Program Linier Fuzzy HASIL DAN PEMBAHASAN

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Program Linier Fuzzy

Program linier merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi. Pada program linier, permasalahan dimodelkan secara tetap denga menggunakan parameter-parameter yang umum digunakan. Pada program linier, keberadaan data dan formulasi yang digunakan juga sudah bersifat tertentu, pasti dan tidak menimbulkan ambiguitas Kusumadewi Purnomo, 2010. Salah satu contoh model program linier klasik Zimmermann adalah: Maksimumkan: = Dengan batasan: Dengan , ∈ , ∈ , ∈ 3.1 Atau Minimumkan: = Dengan batasan: Universitas Sumatera Utara Dengan , ∈ , ∈ , ∈ 3.2 , dan adalah bilangan-bilangan crisp tegas, tanda pada kasus maksimasi dan tanda pada kasus minimasi juga bermakna crisp tegas, demikian juga perintah “maksimumkan” atau “minimumka” merupakan bentuk imperatif tegas. Jika diasumsikan bahwa keputusan program linier akan dibuat pada lingkungan fuzzy, maka bentuk 3.1 dan 3.2 akan mengalami sedikit perubahan, yaitu: 1. Bentuk imperatif pada fungsi objektif tidak lagi benar-benar “maksimum” atau “minimum”, karena adanya beberapa hal yang perlu mendapat pertimbangan dalam suatu sistem. 2. Tanda pada batasan dalam kasus maksimasi dan tanda pada batasan dalam kasus minimasi tidak lagi bermakna crisp secara matematis, namun sedikit mengalami pelanggaran makna. Hal ini juga disebabkan karena adanya beberapa yang perlu dipertimbangkan dalam sistem yang mengakibatkan batasan tidak dapat didekati secara tegas. Program linier fuzzy adalah program linier yang dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy . Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif dan kendala. Solusi tersebut berbentuk himpunan fuzzy yang memiliki derajat kebenaran tertentu pada selang [0,1]. Pada program linier fuzzy, akan dicari suatu nilai yang merupakan nilai yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy . Sehingga untuk kasus maksimasi 3.1 akan diperoleh: Tentukan sedemikian hingga: � Universitas Sumatera Utara 3.3 Dan untuk kasus minimasi 3.2 akan diperoleh: � 3.4 Yang dapat dibawa menjadi suatu bentuk seperti dibawah: 3.5 Tiap- tiap barisbatasan 0,,1,2,…, m akan dipresentasikan dengan sebuah himpunan fuzzy, dengan fungsi keanggotaan pada himpunan ke-i adalah . Fungsi keanggotaan untuk model keputusan himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai: � = min [ ] 3.6 Tentu saja diharapkan, kita akan mendapatkan solusi solusi terbaik, yaitu suatu solusi dengan nilai keanggotaan yang paling besar, dengan demikian solusi sebenarnya adalah: max = max min { } 3.7 Dari sini terlihat bahwa = 0 jika batasan ke-i benar-benar dilanggar. Sebaliknya, = 1 jika batasan ke-i benar-benar dipatuhi sama halnya dengan batasan bernilai tegas. Nilai akan naik secara monoton pada selang [0,1], yaitu: [ ] = 1; ∈ 0,1 ; 0; + + 3.8 Universitas Sumatera Utara = 0,1,2, … , Gambar 3.1. menunjukkan fungsi keanggotaan tersebut Gambar 3.1. Fungsi Keanggotaan [ ] = 1; 1 − − ; 0; + + 3.9 = 0,1,2, … , Dengan adalah toleransi interval yang diperbolehkan untuk melakukan pelanggaran dengan baik pada fungsi objektif maupun batasan. Dengan mensubstitusikan akan diperoleh: max = max min 1 − − 3.10 Dari gambar dapat dilihat bahwa, semakin besar nilai domain, akan memiliki nilai keanggotaan yang cenderung semakin kecil. Sehingga untuk mencari nilai − dapat dihitung sebagai = 1 − , dengan: + = − 3.11 Dengan demikian akan diperoleh bentuk program linier baru sebagai berikut Universitas Sumatera Utara Maksimumkan : Dengan batasan : + + ; = 0,1,2, … , 3.12 3.2 Penggunaan Metode Cutting Plane Metode cutting plane digunakan untuk permasalahan yang variabel keputusannya harus bernilai bilangan bulat. Program linear tidak efektif untuk menyelesaikan permasalahan tersebut sehingga dikembangkan metode cutting plane yang lebih efektif dan memberikan hasil yang lebih baik. Langkah-langkah penyelesaian program bilangan bulgat dengan metode cutting plane diringkas sebagai berikut: 1. Selesaikan masalah program bilangan bulat dengan menggunakan metode simpleks. Jika masalah sederhana, kendala gomory dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan kendala gomory kurang efisien. 2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai bilangan bulat, solusi optimum yang berupa bilangan bulat telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecahan, lanjutkan ke tahap 3. 3. Buatlah suatu kendala gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2 Taha, 1996. Tabel 3. 1 Solusi Optimum Masalah Program Linear 1 2 ... ... ... ... ... Solusi Variabel Basis Harga Basis 1 2 ... 1 2 ... 1 1 11 12 ... ... ... ... ... 1 1 2 2 21 22 ... ... ... ... ... 2 2 1 2 ... ... ... ... ... Universitas Sumatera Utara − ... ... ... ... ... ... ... ... di mana: = variabel basis = variabel nonbasis Perhatikan persamaan ke di mana variabel diasumsikan bernilai tidak bilangan bulat sebagai berikut: = − =1 =1 di mana: = variabel basis = variabel nonbasis = koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala yang berupa noninteger = sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala yang berupa noninteger Kemudian pisahkan dan menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non negatif seperti berikut: = + sehingga = − , di mana 1 = + sehingga = − , di mana 1 Dapat dilihat pada contoh berikut: Tabel 3. 2. Bentuk integer dan noninteger 3 2 1 1 2 − 7 3 −3 2 3 7 8 7 8 −1 −1 Universitas Sumatera Utara 7 3 2 1 3 − 2 5 −1 3 5 sehingga adapun kendala gomory yang diinginkan sebagai berikut: − =1 =1 = − di mana: = slack gomory variable = bagian pecahan dari = bagian pecahan dari = variabel nonbasis Pada umumnya, persamaan kendala yang berhubungan dengan solusi pecah dipilih untuk menghasilkan suatu kendala gomory. Namun, sebagai aturan biasanya dipilih persamaan yang memiliki maksimum. Adapun tabel baru setelah penambahan kendala gomory disajikan pada Tabel 2.3 sebagai berikut: Tabel 3. 3 Penambahan Kendala Gomory 1 2 ... ... ... ... ... ... Solusi Variabel Basis Harga Basis 1 2 ... 1 2 ... 1 1 11 12 ... ... ... ... ... 1 1 2 2 21 22 ... ... ... ... ... 2 2 1 2 ... ... ... ... ... … 0 − 1 − 2 ... − 1 − − ... ... ... ... ... ... ... ... ... Karena diperoleh solusi primal optimum tetapi tidak layak maka digunakan metode dual simpleks. Proses pembentukan kendala gomory berakhir jika solusi optimum diperoleh bilangan bulat. Jika tidak, suatu kendala gomory baru dibuat kembali dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks Universitas Sumatera Utara digunakan kembali untuk mengatasi ketidaklayakan. Jika pada setiap iterasi metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak.

3.3 Ilustrasi Numerik Pembulatan Program Linear Fuzzy dengan Menggunakan Metode Cutting Plane