21
Matematika
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a a
p q
p q
= . Sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Contoh 1.7
1 8
2 2
2 2
3 3
3 3
3 1
= =
= =
2 64
2 2
2 2
6 6
6 6
6 1
= =
= =
3
4 5 2 7
4 2
5 7
8 35
3 3
3 3
× =
× ×
=
4 3 5 5 5 3
5 5
5 15 5
15 5
5 7
1 5
1 7
12 35
12 35
× =
× ×
=
=
5 3 4
4 5 3
4 4
5
3 3
3
=
6 2 3
3 5 2
3 3
5
4 4
4
=
Latihan 1.4
1 Buktikan: jika a bilangan real dan a 0, maka a
n n
= a. 2 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c
b d
ab cd
n n
n
× =
. 3 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c
b d
a b
c d
n n
n
= .
c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti 2 5
3 7
2 6
, ,
, +
− , dan
seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional.
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
22
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Semester 1
Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan
tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut.
1 Merasionalkan bentuk
p q
Bentuk p
q dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan
q q
. p
q p
q q
q p
q q
= =
.
Diskusi
Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harus dirasionalkan?
Mengapa kita harus mengalikan p
q dengan
q q
? Karena
q selalu positif, maka q q
= 1. Jadi perkalian p
q dengan
q q
tidak akan mengubah nilai p
q namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan
rasional.
2 Merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional.
a Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4, 645751... bilangan
irasional. b Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya
bilangan irasional atau rasional, Contoh 1 5 + 7 = 2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... bilangan irasional, 2 2 5 + -2 5 = 0
bilangan rasional. Jika dua bilangan irasional dikurangkan, bagaimana hasilnya?
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
23
Matematika
c Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau irasional. Contoh. 0
2 ×
= 0 0 adalah bilangan rasional atau 2
5 2 5
× =
adalah bilangan irasional d Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional, maka hasilnya
dapat bilangan rasional atau bilangan irasional. Contoh:
• 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25 25 adalah bilangan rasional •
3 5
15 ×
= 15 adalah bilangan irasional
e a
n
disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat n dari a adalah bilangan
irasional. Untuk merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
. dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian a + b a – b = a
2
– b
2
, sehingga p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q +
− =
− =
− +
− =
− =
−
2 2
2 2
2
Bentuk p q
+ dan bentuk p
q −
saling sekawan, bentuk p
q +
dan p
q −
juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan real.
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
+ =
+ −
− =
− −
.
2
dimana q ≥ 0 dan p
2
≠ q.
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
− =
− +
+ =
+ −
.
2
dimana q ≥ 0 dan p
2
≠ q.
r p
q r
p q
p q
p q
r p
q p
q +
= +
− −
= −
− .
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p
≠ q
r p
q r
p q
p q
p q
r p
q p
q −
= −
+ +
= +
− .
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p
≠ q
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
24
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Semester 1
Contoh 1.8
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a.
2 3
2 2
3 2
3 2
3 2
− =
− ×
+ +
kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya =
+ −
+ 2 3
2 3
2 3 2
= +
− =
+ =
+ 2 3
2 9
2 6
2 2 7
6 7
2 7
7
b. 3
6 3
3 6
3 6
3 6
3 3 6
3 6
3 6
3 +
= +
× −
− =
− +
− kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya
= −
− =
− =
− 18
3 3 36
3 18
3 3 33
6 11
3 11
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
25
Matematika
c. 4
7 5
4 7
5 7
5 7
5 4
7 5
7 5
7 5
4 7
5 7
5 4 7
4 5 2
2 7 2 5
− =
− ×
+ +
= +
− +
= +
− =
+ =
+ kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya
Contoh 1.9
Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan berikut 1
1 2
1 2
3 1
3 4
1 4
5 1
99 100
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
... ...?
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,
= 1
1 2
1 2
1 2
+ ×
− −
+ 1
2 3
2 3
2 3
+ ×
− −
+ 1
3 4
3 4
3 4
+ ×
− −
+ 1
4 5
4 5
4 5
+ ×
− −
+ ... + 1
99 100
99 100
99 100
+ ×
− −
= 1
2 1
2 3
1 3
4 1
4 5
1 99
100 1
− −
+ −
− +
− −
+ −
− +
+ −
− ...
= – 1 2
2 3
3 4
4 5
99 100
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
... =
− +
= − + =
1 100
1 10
9 .
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
26
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Semester 1
Contoh 1.10
Tentukan nilai dari 1
3 1
3 1
3 +
+ + ...
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = +
+ +
3 1
3 1
3 ...
atau P P
= + 3
1
⇔ P
2
– 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh:
⇔ P −
− =
3 2
13 4
2
⇔ P = + 6
2 13 4
Jadi, nilai 1
3 1
3 1
3 1
6 2 13
4 4
6 2 13
+ +
+ =
+ =
+ ...
Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka 4
6 2 13
4 6
2 13 6
2 13 6
2 13 4 6
2 13 16
+ =
+ −
− =
− −
. =
− 2 13
6 2
Jadi, 1
3 1
3 1
3 2 13
6 2
+ +
+ =
−
...
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
27
Matematika
3 Menyederhanakan bentuk
p q
pq +
± 2 Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus; yaitu, bentuk p
q pq
+ ± 2
. Perhatikan proses berikut ini Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu
a. p
q p
q +
+ b.
p q
p q
− −
Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi
p q
pq +
± 2 . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut
Contoh 1.11
Sederhanakan bentuk akar berikut ini a.
8 2 15
+ =
5 3
2 5 3
5 2 5
3 3
+ +
× = +
× + =
5 3
5 3
2
+ =
+ b.
9 4 5
− = 5 4 5
4 5
2 5
2
2
− +
= −
= −
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
28
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Semester 1
Uji Kompetensi 1.2
1. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini
a. 5
15 d.
6 24
b. 2
20 e.
2 2 48
c. 3
18 f.
2 3
a a
2. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini
a. 1
5 3
− b.
4 2
4 2
− +
c. 2
3 5
a a
+ d.
3 5
10 −
e. xy
x y
+ f.
24 54
150 96
+ −
3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini a. 15
75 1
2 3
− −
b. 7
2 8
11 2
8 +
+ −
c. 4
3 2
3 2
1 5
3 2
+ −
− +
− d.
10 5
6 12
6 7
14 7
8 +
+ +
+ +
4. Jika 2
3 2
3 6
− +
= + a
b , tentukan
nilai a + b
5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 19 8 3 +
b. 5 2 6
+ c. 43 12 7
+ d. 21 4 5
− e.
18 8 2
11 6
2 +
+ −
f. 3 14
6 5 21 12 3
− +
+
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
29
Matematika
SOAL TANTANGAN
1. Tentukanlah nilai dari: a. 2 3 2 3 2 3 ...
3 3
3 3
b. 2 2
2 2
2 +
+ +
+ + ...
c. 1
1 1
1 1
1 +
+ +
... 2. Jika a, b bilangan asli dengan
a ≤ b dan
3 4
+ +
a b
adalah bilangan rasional, tentukan
pasangan a,b. OSN 20052006
Projek
Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. Sebagai contoh 0,333... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakan
sebagai pecahan 1
3 . Kenyataannya, bilangan pecahan desimal tak
hingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri
contoh penerapan prosedur yang kamu rancang. b. Berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangan irasional
π tidak mungkin sama dengan
22 7
, karena 22
7 hanyalah pendekatan untuk nilai
π sebenarnya. 3. Nyatakan b dalam a dan c dari
persamaan b
c c
a
3 3
= abc. 4. Sederhanakan bentuk 49
20 6
4
− .
5. Tentukan nilai a dan b dari
1 2
3 1
3 4
1 4
5 1
1 000 000 1 000 001
+ +
+ +
+ +
+ +
= −
... .
. .
. a
b
6. Hitunglah
54 14 5
12 2 35
32 10 7
+ +
− +
− =
7. Jika3+43
2
+4
2
3
4
+4
4
3
8
+4
8
3
16
+4
16
3
32
+4
32
= 4
x
–3
y
, tentukan nilai x–y .
diunduh dari
psmk.kemdikbud.go.idpsmk
30
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Semester 1
9. Menemukan Konsep Logaritma
Kategori