PENURUNAN PERSAMAAN MASS BALANCE

11

2.3 PENURUNAN PERSAMAAN MASS BALANCE

Untuk aliran system berupa BOD pada suatu control volume dengan sifat aliran 1-dimensional dan unsteady besar dcdt BOD didalam control volume tidak sama dengan nol, berlaku hukum kekekalan massa sebagai berikut : . = + ∫ ∫ dA n v dV dt d Vcv Acv ρ ρ 2.3 . = + ∫ dA n v dt dm Acv ρ 2.4 Potter and Wiggert, Mechanics of Fluids, 1997 Gambar 2.3 Mekanisme transportasi materi yang terjadi dalam control volume pada suatu ruas sungai Untuk persamaan mass balance dari BOD pada suatu aliran sungai, bentuk hukum kekekalan massa secara lebih lanjut dapat dijabarkan sebagai berikut : Accumulation – Loading + Outflow + Reaction + Settling = 0 2.5 Accumulation = Loading – Outflow – Reaction – Settling 2.6 Pengembangan model adveksi..., Nila Yudhita, FT UI, 2008 12 Persamaan diatas, untuk suatu control volume dengan detail dimensi yang diketahui, dapat ditulis secara matematis sebagai berikut : c A v c k c Q c Q t W dt dm s s out in . . . . . − − − + = 2.7 dimana m = V.c , sehingga : c A v c k c Q c Q t W dt c V d s s out in . . . . . . − − − + = 2.8 Karena V yang dimaksud adalah volume sistem yang memenuhi ruang control volume, yang besarnya sama dengan volume dari control volume itu sendiri, maka nilai V bersifat konstan sehingga persamaan diatas dapat dituliskan menjadi : c A v c k c Q c Q t W dt dc V s s out in . . . . . − − − + = 2.9 Mass flux terlarut dalam arah sumbu x yang diangkut melalui dua mekanisme pembawa, yaitu adveksi dan dispersi seperti yang telah dijelaskan sebelumnya diatas, dapat dikuantifikasikan sebagai berikut : Transportasi mass flux dengan adveksi : u.c 2.10a Transportasi mass flux dengan dispersi : - x c D ∂ ∂ 2.10b Dimana D merupakan koefisien dispersi dalam arah sumbu x. Mekanisme reaksi dan settling diasumsikan memiliki nilai sangat kecil hingga dapat diabaikan, dan kemudian dapat dihilangkan dari persamaan. Kalikan kedua ruas pada persamaan 2.7 dengan faktor 1V, sehingga persamaan menjadi : V c Q V c Q V t W dt dc out in . . − + = 2.11 Pengembangan model adveksi..., Nila Yudhita, FT UI, 2008 13 Suku Q in V dan Q out V masing-masing merupakan inflow dan outflow yang mempertimbangkan mekanisme adveksi dan dispersi. Semua suku dalam mass balance diarahkan menjadi bentuk mass flux dengan dimensi [ML -2 T], sehingga suku dari inflow dan outflow masing-masing harus dikalikan terlebih dahulu dengan faktor dx, yang membentuk persamaan : x c D uc x c D uc dx V c Q in ∂ ∂ − =       ∂ ∂ − + = . . . 2.12             ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −     ∂ ∂ + = dx x c D x x c D dx x uc uc dx V c Q out . . . 2.13 Faktor dx merupakan panjang control volume dalam arah sumbu x, atau dapat disebut juga dengan interval jarak antara satu control volume dengan control volume lainnya, sehingga mass balance suatu materi terlarut pada dapat dituliskan sebagai berikut :                 ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −       ∂ ∂ + −             ∂ ∂ − + = ∂ ∂ dx x c D x x c D dx x c u c u x c D c u dx V t W dx t c . . . . 2.14 dx x c D x dx x uc dx V t W dx t c       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ 2.15 Karena kedua ruas memiliki faktor panjang dx, maka faktor tersebut dapat diabaikan sehingga persamaan diatas menjadi :       ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ x c D x x uc V t W t c 2.16 Pengembangan model adveksi..., Nila Yudhita, FT UI, 2008 14 Parameter kecepatan u dan nilai koefisien dispersi D adalah besaran yang konstan sehingga dapat dikeluarkan dari tanda kurung, maka persaman tersebut dapat disederhanakan untuk mempermudah penyelesaian menjadi bentuk sebagai berikut : 2 2 x c D x c u V t W t c ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ 2.17 Gambar 2.4 Kuantitas adveksi maupun dispersi yang keluar dan masuk melalui penampang control volume Besar suku settling, yang umum diekspresikan dengan bentuk Vs.c.As, dalam kalkulasi lebuh lanjut akan seterusnya diabaikan karena BOD pada ruas sungai diasumsikan tidak dapat mengalami settling maupun peluruhan. Sedangkan suku reaksi k.c tidak pula diperhitungkan karena BOD diasumsikan tidak mengalami reaksi dengan material apapun dalam suatu ruas sungai. Persamaan yang diturunkan secara teoritis dari hukum kekekalan massa menjadi bentuk persamaan 2.17 inilah yang disebut sebagai model adveksi-dispersi. Model dengan bentuk persamaan differensial parsial tersebut merupakan persamaan matematis yang akan diselesaikan dengan pendekatan numerik pada pembahasan lebih lanjut. Pengembangan model adveksi..., Nila Yudhita, FT UI, 2008 15

2.3 PAKET SOFTWARE QUAL2K