digunakan kembali untuk mengatasi ketidaklayakan. Jika pada setiap iterasi metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah
itu tidak memiliki solusi integer yang layak.
3.3 Ilustrasi Numerik Pembulatan Program Linear Fuzzy dengan Menggunakan Metode Cutting Plane
Sebuah perusahaan X memproduksi 4 jenis produk yang berbeda yang masing- masing membutuhkan 3 macam bahan baku, yaitu A, B, dan C. Produk tersebut
dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan manual, yaitu proses I dan proses II. Setiap unit produk I membutuhkan 10 ons bahan baku A, 6 ons bahan baku B dan
12 ons bahan baku C. Setiap unit produk II membutuhkan 8 ons bahan baku A, 10 ons bahan baku B dan 12 ons bahan baku C. Setiap unit produk III membutuhkan
12 ons bahan baku A, 8 ons bahan baku B, dan 15 ons bahan baku C. Setiap unit produk IV membutuhkan 14 ons bahan baku A, 12 ons bahan baku B, dan 13 ons
bahan baku C. Akibat keterbatasan gudang bahan baku dan dana yang ada, bahan baku yang disediakan tiap minggu adalah sebesar 240 kg bahan baku A, 18 kg
bahan baku B, dan 25 kg bahan baku C. Namun demikian pihak perusahaan masih memungkinkan adanya penambahan bahan baku A hingga 60 kg, bahan baku B
hingga 20 kg dan bahan baku C hingga 50 kg, asalkan dengan penambahan sedikit saja, keuntungan yang diperoleh perusahaan akan bertambah.
Setiap unit produk I membutuhkan waktu 4 jam pada proses I, dan 2 jam pada proses II. Setiap unit produk II membutuhkan waktu 3 jam pada proses I dan
4 jam pada proses II. Setiap unit produk III membutuhkan waktu 5 jam pada proses I dan 3 jam pada proses II. Setiap unit produk IV membutuhkan 6 jam pada
proses I dan 5 jam pada proses II. Jumlah karyawan pada proses I sebanyak 18 orang, sedangkan pada proses II sebanyak 20 orang. Perusahaan bekerja dengan 1
shift, mulai pukul 08.00 sampai pukul 16.00 dengan istirahat selama 1 jam mulai pukul 12.00 hingga 13.00, selama 6 hari kerja dalam 1 minggu.
Keuntungan per unit untuk produk I adalah sebesar Rp 4.000,00, keuntungan per unit produk II adalah sebesar Rp 6.000,00, keuntungan per unit
produk III sebesar Rp 5.500,00 dan keuntungan per unit produk IV adalah sebesar
Universitas Sumatera Utara
Rp 7.000,00. Informasi bagian pemasaran menyatakan bahwa berapa pun jumlah produk yang dibuat perusahaan akan terserap seluruhnya oleh pasar. Berdasarkan
kondisi tersebut, berapakah keuntungan maksimum yang bisa diperoleh oleh perusahaan ?
Penyelesaian: Langkah 1
Menyelesaikan persoalan menggunakan program linear biasa.
Dalam penyelesaian kasus ini, selanjutnya satuan bahan baku dinyatakan dalam ons. Jam kerja karyawan per minggu dapat dihitung:
Pada proses I ditetapkan karyawan sejumlah 18 orang, dengan jam kerja selama 7 jam selama 6 hari per minggu. Maka jam kerja per minggu pada
proses I adalah : 18 7 6 = 756
. Pada proses II ditetapkan karyawan sejumlah 20 orang, dengan jam kerja
selama 7 jam selama 6 hari minggu. Maka jam kerja per minggu pada proses II adalah :
20 7 6 = 840 .
Penambahan bahan baku yang diperbolehkan toleransi pada setiap bahan baku: Pada bahan baku I penambahan bahan baku yang diperbolehkan maksimal
60 kg = 600 ons. Pada bahan baku II penambahan bahan baku yang diperbolehkan maksimal
20 kg = 200 ons. Pada bahan baku III penambahan bahan baku yang diperbolehkan
maksimal 50 kg = 500 ons.
Kasus ini dapat ditabulasikan sebagai berikut:
Tabel 3.4. Bentuk Tabulasi Permasalahan Sumber
Produk Kapasitas ons
I II
III IV
Maksimum Toleransi
Bahan Baku A 10
8 11
12 2400
600 Bahan Baku B
6 10
8 10
1800 200
Universitas Sumatera Utara
Bahan Baku C 12
9 13
9 2500
500 Jam Proses I
4 3
5 4
756 Jam Proses II
2 4
3 5
840 Keuntunganunit
4000 6000
5500 7000
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, langkah yang dilakukan adalah merumuskan karakteristik pada program linear biasa, yaitu:
1. Menentukan variabel keputusan
1
: Produk I,
2
: Produk II,
3
: Produk III,
4
: Produk IV,
2. Merumuskan fungsi tujuan
Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimalkan keuntungan dari tiap produk yang akan diproduksi, yakni produk I, produk II, produk III dan
produk IV sehingga dapat dirumuskan menjadi: = 4000
1
+ 6000
2
+ 5500
3
+ 7000
4
3. Merumuskan fungsi kendala
Fungsi kendala pada bahan baku A 10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
2400 + 600 Fungsi kendala pada bahan baku B
6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
1800 + 200 Fungsi kendala pada bahan baku C
12
1
+ 9
2
+ 15
3
+ 9
4
2500 + 500 Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses I
4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
756
Universitas Sumatera Utara
Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses II 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
840
Sehingga permasalahan di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:
= 4000
1
+ 6000
2
+ 5500
3
+ 7000
4
Kendala: 10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
2400 + 600 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
1800 + 200 12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
2500 + 500 4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
756 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
840
1
,
2
,
3
Untuk = 0, maka bentuk di atas menjadi:
Maksimumkan: 4000
1
+ 6000
2
+ 5500
3
+ 7000
4
Kendala :
10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
2400 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
1800 12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
2500 4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
756 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
840
1
,
2
,
3
Dapat diselesaikan menggunakan metode simpleks sebagai berikut: Tabel 3.5. Iterasi 0 untuk
= 0
Universitas Sumatera Utara
Basis 4000
6000 5500
7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
10 8
11 12
1 2400
2
6 10
8 10
1 1800
3
12 9
13 9
1 2500
4
4 3
5 4
1 756
5
2 4
3 5
1 840
� − -4000
-6000 -5500
-7000
Variabel masuk :
4
Variabel keluar :
5
Tabel 3.6. Iterasi 1 untuk = 0
Basis 4000
6000 5500
7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
5,2 -1,6
3,8 1
-2,4 484
2
2,0 4
2 1
-2 120
3
8,4 1,8
7,6 1
-1,8 988
4
2,4 -0,2
2,6 1
-0,8 84
4
7000 0,4
0,8 0,6
1 0,2
168 � −
-1200 -400
-1300 1400
1176000
Variabel masuk :
3
Variabel keluar :
4
Tabel 3.7. Iterasi 2 untuk = 0
Basis 4000
6000 5500
7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
1,6923 -1,3077
1 -1,4615
-1,2308 361,2308
2
0,1538 2,1538
1 -0,7692
-1,3846 55,3846
3
1,3846 2,3846
1 -2,9231
0,5385 742,4615
3
5500 0,9231
-0,0769 1
0,3846 -0,3077
32,3077
Universitas Sumatera Utara
Variabel masuk :
2
Variabel keluar :
2
Tabel 3.8. Iterasi 3 untuk = 0
Karena baris � −
0, maka persoalan di atas telah optimal dengan =
1230857 untuk
1
= 0,
2
= 25,7143,
3
= 17,012 dan
4
= 126,8571.
Untuk = 1 , maka bentuk diatas menjadi:
Maksimumkan: 4000
1
+ 6000
2
+ 5500
3
+ 7000
4
Kendala :
10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
3000 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
2000 12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
3500 4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
756 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
840
4
7000 -0,1538
0,8462 1
-0,2308 0,3846
148,6154 Zj
4000 5500
5500 7000
500 1000
1218000 � −
-500 500
1000 1218000
Basis 4000
6000 5500
7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
1,7857 1
0,6071 -1,9036
-2,0714 394,8571
2
6000 0,0714
1 0,4643
-0,3571 -0,6429
25,7143
3
1,2143 -1,1071
1 -2,0714
2,0714 681,1429
3
5500 0,9286
1 0,0357
0,3571 -0,3571
17,012
4
7000 -0,2143
1 -0,3929
0,0714 0,9286
126,8571 �
4035,714 6000
5500 7000
232,1429 321,4286
678,5714 1230857
� − 35,7143
232,1429 321,4286
678,5714 1230857
Universitas Sumatera Utara
1
,
2
,
3
Dapat diselesaikan menggunakan metode simpleks sebagai berikut: Tabel 3.9. Iterasi 0 untuk
= 1
Basis 4000
6000 5500
7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
10 8
11 12
1 3000
2
6 10
8 10
1 2000
3
12 9
13 9
1 3500
4
4 3
5 4
1 756
5
2 4
3 5
1 840
� � − -4000 -6000 -5500 -7000
Variabel masuk :
4
Variabel keluar :
5
Tabel 3.10. Iterasi 1 untuk = 1
Variabel masuk :
3
Basis 4000 6000 5500 7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
5,2 -1,6
3,8 1
-2,4 984
2
2,0 2,0
2 1
-2 320
3
8,4 1,8
7,6 1
-1,8 1.488
4
2,4 -0,2
2,6 1
-0,8 84
4
7000 0,4
0,8 0,6
1 0,2
168 �
2800 5600 4200 7000 1400
1.176.000 � − 1200 400 1300
1400 1.176.000
Universitas Sumatera Utara
Variabel keluar :
4
Tabel 3.11. Iterasi 2 untuk = 1
Basis 4000
6000 5500 7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
1,6923 -1,3077
1 -1,4615
-1,2308 861,2308
2
0,1538 2,1538
1 -0,7692
-1,3846 255,3846
3
1,3846 2,3846
1 -2,9231
0,5385 1.242,4615
3
5500 0,9231
-0,0769 1
0,3846 -0,3077
32,3077
4
7000 -0,1538
0,8462 1
-0,2308 0,3846
148,6154 �
4000 5500
5500 7000 500
1000 1.218.000
� − -500
500 1000
Variabel masuk :
2
Variabel keluar :
2
Tabel 3.12. Iterasi 3 untuk = 1
Basis 4000
6000 5500
7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
1,7857 1
0,6071 -1,9286
-2,0714 1.016,2857
2
6000 0,0714
1 0,4643
-0,3571 -0,6429
118,5714
3
1,2143 -1,1071
1 -2,0714
2,0714 959,7143
3
5500 0,9286
1 0,0357
0,3571 -0,3571
41,4286
4
7000 -0,2143
1 -0,3929
0,0714 0,9286
48,2857 �
4035,714 6000
5500 7000
232,1429 321,4286
678,5714 � −
192,3077 232,1429
321,4286 678,5714
1277286
Universitas Sumatera Utara
Karena baris � −
0, maka persoalan di atas telah optimal dengan =
1277286 untuk
1
= 0,
2
= 118,5714,
3
= 41,4286 dan
4
= 48,2857.
Langkah 2.
Menyelesaikan persoalan dengan mengubah model menjadi program linear fuzzy. Dari kedua hasil untuk
= 0 dan = 1, dapat ditentukan nilai , yaitu hasil
pengurangan dari nilai pada saat
= 1 dengan pada saat = 0. Maka
= 1277286 − 1230857 = 46429
Fungsi keanggotaan tiap-tiap persamaan terlihat pada gambar
Gambar 3.2. Fungsi Keanggotaan dari fungsi tujuan
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.3. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-1
Gambar 3.4. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-2
Gambar 3.5. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-3
Universitas Sumatera Utara
Untuk menghitung nilai λ − cut berdasarkan bentuk 3.12 yaitu dengan
mengambil nilai λ = 1 − t, akhirnya dapat dibentuk model program linear fuzzy
sebagai berikut:
46429 − 4000
1
+ 6000
2
+ 5500
3
+ 7000
4
46429 − 1277286 = −1230857 600 + 10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
600 + 2400 200 + 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
200 + 1800 500 + 12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
500 + 2500 4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
756 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
840 λ, x
1
, x
2
, x
3
, x
4
Sehingga bentuk program linearnya menjadi: Maksimumkan:
λ Kendala:
− 46429 + 4000
1
+ 6000
2
+ 5500
3
+ 7000
4
1230857 600 + 10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
3000 200 + 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
2000 500 + 12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
3000 4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
756 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
840 ,
1
,
2
,
3
,
4
Didapatkan solusi = 0,5;
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572,
4
= 87,5714 dengan nilai
= 1254071 Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada Lampiran 1.
Universitas Sumatera Utara
Nilai untuk setiap batasan: Batasan 1
10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572,
4
= 87,5714 10
0 + 8 72,1429 + 11 37,8572 + 12 87,5714 =2044
,429
Batasan 2 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572,
4
= 87,5714 6
0 + 10 72,1429 + 8 37,8572 + 10 87,5714 = 1900
Batasan 3 12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572, dan
4
= 87,5714 12
0 + 9 72,1429 + 13 37,8572 + 9 87,5714 = 1929,5723 Batasan 4
4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572, dan
4
= 87,5714 4
0 + 3 72,1429 + 5 37,8572 + 4 87,5714 = 756
Batasan 5 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
, , disubstitusi dengan hasil yang diperoleh
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572,
4
= 87,5714 2
0 + 4 72,1429 + 3 37,8572 + 5 87,5714 = 840
Universitas Sumatera Utara
Derajat keanggotaan untuk setiap batasan: Batasan 1 :
1 1
� = 1 karena 2044,4292 2400 Batasan 2 :
2 2
� =
2000 −1900
200
= 0,5000 Batasan 3 :
3 3
� = 1 karena 1929,5723 2500
Dengan menggunakan program linear biasa = 0, keuntungan maksimum
akan diperoleh jika produk II diproduksi sebanyak 25,7143 unit, produk III diproduksi sebanyak 17,012 unit, produk IV 126,8571 dan tidak memproduksi
produk I dengan keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 1.230.857,-.
Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan bahan baku bahwa: Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak
10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
dengan
1
= 0,
2
= 25,7143,
3
= 17,012 dan
4
= 126,8571. 10
0 + 8 25,7143 + 11 17,012 + 12 17,012 = 1915,1316 ons.
Pada bahan baku B dibutuhkan sebanyak 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
dengan
1
= 0,
2
= 25,7143,
3
= 17,012 dan
4
= 126,8571. 6
0 + 10 25,7143 + 8 17,012 + 10 126,8571 = 1661,8100 ons.
Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak 12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
dengan
1
= 0,
2
= 25,7143,
3
= 17,012 dan
4
= 126,8571. 12
0 + 9 25,7143 + 13 17,012 + 13 126,8571 = 1594,2986 ons
Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan jam proses bahwa:
Universitas Sumatera Utara
Lama waktu pada proses I selama 4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
dengan
1
= 0,
2
= 25,7143,
3
= 17,012 dan
4
= 126,8571. 4
0 + 3 25,7143 + 5 17,012 + 126,85710 = 669,6313 menit. Lama waktu pada proses I selama
2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
dengan
1
= 0,
2
= 25,7143,
3
= 17,012 dan
4
= 126,8571. 2
0 + 4 25,7143 + 3 17,012 + 5 126,8571 = 788,1787 menit.
Apabila digunakan program linear fuzzy = 0,5000 keuntungan maksimum
akan diperoleh jika produk II diproduksi sebanyak 72,1429 unit, produk III diproduksi sebanyak 37,8572 unit, produk IV diproduksi sebanyak 87,5714 dan
tidak memproduksi produk I dengan keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 1.254.072,00 lebih banyak Rp 23.215,00 dibandingkan dengan program linear
biasa. Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan bahan baku yaitu:
Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak 10
1
+ 8
2
+ 12
3
+ 14
4
dengan
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572 dan
4
= 87,571. 10
0 + 8 72,1429 + 11 37,8572 + 12 87,571 = 2044,4244 ons. Pada bahan baku B dibutuhkan sebanyak
6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
dengan
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572 dan
4
= 87,571. 6
0 + 10 72,1429 + 8 37,8572 + 10 87,5710 = 1900 ons. Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak
Universitas Sumatera Utara
12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
dengan
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572 dan
4
= 87,571. 12
0 + 9 72,1429 + 13 37,8572 + 9 87,571 = 1.929,5687 ons Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan jam proses bahwa:
Lama waktu pada proses I selama 4
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 4
4
dengan
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572 dan
4
= 87,571. 4
0 + 3 72,1429 + 5 37,8572 + 4 87,5710 = 756menit. Lama waktu pada proses II selama
2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
dengan
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572 dan
4
= 87,571. 2
0 + 4 72,1429 + 3 37,8572 + 5 87,5710 = 840
menit. Nilai
= 0,5 mengandung pengertian bahwa −
untuk setiap himpunan yang digunakan untuk mengimplementasikan setiap batasan sebesar 0,500.
Dengan kata lain, skala terbesar = 1
− 0,500 = 0,500 digunakan untuk menentukan besarnya penambahan terbesar dari setiap batasan yang diizinkan
seperti di bawah ini: Pada batasan 1, penambahan bahan baku A diizinkan hingga 600 ons, pada
kenyataannya penambahan yang dibutuhkan maksimal hanya sebesar 0,5 600 = 300 ons.
Pada batasan 2, penambahan bahan baku B diizinkan hingga 200 ons, pada kenyataannya penambahan yang dibutuhkan maksimal hanya sebesar
0,5 200 = 100 ons. Pada batasan 3, penambahan bahan baku A diizinkan hingga 500 ons, pada
kenyataannya penambahan yang dibutuhkan maksimal hanya sebesar 0,5 500 = 250 ons.
Universitas Sumatera Utara
Langkah 3.
Membulatkan hasil yang diperoleh menggunakan metode cutting plane. Setelah diperoleh hasil pengerjaan program linear fuzzy langkah selanjutnya
adalah membulatkan nilai produk yang optimal dari hasil yang diperoleh karena tidak mungkin produk yang akan diproduksi bernilai pecahan. Metode pembulatan
yang digunakan adalah metode cutting plane. Dapat dilihat bahwa hasil optimal yang
diperoleh adalah
1
= 0;
2
= 72,1429;
3
= 37,8572 dan
4
= 87,571.dengan nilai
= 1254071. Batasan ditambahkan sesuai dengan batasan maksimal yang telah diperoleh dari penyelesaian program linear fuzzy, yaitu:
Batasan 1 10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
2400 + 300 = 2700 Batasan 2
6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 10
4
1800 + 100 = 1900 Batasan 3
12
1
+ 9
2
+ 13
3
+ 9
4
2500 + 250 = 2750
Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:
= 4000
1
+ 6000
2
+ 5500
3
+ 7000
4
Kendala: 10
1
+ 8
2
+ 11
3
+ 12
4
2700 6
1
+ 10
2
+ 8
3
+ 12
4
1900 12
1
+ 12
2
+ 15
3
+ 13
4
2750 2
1
+ 3
2
+ 5
3
+ 6
4
756 2
1
+ 4
2
+ 3
3
+ 5
4
840
1
,
2
,
3
,
4
Akan diselesaikan dengan metode simpleks, pada iterasi ke-4 akan diperoleh hasil optimal seperti pada tabel berikut ini.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.13. Iterasi ke-4 hasil optimal dengan program linear fuzzy
Pada tabel di atas dipilih
3
sebagai batasan gomory pertama
1
karena nilai desimal pada
3
lebih besar, maka: 0,9286
1
+
3
+ 0,0357
2
+ 0,357
4
– 0,3571
5
= 37,8571 0,9286
1
+
3
+ 0,0357
2
+ 0,357
4
– 0,3571
5
= 37 + 0,8571 ; koefisien bernilai integer dan desimal di pisahkan
Koefisien bernilai integer dihilangkan, koefisien bernilai pecahan dimasukkan dalam persamaan sebagai berikut:
– =
−
=1 1
- 0,9286
1
+ 0,0357
2
+ 0,357
4
– 0,3571
5
= -0,8571
1
- 0,9286
1
- 0,0357
2
- 0,357
4
+ 0,3571
5
= -0,8571 Batasan gomory tersebut dimasukkan kembali kedalam tabel 3.13 kemudian
diselesaikan dengan cara yang sama yaitu dengan metode simpleks.
Basis 4000
6000 5500
7000
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
1,7857 1
0,6071 -1,9286
-2,0714 655,5714
2
6000 0,0714
1 0,4643
-0,3571 -0,6429
72,1429
3
1,2143 -1,1071
1 -2,0714
2,0714 820,4286
3
5500 0,9286
1 0,0357
0,3571 -0,3571
37,8571
4
7000 -0,2143
1 -0,3929
0,0714 0,9286
87,5714 �
4035,714 6000
5500 7000
232,1429 321,4286
678,5714 1254071
� − 35,7143
232,1429 321,4286
678,5714 1254071
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.14. Penambahan kendala gomory pertama pada Tabel 3.13.
Variabel masuk :
1
Variabel keluar :
1
Tabel 3.15. Iterasi ke -1 penambahan kendala gomory pertama
Karena baris � −
0, maka persoalan di atas telah optimal dengan =
1254037
untuk
1
= 0,923,
2
= 72,077,
3
= 37 dan
4
= 87,769. Karena belum semua nilai dari x merupakan integer maka perlu penambahan kendala
gomory kembali.
Basis 4000
6000 5500
7000
1 1
2 3
4 1
2 3
4 5
1
1,7857 1
0,6071 -1,9286
-2,0714 655,5714
2
6000 0,0714
1 0,4643
-0,3571 -0,6429
72,1429
3
1,2143 -1,1071
1 -2,0714
2,0714 820,4286
3
5500 0,9286
1 0,0357
0,3571 -0,3571
37,8571
4
7000 -0,2143
1 -0,3929
0,0714 0,9286
87,5714
1
1 0,9286
-0,0357 -0,3571
0,3571 -0,8571
� 4035,714
6000 5500
7000 232,1429
321,4286 678,5714
� − 35,7143
232,1429 321,4286
678,5714 1254071
Basis 4000
6000 5500
7000
1 1
2 3
4 1
2 3
4 5
1
1,922 1
0,538 -2,615
-1,385 653,924
2
6000 0,077
1 0,462
-0,385 -0,615
72,077
3
1,308 -1,154
1 -2,538
2,538 819,308
3
5500 1
1 37,000
4
7000 -0,231
1 -0,385
0,154 0,846
87,769
1
4000 -1,077
1 0,038
0,385 -0,385
0,923 �
37 4000
6000 5500
7000 229
308 692
1254037 � −
37 229
321,4286 692
1254037
Universitas Sumatera Utara
Pada tabel di atas dipilih
1
sebagai batasan gomory kedua
2
karena nilai desimal pada
3
lebih besar, maka: -1,077
1
+
1
+ 0,038
2
+ 0,385
4
- 0,385
5
= 0,923 -2 + 0,923
1
+
1
+ 0,038
2
+ 0,385
4
- 0,385
5
= 0,923 ; koefisien
bernilai integer dan desimal di pisahkan
-2
1
+ 0,923
1
+
1
+ 0,038
2
+ 0,385
4
- 0,385
5
= 0,923 Koefisien bernilai integer dihilangkan, koefisien bernilai pecahan dimasukkan
dalam persamaan sebagai berikut:
– =
−
=1 2
− 0,923
1
+ 0,038
2
+ 0,385
4
- 0,385
5
= - 0,923
2
− 0,923
1
- 0,038
2
- 0,385
4
+ 0,385
5
= - 0,923 Batasan gomory tersebut di masukkan kembali kedalam tabel 3.14 kemudian
diselesaikan dengan cara yang sama yaitu dengan metode simpleks,
Tabel 3.16. Penambahan kendala gomory ke-2 pada Tabel 3.15
Basis 4000
6000 5500
7000
2 1
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
1,922 1
0,538 -2,615
-1,385 653,924
2
6000 0,077
1 0,462
-0,385 -0,615
72,077
3
1,308 -1,154
1 -2,538
2,538 819,308
3
5500 1
1 37,000
4
7000 -0,231
1 -0,385
0,154 0,846
87,769
1
4000 -1,077
1 0,038
0,385 -0,385
0,923
2
1 −0,923
-0,038 -0,385
0,385 -0,923
� 370
4000 6000
5500 7000
229 308
692 1254037
� − 370
229 308
692 1254037
Universitas Sumatera Utara
Variabel masuk :
4
Variabel keluar :
2
Tabel 3.17. Iterasi ke- 1 penambahan kendala gomory kedua
Karena baris � −
0, maka persoalan di atas telah optimal dengan =
1254000
untuk
1
= 2,
2
= 72,
3
= 36 dan
4
= 88, Karena semua nilai dari
variabel x sudah memenuhi seperti yang diinginkan yaitu bernilai integer maka proses pembentukan kendala gomory dihentikan.
Dari perhitungan diatas dapat dilihat bahwa hasil yang diperoleh menggunakan program linear biasa sangat berbeda jika dibandingkan dengan hasil
yang diperoleh menggunakan program linear fuzzy. Solusi program linear pada kasus non-fuzzy dan fuzzy terlihat pada Tabel 3.18.
Basis 4000
6000 5500
7000
2 1
1 2
3 4
1 2
3 4
5 1
2,082 1
0,459 -3,417
-0,583 652
2
6000 0,083
1 0,459
-0,417 -0,583
72
3
1,417 -1,208
1 -3,084
3,084 818
3
5500 1,083
1 -0,041
-0,417 0,417
36
4
7000 -0,250
1 -0,375
0,250 0,750
88
1
4000 -1,167
1 0,082
0,834 -0,834
2
2
-1,083 1
0,041 0,417
0,417 1
� 36,5
4000 6000
5500 7000
231,5 290,5
709,5 1254000
� − 36,5
231,5 290,5
709,5 1254000
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.18. Perbandingan Solusi Non-Fuzzy dengan Solusi Fuzzy Solusi Non-
Fuzzy Solusi Fuzzy
1
= 0
2
= 25,7143
3
= 17,012
4
= 126,8571 = 125,4071
1
= 0
2
= 72,1429
3
= 37,8572
4
= 87,5714 = 125,4071
Nilai Batasan: 1. 1915,1316
2. 1661,810 3. 1594,2986
4. 669,6313 5. 788,1787
Nilai Batasan: 1. 2044,429
2. 1900 3. 1929,5687
4. 756 5. 840
= 0,500
Dari Tabel 3.18 diatas dapat dilihat bahwa hasil yang diperoleh menggunakan solusi fuzzy lebih maksimum daripada hasil yang diperoleh
menggunakan solusi program linear biasa, karena pada program linear fuzzy menggunakan batasan-batasan toleransi yang diberikan sedangkan program linear
biasa tidak. Dapat dilihat dari nilai batasan maksimum yang diperoleh bahwa pada nilai batasan pada program linear biasa lebih kecil daripada nilai batasan
maksimum yang telah diperoleh pada program linear fuzzy. Pada solusi fuzzy diperoleh nilai
= 0,500 mengandung pengertian bahwa −
untuk setiap himpunan yang digunakan untuk mengimplementasikan setiap batasan sebesar
0,500. Dengan kata lain, skala terbesar = 1
− 0,500 = 0,500 digunakan untuk menentukan besarnya penambahan terbesar dari setiap batasan yang diizinkan.
Dengan demikian dapat diketahui berapa penambahan maksimum yang diizinkan dari setiap batasan untuk memperoleh keuntungan maksimal.
Universitas Sumatera Utara
Telah didapatkan solusi yang optimal menggunakan logika fuzzy diatas. Namun, dapat terlihat bahwa hasil yang diperoleh bernilai desimal sementara
satuan yang ditetapkan adalah satuan unit. Hal ini tentu tidak relevan karena nilai satuan unit tidak mungkin bernilai desimal. Tidak mungkin perusahaan tersebut
memproduksi produk dengan nilai pecahan. Apabila dilakukan pembulatan biasa atau pembulatan terdekat dapat menggangu nilai dari batasan yang diberikan
sehingga hal tersebut tidak efisien. Untuk mengatasi hal ini dilakukan pembulatan menggunakan metode
cutting plane yaitu metode pembulatan dengan penambahan kendala gomory yang
bertujuan menyingkirkan beberapa ruang penyelesaian yang tidak berisi titik bilangan bulat yang layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik
bilangan bulat yang layak, sehingga diperoleh hasil yang integer dan optimal serta tidak mengganggu batasan yang telah ditentukan.
Tabel 3.19. Perbandingan Solusi Sebelum dan Sesudah Pembulatan Solusi Sebelum Pembulatan
Solusi Sesudah Pembulatan
1
= 0
1
= 2
2
= 72,1429
2
= 72
3
= 37,8572
3
= 36
4
= 87,5714
4
= 88 = 1254071
= 1254000
Terlihat bahwa nilai keuntungan setelah pembulatan lebih kecil daripada nilai keuntungan sebelum dilakukan pembulatan. Namun telah tercapai solusi
optimal dengan solusi yang bernilai bilangan bulat.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
