1. 1. Deskripsi singkat
XIII.1. 1. Deskripsi singkat
Pada bab ini akan dibahas tentang segitiga bola siku-siku, segitiga bola kutub, segitiga bola sembarang dan kwadranserta contoh penyelesaian beberapa kasus.
XIII.1.2. Manfaat
Mendasari pada matakuliah penentuan posisi di permukaan bumi dengan metode astronomi ataupun teknologi ruang angkasa.
XIII.1.3. Relevansi,
. Dengan teknologi satelit penentuan posisi di permukaan bumi menjadi semakin cepat, namun demikian untuk mempelajari penentuan posisi dengan teknologi satelit memerlukan dasar-dasar matematika khususnya segitiga bola. Bagian ini mendasari juga pada pelajaran transformasi koordinat dari sistem kuvilinier ke sistem kartesi atau sebaliknya
XIII.1.4. Learning outcame :
Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-1, mahasiswa akan dapat: menyelesaikan hitungan segitiga bola siku-siku, segitiga bola kutub, segitiga bola sembarang dan kwadran
XIII.2. Penyajian
Segitiga bola siku-siku
90 90 C
b D 90
Segitiga siku-siku:
O : pusat bola berjari-jari 1 (satu unit radius) O : titik puncak dari sudut bidang tiga O ABC ABC ; segitiga bola siku-siku di C dan a < 90 ˚, b < 90˚. Melalui A dibuat bidang tegak lurus OB,atau melalui A dibuat bidang ADE tegak lurus OB, memotong OB di E dan OC di D.
Dengan mengacu rumus-rumus pada segitiga bidang datar, diperoleh: DA/OA = sin b atau DA/1 = sin b EA/OA = sin c atau EA/1 = sin c OE/OA = cos c atau OE/1 = cos c OD/OA = cos b atau OD/1 = cos b
Dari segitiga datar OED: tan a = ED/OE atau ED = OE x tg a Dari persamaan tersebut OE = cos c, sehingga ED = cos c tan a dst...(rumus-rumus yang lain dapat dijabarkan sendiri).
ATURAN NAPIER dari segitiga bola ABC
Bagian Co-B
SAMPING
Bagian LAWAN
a Co-B
b Bagian TENGAH
Co-c
90 C Co-c Co-A
Bagian SAMPING
1. sin a = sin A sin c
Rumus yang dipilih:
Pilih rumus yang mengandung 2 unsur yang sudah diberikan dan 1 unsur yang ditanyakan.
a. sin (bagian TENGAH ) = cos (bagian LAWAN ) x cos (bagian LAWAN)
b. sin (bagian TENGAH) = tan (bagian SAMPING) x tan (bagian SAMPING)
c. sin b = tan a x tan Co-A; sin b = tan a cot A; tan a = tan A sin b sin(1 bagian TENGAH) = tan (1 bagian SAMPING) x tan (1 bagian LAWAN)
d. sin (b) = cos (Co-B) x cos (Co-c) sin b = sin B sin c sin (1 bagian TENGAH) = cos (1 bagian LAWAN) x cos (1 bagian LAWAN)
Urutan kerja dalam penyelesaian segitiga bola siku adalah sbb:
a. Buat sketsa/gambar segitiga bola siku dan diberi notasi seperlunya, unsur-unsur yang diketahui diberi tanda misalnya dengan lingkaran.
b. Tulis rumus untuk unsur-unsur yang tak diketahui dengan ketentuan- ketentuan Napier. Tiap rumus mengandung dua unsur yang diketahui dan mengandung satu unsur yang ditanyakan.
c. Tulis rumus untuk unsur-unsur yang tak diketahui dengan ketentuan Napier untuk ceking.
d. Hitungan dapat dilakukan dengan kalkulator.
Hukum Kwadran
a. Bila A < 90 dan C < 90, maka a, b, B < 90 Bila C < 90 dan a < 90 , maka b, B > 90 dan A < 90
b. Bila A > 90 dan C < 90, maka a, b, B > 90 Bila C > 90 dan a > 90, maka b, B < 90 dan A > 90 Contoh 1:
Diketahui: ABC siku-siku di C ; A = 65 0 ; B = 118 0
Hitung: a, b, dan c Jawab:
Co-B Co-B
a? Co-c
Co-c ?
90 C
b? Co-A
Co-A
a) Mencari a:
Mencari b:
sin Co-A = cos a cos Co-B sin Co-B = cos Co-A cos b cos a = cos A cosec B
cos b = cos B cosec A
a = arc cos (cos A cosec B)
a = arc cos ( cos B cosec A
b) Mencari c sin Co-c = tan Co-B tan Co-A cos c = cot B cot A
c = arc cos (cot B cot A)
c) Ceking sin Co-c = cos a cos b
LATIHAN:
1. Diketahui segitiga bola siku-siku di C, a = 45 ˚; b = 30˚, hitung A, B, c!
2. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan a = 66 ˚59’31” ; b = 156 ˚34’19”!
3. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan a = 60 ˚ ; b = 30˚!
4. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan A = 45 ˚ ; c = 60˚!
Segitiga bola kutub
Kutub-kutub dari sebuah lingkaran besar adalah titik-titik tembus dari garis tegak lurus lingkaran melalui pusatnya, pada bidang permukaan bola. Sebuah segitiga ABC mempunyai segitiga kutubnya yang terbentuk dengan jalan membuat segitiga bola yang sisi-sisinya adalah lingkaran-lingkaran besar yang berkutub di A, B, dan C.
A k adalah kutub dari lingkaran besar BC, yang terletak sepihak dengan A terhadap BC.
B k adalah kutub dari lingkaran besar AC, yang terletak sepihak dengan B terhadap AC.
C k adalah kutub dari lingkaran besar AB, yang terletak sepihak dengan C terhadap AB.
Segitiga bola A k B k C k , dinamakan segitiga bola kutub dari segitiga bola ABC.
Segitiga bola ABC, dinamakan segitiga bola kutub dari segitiga bola
Segitiga bola kwadran
Adalah segitiga bola yang hanya mempunyai satu sisi yang besarnya 90 ˚. Segitiga kutub dari segitiga kwadran adalah segitiga siku-siku, oleh karena itu unsur-unsur dari segitiga kwadran dapat ditentukan dengan menggunakan rumus segitiga siku-siku pada segitiga kutubnya.
Segitiga bola sembarang (oblique)
Adalah segitiga bola yang tidak mengandung keistimewaan. Segitiga bola sembarang dapat terbentuk dari:
tiga sisi yang diketahui,
tiga sudut yang diketahui,
dua sisi dan satu sudut yang diapitnya,
dua sudut dan satu sisi yang diapitnya,
dua sisi dan satu sudut di muka salah satu sisinya, atau
dua sudut dan satu sisi di muka salah satu sudutnya.
Adapun rumus-rumus yang berlaku:
1. Rumus sinus: sin a sin b sin c
sin A sin B sin C
2. Rumus cosines untuk sisi: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
3. Rumus cosines untuk sudut: 3. Rumus cosines untuk sudut:
4. Rumus ½ sudut:
1 tan tan r 2 A sin( S a )
1 tan tan r 2 B sin( S b )
1 tan tan r 2 C sin( S c )
S = (a + b + c)/2
sin( S a ) sin( S b ) sin( S c )
tan r
sin S
5. Rumus ½ sisi:
1 tan cot R 2 a cos( S A )
1 tan cot R 2 b cos( S B )
2 c cos( S C )
tan R
cot 1
S = (A + B + C)/2
cos( S A ) cos( S B ) cos( S C )
tan R
cos S
6. Gauss or Delambre’s analogies:
sin 1 2 ( A B ) Sin 1 2 ( a b ) Cos 1 2 1 C Sin 2 c
Cos 1 2 ( A B ) Sin 1 2 ( a b )
Sin 1
2 C Sin 1 2 c
Sin 1 2 ( A B ) Cos 1 2 ( a b )
Cos 1
2 C Cos 1 2 c
7. Napier’s analogies:
XIII.3. Penutup
XIII.3.2.Tes formatif
0 0 1. Diketahui segitiga bola ABC, a = 121 0 18,4’; b = 104 54,7’; c = 65 42,5’. Hitung besaran A,B, dan C menggunakan rumus ½ sudut.
0 0 2. Dketahui segitiga bola ABC, A = 117 0 22,8’; B = 72 38,6’; C = 58 21,2’. Tentukan a,b dan c. (menggunakan rumus ½ sisi).
0 0 3. Diketahui segitiga ABC, a = 106 0 25,3’; B = 42 16,7’; c = 114 53,2’. Tentukan A, C, dan b. (menggunakan Napier’s analogies).
0 0 4. Diketahui segitiga ABC, A = 48 0 44,6’; B = 60 42,6’; c = 76 22,4’. Tentukan a, b, dan C. (menggunakan Napier’s analogies).
0 0 5. Diketahui segitiga ABC, a = 48 0 44,6’; c = 60 42,2’; A = 76 22,4’. Tentukan C, B dan b.
0 0 6. Diketahui segitiga ABC, A = 35 0 52,5’; B = 56 10,7’; a = 40 38,8’. Tentukan c, C dan b.
XIII.3.3. Petunjuk Penilaian dan umpan balik Kriteria
Skor
Identifikasi
Dapat perbedaan segitiga
Tidak dapat
Dapat
mengidentifikasi mengidentifikasi bidang datar dan
mengidentifikasi
dan membedakan dan membedakan segitiga bola
dan membedakan
seluruhnya Identifikasi jenis
sebagian
Dapat segitiga bola
Tidak dapat
Dapat
mengidentifikasi
mengidentifikasi mengidentifikasi
dan membedakan
dan membedakan dan membedakan sebagian
seluruhnya Mampu melakukan
Dapat melakukan Dapat melakukan hitungan pada semua melakukan
Tidak dapat
hitungan semua kasus segitiga bola
hitungan
hitungan
sebagian kasus
kasus
XIII.3.4. Tindak lanjut
Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dianding dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2
XIII.3.5. Sumber Pustaka: Ayres, F. Jr., 1954, Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry, Schaum’s Outline Series, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta