Transformasi Fourier Diskrit
4.2. Transformasi Fourier Diskrit
Transformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah model transformasi fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT didefinisikan dengan :
j 2 knT / F N ( k )
f ( n ). e
4.2.1. DFT 1D
DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak digunakan dalam pengolahan sinyal digital.
Contoh 4.3 :
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut : f(t)
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
jn F 0 ( 0 )
f ( n ). e f ( n )
k=0
j 4 n / 4 jn k=1 F ( 1 )
f ( n ). e f ( n ). e 0
j 8 n / 4 j 2 n k=2 F ( 2 )
f ( n ). e f ( n ). e 0
j 12 nn / 4 j 3 n k=3 F ( 3 )
f ( n ). e f ( n ). e 0
Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimal setengah kali periode dari nilai fungsinya.
Contoh 4.3 :
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
2 f(t)
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
j 2 nk / 8 j nk / F 8 ( k )
f ( n ). e f ( n ). e
Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah :
Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur real dan imaginer. Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur real dan imaginer sebagai berikut :
Real{F(k)}
Im{F(k)}
2 -2
Real{F(k)}
Im{F(k)}
6 -2
Dan dapat digambarkan sebagai berikut :
Bagian Real
Bagian Imaginer
Gambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer
Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :
2 Magnitude : 2 F ( k )
Re f ( k ) Im f ( k )
Im F ( k )
Arg F ( k )
Phase :
Re F ( k )
Magnitude
Phase
Gambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer
Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah:
F(k)
F(k)
2 -2 – 2j
10 -2 – 2j
Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang
bentuk transformasi fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2 periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform).
4.2.2. Transformasi Fourier Diskrit 2D
Transformasi Fourier Diskrit (DFT) 2 Dimensi adalah tranformasi fourier diskrit yang dikenakan pada fungsi 2D (fungsi dengan dua variabel bebas), yang didefinisikan sebagai berikut :
j 2 T ( k 1 n 1 / F N ( k , k ) f ( n , n ). e 1 k 2 n 2 / N 2 )
DFT 2D ini banyak digunakan dalam pengolahan citra digital, karena data citra dinyatakan sebagai fungsi 2D.
Contoh 4.4 :
Diketahui f(x,y) adalah sebagai berikut :
Bila digambarkan hasilnya adalah sebagai berikut :
Gambar 4.7. Contoh citra dalam f(x,y)
DFT dari fungsi f(x,y) di atas adalah :
1 , k 2 ) f ( n 1 , n 2 ). e
Hasil dari DFT adalah sebagai berikut :
16 0 -2 - 3.46i
0 -2 + 3.46i
0 -1.27 - 4.73i
0 0 0 4.73 - 1.27i
0 0 0 1.27 + 4.73i Secara Grafis dapat ditunjukkan bahwa :
0 -4.73+ 1.27i
Bagian Real Bagian Imaginer Gambar 4.8. Contoh hasil DFT 2D
Hasil DFT dalam bentuk magnitude dan phase adalah sebagai berikut :
Magnitude = 16.0000 0 4.0000 0 4.0000 0 0 4.8990 0 0 0 4.8990 0 0 0 0 0 0 0 4.8990 0 0 0 4.8990 Phase = 0 0 -2.0944 0 2.0944 0 0 -1.8326 0 0 0 -2.8798 0 0 0 0 0 0 0 2.8798 0 0 0 1.8326
Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :
Magnitude
Phase
Gambar 4.9. Contoh hasil DFT 2D dalam magnitude dan phase