II-9 •
yn = x
2
n T[
α x
1
n] = α
2
x
1 2
n α
T[x
1
n] = α
x
1 2
n •
yn xn
e
→ non linear
d. Causal vs non causal yn hanya tergantung dari input xn, xn-1, … tapi tidak tergantung dari
xn+1, xn+2,… Test :
yn = xn + 3xn+4 ←
non causal yn = xn
2
← non causal
yn = x-n ←
non causal y-1 = x1
e. Stable vs unstable Stable
→ BIBO
|xn| ≤
M
x
∞ ⇒
|yn| ≤
M
y
∞ Test : yn = y
2
n-1 + xn Let xn = C
δ n
← BI
C : konstanta Asumsi y-1 = 0
Y0 = C Y1 = C
2
Y2 = C
3
… yn = C
2n
… unstable
2.6 Ekstensi Sistem Melalui Rangkaian Kaskade dan Paralel
Tujuan Belajar 11 Peserta dapat mengembangkan sistem dengan merangkaikan subsistem
secara paralel dan serialkaskade. Peserta dapat menganalisa sistem dengan menguraikan sistem ke dalam subsistem.
Beberapa subsistem dapat dirangkaikan menjadi satu kesatuan dengan cara cascade atau serial. Proses ini memelihara sifat linieritas.
Cascade interconnection:
1
T
2
T
n x
1 2
n x
T T
n y
=
2 1
1 2
T T
T T
=
Gambar 4. Kaskade dua sistem LTI.
II-10 Parallel interconnection:
1
T
2
T
n x
2 1
1
n x
T x
T n
y
n
+ =
Gambar 5. Sistem paralel sama dengan menjumlah dua sistem Penggunaan:
- Parallel dan cascade untuk membangun sistem - Pecahkan sistem untuk analisis
3 Analisa Sistem
3.1 Sistem Sebagai Pengkombinasi Linier
Tujuan Belajar 12 Peserta dapat menganalisa sistem SWD linear time invariant LTI
melalui penguraian sinyal input ke dalam kombinasi linier dari subsinyal, memproses subsinyal, dan mengkombinasi linierkan hasilnya untuk
memperoleh luaran, termasuk melalui kumpulan sinyal terhubung secara harmonis.
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menganalisa respons suatu sistem linear pada suatu masukan yang diberikan.
• Cara pertama menggunakan solusi langsung:
Bentuk umum solusi langsung: yn = F[yn-1, yn-2, … yn-N, xn, xn-1, … xn-M]
∑ =
− +
∑ =
− =
⇒ M
k k
n bkx
N k
akyn-k n
y 1
• Cara kedua memecah input dalam elemen-elemen
→ cek satu per satu
[ ]
[ ] [
]
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
⇒ =
↑ =
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k
n y
c n
x T
c n
x c
T n
x T
n y
n x
T n
n x
c n
x
y ts
coefficien weighting
k
II-11 Contoh :
x
k
n = n
j
k
e
ω , k = 0, 1, … N-1
→ Harmonically related signals
ω
k
= 2 π
NK ↑
fundamental frequency
∑
− =
= ⇒
1 N
k kn
j k
e c
n x
ω
Tujuan Belajar 13 Peserta mengetahui cara menguraikan sinyal waktu diskrit ke dalam
kumpulan sinyal-sinyal impuls.
∑ ∞
−∞ =
− =
⇒ −
= −
− =
k k
n k
x n
x k
n k
x k
n n
x k
n n
k x
δ δ
δ δ
jelas :
misal
Contoh : Xn = {2, 4, 0, 3}
Uraikan kedua jumlah dari weighting impulse sequence xn = 2
δ n+1 + 4
δ n + 3
δ n-2
Gambar 6.
3.2 Konvolusi
Tujuan Belajar 14 Peserta mengerti konsep dan dapat menghitung output dari sistem LTI
melalui konvolusi respons impuls dengan sinyal input melalui proses folding, shifting, multiplications, dan summation.
n x
II-12
LINEAR
k n
n x
− = δ
, k
n h
n y
=
Gambar 7. Respons impuls dari sebuah sistem linier. Misalkan :
C
k
≡ xk
→ C
k
hn,k = xkhn,k ↑
konstanta ↑
yn = hn,k xn = C
k
δ n-k
[ ]
[ ]
∑ ∑
∑ ∑
∞ ∞
= ∞
∞ =
∞ −∞
= ∞
−∞ =
= −
=
−
= =
→ −
=
- k
- k
, k
x k
x k
n h
k n
T k
n k
x T
n x
T n
y k
n k
x n
x
k k
δ δ
δ
LTI
Gambar 8. Sistem LTU adalah sistem yang sekaligus time invariant dan linier. misal :
[ ] [
]
o k
k n
n y
k v
k n
h k
x n
y k
n k
n h
n n
h
untuk cek
,
↑ =
− =
→ −
= =
∑ ∑
∞ −∞
= ∞
−∞ =
δ τ
δ τ
Jumlah konvolusi : 1. Folding hk
→ h-k
2. Shifting h-k →
hn
o
-k 3. Multiplication xkhn
o
-k 4. Summation v
Soal : hn = {1, 2, 1, -1}
xn = {1, 2, 3, 1} →
yn = ?
II-13 k
v
1
k v
o
k
k
h-1-k
k h1-k
k h-k
k xk
k
Gambar 9. Ilustrasi dari proses konvolusi yn = {…, 0, 0, 1, 4, 8, 8, 3, -2, -1, 0, 0, …}
bisa juga
k n
m k
h k
n x
n y
k
− =
− =
∑
∞ −∞
=
mana di
Tujuan Belajar 15 Peserta memahami sifat konvolusi, yakni komutatif, asosiatif, dan
distributif. Definisikan dua macam konvolusi:
∑
− =
⊗
k
k n
h k
x n
h n
x
∑
− =
⊗
k
k n
x k
h n
x n
h Sifat-Sifat
→ komutatif
n x
n h
n h
n x
⊗ =
⊗ →
asosiatif
[ ]
[ ]
n h
n h
n x
n h
n h
n x
2 1
2 1
⊗ ⊗
= ⊗
⊗ seri atau kaskade
II-14 →
distributif
[ ]
n h
n x
n h
n x
n h
n h
n x
2 1
2 1
⊗ +
⊗ =
+ ⊗
paralel
+ h
1
h
2
x
n
⇔
h
1
+h
2
Gambar 10. Sistem paralel dapat dianggap sebagai sistem penjumlahan. Tujuan Belajar 16
Peserta dapat meyederhanakan proses konvolusi untuk kasus khusus sistem danatau sinyal kausal. Peserta dapat menghitung dengan cepat
∑
= N
k k
a
dan
∑
∞ =
k k
a
. Untuk sistem dan atau sinyal kausal dimana hn = 0, n 0; maka berlaku
samples future
1 ↑
∑ −
−∞ =
+ ∑
∞ =
= ∑
∞ −∞
= =
k hkxno-k
k hkxno-k
k hkxno-k
o n
y
⇒ Causal yn =
∑ ∞
= k
k -
hkxn
= ∑
−∞ =
n
k k
- xkhn
both causal yn = ∑
∞ =
k
...
Soal : Xn = un
Hn = a
n
un Cari yn
yn = xn hn
II-15 ∑
− +
− =
∑ +
− +
= +
−
+
+ +
= +
+ +
+ +
+ =
∑ ∞
= +
+ +
+ =
=
a n
a a
k a
n a
a n
a n
a a
a n
a n
a a
k n
a a
a a
k a
n y
1 1
1 k
a a
1 ...
a 1
n a
- 1
... 1
a ...
2 1
3.3 Stabilitas Sistem
