30
Berdasarkan hasil uji coba maka diperoleh model matematis untuk distribusi binomial, yang dinyatakan dengan:
Contoh penggunaannya adalah sebagai berikut:
3.3 Penerapan Distribusi Binomial dalam Kasus Fisika
Model distribusi binomial ini dapat diterapkan ke dalam beberapa kasus fisika seperti sistem N partikel dengan spin ½. Sebagai contoh sistem yang terdiri dari N
partikel dimana setiap partikel memiliki variabel besaran fisika yakni momen magnetik partikel
µ
o.
Harga momen magnetik partikel tersebut memiliki dua macam harga bergantung dari keadaan spin partikel. Jika partikel dalam keadaan
up maka harga momen magnetik partikelnya + µ
o
, jika partikel dalam keadaan down maka momen magnetik partikelnya -
µ
o
.
n N
n n
N n
N n
q p
n N
n N
q p
C binomial
P
− −
− =
=
16 4
16 1
. 4
2 1
2 1
3 4
3 4
16 6
16 1
. 6
2 1
2 1
2 4
2 4
8 3
8 1
. 3
2 1
2 1
2 3
2 3
8 1
8 1
. 1
2 1
2 1
3 3
3 3
3 4
3 4
3 2
4 2
4 2
2 3
2 3
2 3
3 3
3 3
= =
− =
= =
− =
= =
− =
= =
− =
− −
− −
P P
P P
Gambar 3.1
Sistem N
partikel dengan
spin ½.
3.6
31 Bagaimanakah kita dapat menghitung harga momen magnetik total dari sistem
ini?. Jika peluang partikel dalam keadaan up dapat dinyatakan dengan p, dan peluang partikel dalam keadaan down dapat dinyatakan dengan q
dengan p + q = 1.
Asumsi yang digunakan adalah tidak adanya interaksi massa antar partikel, partikel hanya mengalami gerak translasi saja. Namun orientasi spin partikel dapat
mempengaruhi keadaan lainnya sehingga keadaan spin partikel setiap saat dapat berubah. Oleh karena itu untuk memperoleh gambaran momen magnetik total
sistem kita memerlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini. Untuk mendapatkan harga momen magnetik total, maka kita akan menjumlahkan
semua harga momen magnetik yang dimiliki oleh semua partikel yaitu:
3.7
Mengingat sistem ini berprilaku dinamis, maka pengukuran yang memungkinkan untuk harga momen magnetik total lebih tepat dinyatakan dengan:
3.8 dimana
M
T
= harga momen magnetik total sistem. M = harga total momen magnetik rata-rata.
∆ M = standar deviasisimpangan .
Sehinggga kita memerlukan harga M dan ∆
M, harga total momen magnetik rata- rata dapat dinyatakan dengan:
3.9
∑
= =
= +
+ +
+ +
=
N i
i oi
T oN
o o
o o
T
M M
1 4
3 2
1
.........
µ µ
µ µ
µ µ
M M
M
T
∆ ±
=
∑ ∑
= =
= =
µ =
µ =
N i
1 i
i N
i 1
i i
M
32
o o
o i
2 i
1 i
i
N q
p .
q .
p N
P N
. N
M µ
− =
µ −
+ µ
=
µ
= µ
=
∑
= =
Mengingat setiap partikel memiliki dua keadaan dengan peluang p dan q, maka dalam bentuk yang lebih sederhana harga total momen magnetik rata-rata dapat
dinyatakan dengan:
3.10
Besar simpangan momen magnetik totalnya dapat dinyatakan dengan
3.11
Untuk data yang cukup besar kita akan menggunakan konsep standar deviasi. Standar deviasi didefinisikan sebagai rata-rata dari simpangan yang dituliskan
dengan:
Namun jika kita perhatikan
Sehingga harga standar deviasinya menjadi : 3.12
Mengingat N adalah jumlah partikel dengan orde yang cukup besar maka kita menggunakan harga standar deviasi seperti pada persamaan 3.12 di atas,
penyelesaian untuk kasus ini menjadi:
∑ ∑
= =
= =
µ ∆
= µ
− µ
= −
= ∆
N i
1 i
i N
i 1
i i
M M
M
. M
M ∆
= ∆
1 1
= −
= −
= ∆
= ∆
∑ ∑
= =
N i
N i
i
M M
µ µ
µ µ
2
M M
∆ =
∆
33
Sehingga dalam hal ini kita memerlukan harga standar deviasi untuk momen
magnetik partikel, harga ini dapat diturunkan sebagai berikut:
Mengingat harga standar deviasi untuk momen magnetik partikel adalah sama maka harga standar deviasi momen magnetik total dapat dirumuskan dengan lebih
mudah:
3.15
Sehingga harga moment magnetik total sistem dapat dinyatakan dengan : 3.16
{ }
{ }
{ }
∑ ∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑
∑
= =
≠ =
= =
= =
= ≠
= = =
= = =
= =
= =
= =
∆ =
∆ ∆
+ ∆
= ∆
∆ +
∆ =
∆ ≠
∆ ∆
+ ∆
= ∆
∆ ∆
+ +
∆ ∆
+ +
∆ ∆
+ ∆
∆ +
∆ ∆
+ ∆
∆ +
+ ∆
∆ +
∆ ∆
+ ∆
∆ +
∆ +
+ ∆
+ ∆
+ ∆
= ∆
+ ∆
+ ∆
+ ∆
⋅ +
∆ +
∆ +
∆ =
∆ ⋅
∆ =
∆ ∆
= ∆
∆ =
∆
N i
i oi
j i
N i
i N
j j
oj oi
N i
i oi
j i
oj N
i N
j oi
N i
i oi
oj N
i N
j oi
N i
i oi
oN oN
oN o
o o
o o
o o
oN o
o o
o o
o o
oN o
o o
o o
o o
o o
N i
i i
N i
i i
M j
i M
M M
M M
M M
1 2
1 1
1 2
1 1
1 2
2 1
1 1
2 2
2 4
2 3
2 1
2 1
4 1
3 1
2 1
2 2
3 2
2 2
1 2
3 2
1 3
2 1
1 1
2 2
2
sehingga dengan
, .
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
Npq 2
Npq 4
M M
Npq 4
N M
o 2
o 2
2 o
2 o
2
µ =
µ =
∆ =
∆ µ
= µ
∆ =
∆
Npq 2
N q
p M
o o
T
µ ±
µ −
= 3.14
3.13
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
4 4
4 4
2 2
sehingga ,
dengan ,
o o
o o
o o
o o
o o
o o
o i
i i
pq q
p pq
qp pq
p q
q p
q p
q q
p p
q p
q p
P
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
= +
= ∆
+ =
− +
= −
− −
+ −
− =
∆ −
= →
− −
+ −
= ∆
= ∆
∑
= =
34
3.4 Distribusi Gauss Distribusi Normal
