Pembahasan Soal UN Matematika SMA 2012 Program IPA
Page 1 of 32
PEMBAHASAN UN SMA IPA
TAHUN AJARAN 2011/2012
OLEH:
SIGIT TRI GUNTORO, M.Si
MARFUAH, S.Si, M.T
REVIEWER:
UNTUNG TRISNA S., M.Si
JAKIM WIYOTO, S.Si
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 2 of 32
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
p : hari ini hujan
q: saya tidak pergi
r: saya nonton sepak bola
maka
Premis I: p → q
Premis II
:q→r
Kesimpulannya adalah p → r .
Jadi jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola
JAWAB : B
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
: ada ujian sekolah
: semua siswa belajar rajin
maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” dapat ditulis
sebagai
. Mengingat
⇔
maka diperoleh
⇔
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 3 of 32
Jadi negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah
“Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin”
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: C
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 4 of 32
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: E
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: A
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 5 of 32
Alternatif penyelesaian:
Karena
dan
akar-akar persamaan
maka
dan
Dengan mengingat hasil diatas perhatikan bahwa
Jadi
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda maka Diskriminan (
memenuhi
variabel
Dari sini diperoleh
harus
. Kemudian diselesaikan untuk
sebagai berikut:
Didapatkan penyelesaian
atau
JAWAB: B
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 6 of 32
Alternatif penyelesaian:
. Berarti dipenuhi
Misalkan suku banyak tersebut
(1)
dan
(2)
dengan
dan
masing-masing merupakan suku banyak (polinomial) berderajat satu.
Dari (1) diperoleh
(3)
dan
(4)
Misalkan
(5)
maka sesuai (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh
dan
selanjutnya ditulis sebagai sistem persamaan
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 7 of 32
;
(6)
Solusi dari sistem persamaan (6) adalah
dan
Mengingat (2) dan (5) maka diperoleh suku banyak
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: E
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 8 of 32
Dari permasalahan di atas dapat disusun model matematika sebagai berikut
;
;
;
;
yang ekuivalen dengan
.
Fungsi sasarannya adalah
Karena mengharuskan
maka daerah penyelesaiannya adalah
(ruas garis AB) seperti
pada gambar berikut.
Selanjutnya dengan membandingkan hasil di titik
berada pada titik
dan
maka diperoleh nilai maksimum
yaitu
JAWAB: A
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 9 of 32
Alternatif penyelesaian:
Dari sini diperoleh
dan
.
Jadi,
JAWAB: E
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 10 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui
yang menghasilkan penyelesaian
dan
. Karena
tegak lurus maka
.
Selanjutnya,
JAWAB: C
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 11 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui
dan
. Proyeksi orthogonal
pada
adalah dengan
atau ditulis dengan
JAWAB: D
Alternatif penyelesaian:
Karena transformasi yang dilakukan tidak memuat dilatasi (perbesaran/pengecilan) maka yang perlu
diperhatikan hanya titik pusat saja, sedangkan jari-jari tetap 2.
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 12 of 32
Lingkaran
berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis
titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi
pusat berpindah ke
itk pusat bergeser ke titik
Jadi persamaan lingkaran yang baru adalah
JAWAB: A
Alternatif penyelesaian:
Misalkan
, maka
yang menghasilkan penyelesaian
atau
. Karena
maka penyelesaiannya
atau
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 13 of 32
JAWAB: D
Alternatif penyelesaian:
Perhatikan gambar terlihat bahwa grafik tersebut menggambarkan hubungan
mengganti
. Dengan
maka diperoleh
JAWAB: D
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 14 of 32
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: B
20. Suatu pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap
tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang
dicapai sampai tahun ke-16 adalah ...
A. 45760
B. 45000
C. 16960
D. 16000
E. 9760
Alternatif penyelesaian:
Soal di atas merupakan contoh soal deret aritmatika dengan:
Suku pertama, U1 = a = 1960 ;
Beda, b = −120
Ditanyakan total produksi pada tahun ke-16, yakni Sn dengan n = 16
Sn =
n
( 2a + ( n − 1) b )
2
S16 =
16
( 2 ⋅1960 + 15 ( −120 ) ) = 16960 unit
2
Jawab: C
21.
Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ...
A. 1920
B. 3072
C. 4052
D. 4608
E. 6144
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 15 of 32
Alternatif penyelesaian:
Rasio, r = 2
U7 = ar 6 = 384
Suku ke-10, U10 = ar 9 = ar 6 ⋅ r 3 = 384 ⋅ 23 = 384 ⋅ 8 = 3072
Jawab: B
22.
Suku ketiga dan suku ketujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah
tujuh suku pertama deret tersebut adalah ...
A. 500
B. 504
C. 508
D. 512
E. 516
Alternatif penyelesaian:
Dari U3 = 16 diperoleh ar 2 = 16
(1)
ar 6 = 256
Dari U7 = 256 diperoleh
ar 2 ⋅ r 4 = 256
(2)
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh
16 ⋅ r 4 = 256
r=2 atau r=−2
Karena pilihan yang diberikan semua bernilai positif, maka diambil r=2.
Sehingga berlaku:
ar 2 = a ⋅ 22 = 4a = 16 ⇔ a = 4
Jumlah tujuh suku pertama, karena r>1 berlaku:
S7 =
a ( r 7 − 1)
r −1
=
4 ( 27 − 1)
2 −1
=
4 (128 − 1)
1
= 508
Jawab: C
23.
Pada kubus ABCD.EFGH , panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah ...
A.
1
3
3
B.
2
3
3
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 16 of 32
C.
4
3
3
D.
8
3
3
E.
16
3
3
Alternatif penyelesaian:
H
G
F
E
S
D
C
T
A
B
Jarak titik E ke bidang BGD adalah panjang ES.
Perhatikan persegi panjang ACGE
E
α
8 4 6
4 6
G
8
S
A
T
4 2
C
4 2
Panjang EG = panjang AC = panjang diagonal sisi = 8 2
Panjang AT =
1
⋅8 2 = 4 2
2
Panjang GT = panjang ET =
(
CG 2 + CT 2 = 82 + 4 2
)
2
= 96 = 4 6
Luas segitiga ETG = Luas ACGE – luas ATE – luas TCG
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 17 of 32
1
1
= 8.8 2 − .4 2.8 − .4 2.8 = 32 2
2
2
(
)
1
⋅ GT ⋅ tinggi
2
1
32 2 = ⋅ 4 6 ⋅ ES
2
2 ⋅ 32 2
ES =
4 6
16
3
=
3
Luas segitiga ETG =
Jadi Jarak titik E ke bidang BGD adalah
16
3 cm.
3
Jawab: E
24.
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α .
Nilai sin α = .....
A.
1
2
2
B.
1
3
2
C.
1
3
3
D.
2
2
3
E.
3
3
4
Alternatif penyelesaian:
H
G
T
F
E
D
α
A
C
DistributedB by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 18 of 32
Perhatikan segitiga EAT.
2 2
E
T
Panjang ET =
Panjang AT =
4
1
1
⋅ panjang diagonal sisi = .4 2 = 2 2
2
2
( 4)
AE 2 + ET 2 =
2 6
α
sin(α ) =
A
2
(
+ 2 2
)
2
= 24 = 2 6
ET 2 2 1
=
=
3
AT 2 6 3
Jawab: C
25.
Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ...
A. 432 3 cm2
B. 432 cm2
C. 216 3 cm2
D. 216 2 cm2
E. 216 cm2
Alternatif penyelesaian:
12 cm
Setiap
60˚
segitiga
di
dalam
segienam
beraturan
merupakan segitiga sama sisi karena sudut-sudutnya
sama besar (60˚).
12 cm
60˚
60˚
12 cm
12 cm
60˚
Menggunakan rumus sinus untuk luas segitiga, diperoleh:
luas masing-masing segitiga =
1
1
1
⋅12 ⋅12 ⋅ sin ( 60° ) = ⋅12 ⋅12 ⋅
3 = 36 3
2
2
2
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 19 of 32
Sehingga luas segienam keseluruhan = 6 ⋅ 36 3 = 216 3 cm2
Jawab: C
26.
Diketahui nilai sin α cos β =
1
3
dan sin (α − β ) =
untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan
5
5
0° ≤ β ≤ 90° . Nilai sin (α + β ) = ...
A. −
3
5
B. −
2
5
C. −
1
5
D.
1
5
E.
3
5
Alternatif penyelesaian:
sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2sin α cos β
sin (α + β ) +
3
1
= 2⋅
5
5
sin (α + β ) = −
1
5
Karena 0° ≤ α ≤ 180° dan 0° ≤ β ≤ 90° maka sin (α + β ) dapat bernilai negatif.
Jawab: C
27.
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180°
adalah ...
A. {120˚, 150˚}
B. {150˚, 165˚}
C. {30˚, 150˚}
D. {30˚, 165˚}
E. {15˚, 105˚}
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 20 of 32
Alternatif penyelesaian:
cos ( 4 x ) + 3sin ( 2 x ) = −1
1 − 2sin 2 2 x + 3sin ( 2 x ) = −1
⇔ 2sin 2 ( 2 x ) − 3sin ( 2 x ) − 2 = 0
Misal y = sin ( 2 x )
⇔ 2 y2 − 3y − 2 = 0
⇔ ( y − 2 )( 2 y + 1) = 0
⇔ y = 2∨ y = −
1
2
Karena y = sin ( 2 x ) tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x yang
memenuhi y = sin ( 2 x ) = −
1
2
1
2
2 x = 210° ⇔ x = 105°
sin ( 2 x ) = −
Atau 2 x = 330° ⇔ x = 165°
Jadi himpunan penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah {110˚, 165˚}. Jawaban
tidak terdapat di pilihan jawaban yang disediakan.
28.
Nilai dari sin 75 − sin165 adalah ...
A.
1
2
4
B.
1
3
4
C.
1
6
4
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 21 of 32
D.
1
2
2
E.
1
6
2
Alternatif penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus sin A − sin B = ...
75° + 165° 75° − 165°
sin 75 − sin165 = 2 cos
sin
2
2
= 2 ⋅ cos (120° ) ⋅ sin ( −45° )
1 1
= 2⋅ − ⋅ −
2
2 2
1
=
2
2
Jawab: D
29.
Nilai lim
x→3
A. −
1
4
B. −
1
2
2 − x +1
=
x −3
C. 1
D. 2
E. 4
Alternatif penyelesaian:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 22 of 32
lim
x→3
2 − x +1
2 − x + 1 2 + x +1
= lim
.
x
3
→
x −3
x −3
2 + x +1
4 − ( x + 1)
= lim
x →3
( x − 3) 2 + x + 1
(
= lim
x →3
= lim
x →3
=−
)
− ( x − 3)
( x − 3) ( 2 +
x +1
)
−1
(2 +
x +1
)
1
4
Jawab: A
30.
cos 4 x − 1
=
x → 0 x ⋅ tan 2 x
Nilai lim
A. 4
B. 2
C. −1
D. −2
E. −4
Alternatif penyelesaian:
1 − 2sin 2 ( 2 x ) ) − 1
(
cos 4 x − 1
= lim
lim
x → 0 x ⋅ tan 2 x
x →0
x. tan ( 2 x )
= lim
x →0
−2sin 2 ( 2 x )
x.tan ( 2 x )
= −2 ⋅ lim
x →0
sin ( 2 x ) sin ( 2 x )
⋅
x
tan ( 2 x )
= ( −2 ) ⋅ 2 ⋅
2
2
= −4
Jawab: E
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 23 of 32
31.
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya ( 5 x 2 − 10 x + 30 ) dalam
ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga
Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan
tersebut adalah ...
A. Rp10.000,00
B. Rp20.000,00
C. Rp30.000,00
D. Rp40.000,00
E. Rp50.000,00
Alternatif penyelesaian:
Total penjualan = 50000x
Total biaya produksi = ( 5x 2 − 10 x + 30 ) x dalam ribuan rupiah
= 5000 x 3 − 10000 x 2 + 30000 x
Keuntungan = total penjualan – total biaya produksi
= 50000 x − ( 5000 x3 − 10000 x 2 + 30000 x )
Apabila F(x) merupakan fungsi yang menyatakan keuntungan, maka
F ( x) = −5000 x3 + 10000 x 2 + 20000 x
F(x) mencapai maksimal untuk F '( x) = 0
⇔ −15000 x 2 + 20000 x + 20000 = 0
⇔ −3x 2 + 4 x + 4 = 0
⇔ ( −3 x − 2 )( x − 2 ) = 0
⇔ x=
2
atau x = 2
3
Karena x menyatakan unit barang, maka x tidak mungkin berupa pecahan. Sehingga
keuntungan maksimal diperoleh untuk x = 2.
F ( x) = −5000 x 3 + 10000 x 2 + 20000 x = −5000.23 + 10000.2 2 + 20000.2 = 40000
Jadi keuntungan maksimal perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00.
Jawab: D
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 24 of 32
3
32.
∫ ( 2x
Nilai
2
+ 4 x − 3) dx = ...
1
A. 27
1
3
B. 27
1
2
C. 37
1
3
D. 37
1
2
E. 27
1
3
Alternatif penyelesaian:
3
3
∫ ( 2x
2
1
2
2
1
2
+ 4 x − 3 ) dx = x3 + 2 x 2 − 3 x = ⋅ 27 + 2 ⋅ 9 − 9 − + 2 − 3 = 27
3
3
1 3
3
Jawab: A
3
33.
∫ ( sin ( 2 x ) + 3cos x ) dx = ...
Nilai
1
A.
3
+2 3
4
B.
3
+3 3
4
C.
1
1+ 2 3
4
)
D.
2
1+ 2 3
4
)
E.
3
1+ 2 3
4
(
(
(
)
Alternatif penyelesaian:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 25 of 32
1
3
1
3
∫1 ( sin ( 2 x ) + 3cos x ) dx = − 2 cos 2 x + 3sin x 0
π
π 1
2
1
= − cos π + 3sin − − cos 0 + 3sin 0
3
3 2
2
1
1 1
1
= − . − + 3.
3 −−
2
2 2
2
3 3
= +
3
4 2
3
= 1+ 2 3
4
(
)
Jawab: E
34.
Hasil dari ∫ 3 x 3 x 2 + 1dx = ...
A. −
2
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
3
B. −
1
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
2
C.
1
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
3
D.
1
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
2
E.
2
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
3
Alternatif penyelesaian:
Misal
t = 3 x 2 + 1 maka
dt = 6 xdx
1
dx =
dt
6x
Sehingga berlaku:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 26 of 32
∫ 3x
3 x 2 + 1dx = ∫ 3 x ⋅ t ⋅
1
⋅ dt
6x
1 12
t dt
2∫
1 2 3
= ⋅ ⋅t2 + C
2 3
1
= ( 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
3
=
Jawab: C
35.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 + 3 x + 4 dan y = 1 − x adalah ...
A.
2
satuan luas
3
B.
4
satuan luas
3
C.
7
satuan luas
4
D.
8
satuan luas
3
E.
15
satuan luas
3
Alternatif penyelesaian:
y = x 2 + 3x + 4
y = 1− x
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 27 of 32
Misal f ( x) = x 2 + 3 x + 4 dan g ( x) = 1 − x
Batas daerah yang dibatasi kedua kurva ditentukan sebagai berikut:
f ( x) = g ( x)
2
x + 3x + 4 = 1 − x
x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇔ ( x + 3)( x + 1) = 0 ⇔ x = −3 ∨ x = −1
Diperoleh luas=
−1
∫ ( g ( x) − f ( x) )dx =
−3
−1
∫ ( (1 − x ) − ( x
2
)
+ 3x + 4 ) dx
−3
−1
=
∫ ( −3 − 4 x − x )dx
2
−3
−1
1
= −3x − 2 x − x3
3 −3
2
1
= 3 − 2 + − ( 9 − 18 + 9 )
3
4
=
3
Jawab: B
36.
Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dengan
y = 2 x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360˚ adalah ...
A. 2π satuan volume
B. 3
1
π satuan volume
15
C. 4
4
π satuan volume
15
D. 12
E. 14
4
π satuan volume
15
2
π satuan volume
15
Alternatif penyelesaian:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 28 of 32
Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong
dua kurva.
Titik potong antara y1 = x 2 dan y2 = 2 x diperoleh untuk:
y1 = y2 ⇔ x 2 = 2 x ⇔ x ( x − 2 ) = 0
x = 0 dan x=2
Sehingga:
2
2 2
2
2
V = π ∫ ( y1 ) − ( y2 ) dx = π ∫ 4x − x 4 dx
0
0
2
1
4
1
4
4
= π x3 − x5 = π (8) − (32) − 0 = 4 π satuan volume
3
5
15
5 0
3
Jawab: C
37.
Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:
Ukuran
f
20 − 29
3
30 − 39
7
40 − 49
8
50 − 59
12
60 − 69
9
70 − 79
6
80 − 89
5
Nilai modus dari data pada tabel adalah ...
A. 49, 5 −
40
7
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 29 of 32
B. 49, 5 −
36
7
C. 49, 5 +
36
7
D. 49, 5 +
40
7
E. 49, 5 +
48
7
Alternatif penyelesaian:
Modus = Tb +
fa
. I dengan:
f a + fb
Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 49,5
fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 12−8 = 4
fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 12− 9 = 3
I = interval kelas = 10
Jadi:
Modus = 49,5 +
4
40
.10 = 49,5 +
4+3
7
Jawab: D
38.
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah ...
A. 360 kata
B. 180 kata
C. 90 kata
D. 60 kata
E. 30 kata
Alternatif penyelesaian:
Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek
q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n adalah
n
P( n1 ,n2 ,...........nk ) =
n!
n1 ! n2 !...nk !
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 30 of 32
Pada kata “WIYATA” terdapat 6 huruf, yang terdiri dari 1 huruf “W”, 1 huruf “I”, satu
huruf “Y”, 1 huruf “T” dan 2 huruf “A”.
Sehingga banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk adalah ...
6
P(1,1,1,1,2) =
6!
6× 5× 4× 3
=
= 360
1!1!1!1!2!
2
Jawab: A
Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3
39.
kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah
....
A.
3
35
B.
4
35
C.
7
35
D.
12
35
E.
22
35
Alternatif penyelesaian:
Misal:
A = kejadian terambil paling sedikit 2 kelereng putih. Maka ada dua kemungkinan kejadian, yakni
terambil 2 kelereng putih dan satu kelereng merah, atau terambil 3 kelereng putih.
S = ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 3 kelereng dari 7 kelereng
Maka peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah
P ( A) =
n ( A)
n( S )
dengan n(A) kombinasi terambilnya paling sedikit 2 kelereng putih.
Jadi:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 31 of 32
4! 3! 4!
⋅
+
(
2!2! 1!2! 3!1! 22
4 C2 ⋅ 3 C1 ) + 4 C3
P( A) =
=
=
7!
35
7 C3
3!4!
Jawab: E
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 32 of 32
PEMBAHASAN UN SMA IPA
TAHUN AJARAN 2011/2012
OLEH:
SIGIT TRI GUNTORO, M.Si
MARFUAH, S.Si, M.T
REVIEWER:
UNTUNG TRISNA S., M.Si
JAKIM WIYOTO, S.Si
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 2 of 32
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
p : hari ini hujan
q: saya tidak pergi
r: saya nonton sepak bola
maka
Premis I: p → q
Premis II
:q→r
Kesimpulannya adalah p → r .
Jadi jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola
JAWAB : B
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
: ada ujian sekolah
: semua siswa belajar rajin
maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” dapat ditulis
sebagai
. Mengingat
⇔
maka diperoleh
⇔
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 3 of 32
Jadi negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah
“Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin”
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: C
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 4 of 32
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: E
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: A
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 5 of 32
Alternatif penyelesaian:
Karena
dan
akar-akar persamaan
maka
dan
Dengan mengingat hasil diatas perhatikan bahwa
Jadi
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda maka Diskriminan (
memenuhi
variabel
Dari sini diperoleh
harus
. Kemudian diselesaikan untuk
sebagai berikut:
Didapatkan penyelesaian
atau
JAWAB: B
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 6 of 32
Alternatif penyelesaian:
. Berarti dipenuhi
Misalkan suku banyak tersebut
(1)
dan
(2)
dengan
dan
masing-masing merupakan suku banyak (polinomial) berderajat satu.
Dari (1) diperoleh
(3)
dan
(4)
Misalkan
(5)
maka sesuai (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh
dan
selanjutnya ditulis sebagai sistem persamaan
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 7 of 32
;
(6)
Solusi dari sistem persamaan (6) adalah
dan
Mengingat (2) dan (5) maka diperoleh suku banyak
JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: E
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 8 of 32
Dari permasalahan di atas dapat disusun model matematika sebagai berikut
;
;
;
;
yang ekuivalen dengan
.
Fungsi sasarannya adalah
Karena mengharuskan
maka daerah penyelesaiannya adalah
(ruas garis AB) seperti
pada gambar berikut.
Selanjutnya dengan membandingkan hasil di titik
berada pada titik
dan
maka diperoleh nilai maksimum
yaitu
JAWAB: A
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.com Page 9 of 32
Alternatif penyelesaian:
Dari sini diperoleh
dan
.
Jadi,
JAWAB: E
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 10 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui
yang menghasilkan penyelesaian
dan
. Karena
tegak lurus maka
.
Selanjutnya,
JAWAB: C
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 11 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui
dan
. Proyeksi orthogonal
pada
adalah dengan
atau ditulis dengan
JAWAB: D
Alternatif penyelesaian:
Karena transformasi yang dilakukan tidak memuat dilatasi (perbesaran/pengecilan) maka yang perlu
diperhatikan hanya titik pusat saja, sedangkan jari-jari tetap 2.
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 12 of 32
Lingkaran
berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis
titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi
pusat berpindah ke
itk pusat bergeser ke titik
Jadi persamaan lingkaran yang baru adalah
JAWAB: A
Alternatif penyelesaian:
Misalkan
, maka
yang menghasilkan penyelesaian
atau
. Karena
maka penyelesaiannya
atau
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 13 of 32
JAWAB: D
Alternatif penyelesaian:
Perhatikan gambar terlihat bahwa grafik tersebut menggambarkan hubungan
mengganti
. Dengan
maka diperoleh
JAWAB: D
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 14 of 32
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: B
20. Suatu pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap
tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang
dicapai sampai tahun ke-16 adalah ...
A. 45760
B. 45000
C. 16960
D. 16000
E. 9760
Alternatif penyelesaian:
Soal di atas merupakan contoh soal deret aritmatika dengan:
Suku pertama, U1 = a = 1960 ;
Beda, b = −120
Ditanyakan total produksi pada tahun ke-16, yakni Sn dengan n = 16
Sn =
n
( 2a + ( n − 1) b )
2
S16 =
16
( 2 ⋅1960 + 15 ( −120 ) ) = 16960 unit
2
Jawab: C
21.
Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ...
A. 1920
B. 3072
C. 4052
D. 4608
E. 6144
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 15 of 32
Alternatif penyelesaian:
Rasio, r = 2
U7 = ar 6 = 384
Suku ke-10, U10 = ar 9 = ar 6 ⋅ r 3 = 384 ⋅ 23 = 384 ⋅ 8 = 3072
Jawab: B
22.
Suku ketiga dan suku ketujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah
tujuh suku pertama deret tersebut adalah ...
A. 500
B. 504
C. 508
D. 512
E. 516
Alternatif penyelesaian:
Dari U3 = 16 diperoleh ar 2 = 16
(1)
ar 6 = 256
Dari U7 = 256 diperoleh
ar 2 ⋅ r 4 = 256
(2)
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh
16 ⋅ r 4 = 256
r=2 atau r=−2
Karena pilihan yang diberikan semua bernilai positif, maka diambil r=2.
Sehingga berlaku:
ar 2 = a ⋅ 22 = 4a = 16 ⇔ a = 4
Jumlah tujuh suku pertama, karena r>1 berlaku:
S7 =
a ( r 7 − 1)
r −1
=
4 ( 27 − 1)
2 −1
=
4 (128 − 1)
1
= 508
Jawab: C
23.
Pada kubus ABCD.EFGH , panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah ...
A.
1
3
3
B.
2
3
3
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 16 of 32
C.
4
3
3
D.
8
3
3
E.
16
3
3
Alternatif penyelesaian:
H
G
F
E
S
D
C
T
A
B
Jarak titik E ke bidang BGD adalah panjang ES.
Perhatikan persegi panjang ACGE
E
α
8 4 6
4 6
G
8
S
A
T
4 2
C
4 2
Panjang EG = panjang AC = panjang diagonal sisi = 8 2
Panjang AT =
1
⋅8 2 = 4 2
2
Panjang GT = panjang ET =
(
CG 2 + CT 2 = 82 + 4 2
)
2
= 96 = 4 6
Luas segitiga ETG = Luas ACGE – luas ATE – luas TCG
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 17 of 32
1
1
= 8.8 2 − .4 2.8 − .4 2.8 = 32 2
2
2
(
)
1
⋅ GT ⋅ tinggi
2
1
32 2 = ⋅ 4 6 ⋅ ES
2
2 ⋅ 32 2
ES =
4 6
16
3
=
3
Luas segitiga ETG =
Jadi Jarak titik E ke bidang BGD adalah
16
3 cm.
3
Jawab: E
24.
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α .
Nilai sin α = .....
A.
1
2
2
B.
1
3
2
C.
1
3
3
D.
2
2
3
E.
3
3
4
Alternatif penyelesaian:
H
G
T
F
E
D
α
A
C
DistributedB by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 18 of 32
Perhatikan segitiga EAT.
2 2
E
T
Panjang ET =
Panjang AT =
4
1
1
⋅ panjang diagonal sisi = .4 2 = 2 2
2
2
( 4)
AE 2 + ET 2 =
2 6
α
sin(α ) =
A
2
(
+ 2 2
)
2
= 24 = 2 6
ET 2 2 1
=
=
3
AT 2 6 3
Jawab: C
25.
Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ...
A. 432 3 cm2
B. 432 cm2
C. 216 3 cm2
D. 216 2 cm2
E. 216 cm2
Alternatif penyelesaian:
12 cm
Setiap
60˚
segitiga
di
dalam
segienam
beraturan
merupakan segitiga sama sisi karena sudut-sudutnya
sama besar (60˚).
12 cm
60˚
60˚
12 cm
12 cm
60˚
Menggunakan rumus sinus untuk luas segitiga, diperoleh:
luas masing-masing segitiga =
1
1
1
⋅12 ⋅12 ⋅ sin ( 60° ) = ⋅12 ⋅12 ⋅
3 = 36 3
2
2
2
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 19 of 32
Sehingga luas segienam keseluruhan = 6 ⋅ 36 3 = 216 3 cm2
Jawab: C
26.
Diketahui nilai sin α cos β =
1
3
dan sin (α − β ) =
untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan
5
5
0° ≤ β ≤ 90° . Nilai sin (α + β ) = ...
A. −
3
5
B. −
2
5
C. −
1
5
D.
1
5
E.
3
5
Alternatif penyelesaian:
sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2sin α cos β
sin (α + β ) +
3
1
= 2⋅
5
5
sin (α + β ) = −
1
5
Karena 0° ≤ α ≤ 180° dan 0° ≤ β ≤ 90° maka sin (α + β ) dapat bernilai negatif.
Jawab: C
27.
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180°
adalah ...
A. {120˚, 150˚}
B. {150˚, 165˚}
C. {30˚, 150˚}
D. {30˚, 165˚}
E. {15˚, 105˚}
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 20 of 32
Alternatif penyelesaian:
cos ( 4 x ) + 3sin ( 2 x ) = −1
1 − 2sin 2 2 x + 3sin ( 2 x ) = −1
⇔ 2sin 2 ( 2 x ) − 3sin ( 2 x ) − 2 = 0
Misal y = sin ( 2 x )
⇔ 2 y2 − 3y − 2 = 0
⇔ ( y − 2 )( 2 y + 1) = 0
⇔ y = 2∨ y = −
1
2
Karena y = sin ( 2 x ) tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x yang
memenuhi y = sin ( 2 x ) = −
1
2
1
2
2 x = 210° ⇔ x = 105°
sin ( 2 x ) = −
Atau 2 x = 330° ⇔ x = 165°
Jadi himpunan penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah {110˚, 165˚}. Jawaban
tidak terdapat di pilihan jawaban yang disediakan.
28.
Nilai dari sin 75 − sin165 adalah ...
A.
1
2
4
B.
1
3
4
C.
1
6
4
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 21 of 32
D.
1
2
2
E.
1
6
2
Alternatif penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus sin A − sin B = ...
75° + 165° 75° − 165°
sin 75 − sin165 = 2 cos
sin
2
2
= 2 ⋅ cos (120° ) ⋅ sin ( −45° )
1 1
= 2⋅ − ⋅ −
2
2 2
1
=
2
2
Jawab: D
29.
Nilai lim
x→3
A. −
1
4
B. −
1
2
2 − x +1
=
x −3
C. 1
D. 2
E. 4
Alternatif penyelesaian:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 22 of 32
lim
x→3
2 − x +1
2 − x + 1 2 + x +1
= lim
.
x
3
→
x −3
x −3
2 + x +1
4 − ( x + 1)
= lim
x →3
( x − 3) 2 + x + 1
(
= lim
x →3
= lim
x →3
=−
)
− ( x − 3)
( x − 3) ( 2 +
x +1
)
−1
(2 +
x +1
)
1
4
Jawab: A
30.
cos 4 x − 1
=
x → 0 x ⋅ tan 2 x
Nilai lim
A. 4
B. 2
C. −1
D. −2
E. −4
Alternatif penyelesaian:
1 − 2sin 2 ( 2 x ) ) − 1
(
cos 4 x − 1
= lim
lim
x → 0 x ⋅ tan 2 x
x →0
x. tan ( 2 x )
= lim
x →0
−2sin 2 ( 2 x )
x.tan ( 2 x )
= −2 ⋅ lim
x →0
sin ( 2 x ) sin ( 2 x )
⋅
x
tan ( 2 x )
= ( −2 ) ⋅ 2 ⋅
2
2
= −4
Jawab: E
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 23 of 32
31.
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya ( 5 x 2 − 10 x + 30 ) dalam
ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga
Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan
tersebut adalah ...
A. Rp10.000,00
B. Rp20.000,00
C. Rp30.000,00
D. Rp40.000,00
E. Rp50.000,00
Alternatif penyelesaian:
Total penjualan = 50000x
Total biaya produksi = ( 5x 2 − 10 x + 30 ) x dalam ribuan rupiah
= 5000 x 3 − 10000 x 2 + 30000 x
Keuntungan = total penjualan – total biaya produksi
= 50000 x − ( 5000 x3 − 10000 x 2 + 30000 x )
Apabila F(x) merupakan fungsi yang menyatakan keuntungan, maka
F ( x) = −5000 x3 + 10000 x 2 + 20000 x
F(x) mencapai maksimal untuk F '( x) = 0
⇔ −15000 x 2 + 20000 x + 20000 = 0
⇔ −3x 2 + 4 x + 4 = 0
⇔ ( −3 x − 2 )( x − 2 ) = 0
⇔ x=
2
atau x = 2
3
Karena x menyatakan unit barang, maka x tidak mungkin berupa pecahan. Sehingga
keuntungan maksimal diperoleh untuk x = 2.
F ( x) = −5000 x 3 + 10000 x 2 + 20000 x = −5000.23 + 10000.2 2 + 20000.2 = 40000
Jadi keuntungan maksimal perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00.
Jawab: D
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 24 of 32
3
32.
∫ ( 2x
Nilai
2
+ 4 x − 3) dx = ...
1
A. 27
1
3
B. 27
1
2
C. 37
1
3
D. 37
1
2
E. 27
1
3
Alternatif penyelesaian:
3
3
∫ ( 2x
2
1
2
2
1
2
+ 4 x − 3 ) dx = x3 + 2 x 2 − 3 x = ⋅ 27 + 2 ⋅ 9 − 9 − + 2 − 3 = 27
3
3
1 3
3
Jawab: A
3
33.
∫ ( sin ( 2 x ) + 3cos x ) dx = ...
Nilai
1
A.
3
+2 3
4
B.
3
+3 3
4
C.
1
1+ 2 3
4
)
D.
2
1+ 2 3
4
)
E.
3
1+ 2 3
4
(
(
(
)
Alternatif penyelesaian:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 25 of 32
1
3
1
3
∫1 ( sin ( 2 x ) + 3cos x ) dx = − 2 cos 2 x + 3sin x 0
π
π 1
2
1
= − cos π + 3sin − − cos 0 + 3sin 0
3
3 2
2
1
1 1
1
= − . − + 3.
3 −−
2
2 2
2
3 3
= +
3
4 2
3
= 1+ 2 3
4
(
)
Jawab: E
34.
Hasil dari ∫ 3 x 3 x 2 + 1dx = ...
A. −
2
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
3
B. −
1
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
2
C.
1
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
3
D.
1
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
2
E.
2
3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
(
3
Alternatif penyelesaian:
Misal
t = 3 x 2 + 1 maka
dt = 6 xdx
1
dx =
dt
6x
Sehingga berlaku:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 26 of 32
∫ 3x
3 x 2 + 1dx = ∫ 3 x ⋅ t ⋅
1
⋅ dt
6x
1 12
t dt
2∫
1 2 3
= ⋅ ⋅t2 + C
2 3
1
= ( 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C
3
=
Jawab: C
35.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 + 3 x + 4 dan y = 1 − x adalah ...
A.
2
satuan luas
3
B.
4
satuan luas
3
C.
7
satuan luas
4
D.
8
satuan luas
3
E.
15
satuan luas
3
Alternatif penyelesaian:
y = x 2 + 3x + 4
y = 1− x
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 27 of 32
Misal f ( x) = x 2 + 3 x + 4 dan g ( x) = 1 − x
Batas daerah yang dibatasi kedua kurva ditentukan sebagai berikut:
f ( x) = g ( x)
2
x + 3x + 4 = 1 − x
x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇔ ( x + 3)( x + 1) = 0 ⇔ x = −3 ∨ x = −1
Diperoleh luas=
−1
∫ ( g ( x) − f ( x) )dx =
−3
−1
∫ ( (1 − x ) − ( x
2
)
+ 3x + 4 ) dx
−3
−1
=
∫ ( −3 − 4 x − x )dx
2
−3
−1
1
= −3x − 2 x − x3
3 −3
2
1
= 3 − 2 + − ( 9 − 18 + 9 )
3
4
=
3
Jawab: B
36.
Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dengan
y = 2 x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360˚ adalah ...
A. 2π satuan volume
B. 3
1
π satuan volume
15
C. 4
4
π satuan volume
15
D. 12
E. 14
4
π satuan volume
15
2
π satuan volume
15
Alternatif penyelesaian:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 28 of 32
Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong
dua kurva.
Titik potong antara y1 = x 2 dan y2 = 2 x diperoleh untuk:
y1 = y2 ⇔ x 2 = 2 x ⇔ x ( x − 2 ) = 0
x = 0 dan x=2
Sehingga:
2
2 2
2
2
V = π ∫ ( y1 ) − ( y2 ) dx = π ∫ 4x − x 4 dx
0
0
2
1
4
1
4
4
= π x3 − x5 = π (8) − (32) − 0 = 4 π satuan volume
3
5
15
5 0
3
Jawab: C
37.
Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:
Ukuran
f
20 − 29
3
30 − 39
7
40 − 49
8
50 − 59
12
60 − 69
9
70 − 79
6
80 − 89
5
Nilai modus dari data pada tabel adalah ...
A. 49, 5 −
40
7
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 29 of 32
B. 49, 5 −
36
7
C. 49, 5 +
36
7
D. 49, 5 +
40
7
E. 49, 5 +
48
7
Alternatif penyelesaian:
Modus = Tb +
fa
. I dengan:
f a + fb
Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 49,5
fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 12−8 = 4
fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 12− 9 = 3
I = interval kelas = 10
Jadi:
Modus = 49,5 +
4
40
.10 = 49,5 +
4+3
7
Jawab: D
38.
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah ...
A. 360 kata
B. 180 kata
C. 90 kata
D. 60 kata
E. 30 kata
Alternatif penyelesaian:
Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek
q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n adalah
n
P( n1 ,n2 ,...........nk ) =
n!
n1 ! n2 !...nk !
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 30 of 32
Pada kata “WIYATA” terdapat 6 huruf, yang terdiri dari 1 huruf “W”, 1 huruf “I”, satu
huruf “Y”, 1 huruf “T” dan 2 huruf “A”.
Sehingga banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk adalah ...
6
P(1,1,1,1,2) =
6!
6× 5× 4× 3
=
= 360
1!1!1!1!2!
2
Jawab: A
Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3
39.
kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah
....
A.
3
35
B.
4
35
C.
7
35
D.
12
35
E.
22
35
Alternatif penyelesaian:
Misal:
A = kejadian terambil paling sedikit 2 kelereng putih. Maka ada dua kemungkinan kejadian, yakni
terambil 2 kelereng putih dan satu kelereng merah, atau terambil 3 kelereng putih.
S = ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 3 kelereng dari 7 kelereng
Maka peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah
P ( A) =
n ( A)
n( S )
dengan n(A) kombinasi terambilnya paling sedikit 2 kelereng putih.
Jadi:
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 31 of 32
4! 3! 4!
⋅
+
(
2!2! 1!2! 3!1! 22
4 C2 ⋅ 3 C1 ) + 4 C3
P( A) =
=
=
7!
35
7 C3
3!4!
Jawab: E
Distributed by http:/ / pak-anang.blogspot.comPage 32 of 32