan cara mencari bilangan
yang apabila dijumlahkan menghasilkan 9 dan dikalikan menghasilkan 14. Didapat p = 7 dan q = 2 sehingga:
2x
2
+ 9x + 7 = 0 2x + 7 x +
2 2
= 0 2x + 7 = 0 atau x + 1 = 0
x = –
7 2
atau x = –1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {
- 7
2 , –1}.
d. 3x
2
– 7x – 6 = 0 Dengan nilai a = 3, b = –7, c = –6
p + q = –7; p · q = 3 · –6 = –18 Dengan cara yang sama, untuk menentukan nilai p dan q yang apabila
dijumlahkan menghasilkan –7 dan dikalikan menghasilkan –18. Didapat p = 2 dan q = –9 sehingga:
3x
2
– 7x – 6 = 0 3x + 2 x +
− 9
3 = 0
3x + 2 x – 3 = 0 3x + 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –
2 3
atau x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {
- 2
3 , 3}.
e. 6x
2
– 23x + 7 = 0 Dengan nilai a = 6, b = –23, c = 7
p + q = –23; p · q = 6 · 7 = 42 Dengan cara yang sama pula, nilai p dan q dapat dicari dengan cara
mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan –23 dan dikalikan menghasilkan 42. Didapat p = –2 dan q = –21 sehingga:
6x
2
– 23 + 7 = 0 6x – 2 x
− 21
6 = 0
6x – 2 = 0 atau x −−
21 6
= 0 6x = 2 atau x =
21 6
x = 1
3 atau x =
7 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1
3 ,
7 2
}.
Solusi
Himpunan penyelesaian dari persamaan 5x
2
+ 4x – 12 = 0 adalah ....
a. {–2,
5 6
}
b. {2, –
5 6
}
c. {2,
6 5
}
d. {–2, –
6 5
}
e. {–2,
6 5
}
Jawab:
5 4 2 0
5 6
2 5
6 0 2 0
2 6
5
2
x x
x x
x x
x x
x + − =
− +
= − =
+ −
= atau
= 5 = 6
atau = atau =
= 2 −
Jawaban: e
Sumber: UN SMK 2004
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
58
b. Menyempurnakan Kuadrat
Dalam melengkapkan kuadrat terhadap persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dapat dilakukan dengan beberapa tahap, yaitu sebagai berikut.
1 Pisahkan konstanta atau pindahkan konstanta ke ruas kanan.
ax
2
+ bx = c
2 Jika a ≠ 1, bagi kedua ruas dengan a.
x b
a x
c a
2
+ =
3 Tambahkan pada kedua ruas kuadrat dari
1 2
kali koeisien x.
x b
a x
b a
c a
b a
2 2
2
2 2
+ +
= +
4 Nyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna pada ruas kiri.
x b
a c
a b
a +
= +
2 2
2 2
5 Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat sempurna di atas dengan menarik
akar.
x b
a c
a b
a +
= ± +
2
2
2
Contoh Soal 3.6
Dengan melengkapkan kuadrat, tentukanlah himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x
2
– 6x + 2 = 0 c. 2x
2
– 5x – 4 = 0
b. x
2
+ 9x + 1 = 0 d. 3x
2
+ 2x –6 = 0
Jawab: a.
x x
x x
x x
x x
2 2
2 2
2 2
6 2
6 2
6 6
2 2
6 2
6 9
2 −
+ = −
= − −
+ −
= − + −
− + = − + 99
3 7
3 7
3 7
3 7
3 7
2
1 2
x x
x x
x −
= − = ±
= ± = +
= − dan
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 – 7
, 3 + 7
}.
b.
x x
x x
x x
x x
2 2
2 2
2 2
2
9 1
9 1
9 9
2 1
9 2
9 81
4 1
+ + =
+ = −
+ +
= − +
+
+ = − ++
+
= − +
= + = ±
= ± = − ±
81 4
9 2
4 81 4
77 4
9 2
77 4
77 2
9 2
77 2
2
x x
x
Di unduh dari : Bukupaket.com
Persamaan dan Pertidaksamaan
59
x x
1 2
9 77
2 9
77 2
= − + = − −
dan Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {
- - 9
77 2
, - +
9 77
2 }.
c.
2 5
4 5
2 4
2 5
2 5
4 2
5 4
5 2
25
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− − =
− =
− + −
= + −
−
+ 1
16 2
25 16
5 4
32 16
25 16
57 16
5 4
57 16
57 4
5 4
57
2
= + −
= +
= − = ±
= ± = ±
x x
x 4
4 5
57 4
5 57
4
1 2
x x
= + = −
dan Jadi, himpunan penyelesaiannya {
5 57
4 -
, 5 + 57
4 }.
d.
3 2
6 2
3 6
3 2
3 2
6 2
2 6
2 3
1 9
2
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
+ − =
+ =
+ +
= +
+
+ = ++ +
= + =
+ = ± = ±
= − ± = − +
1 9
1 3
18 1 9
19 9
1 3
19 9
19 3
1 3
19 3
1 19
3
2
1
x x
x x
daan x
2
1 19
3 = − −
Jadi, himpunan penyelesaiannya { - -
1 19
3 ,
- + 1
19 3
}.
c. Menggunakan Rumus abc
