STUDI TENTANG KEKOMPOSITAN BARISAN

ABSTRAK

STUDI TENTANG KEKOMPOSITAN BARISAN Oleh

YUSUF JAMIL

Suatu barisan bilangan prima akan menghasilkan bilangan prima, hal ini pertama kali diperkenalkan oleh Pierre de Fermat (1601-1665 M) dalam pembahasannya mengenaiperfect number, suatu bilangan yang bernilai sama dengan penjumlahan seluruh pembagi bilangan tersebut. Buku IX dasar-dasar Euclid memuat suatu bukti bahwa jika2 1adalah prima, maka2 (2 1)merupakanperfect number, karena sulit untuk menentukn nilai dari pada2 1adalah

prima.Fermat mengetemukan tiga dalil yang dia minta bantuan pada masalah ini, dalil yng dibicarakan pada Marin Mersenne (1588-1648 M). Hasi pertama yang didapat adalah jika n itu sendiri bukan prima, maka2 1tidak mungkin prima. Hal ini merupakan dasar permasalahan yang akan mengurangi dari

mempertanyakan jika adalah prima maka2 1merupakan prima. Prima yang seperti itu sekarang dinamakan sebagaiMersenne primes sebagai penghargaan Fermat terhadap Marin Mersenne. Sekarang barisan prima telah dikembangkan oleh beberapa Matematikwan, salah satunya Wagstaff yang memperkenalkan

ii pada saat = 11, 23, 29, maka pada barisan akan memiliki nilai

STUDI TENTANG KEKOMPOSITAN BARISAN

Oleh

Yusuf Jamil

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada Rasulallah SAW .

Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Amanto, M. Si., selaku Pembimbing I yang telah banyak

memberikan ilmu, bimbingan, arahan, serta semangat dalam pembuatan skripsi ini.

2. Bapak Dr. Muslim Ansori, M. Si., selaku Pembimbing II yang telah memberikan pengarahan dalam pembuatan skripsi ini.

3. Ibu Dorrah Azis, M. Si., selaku Pembahas yang telah memberikan kritik dan saran sehingga skripsi ini bisa selesai dengan hasil baik.

4. Bapak La Zakaria, M. Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 5. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika. 6. Bapak Prof. Suharso, Ph. D selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Seluruh Dosen dan staf karyawan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam

8. Ayah dan Ibu tercinta yang telah mendidik, dan membesarkan dengan segenap jiwa dan raga, yang tak henti-hentinya mendo’a-kanku dan yang selalu memberikan kasih sayangnya selama ini,

x 9. Kakak dan Adikku tercinta, terima kasih atas semangat dan dukungannya. 10. Teman-teman terbaikku selama kuliah dan seluruh angkatan 2006 S1

Matematika.

Serta semua pihak yang tidak sempat penulis sebutkan satu-persatu, yang telah membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini. Semoga mendapatkan balasan dari Allah SWT Yang Maha Esa.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih banyak terdapat kekurangan, baik dari segi isi maupun teknik penulisannya, oleh karena itu penulis dengan bangga menerima kritik dan saran dari semua pihak. Akhir kata, penulis mengharapkan tugas akhir ini dapat berguna sebagaimana mestinya.

Bandar Lampung, Januari 2012

Judul Skripsi : STUDI TENTANG KEKOMPOSITAN BARISAN

Nama Mahasiswa : Yusuf Jamil Nomor Pokok Mahasiswa : 0617031073 Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Pembimbing I Pembimbing II

Amanto S.Si., M.Si Dr. Muslim Ansori, M.Si

NIP. 19730314 200012 1 002 NIP. 19720227 199802 1 001

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph. D. NIP. 19620704 198803 1 002

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Pembimbing I : Amanto S.Si., M.Si ...

Pembimbing II : Dr. Muslim Ansori, M.Si ………..

Penguji

Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Azis, M. Si ………..

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph. D.

NIP. 19690530 199512 1 001

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sripendowo, Kecamatan Bangun Rejo, Lampung Tengah 22 Mei 1988, sebagai anak keempat dari lima bersaudara pasangan Ahmad Badrun dan Marsini. Pendidikan formal penulis diawali di SD N 1 Sripendowo, Bangun Rejo pada tahun 1994-2000; SLTP N 1 Bangun Rejo, Lampung Tengah pada tahun 2000-2003; SMA N 1 Bangun Rejo, Lampung Tengah pada tahun 2003-2006.

Tahun 2006_—2011 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Universitas Lampung. Pada jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, melalui jalur SPMB. Tahun 2007 penulis mengikuti kegiatan Karya Wisata Ilmiah (KWI) yang diselenggarakan oleh BEM FMIPA Unila. Pada tanggal 21 Juni-10 Juli 2009 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Kantor Pajak Pratama Natar, Lampung Selatan.

Dalam sebuah riwayat disebutkan, bahwa Malaikat

Jibril mendatangi Rasulullah saw dan mengatakan,

Hai

Muhammad, hiduplah sesukamu karena sungguh kau akan

mati. Cintailah siapa saja yang engkaau sukai tapi

sungguh engkau akan berpisah dengannya. Dan lakukan apa

saja sekehendakmu karena engkau akan dibalas dengannya

.

(HR. Baihaqi dalam Syu abul iman)

Man khariqa al awaa-ida zhaharat lahu al fawaa-idu

(siapa yang berhasil melawan kebiasaan buruk, akan tampak

kepadanya hikmah)

(Ibnu Athaillah)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bilangan prima pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Eratosthenes (276-194 S.M.). Erathosthenes lahir di Cryne, sebuah koloni Yunani, terletak disebelah barat Mesir dan dibawah kekuasaan Ptolemaic, Erathosthenes menghabiskan waktunya untuk bekerja di Alexandria.

Diketahui jika sebuah bilangan bulat > 1, tidak dapat dibagi dengan bilangan prima , makaaitu sendiri tidak harus bilangan prima. Eratosthenes menggunakan fakta ini sebagai dasar tehnik yang cerdik, disebut sebagai penyaring dari Eratosthenes (sieve of Eratosthenes), untuk menemukan semua bilangan prima kurang dari yang diberikan semua bilangan bulat kurang darin. Membuat pola dengan menulis turun bilangan bulat dari 2 kenmenurut urutan dasar dan secara sistematis mengeliminasi semua bilangan komposit dan mencentang semua kelipatan2, 3, 5, dari bilangan prima .

(Burton, 1999)

Pada teori bilangan, suatuWagstaff primeadalah suatu bilangan primapdari suatu bentuk

2

= 2 +1₃

DimanaSpadalah barisan bilangan prima.Wagstaff primesdinamakan

berdasarkan seorang matematikawan yang bernama Samuel S. Wagstaff Jr.

Tiga bilangan pertamaWagstaff primesadalah 3, 11, dan 43 karena

3 =2 + 1 3 11 = 2 + 1

3 43 = 2 + 1

3

Oleh karena itu pada penelitian ini akan diperkenalkan metode untuk mencari barisan bilangan prima untuk = 3, 5, 7, . . ., 31.

1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini pembahasan masalah hanyalah mengenai barisan

untuk bilangan prima = 3, 5, 7, , 31.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari bilangan prima dari barisan

3 1.4 Mafaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Pengembangan wawasan tentang konsep bilangan prima.

2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memperluas dan memperdalam pengetahuan matematika di bidang teori bilangan khususnya bilangan prima.

3. Sebagai referensi untuk penelitian lanjutan tentang konsep bilangan prima.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Keterbagian

Secara umum apabilaabilangan bulat danbbilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulatqdanrsedemikian sehingga :

= + , 0 <

dalam hal inibdisebut hasil bagi danradalah sisa pada pembagian “bdibagi dengana_”. jikar= 0 maka dikatakan habis dibagiadan ditulis | . untukb tidak habis dibagiaditulis .

Ada bahasa lain untuk menyatakan relasi pembagian | , mungkin dikatakan bahwa membagi , adalah pembagi darib, bahwaaadalah faktor daribatau bahwabadalah multiple daria.

Definisi 2.1.1

Bilangan bulatamembagi habis bilangan bulat 0, ditulis | ,jika dan hanya jika ada bilangan bulat sehingga = .Jikaatidak membagibmaka .

(Sukirman,1997) Contoh:

1. 2|14, sebab14 = 2 dengan = 7

5 Teorema 2.1.1

Untuk bilangan bulat , ,dan berlaku sebagai berikut: 1. |0, 1 | , |

2. |1jika dan hanya jika = ± 1

3. Jika | dan | ,maka |

4. Jika | dan | maka |( + )

5. Jika | ,maka | dan |

6. Jika | maka |

7. Jika | dan | ,maka |

8. | maka | , untuk sebarang bilangan bulat

9. Jika | dan | ,maka |( + )untuk setiap bilangan bulat dan

.

(Burton,1994) Bukti.

(1). Untuk |0, ada suatu bilangan bulat sehingga = 0 karena 0

maka haruslah = 0 sehingga |0. Untuk 1| , 1. = , maka haruslah = sehingga 1| . Untuk | , . = , maka haruslah

= 1sehingga | .

(2). Misalkan 1 atau 1, maka = 1, karena dan bilangan bulat, maka haruslah dan sama dengan1atau 1.

(3). Jika | maka ada suatu bilangan sehingga = , dan jika | maka ada suatu bilangan bulat sehingga = . Jika | dan | maka berlaku:

6

. = ( = ,untuk setiap bilangan bulat)

=

dengan demikian dapat ditulis |

(4). Dengan mengikuti sifat (3), maka | dapat ditulis dengan =

+ = +

( + ) = + ( + = , untuk setiapkbilangan bulat)

= +

dengan demikian benar bahwa |( + )

(5). Jika | ,ada suatu bilangan bulat sehingga dapat ditulis dengan

. =

. = ( = ,untuk setiap bilangan bulat)

= ,dapat ditulis dengana|c

. = ( = , untuk setiap bilangan bulat)

. = ,dapat ditulis dengan |

(6). Dengan mengikuti sifat (2) jelas bahwa jika | maka | .

(7). Jika | ,maka terdapat bilangan bulat sehinga = , dan jika |

maka terdapat bilangan bulat sehingga = .Jika | dan | ,maka:

. = .

. = ( = , untuk setiapkbilangan bulat)

. =

dengan demikian, jika | dan | maka |

(8). Jika | , maka terdapat bilangan bulat sehinga = . =

7

. = ( = , untuk setiap bilangan bulat)

=

dengan demikian jika | maka | untuk setiap sebarang bilangan bulat. (9). Jika | ,maka terdapat bilangan bulat sehinga = .Jika | , maka

terdapat bilangan bulat sehinga = .maka berlaku:

+ = + = ( + ) = ( + )

= +

dengan demikian jika | dan | maka |( + )

2.2 Bilangan Prima Definisi 2.2.1

Suatu bilangan bulat > 1yang tidak memiliki faktor positif kecuali1dan , maka disebut bilangan prima. Bilangan buat lebih dari1dan bukan prima disebut bilangan komposit (tersusun).

(Sukirman,1977) Contoh:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17adalah bilangan prima.4, 6, 8, 9, 10, 12adalah contoh dari bilangan-bilangan komposit. Menurut definisi 2.2.1 tersebut,1bukan bilangan prima maupun komposit,1disebut unit. Jadi himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam 3 himpunan yang saling lepas, yaitu himpunan semua bilangan prima, himpunan semua bilangan komposit dan himpunan unit. Ambil sebarang bilangan bulat, misalnya84, maka84dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima,

8

84 = 2.3.2.7atau

84 = 3.7.2.2atau lainnya.

Teorema 2.2.1

Setiap bilangan bulat , > 1dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.

(Sukirman, 1997) Bukti:

Jika bilangan prima maka | , teorema terbukti. Misalnya diambil bilangan komposit , maka mempunyai faktor selain1dan .Misalnya , | maka

sehingga = karena 1dan , maka1 < < .Jika bilangan prima maka | , jika bilangan komposit, misalkan | , maka ada sehingga = dengan1 < < .Jikan2bilangan prima

maka | dan |n, maka | .tetapi jika bilangan komposit dan misalkan

| ,maka ada sehingga = dengan1 < < . Demikian seterusnya sehingga terdapat barisan , , , ,… dengan > > >

> dan setiap > 1dengan = 1, 2, 3,…, misalkan adalah bilangan prima, maka | karena | , | , , | , dengan menggunakan pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat positif lebih besar dari1dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

Teorema 2.2.2

Setiap bilangan bulat > 1dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima (mungkin hanya memiliki1faktor).

9 Bukti:

Dari teorema 2.2.1 diketahui bahwa ada sehingga = dengan

1 < .jika = 1maka = ,berarti bilangan prima. Sehingga

= dengan1 < . Jika = 1maka = sehingga

= ,berarti dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor bilangan prima. Tetapi jika > 1proses seperti di atas dilanjutkan sehingga

diperoleh = 1.Penguraian atas faktor-faktor prima itu pasti berakhir, karena

> > > dan setiap 1. Misalkan untuk suatu , = 1, maka

= adalah hasil kali faktor-faktor prima yang sama dengan jadi setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari1dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

2.3 Kekongruenan Definisi 2.3.1

Misal ditetapkan sebagai bilangan bulat positif, bilangan bulatadanbdikatakan sebagai kongruen modulo dituliskan dengan:

(mod )

jika adalah pembagi selisih ,berarti bahwa = , untuk setiap bilangan bulat . Untuk membenarkan gagasan tersebut misal = 7. Dan sebagai contoh sebagai berikut:

3 24 ( mod 7) -31 11 (mod 7) -15 -64 (mod 7)

Karena3 24 = ( 3) 7, 31 11 = ( 6) 7, dan 15 ( 64) = (7) 7. Pada sisi lain, jika ( ),kemudian dikatakan bahwaaadalah bukan kongruen untukbmodulo dan ditulis (mod ).Sebagai contoh,

10

25 12(mod7), karena7tidak bisa untuk membagi25 12 = 13.

(Burton, 1999) Teorema 2.3.1

Setiap bilangan bulat kongruen modulo tepat satu diantara0, 1, 2, , 1.

(Sukirman, 1997) Definisi 2.3.2

Pada (mod )dengan0 < , maka disebutresiduterkecil

moduloi .Untuk kongruen ini disebut himpunanresiduterkecil modulo .

(Sukirman, 1997) Contoh:

1. Residuterkecil dari71modulo2adalah1

2. Residuterkecil dari71modulo3adalah2

3. Walaupun34 9 (mod 5)tetapi9bukanresiduterkecil dari34 9 (mod 5) karena9 > 5.

4. Himpunanresiduterkecil modulo5 adalah { 0,1,2,3,4}.

Teorema 2.3.2

(mod )jika dan hanya jika dan memiliki sisa-sisa yang sama jika

dibagi .

(Sukirman,1997) Bukti:

Pertama dibuktikan jikaa≡ b_{(modn) maka adaadanbyang memiliki sisa yang}

sama jika dibagi m.a≡ b_{(modn) maka (mod )dan}

11

(mod )berarti = + untuk suatu bilangan bulat

(mod )berarti = + untuk suatu bilangan bulat

ini berarti dan memiliki sisa yang sama yaitu jika dibagi . Kedua, dibuktikan jika dan memiliki sisa yang sama jika dibagi maka

(mod ).Misalkan memiliki sisa jika dibagi ,berarti = +

dan memiliki sisa jika dibagi , berarti = + dari kedua persamaan itu diperoleh bahwa:

= ( )berarti |( )atau (mod )

Contoh:

47 12 (mod5)

47 = (6) 7 + 5 12 = (1) 7 + 5

Dengan sisa yang sama yaitu 5.

Teorema 2.3.3

Misal > 0dan , , , sebarang bilangan bulat. Maka mengikuti sifat-sifat sebagai berikut:

1. (mod )

2. (mod ), maka (mod )

3. Jika (mod )dan (mod ), maka (mod )

4. Jika (mod )dan (mod )maka + + (mod )

dan (mod )

5. Jika (mod )maka + + (mod )dan

12 6. Jika (mod )maka (mod )untuk setiap bilangan bulat

k

(Burton, 1999) Bukti:

1. Untuk setiap bilangan bulat a diketahui bahwa = 0. , sedemikian sehingga (mod ).

2. Jika (mod )maka, = ,untuk setiap bilangan bulatk, karena itu = = ( ) ,dan adalah bilangan bulat. 3. Andaikan bahwa (mod )dan juga (mod )dan ada

bilangan bulat dan memenuhi = dan = . Hal itu

Menunjukkan bahwa = ( ) + ( ) = + = ( +

) ,ini berakibat dimana (mod ).

4. Jika (mod )dan (mod ), maka diketahui bahwa

= dan = untuk pilihan yang sama dari dan Penjumlahan persamaan tersebut, diperoleh

( + ) ( + ) = ( ) + ( ) = + = ( + )

Atau seperti suatu pernyataan kongruen, + + (mod )

= ( + )( + ) = + ( + + )

karena + + adalah suatu bilangan bulat, ini bisa dikatakan bahwa dapat dibagi dengan ,dimana

(mod ).

5. Bukti dari sifat 5 mencakup 4 dan kenyataan bahwa (mod ).

6. Untuk = 1diasumsikan bahwa hal ini benar untuk semua , dari sifat 4 ditahui bahwa (mod )dan (mod ),secara tidak

13 langsung dapat dinyatakan (mod ),atauequivalentdengan

( )hal ini menyatakan bahwa + 1merupakan akhir dari pembuktian. Dengan demikian terbukti bahwa jika (mod )

maka (mod ), untuk sebarang bilangan positif .

2.4 Barisan

Sebuah barisan dapat di bayangkan sebagai suatu daftar bilangan yang dituliskan dalam suatu daftar urutan tertentu:

, , , , ,

Bilangan disebut suku pertama, ,suku kedua dan secara umum suku ke , akan dibahas barisan tak hingga saja dan karenanya setiap suku berikutnya . Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif terdapat satu bilangan

yang terkait dan karenanya sebuah barisan dapat didefinisikan sebagai sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Tetapi biasanya ditulis dan bukan notasi fungsinya ( )untuk menyatakan notasi fungsi tersebut ada di bilangann. Notasi barisan {a1,a2,a3, …} juga dinyatakan

sebagai{ }atau{ } .

Contoh:

Sejumlah barisan dapat didefinisikan dengan memberikan rumus untuk suku ke n-nya. Pada contoh berikut diberikan tiga penyajian barisan: pertama dengan

menggunakan notasi di atas, kedua dengan menggunakan rumus suku ke- dan ketiga dengan menuliskan suku-suku barisan tersebut. Perhatikan bahwa tidak harus dimulai dari satu.

14

  



  



  





3



3, 3



0,1, 2, 3, 3,...



. ,... 3 1 1 ..., , 81 5 , 27 4 , 9 3 , 3 2 3 1 1 3 1 1 . ,... 1 ..., , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 1 1 . 3 1                                               n n n a n c n n a n b n n n n a n n a n n n n n n n n n n n

(James Stewart, 2003) 2.5 Norma Euler (Euler’s Criterion)

Corollary 2.5.1

Misal adalah bilangan prima dan misal gcd( , ) = 1maka adalah jika

( )/ _{1 (mod )}

Dan adalah jika

( )/ _{1 (mod )}

(Bach and Eric, 1996) 2.6 Simbol Jacobi

Definisi 2.6.1

Untuk setiap bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat positif , simbol Jacobi didefinisikan sebagai hasil dari simbol Legendre bersamaan dengan faktor-faktor prima dari :

=

. . .

dimana = . . .

merupakan simbol Legendre, yang didefinisikan untuk semua

15

=

0 jika 0(mod )

1 jika 0(mod )dan untuk bilangan bulat , (mod )

1 jika tidak ada

Mengikuti ketentuan umum untuk hasil kosong, = 1.

(Wikipedia,2011) Theorema 2.6.1

1. jika adalah bilangan prima, maka simbol Jacobi juga merupakan

simbol Legendre.

2. Jika (mod )maka

=

.

3. = 0 jika gcd( , ) 1

±1 jika gcd ( , ) = 1

4. = jadi = 1 (atau 0)

5. = jadi = 1 (atau 0)

Hukum dariquadratic reciprocity: jika dan adalah bilangan bulat prima positif , maka

6. =

(

1

)

1 2

1 2 ₌

jika 1(mod 4)atau 1(mod 4)

jika 3(mod 4)

16

7. =

( 1)

= 1 jika 1 (mod 4)

1 jika 3 (mod 4)

8. =

( 1)

= 1 jika 1,7 (mod 8)

1 jika 3,5 (mod 8)

(Wikipedia,2011) 2.7 Lapangan berhingga (Finite Field)

Jika suatu lapangan (field) memuat elemen yang banyaknya berhingga, maka lapangan ini disebut dengan lapangan berhingga (finite field).

Teorema 2.7.1

Himpunan merupakan lapangan berhingga jika dan hanya jika adalah bilangan prima.

(Fraleigh, 2000) Teorema 2.7.2

Misal p adalah bilangan prima dan misal adalah bilangan bulat positif, maka terdapat suatu lapangan berhingga dengan anggota .

(Erich Bach dan Jeffrey Shallit, 1997 2.8Frobenius Automorphism

Misal adalah suatu lapangan dari karekteristik lapangan . Maka Frobenius automorphism pada adalah pemetaan yang memetakan dari

ke untuk setiap anggota dari

17 2.9 TeoremaLucas-Lehmer test

Teorema 2.9.1

Misalpsebuah bilangan prima> 2, dan = 2 1. juga didefinisikan = 4

dan = 2untuk 1, maka adalah prima jika 0(mod ). (Eric Bach dan Jeffrey Shallit,1997 Contoh:

Diberikan suatu test yang praktis untuk keprimaan dari bilangan primaMersenne. Sebagai contoh, misal sebagai test M7=127. menghitung modulo 127, ditemukan

S1≡4, S2≡14, S3≡67, S4≡42, S5≡111, S6≡0, karenanya 127 adalah prima.

2.10 Test kemungkinan prima Melham untukNp

Teorema 2.10.1

Misal p adalah suatu bilangan prima. Didefinisikan suatu barisan {Sn}n≥0

dengan

S0= 6,

Sk+1= S2k−2, k≥0.

JikaNpadalah prima, maka Sp−1≡ −34 (modNp).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap2010 2011bertempat dijurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka yang bersumber pada buku-buku dan mencari di internet. Sedangkan langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Menyusun kerangka teoritis tentang penggunaan konsep barisan bilangan prima.

2. Menghitung nilai dari = 2 +1

3 untuk = 3, 5, 7, , 31

3. Mendefinisikan barisan{ } , dengan = 6, = 2, 0. 4. Mengidentifikasi , jika prima, maka mencari nilai

V. KESIMPULAN

5.1Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa pada barisan bilangan prima Mersenne masih terdapat bilangan komposit. Dengan menggunakan Teorema 2.10.1 pengujian bilangan prima dapat dilakukan dengan cara manual ataupun dengan progam komputer. Hal ini tentu saja makin mempercepat pengklarifikasian keprimaan sebuah bilangan secara pasti. Pada pengujian tersebut, didapat nilai ✁ ✂,yang hasil dari

perhitungan barisan adalah✄ ☎✆ ✝ ✂✞ ✟ ✝ ✂ ☎✄ yang memiliki faktor-faktor✄✠✞ ✂✠

✡✝☛ ✡ ✡✝✄ ✟ ✂☞ ✌✍✄ ☎✆ ✝✂✞ ✟ ✝ ✂ ☎✄sehingga nilai dari barisan adalah bilangan komposit.

Tujuan akhir yang ingin dicapai, tentu saja, menguak pola kemunculan bilangan komposit dalam barisan bilangan prima.

5.2 Saran

Saran dari penelitian ini diharapkan dilanjutkan untuk penelitian selanjutnya dengan

menggunakan metode terbaru, serta perhitungan pada barisan-barisan bilangan prima selain Wagstaff primedanMersenne prime.Karena kemungkinan konsep barisan prima akan terus mengalami penemuan baru.

  



  



  





3



3, 3



0,1, 2, 3, 3,...



. ,... 3 1 1 ..., , 81 5 , 27 4 , 9 3 , 3 2 3 1 1 3 1 1 . ,... 1 ..., , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 1 1 . 3 1                                               n n n a n c n n a n b n n n n a n n a n n n n n n n n n n n

(James Stewart, 2003) 2.5 Norma Euler (Euler’s Criterion)

Corollary 2.5.1

Misal adalah bilangan prima dan misal gcd( , ) = 1maka adalah jika

( )/ _{1 (mod )}

Dan adalah jika

( )/ _{1 (mod )}

(Bach and Eric, 1996) 2.6 Simbol Jacobi

Definisi 2.6.1

Untuk setiap bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat positif , simbol Jacobi didefinisikan sebagai hasil dari simbol Legendre bersamaan dengan faktor-faktor prima dari :

=

. . .

dimana = . . .

merupakan simbol Legendre, yang didefinisikan untuk semua bilangan bulat dan semua bilangan prima dengan

15

=

0 jika 0(mod )

1 jika 0(mod )dan untuk bilangan bulat , (mod )

1 jika tidak ada

Mengikuti ketentuan umum untuk hasil kosong, = 1.

(Wikipedia,2011) Theorema 2.6.1

1. jika adalah bilangan prima, maka simbol Jacobi juga merupakan simbol Legendre.

2. Jika (mod )maka

=

.

3. = 0 jika gcd( , ) 1

±1 jika gcd ( , ) = 1

4. = jadi = 1 (atau 0)

5. = jadi = 1 (atau 0)

Hukum dariquadratic reciprocity: jika dan adalah bilangan bulat prima positif , maka

6. =

(

1

)

1 2

1

2 ₌

jika 1(mod 4)atau 1(mod 4)

jika 3(mod 4)

7. =

( 1)

= 1 jika 1 (mod 4)

1 jika 3 (mod 4)

8. =

( 1)

= 1 jika 1,7 (mod 8)

1 jika 3,5 (mod 8)

(Wikipedia,2011) 2.7 Lapangan berhingga (Finite Field)

Jika suatu lapangan (field) memuat elemen yang banyaknya berhingga, maka lapangan ini disebut dengan lapangan berhingga (finite field). Teorema 2.7.1

Himpunan merupakan lapangan berhingga jika dan hanya jika adalah bilangan prima.

(Fraleigh, 2000) Teorema 2.7.2

Misal p adalah bilangan prima dan misal adalah bilangan bulat positif, maka terdapat suatu lapangan berhingga dengan anggota .

(Erich Bach dan Jeffrey Shallit, 1997 2.8Frobenius Automorphism

Misal adalah suatu lapangan dari karekteristik lapangan . Maka Frobenius automorphism pada adalah pemetaan yang memetakan dari

ke untuk setiap anggota dari

17 2.9 TeoremaLucas-Lehmer test

Teorema 2.9.1

Misalpsebuah bilangan prima> 2, dan = 2 1. juga didefinisikan = 4

dan = 2untuk 1, maka adalah prima jika 0(mod ). (Eric Bach dan Jeffrey Shallit,1997 Contoh:

Diberikan suatu test yang praktis untuk keprimaan dari bilangan primaMersenne. Sebagai contoh, misal sebagai test M7=127. menghitung modulo 127, ditemukan

S1≡4, S2≡14, S3≡67, S4≡42, S5≡111, S6≡0, karenanya 127 adalah prima.

2.10 Test kemungkinan prima Melham untukNp

Teorema 2.10.1

Misal p adalah suatu bilangan prima. Didefinisikan suatu barisan {Sn}n≥0

dengan

S0= 6,

Sk+1= S2k−2, k≥0.

JikaNpadalah prima, maka Sp−1≡ −34 (modNp).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap2010 2011bertempat dijurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka yang bersumber pada buku-buku dan mencari di internet. Sedangkan langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Menyusun kerangka teoritis tentang penggunaan konsep barisan bilangan prima.

2. Menghitung nilai dari = 2 +1

3 untuk = 3, 5, 7, , 31

3. Mendefinisikan barisan{ } , dengan = 6, = 2, 0. 4. Mengidentifikasi , jika prima, maka mencari nilai

V. KESIMPULAN

5.1Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa pada barisan bilangan prima Mersenne masih terdapat bilangan komposit. Dengan menggunakan Teorema 2.10.1 pengujian bilangan prima dapat dilakukan dengan cara manual ataupun dengan progam komputer. Hal ini tentu saja makin mempercepat pengklarifikasian keprimaan sebuah bilangan secara pasti. Pada pengujian tersebut, didapat nilai ✁ ✂,yang hasil dari

perhitungan barisan adalah✄ ☎✆ ✝ ✂✞ ✟ ✝ ✂ ☎✄ yang memiliki faktor-faktor✄✠✞ ✂✠

✡✝☛ ✡ ✡✝✄ ✟ ✂☞ ✌✍✄ ☎✆ ✝✂✞ ✟ ✝ ✂ ☎✄sehingga nilai dari barisan adalah bilangan komposit.

Tujuan akhir yang ingin dicapai, tentu saja, menguak pola kemunculan bilangan komposit dalam barisan bilangan prima.

5.2 Saran

Saran dari penelitian ini diharapkan dilanjutkan untuk penelitian selanjutnya dengan

menggunakan metode terbaru, serta perhitungan pada barisan-barisan bilangan prima selain Wagstaff primedanMersenne prime.Karena kemungkinan konsep barisan prima akan terus mengalami penemuan baru.