Definisi Grup Grup Lie

2.4.1 Definisi Grup

Suatu himpunan G dari transformasi g akan membentuk suatu grup, apabila memenuhi ketentuan sebagai berikut: 1. Terdapat relasi tertutup closure G g G g ∈ ∈ 2 1 , 2.28 G g g g ∈ = 2 1 2.29 2. Terdapat relasi asosiatif, untuk semua G g g g ∈ 3 2 1 , , 3 2 1 3 2 1 g g g g g g = 2.30 3. Memiliki elemen identitas e, yang juga anggota dari grup itu sendiri g eg ge = = 2.31 4. Memiliki elemen invers g -1 yang juga merupakan anggota dari grup itu sendiri e g g gg = = − − 1 1 2.32 Sifat komutatif bukanlah suatu keharusan dalam grup, tapi apabila ada suatu grup yang memiliki sifat komutatif dengan ab = ba dengan a,b merupakan elemen dari grup maka grup tersebut adalah abelian, sedangkan grup yang memenuhi persyaratan 1 sampai 4 disebut grup abstrak.

2.4.2 Grup Lie

Grup kontinu memainkan peranan penting dalam fisika, mereka memiliki elemen grup yang tak berhingga, berbeda dengan grup terbatas finitie grup. Universitas Sumatera Utara Grup yang memilki elemen tak hingga dibagi menjadi dua jenis : diskrit dan kontinu. Pada jenis diskrit elemen grupnya dapat dihitung. Sedangkan pada kontinu elemen grupnya tidak bisa dihitung. Untuk dapat memahami jenis kontinu, maka perlu dihubungklan dengan grup diskrit, karena aljabarnya diketahui dengan baik adalah grup diskrit. Untuk keperluan tersebut maka diperkenalkan konsep ruang abstrak grup manifold, dimana setiap titik a berhubungan tepat dengan satu elemen grup a g . a g a → 2.33 Atau dapat dikatakan bahwa perkalian b a c g g g = akan mendefinisikan suatu fungsi phi dari ruang abstrak, dengan: ; b a c φ = 2.34 Dengan nilai ,... , , c b a memiliki nilai diskrit Suatu grup kontinu dimana elemen-elemen grupnya dapat dilabelkan sebagai suatu kumpulan parameter real terhingga yang secara kontinu bervariasi maka tersebut adalah grup Lie. Ide dasar dari Shopus Lie adalah dengan menganggap suatu transformasi terhingga dapat dari suatu urutan transformasi yang tak berhingga. Karena adanya transformasi dengan tetangga terdekat, maka grup kontinu dapat dipelajari secara keseluruhan dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi infitesimal, dimana struktur dari seluruh grup dapat ditentukan dengan mempelajari struktur lokal dekat elemen identitas. Maka dapat dituliskan ; a x f x = dan ; x f x = 2.35 Universitas Sumatera Utara Jika terdapat suatu transformasi ; da a x f dx x + = + 2.36 Diperkenalkan suatu parameter transformasi a ∂ maka persamaan diatas dapat dituliskan ; a x f dx x ∂ = + 2.37 Kemudian dapat dituliskan persamaan σ σ a a a x f dx a ∂       ∂ ∂ = =0 ; 2.38 Akan diperkenalkan suatu notasi baru ; =       ∂ ∂ = a i a a x f x u σ σ 2.39 Maka kita dapat penulisan persamaan 2.38 dengan σ σ a x u dx i i ∂ = 2.40

2.4.3 Generator