HUBUNGAN ANTARA NILAI KRITIS DERIVATIF- DENGAN DIMENSI- DARI SUATU KURVA Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS Surakarta

JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 233 - 240

HUBUNGAN ANTARA NILAI KRITIS DERIVATIFDENGAN DIMENSI- DARI SUATU KURVA
Supriyadi Wibowo
Jurusan Matematika F MIPA UNS Surakarta
Email. supriyadi_w@yahoo.co.id
ABSTRACT. Continue function that defined on fractal set F  R is a function which
has irregular structure, that can not be an ordinary differentiable on F. In this paper
will be explored the correlation between critical point of the derivatif
with
, Holder’s continue
dimension- of a curve. By using the properties of the derivative
and dimension , has been obtained the correlation between
function in rank of
critical value of derivative
and the dimension of a curve.

Keywords. Derivate F order    0,1 , Holder’s continue function in rank of and
dimension
ABSTRAK. Fungsi kontinu yang terdefinisi pada himpunan fraktal F  R adalah
fungsi yang mempunyai struktur yang tidak teratur, sehingga tidak terdiferensial biasa

pada F. Dalam makalah ini akan diselidiki hubungan antara nilai kritis dari derivatifdengan dimensi- dari suatu kurva. Dengan menggunakan sifat-sifat derivatif- ,
fungsi kontinu Holder berpangkat- dan dimensi- , diperoleh hubungan antara nilai
kritis derivatifdengan dimensi- dari suatu kurva.
Kata kunci. derivatif- F  berorder    0,1 , fungsi kontinu Holder berpangkat- ,
dimensi- .

1. PENDAHULUAN
Kolwankar dan Gangal (1996) serta Kolwankar (1997) telah meneliti
hubungan antara nilai kritis dari derivatif pecahan (fractional derivative) dengan
dimensi kotak (box dimension) dari suatu kurva. Sedangkan dalam penelitian ini
akan diselidiki hubungan antara nilai kritis dari derivatif-

dengan dimensi-

dari suatu kurva.
Diberikan F himpunan bagian bilangan real, berikut akan diberikan
komponen (component), coarse-grained mass (cgm) dan fungsi anak tangga
(staircase function) pada himpunan F.

234

Supriyadi Wibowo

Definisi 1.1 (Parvate.A and Gangal.A.D, 2003) Subdivisi (subdivision) Pa ,b (P)
dari

interval

a, b , a  b

a  x0 , x1,..., xn  b, xi  xi1

adalah

himpunan

titik-titik

. Sebarang interval yang berbentuk

berhingga

 xi , xi1 

disebut interval komponen (component interval) atau komponen (component) dari
subdivisi P. Jika Q adalah sebarang subdivisi dari  a, b dan P  Q , maka
dikatakan Q sebagai penghalus dari P. Jika a  b , maka himpunan a adalah
hanya subdivisi dari  a, b .
Definisi 1.2 (Parvate and Gangal, 2003) Diberikan   0 dan a  b , coarsegrained mass (cgm) dari F   a, b dituliskan    F , a, b  dan didefinisikan
dengan





x  x 
inf  i 1 i   F ,  xi , xi 1 
 F , a, b   lim
 0 P : P  
 

i  0    1
n 1



a ,b

dengan P  max  xi 1  xi  dan   F ,  xi , xi 1   1 , jika F
oi  n 1

 xi , xi1 

tidak

kosong dan bernilai nol untuk yang lain untuk xi  0,1,..., n  1 .
Definisi 1.3 (Parvate and Gangal, 2003)

Misalkan a0 adalah sebarang

bilangan real tetapi tertentu. Fungsi integral anak tangga (staircase function)

SF  x  dengan order    0,1 untuk himpunan F diberikan oleh
    F , a0 , x  , x  0
SF  x    
.
  F , x, a0  , x  0


Fungsi SF  x  adalah fungsi anak tanggga (staircase function) untuk
himpunan fraktal F

berorder    0,1 , merupakan perumuman fungsi anak

tangga Cantor (fungsi singular Cantor-Lebesgue). Dalam bagian ini akan
diberikan pengertian limit fungsi dan kekontinuan f : R  R
fraktal F.

pada himpunan

Hubungan Antara Nilai Kritis Derivatif

235

Definisi 1.5 (Parvate and Gangal, 2003) Diberikan F  R , f : R  R dan

x  F . Bilangan l dikatakan limit-F untuk y  x , jika diberikan sebarang   0 ,
terdapat   0 yang memenuhi
y  F dan y  x    f  y   l   .

Jika bilangan tersebut ada, maka dituliskan dengan

l  F  lim f  y  .
yx

Definisi ini tidak termasuk nilai fungsi di y jika y  F , juga limit-F tidak
terdefinisi di titik-titik x  F .
Selanjutnya dengan menggunakan limit-F akan diberikan kekontinuan-F .
Definisi 1.6 (Parvate and Gangal, 2003) Fungsi f : R  R dikatakan kontinuF di x  F , jika

f  x   F  lim f  y  .

yx

Sebagaimana turunan order satu, turunan- F 
pembagian, tetapi dengan

limit-F

juga merupakan limit

sedangkan penyebutnya adalah nilai dari

fungsi anak tangga S F di dua titik anggota himpunan perfek-  (  -perfect) yaitu
himpunan tertutup dan semua titiknya adalah titik limit-F .
Definisi 1.7 (Parvate and Gangal, 2003) Jika F adalah himpunan perfek-

 (  -perfect) , maka derivatif- F  dari fungsi f didefinisikan oleh

f  y  f  x
, xF
 F ylim


x
DF  f  x    
S F  y   S F  x 
0
,xF



Jika limit-F ada.
Sebagai konsekuensi dari Definisi 1.7, mudah ditunjukkan sifat kelinearan
pada derivatif- F  .

236

Supriyadi Wibowo

Lema 1.8 (Parvate and Gangal, 2005) Derivatif- F  dari fungsi SF  x  adalah
fungsi karakteristik  F  x  , yaitu





DF S F  x    F  x  .

Teorema 1.9 (Parvate and Gangal, 2003) Diberikan himpunan F  R perfek-

 dan fungsi kontinu f : F  R  R , DF  f  x   ada untuk setiap x   a, b dan
SF  a   SF  b  . Maka terdapat titik c, d  F yang memenuhi
DF  f  c   

f b   f  a 

SF b   SF  a 




dan

f b   f  a 

S F  b   S F  a 


 DF  f  d  

Definisi 1.10 (Wibowo, 2009) Fungsi f : F  R  R dikatakan berorder- 
dengan    0,1 terhadap derivatif- F  untuk setiap titik x  F , jika

  inf  : DF  f  x    , 0    1  sup  : DF  f  x    0, 0    1 .
Fungsi kontinu f : F  R dikatakan fungsi kontinu Holder berpangkat  ,
jika terdapat konstanta c  0 yang memenuhi

f  y  f  x  c y  x



untuk

semua x, y  F (Ross.B et al ,1994/5). Jika f fungsi kontinu Holder berpangkat
satu, maka f adalah fungsi Lipschitz. Nilai maksimal  yang memenuhi fungsi
kontinu Holder berpangkat  adalah berhubungan dengan keberadaan derivatif
fungsi f pada himpunan F (Spurrier.K.G, 2004).
2. PEMBAHASAN
Sedangkan dalam penelitian ini akan diselidiki hubungan antara nilai kritis
dari derivatif-

dengan dimensi- dari suatu kurva.

Teorema 2.1 Diberikan himpunan

perfek- 

dan fungsi kontinu

adalah pemetaan yang memenuhuhi

untuk suatu konstanta

dan

, maka untuk setiap s berlaku

Hubungan Antara Nilai Kritis Derivatif

237

.
Bukti
Diberikan partisi
dari
oleh karena fungsi kontinu

F,

adalah pemetaan yang memenuhuhi
.

Oleh karena

maka diperoleh

Dibentuk partisi

dengan

.

Partisi dari

adalah

, untuk

diperoleh

Dengan mengambil limit infimum dari kedua pertaksamaan di atas diperoleh
.
perfek- 

Teorema 2.2 Diberikan himpunan
adalah pemetaan yang memenuhuhi

untuk suatu konstanta

dan

, maka berlaku
.

dan

fungsi kontinu

238

Supriyadi Wibowo

Bukti
Untuk

dengan Teorema 2.1 diperoleh

berakibat
untuk

.

Jadi terbukti

Teorema 2.3 Diberikan himpunan F  R perfek-  ,
f : R  R dan

dengan

fungsi kontinu
. Jika

berorder    0,1 , maka berlaku
.

Bukti
Diketahui f  DF berorder    0,1 , akan dibuktikan f  H   F  berpangkat

   0,1 . Dari Teorema 1.9 diperoleh, jika diberikan himpunan F  R perfek-

 dan fungsi kontinu f : F  R  R , DF  f  x   ada untuk setiap x   a, b dan
SF  a   SF  b  , maka dengan Teorema .....terdapat titik

yang

memenuhi

atau dapat dituliskan

(2.1)
Oleh karena SF  H   F  dengan pangkat    0,1 , maka dari (2.1) diperoleh

Hubungan Antara Nilai Kritis Derivatif

239

.
Dengan mengambil
dan

,

maka terbukti

Teorema

2.4

Diberikan

,

berdimensi

fungsi

dengan

perfek- 

FR

himpunan

. Jika

yang

f : R  R dan

kontinu

,

berorder

maka berlaku
.
Bukti
Dengan Teorema 2.3 diperoleh
.

(2.2)

Pembuktian teorema ini dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu
untuk

dan

.

Dari (2.2), berlaku pertidaksamaan
Teorema 2.1 diperoleh

sehingga dengan
.

(2.3)
diperoleh

Dari (2.2), juga berlaku pertidaksamaan
.
(2.4)
Dari (2.3) dan (2.4) terbukti

.

240

Supriyadi Wibowo

3. KESIMPULAN
Berdasarkan pada pembahasan di atas diperoleh kesimpulan, diberikan
himpunan F  R perfek-  yang berdimensi
kontinu f : R  R dan
berorder

fungsi

dengan

.

, maka berlaku

Jika

.

DAFTAR PUSTAKA
Parvate.A and Gangal.A.D (2003) ” Calculus on Fractal Subset of Real Line-I:
Formulation ” http://arxiv.org/PS_cache/mathph/pdf/0310/0310047v1.pdf
Parvate.A and Gangal.A.D (2005)” Fractal differential Equations and FractalTime Dynamical System” Pramana. Journal of Physics.Vol. 64, no, 3.
March

2005.

pp.

389-4009.

http://www.ias.ac.in/pramana/v64/p389/fulltext.pdf
Ross.B, Samko.S.G and Love.E.R (1994/5)” Functions That Have No First Order
Derivative Migth Have Fractional Derivatives Of All Orders Less Than
One” Real Analysis Exchange Vol.20(2), pp. 140-147
Spurrier.K.G (2004) ” Continuous Nowhere Differentiable Functions ” Senior
Thesis,

University

of

South.

http://people.virginia.edu/~kgs5c/seniorthesis.pdf
Wibowo.S (2009)” Hubungan antara Derivatif- F  dari Fungsi

dengan

Dimensi-  dari Himpunan Fraktal F ” Prosiding Seminar Nasional
Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA UNY, 16 Mei
2009