Model Persediaan (Q, r, L, A)

4.2 Model Persediaan (Q, r, L, A)

4.2.1 Penurunan Ulang Model

Pada bagian ini akan dijabarkan penurunan ulang model persediaan (Q,r,L,A) pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang pe- san. Biaya pemesanan (A) pada fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L) persamaan (4.1) diasumsikan konstan. Menurut penelitian yang dilakukan oleh Hall dan Porteus (Wu dan lin [15]), sejumlah investasi I(A) dapat menguran-

gi besarnya biaya pemesanan. Jika terdapat A 0 yang merupakan besarnya bi-

aya pemesanan awal yang dikeluarkan oleh perusahaan, maka besarnya akan

commit to user

berkurang sampai dengan A dengan laju pengurangan sebesar δ, sehingga da- pat didefinisikan sebagai berikut

I(A) = b ln( A A 0 ) 0<A≤A 0 dengan b = 1 δ .

Jika diberikan sejumlah potongan sebesar θ, maka besarnya biaya investasi per unit waktu adalah θI(A). Diperoleh fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L,A) adalah

B t (Q, r, L, A) = θI(A) + B p +B s +B k + R(L) = θ b ln( A A 0 )+ AD αQ + h[r − DL + (1 − β)E(X − r)] + h 2αQ [σ 2 0 + (σ 2 1 +α 2 )Q 2 ]+ D αQ (π + (1 − β)π 0 )E(X − r) + R(L)D αQ ,

(4.9)

dengan 0 < A ≤ A 0 .

4.2.2 Penyelesaian Optimal

Tujuan dari permasalah persediaan barang adalah mengambil keputusan yang optimal yang dapat meminimalkan biaya yang dikeluarkan. Pada bagian ini akan dicari penyelesaian optimal pada fungsi biaya total model persediaan

(Q,r,L,A) dengan kendala 0 < A ≤ A 0 yang dapat meminimumkan biaya total

persediaan. Pada landasan teori telah dijelaskan bahwa untuk dapat memini- mumkan biaya total persediaan, maka fungsi biaya total merupakan fungsi yang konveks. Kekonveksan suatu fungsi dapat dilihat dari matriks Hessian dengan sifat definit positif.

Jika permintaan selama waktu tunggu diasumsikan berdistribusi normal dengan mean DL dan standar deviasi σ

L maka ekspektasi jumlah permintaan

karena kekurangan persediaan adalah persamaan (4.3), kemudian fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L,A) pada persamaan (4.9), jika r disubstitusikan dengan r = DL + kσ

L dan E(X − r) disubstitusikan dengan persamaan (4.3), maka fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L,A) menjadi

B t (Q, k, L, A) = θ b ln( A A 0 )+ AD αQ + h[kσ

L + (1 − β)σ

LΨ(k)] + h 2αQ

[σ 2 0 + (σ 2 1 +α 2 )Q 2 ]+ D αQ (π + (1 − β)π 0 )σ

LΨ(k) + R(L)D αQ . (4.10)

commit to user

dengan 0 < A ≤ A 0 . Turunan parsial kedua dari fungsi biaya total model perse- diaan (Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) adalah

∂B t (Q,k,L,A) ∂Q

=− AD αQ 2 − h 2αQ 2 σ 2 0 + h 2α (σ 2 1 +α 2 )− (π+(1−β)π 0 αQ )D 2 σ

√ LΨ(k) − 2R(L)D αQ 2 ,

∂B t (Q,k,L,A) ∂k

= hσ

L − (1 − β)hσ

LΨ ′ (k) − (π+(1−β)π 0 αQ )D σ

LΨ ′ (k),

∂B t (Q,k,L,A) ∂L

= 1 2 Hkσ √ L + 1 2 H(1−β)σΨ(k) √ L + 1 2 σ(π+(1−β)π 0 √ )DΨ(k) LαQ + R ′ (L)D αQ ,

∂B t (Q,k,L,A) ∂A

=− θb A + D αQ ,

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂Q 2 = 2AD αQ 3 + h αQ 3 σ 2 0 + 2(π+(1−β)π 0 αQ )D 3 σ

LΨ(k) + 2R(L)D αQ 3

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂Q∂k

= ∂ 2 B t ∂k∂Q (Q,k,L) =− (π+(1−β)π 0 αQ )D 2 σ

LΨ ′ (k),

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂Q∂L

= ∂ 2 B t ∂L∂Q (Q,k,L) =− 1 2 (π+(1−β)π 0 √ )Dσ LαQ 2 Ψ(k) − R ′ (L)D αQ 2 ,

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂k 2 = (1 − β)hσ

LΨ ′′ (k) + (π+(1−β)π 0 αQ )D σ

LΨ ′′ (k),

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂k∂L

= ∂ 2 B t ∂L∂k (Q,k,L) = 1 2 √ L hσ + 1 2 √ L (1 − β)hσΨ ′ (k) + 1 2 √ L (π+(1−β)π 0 αQ )D σΨ ′ (k),

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂L 2 =− 1 4 Hkσ L 3 /2 − 1 4 H(1−β)σΨ(k) L 3 /2 − 1 4 σ(π+(1−β)π 0 L )DΨ(k) 3 /2 αQ + R ′′ (L)D αQ ,

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂A∂Q

= ∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂Q∂A =− D αQ 3 ,

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂A∂k

= ∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂k∂A = 0,

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂A∂L

= ∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂L∂A = 0,

dan

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂A 2 = θb A 2 ,

dengan Ψ ′ (k) = −(1−Φ(k)) , Ψ ′′ (k) = φ(k) , R ′ (L) = c i , dan R ′′ (L) = 0. Dengan demikian, diperoleh matriks Hessian untuk fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) adalah

∇ 2 B t (Q, k, L, A) =

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂Q∂k

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂Q∂L

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂Q∂A

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂k∂Q

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂k∂L

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂k∂A

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂L∂Q

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂L∂k

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂L∂A

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂A∂Q

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂A∂k

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂A∂L

∂ 2 B t (Q,k,L,A) ∂ 2 A

(4.11) Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.11), diperoleh nilai determinant test principal minor ke-1 adalah ∂ 2 B t (Q, k, L, A)

LΨ(k)+

2R(L)D αQ 3

√ Lφ(k) > 0,

commit to user

H(1 − β)σΨ(k)

L 3/2

σ(π + (1 − β)π 0 )DΨ(k) L 3/2 αQ

Berdasarkan nilai dari determinant test principal minor ke-1 terlihat bah- wa fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) tidak definit positif. Hal tersebut dikarenakan nilai determinant test principal minor ke-1 matriks Hessiannya bernilai negatif, sehingga merupakan fungsi yang tidak konveks pada Q, k, A, dan L . Jika diberikan nilai Q, k, dan A tetap, maka fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L,A) merupakan fungsi yang konkav dengan penyelesaian optimumnya berada di titik ujung interval [L i ,L i−1 ]. Namun, jika diberikan nilai L ∈ [L i ,L i −1] tetap, maka matriks Hessian dari fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) adalah

∇ 2 B t (Q, k, L, A) =

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂Q 2

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂Q∂k

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂Q∂A

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂k∂Q

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂k 2

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂k∂A

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂A∂Q

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂A∂k

∂ 2 B t (Q,k,L,A)

∂A 2

. (4.12)

Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.12), diperoleh nilai determinant test principal minor ke-1 adalah

LΨ(k)+

2R(L)D αQ 3

√ Lφ(k) > 0,

nilai determinant tes principal minor ke-2 adalah ∂ 2 B t (Q, k, L, A)

∂ 2 B t (Q, k, L, A) ∂k∂Q

> 0,

Berdasarkan nilai dari determinant test principal minor ke-1 dan 2 terlihat bahwa jika diberikan nilai L ∈ [L i ,L i−1 ] tetap, maka fungsi biaya total model persediaan

commit to user

(Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) merupakan fungsi konveks. Berdasarkan hal tersebut penyelesaian optimal untuk Q, A dan k adalah

Q=

s 2D[A + h

2D σ 2 0 + (π + (1 − β)π 0 )σ

LΨ(k) + R(L)]

hαQ h(1 − β)αQ + D(π + (1 − β)π 0 )

(4.15) Nilai Q ∗ ,k ∗ , dan A diperoleh dengan iterasi menggunakan algoritma Wu

dan Lin [15] berikut.

1. Untuk setiap L i , i = 0, 1, · · · , n dilakukan langkah sebagai berikut

(a) Dimulai dengan memberikan nilai awal A i1 =A 0 dan k i1 = 0. Berdasarkan tabel distribusi normal standar diperoleh nilai φ(k i1 ) = 0.39894, Φ(k i1 )=

0.5, dan Ψ(k i1 ) = 0.39894. (b) Kemudian mensubstitusikan nilai A i1 dan Ψ(k i1 ) = 0.39894 ke Per-

samaan 4.13 sehingga diperoleh nilai Q i1 . (c) Hasil Q i1 selanjutnya disubstitusikan ke Persamaan 4.15 sehingga dipero-

leh nilai A i2 . (d) Hasil Q i1 juga disubstitusikan ke Persamaan 4.14 sehingga diperoleh

nilai Φ(k i2 ). (e) Dengan melihat tabel distribusi normal standar diperoleh nilai φ(k i2 )

dan Ψ(k i2 ). (f) Mengulangi langkah (a) sampai (d) sampai diperoleh nilai Q i ,k i , dan

A i yang konvergen.

2. Selanjutnya membandingkan nilai A i dan A 0 .

(a) Jika diperoleh nilai A i <A 0 , maka penyelesaian optimal telah dipero- leh.

(b) Jika diperoleh nilai A i ≥A 0 maka dilakukan kembali langkah 1 dengan memberikan nilai awal A i yang telah konvergen sebagai A 0 .

commit to user

Tabel 4.1. Data Waktu Tunggu

Komponen Waktu normal Waktu minimum Biaya tambahan waktu tunggu i

b i (hari)

a i (hari)

c i (dollar/hari)

3. Masing-masing biaya total (Q i ,k i ,L i ,A i ) diperoleh dengan mensubstitusikan nilai Q i ,k i , dan A i yang telah konvergen serta nilai L i , i = 0, 1, · · · , n ke Persamaan 4.10

4. Selanjutnya, mencari nilai min i=0,1,··· ,n biaya total (Q i ,k i ,L i ,A i ).

Jika min i=0,1,··· ,n biaya total (Q i ,k i ,L i ,A i ) = biaya total(Q ∗ ,k ∗ ,L ∗ ,A ∗ ) ma- ka (Q ∗ ,k ∗ ,L ∗ ,A ∗ ) merupakan penyelesaian optimal dengan titik pemesanan kembali r ∗ = DL ∗ +k ∗ σ