Model persediaan terintegrasi produsen- distributor-pengecer dengan multi-produk dan kendala tingkat layanan artikel mikiyana 1
MODEL PERSEDIAAN TERINTEGRASI PRODUSEN DISTRIBUTOR - PENGECER DENGAN MULTI - PRODUK DAN
KENDALA TINGKAT LAYANAN
Mikiyana Ramadani, Nughthoh Arfawi Kurdhi, dan Sutrima
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Penelitian terhadap manajemen persediaan beberapa tahun belakangan mengunakan waktu tunggu sebagai variabel keputusan. Penelitian tersebut dilakukan pada
suatu model persediaan dengan satu produk dan dua pihak rantai pemasok. Pada artikel ini membahas tentang model persediaan dengan multi-produk dan tiga pihak rantai
pemasok, yaitu produsen, distributor dan pengecer. Model persediaan yang baik akan
diperoleh dari hasil integrasi antara model persediaan produsen, model persediaan distributor dan model persediaan pengecer. Model persediaan terintegrasi pada artikel ini
menggunakan multi - produk dan kendala tingkat layanan. Kendala tingkat layanan
merupakan tingkat kepuasan pelanggan yang dapat dilihat dari biaya pengurangan waktu tunggunya. Pengurangan waktu tunggu ini berbanding lurus dengan berkurangnya
biaya pemesanan. Tujuan penelitian ini adalah menentukan penyelesaian optimal untuk
model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer yang dapat meminimumkan
total biaya persediaan dengan menggunakan kondisi Karush-Kuhn-Tucker.
Kata Kunci: model persediaan terintegrasi, multi-produk, kendali waktu tunggu, kendala
tingkat layanan, kondisi Karush-Kuhn-Tucker.
1. Pendahuluan
Persediaan merupakan sejumlah bahan atau barang yang disediakan oleh perusahaan, baik berupa barang jadi, bahan mentah, maupun barang dalam proses
yang disediakan untuk menjaga kelancaran operasi perusahaan guna memenuhi permintaan konsumen setiap waktu. Persediaan dengan model terintegrasi pertama kali
digagas oleh Goyal, dengan mengintegrasi model produsen dan distributor sehingga
menghasilkan model yang dapat meminimumkan total biaya persediaan. Pada beberapa tahun terakhir banyak peneliti yang tertarik untuk mengembangkan model
terintegrasi, seperti Ouyang [1] yang meneliti tentang model persediaan terintegrasi
pemasok-pengecer dan kendali waktu tunggu dengan permintaan waktu tunggunya
berdistribusi normal dan distribusi tidak diketahui(free distribution). Pada tahun
2011, Sahraeian dan Koosha [2] meneliti tentang tiga pihak rantai pemasok dengan
kendali waktu tunggu yang terdiri dari produsen, distributor dan pengecer.
Pengecer merupakan pihak dimana konsumen dapat memperoleh berbagai macam
barang kebutuhan sehari-hari, jika pengecer tidak memiliki persediaan barang yang
tersisa(stockout), maka terjadilah shortage yang berarti pemenuhan konsumen akan
barang tersebut tidak dapat dipenuhi saat itu juga. Jika konsumen memilih untuk
menunggu(backorder ) maka pengecer akan menghubungi distributor untuk kemudian distributor memesan kepada produsen. Ketika produsen memiliki persediaan
barang yang cukup maka akan langsung dikirim, jika tidak maka produsen akan
memproduksi barang tersebut dengan waktu tunggu tertentu. Waktu tunggu dalam
hal ini terdiri atas waktu untuk penerimaan barang mentah, waktu persiapan produksi set-up, waktu proses dan waktu transportasi. Waktu tunggu dapat disingkat
dengan crashing cost yang dalam hal ini akan dibebankan kepada pengecer. Apabila konsumen tidak mau melakukan backorder, akan terjadi kehilangan peluang
penjualan(lost of sales) sampai kehilangan pelanggan(lost of customers), maka dari
1
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
itu diperlukan adanya suatu perbaikan manajemen persediaan, dimana mencari titik
optimasi tentang berapa jumlah barang yang dipesan dan kapan pemesanan tersebut
dilakukan.
Taleizadeh [3] pada tahun 2010 meneliti tentang model multi-produk sistem produksi mesin tunggal dengan tingkat produksi stokastik diabaikan, backorder parsial,
dan kendala tingkat layanan. Tingkat layanan merupakan ukuran tingkat kepuasan
pelanggan dan dapat dilihat dari biaya pengurangan waktu tunggu, dimana semakin
banyak pengurangan waktu tunggunya maka kebutuhan konsumen akan semakin
cepat terpenuhi.
Pada penelitian ini dikembangkan model dari Sahraeian dan Koosha [2] yaitu
model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer dengan multi-produk,
digabungkan dengan penelitian Ouyang [1] yaitu permintaan selama waktu tunggu
berdistribusi normal dan berdistribusi tidak diketahui, dan menggunakan kendala
tingkat layanan untuk multi-produk dari penelitian Taleizadeh [3]. Selanjutnya ditentukan penyelesaian optimal untuk meminimumkan biaya total persediaan dari
model yang telah diperoleh kemudian menginterpretasikan hasilnya.
2. Asumsi Model Persediaan Terintegrasi
Pengembangan model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer
dengan multi -produk dan kendala tingkat layanan dibentuk beberapa asumsi yang
mengacu pada Sahraeian dan Koosha [2], Ye dan Xu [4] serta Ouyang [1].
(1) Tiga pihak rantai pemasok terdiri atas produsen, distributor, dan pengecer.
(2) Persediaan dikontrol secara berkelanjutan dan penambahan dilakukan ketika
tingkat persediaan mencapai titik pemesanan kembali atau reorder point (r).
(3) Reorder point(r) =ekspektasi permintaan saat waktu tunggu + persediaan
pengaman. Permintaan X saat waktu tunggu Li diasumsikan
berdistribusi
√
normal dengan
mean
D
L
dan
standar
deviasinya
σ
L
,
sehingga
ri =
i i
i
i
√
Di Li + kσi Li , dengan k adalah faktor pengamannya.
(4) Shortage diperbolehkan dan backorder sepenuhnya
(5) Produsen memproduksi produk sebanyak mi Qi dengan laju produksi terbatas Pi (Pi > Di ) dan dikirim sebanyak Qi kepada distributor sejumlah mi ,
dengan Di merupakan suatu demand atau permintaan.
(6) Waktu tunggu dapat dikendalikan dengan menambah crashing cost. Waktu
tunggu memiliki n komponen saling bebas. Komponen waktu tunggu ke-i
dari pengecer memiliki durasi minimum ai dan durasi normal bi , dan crashing
cost per satuan waktu ci dimana c1 ≤ c2 ≤ . . . ≤ cn . Reduksi waktu tunggu
haruslah menjadi komponen pertama (karena memiliki crashing cost yang
minimum),
dan komponen kedua dan selanjutnya. Jika dimisalkan L0 =
∑n
j=1 bj dan Li adalah lamanya waktu tunggu dengan komponen 1, 2, . . . , i
disingkat
dengan
Li =
∑n
∑n durasi minimumnya,
∑n
∑i maka Li diekspresikan
∑sebagai
i
j=1 aj +
j=i+1 bj =
j=1 bj −
j=1 (bj − aj ) = L0 −
j=1 (bj − aj ),
i = 1, 2, . . . , n. Crashing cost waktu tunggu, per-siklus adalah R(Li ) =
∑i−1
ci (Li−1 − Li ) + j=1
cj (bj − aj ), ∀i dengan Lϵ(Li , Li−1 ).
(7) Biaya tambahan akan dikenakan pada pengecer jika terdapat permintaan
lead time.
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
2
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
(8) Biaya transportasi diabaikan.
3. Sistem Operasi Persediaan
Konsumen melakukan permintaan tahunan untuk produk ke-i (Di ) unit barang.
Pengecer menerima permintaan konsumen dengan melakukan pemesanan untuk produk ke-i (Qi ) unit barang pada distributor, kemudian distributor melakukan permintaan pada produsen. Produsen memproduksi barang sebanyak Qi dengan kemampuan produksi sebesar Pi dalam satu siklus produksi yang kemudian dikirimkan
kepada pengecer melalui distributor dalam mi kali pengiriman. Waktu yang dibutuhkan oleh pengecer dari awal pemesanan sampai barang tersebut sampai disebut
waktu tunggu (lead time). Waktu tunggu dapat disingkat dengan menambahkan
biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost). Jika terjadi permintaan berlebih
saat waktu tunggu, maka akan menyebabkan shortage cost dimana konsumen dapat
menunggu dengan melakukan backorder atau tidak, yang mengakibatkan terjadinya
lost sale bahkan lost of customer. Permintaan yang terjadi selama waktu tunggu
akan berdistribusi normal dan berdistribusi tidak diketahui.
4. Formulasi Model
Pada bagian ini dijelaskan formulasi model persediaan, yaitu model persediaan produsen, model persediaan distributor, model persediaan pengecer, dan model
persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer.
4.1. Model Persediaan Produsen. Produsen memiliki tingkat produksi untuk
produk ke-i adalah sebesar Pi per tahun dengan Pi > Di dan mengeluarkan bi′
aya persiapan sebesar Si . Biaya penyimpanan produsen per tahun sebesar hi per
unit barang. Total biaya persediaan produsen per tahun adalah jumlahan dari biaya persiapan, biaya penyimpanan dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing
cost).
4.2. Model Persediaan Distributor. Distributor mengeluarkan biaya pemesanan
′
′′
sebesar Ai , biaya penyimpanan distributor per tahun sebesar hi per unit barang.
Persediaan rata-rata untuk distributor diasumsikan sama dengan produsen, sehingga
total biaya persediaan distributor per tahun adalah jumlahan dari biaya pemesanan,
biaya penyimpanan dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost).
4.3. Model Persediaan Pengecer. Ekspektasi jumlah permintaan
√ karena kekurangan persediaan berdistribusi normal adalah E(X − r) = σi Li ψ(k), dengan
ψ(k) = ϕ(k) − k[1 − Φ(k)], ϕ dan Φ berturut-turut adalah probability density function (pdf ) dan cumulative distribution function (CDF ) normal standar. Ekspektasi jumlah permintaan
√karena kekurangan persediaan berdistribusi tidak diketahui
1
adalah E(X − r) ≤ 2 [ σi Li + (r − Di Li )2 − (r − Di Li )] dengan ri = Di Li + kσi Li
√
√
maka E(X − r) ≤ 12 ( 1 + k 2 − k)σi Li . β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami backorder, sehingga ekspektasi jumlah√permintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal saat backorder√adalah βσi Li ψ(k) sehingga
saat terjadi lostsales ekspektasinya adalah (1 − β)σi Li ψ(k) dan ekspektasi jumlah permintaan
waktu tunggu berdistribusi tidak diketahui saat backorder
√
√ 1 selama
adalah βσi Li 2 ( 1 + k 2 − k) sehingga saat terjadi lostsales ekspektasinya adalah
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
3
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
√
√
(1 − β)σi Li 21 ( 1 + k 2 − k). Biaya kekurangan persediaan per siklus dengan per√
mintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal adalah (πi +γi (1−β))σi Li ψ(k)
dan permintaan
waktu tunggu berdistribusi tidak diketahui adalah (πi +
√
√ 1selama
γi (1 − β))σi Li 2 ( 1 + k 2 − k). Total biaya persediaan pengecer per tahun adalah
jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persediaan
(shortage), dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost).
4.4. Model Persediaan Terintegrasi Produsen-Distributor-Pengecer. Total
biaya persediaan terintegrasi produsen - distributor - pengecer per siklus produksi
adalah total semua biaya yang ditanggung oleh produsen, distributor dan pengecer
per siklus produksi
a. Total biaya persediaan terintegrasi per tahun dengan waktu tunggu selama
permintaan berdistribusi normal adalah meminimumkan
n
∑
Di S i
Qi
Di
2Di
θDi R(Li )
Di A′i
JT CtotalN =
[(
+ h′i [mi (1 −
)−1+
]+
)+(
+
mi Qi
2
Pi
Pi
Qi
m i Qi
i=1
√
Di
Qi
mi Qi θ′ Di R(Li )
(4.1)
+
) + ( Ai + hi [ + kσi Li +
h′′i
2
Qi
Qi
2
√
√
θ′′ Di R(Li ) Di
+
[πi + γi (1 − β)]σi Li ψ(k))]
(1 − β)σi Li ψ(k)] +
Qi
Qi
∑n σi √Li ψ(k)
≤ α, dengan α adalah proporsi permintaan
terhadap kendala i=1
Qi
yang tidak terpenuhi untuk produk ke-i dan 1 − α adalah tingkat layanan.
b. Total biaya persediaan terintegrasi per tahun dengan waktu tunggu selama
permintaan berdistribusi tidak diketahui adalah meminimumkan
n
∑
Qi
Di
2Di
θDi R(Li )
Di A′i
Di S i
+ h′i [mi (1 −
)−1+
]+
)+(
+
JT CtotalU =
[(
m
Q
2
P
P
Q
m
Q
i
i
i
i
i
i
i
i=1
√
mi Qi θ′ Di R(Li )
Di
Qi
h′′i
+
) + ( Ai + hi [ + kσi Li +
2
Qi
Qi
2
(4.2)
′′
√ 1 √
θ
D
R
(L
)
i i
i
+
(1 − β)σi Li ( 1 + k 2 − k)] +
2
Qi
√ 1 √
Di
[πi + γi (1 − β)]σi Li ( 1 + k 2 − k))]
Qi
2
√
√
1
∑
σ L ( 1+k2 −k)
terhadap kendala ni=1 2 i i Qi
≤ α.
5. Penyelesaian Optimal
5.1. Penyelesaian dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi
Normal. Total penyelesaian optimum diperoleh dengan mencari penyelesaian optimum dari variabel Qi , k, Li , dan mi . Nilai Li optimal (L∗i ) dicari dengan menurunkan
∑
2
(Qi ,k,Li ,mi )
i ψ(k)
i
= ni=1 [−hi ( kσ3/2
persamaan (4.1) terhadap Li , ∂ JT CtotalN
+ (1−β)σ3/2
)−
∂L2i
4Li
4Li
∑
i−1
Di (πi +(1−β)γi )σi ψ(k)
i)
=
] < 0. Jika R(Li ) = ci (Li−1 − Li ) + j=1
cj (bj − aj ) maka ∂R(L
3/2
∂Li
4Li
−ci dan
Qi
∂ 2 R(Li )
∂L2i
= 0. Dengan demikian diketahui bahwa JT CtotalN merupakan
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
4
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
fungsi konkaf terhadap Li pada interval [Li−1 , Li ]. Dalam mencari nilai mi optimum (m∗i ), pada persamaan (4.1) diturunkan terhadap mi , sehingga diketahui
′
∑n 2Di Si
2Di Ai
∂ 2 JT CtotalN (Qi ,k,Li ,mi )
=
[
+
] ≥ 0 merupakan suatu fungsi konveks,
2
3
3
i=1 mi Qi
∂mi
mi Qi
sehingga agar diperoleh nilai m yang optimal(m∗i ), maka harus memenuhi
JT CtotalN (m∗i ) ≤ JT CtotalN (m∗i − 1) dan JT CtotalN (m∗i ) ≤ JT CtotalN (m∗i + 1).
Karena terdapat satu kendala berarti terdapat 21 = 2 macam nilai λ. Hasil turunan
fungsi Lagrange terhadap Qi adalah
v
′
u
√
√
u 2[Di (Ai + R(Li ) + Si +Ai + [πi + γi (1 − β)]σi Li ψ(k) − λ( 1 σi Li ψ(k)]
t
mi
2
Qi =
′′
′
2Di
i
)
−
1
+
)
+
h
m
hi + hi (mi (1 − D
i
i
Pi
Pi
(5.1)
Hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ = 0 adalah
n
∑
hi
Φ(k) = 1 −
Di
[π + γi (1 − β)] + hi (1 − β)
i=1 Qi i
(5.2)
sedangkan hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ ̸= 0 adalah
α
√
ψ(k) =
(5.3)
Σni=1 σiQiLi
dan untuk mencari nilai λ-nya adalah
√
√
√
∑n Di
i=1 Qi [πi + (1 − β)]σi Li (1 − Φ(k)) − hi σi Li + hi (1 − β)σi Li (1 − Φ(k))
λ=
∑n σ √L (1−Φ(k))
i
i=1
i
Qi
(5.4)
Algoritme berikut digunakan untuk menentukan nilai optimal Qi , k, Li , mi
Algoritme 5.1
(1) Menetapkan nilai mj = 1
(2) Untuk setiap Lij dengan j = 1, 2, . . . , J, mulai kj = 0, gunakan langkah
berikut
(a) Mengambil nilai awal λ = 0 atau λ ̸= 0 (misal diambil sebarang λ positif
= 0.01), ϕ(kj ) = 0.39894 dan Φ(kj ) = 0.5.
(b) Menentukan nilai ψ(kj ), kemudian substitusikan nilai ψ(kj ) pada persamaan (5.1) agar diperoleh nilai Qij
(c) Untuk λ = 0 gunakan nilai Qij pada persamaan (5.2) agar diperoleh
nilai Φ(kj ) dan untuk λ ̸= 0 masukan nilai Qij pada persamaan (5.3)
sehingga diperoleh nilai ψ(kj )
(d) Untuk λ = 0 ulangi langkah (a, b, c) hingga tidak ada perubahan pada
nilai Qij dan kj , untuk λ ̸= 0 lakukan pengecekan nilai ψ(kij ) dari tabel
Silver-Peterson sehingga diperoleh nilai kj , ϕ(kj ), dan Φ(kj )
(e) Mencari nilai λ optimal dengan memasukan nilai Qij ke persamaan (5.4).
(f) Untuk λ ̸= 0 ulangi langkah (a, b, c, e) hingga tidak ada perubahan
pada nilai Qij dan kj
(3) Menghitung nilai JT CtotalN (Qij , kj , Lij , mi )
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
5
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
(4) Nilai terkecil dari JT CtotalN merupakan nilai optimal untuk mi
(5) Tentukan mi = mi + 1 dan lakukan langkah b − d untuk menentukan nilai
JT CtotalN
(6) Jika hasilnya kurang dari hasil perhitungan sebelumnya, maka lakukan lagi
langkah (5) sampai mencapai nilai global minimum dari keseluruhan JT CtotalN ,
jika sudah lanjut ke langkah (7)
(7) Nilai untuk (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i ) adalah nilai optimum dengan nilai JT CtotalN
minimum.
5.2. Penyelesaian dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi
Tidak Diketahui. Total penyelesaian optimum diperoleh dengan mencari penyelesaian optimum dari variabel Qi , k, Li , dan mi . Nilai Li optimal (L∗i ) dicari dengan
∑
2
(Qi ,k,Li ,mi )
i
)+
menurunkan persamaan (4.2) terhadap Li , ∂ JT CtotalU
= ni=1 [−hi ( kσ3/2
∂L2i
4Li
√
√
∑
(1−β)σi ( 1+k2 −k) Di (πi +γi (1−β))σi ( 1+k2 −k)
−
] < 0. Jika R(Li ) = ci (Li−1 −Li )+ i−1
3/2
3/2
j=1 cj (bj −
8Li
8Li
∂R(Li )
∂Li
Qi
∂ 2 R(Li )
∂L2i
= −ci dan
aj ) maka
= 0. Dengan demikian diketahui bahwa fungsi
merupakan fungsi konkaf terhadap Li pada interval [Li−1 , Li ]. Dalam mencari nilai
mi optimum (m∗i ), pada persamaan (4.2) diturunkan terhadap mi , sehingga dike′
∑n 2Di Si
2
2Di Ai
(Qi ,k,Li ,mi )
=
[
+
] ≥ 0 merupakan suatu fungsi kontahui ∂ JT CtotalU
2
3
3
i=1 mi Qi
∂mi
mi Qi
veks, sehingga agar diperoleh nilai m yang optimal(m∗i ). Karena terdapat satu
kendala berarti terdapat 21 = 2 macam nilai λ. Hasil turunan fungsi Lagrange
terhadap Qi adalah
Qi =
v
u
u 2[Di (Ai + R(Li ) +
t
′
Si +Ai
mi
√
√
√ √
+ [πi + γi (1 − β)]σi Li 21 ( 1 + k 2 − k)) − λ( 21 σi Li ( 1 + k 2 − k))]
′
hi + hi (mi (1 −
Di
)
Pi
−1+
2Di
)
Pi
′′
+ h i mi
(5.5)
Hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ = 0 adalah
√
∑
−2 ni=1 hi σi Li
k
√
√
√
= 1 + ∑n Di
1 + k2
i=1 Qi [πi + γi (1 − β)]σi Li + hi (1 − β)σi Li
(5.6)
sedangkan hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ ̸= 0 adalah
√
2α
1 + k 2 − k = ∑n σ √L
(5.7)
i
i=1
i
Qi
dan untuk mencari nilai λ-nya adalah
√
√
∑n f Di (πi +γi (1−β))σi √Li
k
+ hi σi Li + h2i (1 − β)( √1+k
Li
2 − 1)σi
i=1
2Qi
λ=
∑n f σi √Li
i=1
(5.8)
2Qi
k
dengan f = ( √1+k
2 − 1) Algoritme berikut digunakan untuk menentukan nilai optimal Qi , k, Li , mi Algoritme 5.2
(1) Menetapkan nilai mi = 1
(2) Untuk setiap Lij dengan j = 1, 2, . . . , J gunakan langkah berikut
(a) Mengambil nilai kj = 0 atau λ = 0 atau λ ̸= 0 (misal diambil sebarang
λ positif = 0.01)
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
6
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
(3)
(4)
(5)
(6)
(b) Menghitung Qij menggunakan persamaan (5.5)
(c) Agar memperoleh nilai kij ; maka untuk λ = 0 gunakan nilai Qij pada
persamaan (5.6) dan untuk λ ̸= 0 gunakan nilai Qij pada persamaan
(5.7)
(d) Memasukan nilai Qij ke persamaan (5.8)
(e) Menghitung nilai JT CtotalU (Qij , kj , Lij , mi )
Mengulangi langkah (a) - (e) hingga tidak ada perubahan pada nilai Qij dan
kj
Tentukan minij JT CtotalU (Qij , kj , Lij , mi ).
Jika JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , mi ) =minij JT CtotalU (Qij , kj , Lij , mi ) maka (Q∗ij , kj∗ , L∗ij )
merupakan penyelesaian optimal untuk mi tetap
Menentukan mi = mi + 1 dan melakukan langkah b − c untuk menentukan
nilai JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i )
∗
Jika JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , mi ) ≤ JT CtotalU (Q∗ij−1 , kj−1
, L∗ij−1 , mi − 1) maka
kembali ke langkah (d), jika tidak maka ke langkah (f)
∗
Himpunan JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i ) = JT CtotalU (Q∗ij−1 , kj−1
, L∗ij−1 , mi − 1)
maka (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i ) adalah penyelesaian optimalnya.
6. Penerapan
Penerapan model persediaan pada sub bab ini diambil dari Sahraeian dan
Koosha [2] dipadukan dengan Ye dan Xu [4]. Diketahui : D1 ≈ N (500, 82 ), P1 =
′
1800, A1 = 150, A1 = 150, S1 = 1300, S2 = 1500, D2 ≈ N (600, 82 ), P2 = 2000, A2 =
′
′
′
′′
′′
200, A2 = 150, h1 = 30, h2 = 20, h1 = 20, h2 = 15, h1 = 25, h2 = 18, π1 = 45, π2 =
50, β = 0.5, γ1 = γ2 = 150, α = 0.5
Dengan menerapkan algoritme 5.1 diperoleh penyelesaian optimal dari total
biaya persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer per tahun untuk λ = 0
pada JT CN adalah sebesar 20806.2 dengan m∗ = 2, L∗ = 4, Q∗1 = 98.5793, Q∗2 =
139.276, k ∗ = 1.37489 dengan titik pemesanan kembali(reorder point) r1 = 2022.
dan r2 = 2419.25. untuk λ ̸= 0 pada JT CN adalah sebesar 22830.4 dengan m∗ = 2,
Tabel 1. Biaya Optimal Permintaan Berdistribusi Normal(λ = 0 dan λ ̸= 0)
λ
m1 = m2 L1 = L2
0
2
8
0
2
6
0
2
4
0
2
3
54580.8
2
8
55871.8
2
6
57434.7
2
4
58384.4
2
3
Q1
99.0291
98.5733
98.5793
99.8891
95.2515
95.1408
95.5373
97.0673
Q2
139.647
139.179
139.276
140.892
139.185
139.181
139.807
141.726
k
JT CN
1.37282 21314.2
1.37507
21037.
1.37489 20806.2∗
1.36809 20905.6
0.747896 23010.9
0.663597 22877.9
0.536277 22830.4∗
0.433782 23046.1
L∗ = 4, Q∗1 = 95.5373, Q∗2 = 139.807, k ∗ = 0.536277 dengan titik pemesanan
kembali(reorder point) r1 = 2008.58 dan r2 = 2407.51.
Dengan menerapkan algoritme 5.2 sehingga diperoleh penyelesaian optimal dari
total biaya persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer per tahun untuk
λ = 0 pada JT CU adalah sebesar 22554.8 dengan m∗ = 1, L∗ = 4, Q∗1 = 177.008,
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
7
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
Q∗2 = 248.632, k ∗ = 1.60286 dengan titik pemesanan kembali(reorder point) r1 =
2025.65 dan r2 = 2422.44.
Tabel 2. Biaya Optimal Permintaan Berdistribusi Tidak Diketahui(λ = 0 dan λ ̸= 0)
λ
m1 = m2 L1 = L2
0
1
8
0
1
6
0
1
4
0
1
3
26490.1
2
8
35292.4
2
6
44578.4
2
4
54458.5
2
3
Q1
181.431
179.182
177.008
176.921
104.454
101.807
99.6482
99.8792
Q2
k
JT CU
253.362 1.58107 23531.7
250.885 1.59212 23062.1
248.552 1.60286 22554.8∗
248.632 1.60299 22382.6
147.404 1.61225 24044.9
145.103 1.39229 23618.4
143.441 1.09715 23285.5∗
144.209 0.889621 23362.1
untuk λ ̸= 0 pada JT CU adalah sebesar 23285.5 dengan m∗ = 1, L∗ = 4, Q∗1 =
99.6482, Q∗2 = 144.209, k ∗ = 0.889621 dengan titik pemesanan kembali(reorder
point) r1 = 2025.65 dan r2 = 2422.44.
7. Kesimpulan
(1) Model persediaan terintegrasi JT CN dinyatakan pada persamaan (4.1) dan
persamaan (4.2).
(2) Penyelesaian optimal berdasarkan model persediaan terintegrasi adalah (Q∗ ,
k ∗ danλ∗ ) yaitu pada Persamaan (5.1), (5.2), (5.3), (5.5), (5.6), (5.3), (5.4)
dan(5.8).
(3) Berdasarkan penerapan, total biaya persediaan dapat diminimumkan dengan
menggunakan kondisi Karush Kuhn-Tucker dan nilai λ = 0 sehingga biaya
persediaan terintegrasi yang diperoleh adalah 20806.2 dengan banyaknya pesanan adalah Q∗1 = 98.5793 = 99 unit dan Q∗2 = 139.276 = 139 unit dan titik
pemesanan kembali pada r1 = 2022. = 2022 unit dan r2 = 2419.25 = 2419
unit.
Daftar Pustaka
1. Ouyang, L.Y., Wu, K.S., and Ho, C.H., Integrated Vendor-Buyer Coperative Models with Stochastic Demand In Controllable Lead Time, International Journal of Production Economics 92
(2004), 255–266.
2. Sahraeian, R., and Koosha, M., A Cost Allocation Model for Optimizing The Inventory of A
Supply Chain with Controllable Lead Time, Journal of American Science 7 (2011), 216–222.
3. Taleizadeh, A. A., Niaki, S. T. A., Najafi, A. A., Multiproduct Single-Machine Production System
with Stochastic Scrapped Production Rate, Partial Backordering and Service Level Constraint,
Journal of Computational and Applied Mathematics 223 (2010), 1834–1849.
4. Ye, F., and Xu, X., Cost Allocation Model for Optimizing Supply Chain Inventory with Controllable Lead Time, Computers and Industrial Engineering 59 (2010), 93–99.
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
8
2016
KENDALA TINGKAT LAYANAN
Mikiyana Ramadani, Nughthoh Arfawi Kurdhi, dan Sutrima
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Penelitian terhadap manajemen persediaan beberapa tahun belakangan mengunakan waktu tunggu sebagai variabel keputusan. Penelitian tersebut dilakukan pada
suatu model persediaan dengan satu produk dan dua pihak rantai pemasok. Pada artikel ini membahas tentang model persediaan dengan multi-produk dan tiga pihak rantai
pemasok, yaitu produsen, distributor dan pengecer. Model persediaan yang baik akan
diperoleh dari hasil integrasi antara model persediaan produsen, model persediaan distributor dan model persediaan pengecer. Model persediaan terintegrasi pada artikel ini
menggunakan multi - produk dan kendala tingkat layanan. Kendala tingkat layanan
merupakan tingkat kepuasan pelanggan yang dapat dilihat dari biaya pengurangan waktu tunggunya. Pengurangan waktu tunggu ini berbanding lurus dengan berkurangnya
biaya pemesanan. Tujuan penelitian ini adalah menentukan penyelesaian optimal untuk
model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer yang dapat meminimumkan
total biaya persediaan dengan menggunakan kondisi Karush-Kuhn-Tucker.
Kata Kunci: model persediaan terintegrasi, multi-produk, kendali waktu tunggu, kendala
tingkat layanan, kondisi Karush-Kuhn-Tucker.
1. Pendahuluan
Persediaan merupakan sejumlah bahan atau barang yang disediakan oleh perusahaan, baik berupa barang jadi, bahan mentah, maupun barang dalam proses
yang disediakan untuk menjaga kelancaran operasi perusahaan guna memenuhi permintaan konsumen setiap waktu. Persediaan dengan model terintegrasi pertama kali
digagas oleh Goyal, dengan mengintegrasi model produsen dan distributor sehingga
menghasilkan model yang dapat meminimumkan total biaya persediaan. Pada beberapa tahun terakhir banyak peneliti yang tertarik untuk mengembangkan model
terintegrasi, seperti Ouyang [1] yang meneliti tentang model persediaan terintegrasi
pemasok-pengecer dan kendali waktu tunggu dengan permintaan waktu tunggunya
berdistribusi normal dan distribusi tidak diketahui(free distribution). Pada tahun
2011, Sahraeian dan Koosha [2] meneliti tentang tiga pihak rantai pemasok dengan
kendali waktu tunggu yang terdiri dari produsen, distributor dan pengecer.
Pengecer merupakan pihak dimana konsumen dapat memperoleh berbagai macam
barang kebutuhan sehari-hari, jika pengecer tidak memiliki persediaan barang yang
tersisa(stockout), maka terjadilah shortage yang berarti pemenuhan konsumen akan
barang tersebut tidak dapat dipenuhi saat itu juga. Jika konsumen memilih untuk
menunggu(backorder ) maka pengecer akan menghubungi distributor untuk kemudian distributor memesan kepada produsen. Ketika produsen memiliki persediaan
barang yang cukup maka akan langsung dikirim, jika tidak maka produsen akan
memproduksi barang tersebut dengan waktu tunggu tertentu. Waktu tunggu dalam
hal ini terdiri atas waktu untuk penerimaan barang mentah, waktu persiapan produksi set-up, waktu proses dan waktu transportasi. Waktu tunggu dapat disingkat
dengan crashing cost yang dalam hal ini akan dibebankan kepada pengecer. Apabila konsumen tidak mau melakukan backorder, akan terjadi kehilangan peluang
penjualan(lost of sales) sampai kehilangan pelanggan(lost of customers), maka dari
1
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
itu diperlukan adanya suatu perbaikan manajemen persediaan, dimana mencari titik
optimasi tentang berapa jumlah barang yang dipesan dan kapan pemesanan tersebut
dilakukan.
Taleizadeh [3] pada tahun 2010 meneliti tentang model multi-produk sistem produksi mesin tunggal dengan tingkat produksi stokastik diabaikan, backorder parsial,
dan kendala tingkat layanan. Tingkat layanan merupakan ukuran tingkat kepuasan
pelanggan dan dapat dilihat dari biaya pengurangan waktu tunggu, dimana semakin
banyak pengurangan waktu tunggunya maka kebutuhan konsumen akan semakin
cepat terpenuhi.
Pada penelitian ini dikembangkan model dari Sahraeian dan Koosha [2] yaitu
model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer dengan multi-produk,
digabungkan dengan penelitian Ouyang [1] yaitu permintaan selama waktu tunggu
berdistribusi normal dan berdistribusi tidak diketahui, dan menggunakan kendala
tingkat layanan untuk multi-produk dari penelitian Taleizadeh [3]. Selanjutnya ditentukan penyelesaian optimal untuk meminimumkan biaya total persediaan dari
model yang telah diperoleh kemudian menginterpretasikan hasilnya.
2. Asumsi Model Persediaan Terintegrasi
Pengembangan model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer
dengan multi -produk dan kendala tingkat layanan dibentuk beberapa asumsi yang
mengacu pada Sahraeian dan Koosha [2], Ye dan Xu [4] serta Ouyang [1].
(1) Tiga pihak rantai pemasok terdiri atas produsen, distributor, dan pengecer.
(2) Persediaan dikontrol secara berkelanjutan dan penambahan dilakukan ketika
tingkat persediaan mencapai titik pemesanan kembali atau reorder point (r).
(3) Reorder point(r) =ekspektasi permintaan saat waktu tunggu + persediaan
pengaman. Permintaan X saat waktu tunggu Li diasumsikan
berdistribusi
√
normal dengan
mean
D
L
dan
standar
deviasinya
σ
L
,
sehingga
ri =
i i
i
i
√
Di Li + kσi Li , dengan k adalah faktor pengamannya.
(4) Shortage diperbolehkan dan backorder sepenuhnya
(5) Produsen memproduksi produk sebanyak mi Qi dengan laju produksi terbatas Pi (Pi > Di ) dan dikirim sebanyak Qi kepada distributor sejumlah mi ,
dengan Di merupakan suatu demand atau permintaan.
(6) Waktu tunggu dapat dikendalikan dengan menambah crashing cost. Waktu
tunggu memiliki n komponen saling bebas. Komponen waktu tunggu ke-i
dari pengecer memiliki durasi minimum ai dan durasi normal bi , dan crashing
cost per satuan waktu ci dimana c1 ≤ c2 ≤ . . . ≤ cn . Reduksi waktu tunggu
haruslah menjadi komponen pertama (karena memiliki crashing cost yang
minimum),
dan komponen kedua dan selanjutnya. Jika dimisalkan L0 =
∑n
j=1 bj dan Li adalah lamanya waktu tunggu dengan komponen 1, 2, . . . , i
disingkat
dengan
Li =
∑n
∑n durasi minimumnya,
∑n
∑i maka Li diekspresikan
∑sebagai
i
j=1 aj +
j=i+1 bj =
j=1 bj −
j=1 (bj − aj ) = L0 −
j=1 (bj − aj ),
i = 1, 2, . . . , n. Crashing cost waktu tunggu, per-siklus adalah R(Li ) =
∑i−1
ci (Li−1 − Li ) + j=1
cj (bj − aj ), ∀i dengan Lϵ(Li , Li−1 ).
(7) Biaya tambahan akan dikenakan pada pengecer jika terdapat permintaan
lead time.
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
2
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
(8) Biaya transportasi diabaikan.
3. Sistem Operasi Persediaan
Konsumen melakukan permintaan tahunan untuk produk ke-i (Di ) unit barang.
Pengecer menerima permintaan konsumen dengan melakukan pemesanan untuk produk ke-i (Qi ) unit barang pada distributor, kemudian distributor melakukan permintaan pada produsen. Produsen memproduksi barang sebanyak Qi dengan kemampuan produksi sebesar Pi dalam satu siklus produksi yang kemudian dikirimkan
kepada pengecer melalui distributor dalam mi kali pengiriman. Waktu yang dibutuhkan oleh pengecer dari awal pemesanan sampai barang tersebut sampai disebut
waktu tunggu (lead time). Waktu tunggu dapat disingkat dengan menambahkan
biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost). Jika terjadi permintaan berlebih
saat waktu tunggu, maka akan menyebabkan shortage cost dimana konsumen dapat
menunggu dengan melakukan backorder atau tidak, yang mengakibatkan terjadinya
lost sale bahkan lost of customer. Permintaan yang terjadi selama waktu tunggu
akan berdistribusi normal dan berdistribusi tidak diketahui.
4. Formulasi Model
Pada bagian ini dijelaskan formulasi model persediaan, yaitu model persediaan produsen, model persediaan distributor, model persediaan pengecer, dan model
persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer.
4.1. Model Persediaan Produsen. Produsen memiliki tingkat produksi untuk
produk ke-i adalah sebesar Pi per tahun dengan Pi > Di dan mengeluarkan bi′
aya persiapan sebesar Si . Biaya penyimpanan produsen per tahun sebesar hi per
unit barang. Total biaya persediaan produsen per tahun adalah jumlahan dari biaya persiapan, biaya penyimpanan dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing
cost).
4.2. Model Persediaan Distributor. Distributor mengeluarkan biaya pemesanan
′
′′
sebesar Ai , biaya penyimpanan distributor per tahun sebesar hi per unit barang.
Persediaan rata-rata untuk distributor diasumsikan sama dengan produsen, sehingga
total biaya persediaan distributor per tahun adalah jumlahan dari biaya pemesanan,
biaya penyimpanan dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost).
4.3. Model Persediaan Pengecer. Ekspektasi jumlah permintaan
√ karena kekurangan persediaan berdistribusi normal adalah E(X − r) = σi Li ψ(k), dengan
ψ(k) = ϕ(k) − k[1 − Φ(k)], ϕ dan Φ berturut-turut adalah probability density function (pdf ) dan cumulative distribution function (CDF ) normal standar. Ekspektasi jumlah permintaan
√karena kekurangan persediaan berdistribusi tidak diketahui
1
adalah E(X − r) ≤ 2 [ σi Li + (r − Di Li )2 − (r − Di Li )] dengan ri = Di Li + kσi Li
√
√
maka E(X − r) ≤ 12 ( 1 + k 2 − k)σi Li . β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami backorder, sehingga ekspektasi jumlah√permintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal saat backorder√adalah βσi Li ψ(k) sehingga
saat terjadi lostsales ekspektasinya adalah (1 − β)σi Li ψ(k) dan ekspektasi jumlah permintaan
waktu tunggu berdistribusi tidak diketahui saat backorder
√
√ 1 selama
adalah βσi Li 2 ( 1 + k 2 − k) sehingga saat terjadi lostsales ekspektasinya adalah
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
3
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
√
√
(1 − β)σi Li 21 ( 1 + k 2 − k). Biaya kekurangan persediaan per siklus dengan per√
mintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal adalah (πi +γi (1−β))σi Li ψ(k)
dan permintaan
waktu tunggu berdistribusi tidak diketahui adalah (πi +
√
√ 1selama
γi (1 − β))σi Li 2 ( 1 + k 2 − k). Total biaya persediaan pengecer per tahun adalah
jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persediaan
(shortage), dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost).
4.4. Model Persediaan Terintegrasi Produsen-Distributor-Pengecer. Total
biaya persediaan terintegrasi produsen - distributor - pengecer per siklus produksi
adalah total semua biaya yang ditanggung oleh produsen, distributor dan pengecer
per siklus produksi
a. Total biaya persediaan terintegrasi per tahun dengan waktu tunggu selama
permintaan berdistribusi normal adalah meminimumkan
n
∑
Di S i
Qi
Di
2Di
θDi R(Li )
Di A′i
JT CtotalN =
[(
+ h′i [mi (1 −
)−1+
]+
)+(
+
mi Qi
2
Pi
Pi
Qi
m i Qi
i=1
√
Di
Qi
mi Qi θ′ Di R(Li )
(4.1)
+
) + ( Ai + hi [ + kσi Li +
h′′i
2
Qi
Qi
2
√
√
θ′′ Di R(Li ) Di
+
[πi + γi (1 − β)]σi Li ψ(k))]
(1 − β)σi Li ψ(k)] +
Qi
Qi
∑n σi √Li ψ(k)
≤ α, dengan α adalah proporsi permintaan
terhadap kendala i=1
Qi
yang tidak terpenuhi untuk produk ke-i dan 1 − α adalah tingkat layanan.
b. Total biaya persediaan terintegrasi per tahun dengan waktu tunggu selama
permintaan berdistribusi tidak diketahui adalah meminimumkan
n
∑
Qi
Di
2Di
θDi R(Li )
Di A′i
Di S i
+ h′i [mi (1 −
)−1+
]+
)+(
+
JT CtotalU =
[(
m
Q
2
P
P
Q
m
Q
i
i
i
i
i
i
i
i=1
√
mi Qi θ′ Di R(Li )
Di
Qi
h′′i
+
) + ( Ai + hi [ + kσi Li +
2
Qi
Qi
2
(4.2)
′′
√ 1 √
θ
D
R
(L
)
i i
i
+
(1 − β)σi Li ( 1 + k 2 − k)] +
2
Qi
√ 1 √
Di
[πi + γi (1 − β)]σi Li ( 1 + k 2 − k))]
Qi
2
√
√
1
∑
σ L ( 1+k2 −k)
terhadap kendala ni=1 2 i i Qi
≤ α.
5. Penyelesaian Optimal
5.1. Penyelesaian dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi
Normal. Total penyelesaian optimum diperoleh dengan mencari penyelesaian optimum dari variabel Qi , k, Li , dan mi . Nilai Li optimal (L∗i ) dicari dengan menurunkan
∑
2
(Qi ,k,Li ,mi )
i ψ(k)
i
= ni=1 [−hi ( kσ3/2
persamaan (4.1) terhadap Li , ∂ JT CtotalN
+ (1−β)σ3/2
)−
∂L2i
4Li
4Li
∑
i−1
Di (πi +(1−β)γi )σi ψ(k)
i)
=
] < 0. Jika R(Li ) = ci (Li−1 − Li ) + j=1
cj (bj − aj ) maka ∂R(L
3/2
∂Li
4Li
−ci dan
Qi
∂ 2 R(Li )
∂L2i
= 0. Dengan demikian diketahui bahwa JT CtotalN merupakan
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
4
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
fungsi konkaf terhadap Li pada interval [Li−1 , Li ]. Dalam mencari nilai mi optimum (m∗i ), pada persamaan (4.1) diturunkan terhadap mi , sehingga diketahui
′
∑n 2Di Si
2Di Ai
∂ 2 JT CtotalN (Qi ,k,Li ,mi )
=
[
+
] ≥ 0 merupakan suatu fungsi konveks,
2
3
3
i=1 mi Qi
∂mi
mi Qi
sehingga agar diperoleh nilai m yang optimal(m∗i ), maka harus memenuhi
JT CtotalN (m∗i ) ≤ JT CtotalN (m∗i − 1) dan JT CtotalN (m∗i ) ≤ JT CtotalN (m∗i + 1).
Karena terdapat satu kendala berarti terdapat 21 = 2 macam nilai λ. Hasil turunan
fungsi Lagrange terhadap Qi adalah
v
′
u
√
√
u 2[Di (Ai + R(Li ) + Si +Ai + [πi + γi (1 − β)]σi Li ψ(k) − λ( 1 σi Li ψ(k)]
t
mi
2
Qi =
′′
′
2Di
i
)
−
1
+
)
+
h
m
hi + hi (mi (1 − D
i
i
Pi
Pi
(5.1)
Hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ = 0 adalah
n
∑
hi
Φ(k) = 1 −
Di
[π + γi (1 − β)] + hi (1 − β)
i=1 Qi i
(5.2)
sedangkan hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ ̸= 0 adalah
α
√
ψ(k) =
(5.3)
Σni=1 σiQiLi
dan untuk mencari nilai λ-nya adalah
√
√
√
∑n Di
i=1 Qi [πi + (1 − β)]σi Li (1 − Φ(k)) − hi σi Li + hi (1 − β)σi Li (1 − Φ(k))
λ=
∑n σ √L (1−Φ(k))
i
i=1
i
Qi
(5.4)
Algoritme berikut digunakan untuk menentukan nilai optimal Qi , k, Li , mi
Algoritme 5.1
(1) Menetapkan nilai mj = 1
(2) Untuk setiap Lij dengan j = 1, 2, . . . , J, mulai kj = 0, gunakan langkah
berikut
(a) Mengambil nilai awal λ = 0 atau λ ̸= 0 (misal diambil sebarang λ positif
= 0.01), ϕ(kj ) = 0.39894 dan Φ(kj ) = 0.5.
(b) Menentukan nilai ψ(kj ), kemudian substitusikan nilai ψ(kj ) pada persamaan (5.1) agar diperoleh nilai Qij
(c) Untuk λ = 0 gunakan nilai Qij pada persamaan (5.2) agar diperoleh
nilai Φ(kj ) dan untuk λ ̸= 0 masukan nilai Qij pada persamaan (5.3)
sehingga diperoleh nilai ψ(kj )
(d) Untuk λ = 0 ulangi langkah (a, b, c) hingga tidak ada perubahan pada
nilai Qij dan kj , untuk λ ̸= 0 lakukan pengecekan nilai ψ(kij ) dari tabel
Silver-Peterson sehingga diperoleh nilai kj , ϕ(kj ), dan Φ(kj )
(e) Mencari nilai λ optimal dengan memasukan nilai Qij ke persamaan (5.4).
(f) Untuk λ ̸= 0 ulangi langkah (a, b, c, e) hingga tidak ada perubahan
pada nilai Qij dan kj
(3) Menghitung nilai JT CtotalN (Qij , kj , Lij , mi )
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
5
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
(4) Nilai terkecil dari JT CtotalN merupakan nilai optimal untuk mi
(5) Tentukan mi = mi + 1 dan lakukan langkah b − d untuk menentukan nilai
JT CtotalN
(6) Jika hasilnya kurang dari hasil perhitungan sebelumnya, maka lakukan lagi
langkah (5) sampai mencapai nilai global minimum dari keseluruhan JT CtotalN ,
jika sudah lanjut ke langkah (7)
(7) Nilai untuk (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i ) adalah nilai optimum dengan nilai JT CtotalN
minimum.
5.2. Penyelesaian dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi
Tidak Diketahui. Total penyelesaian optimum diperoleh dengan mencari penyelesaian optimum dari variabel Qi , k, Li , dan mi . Nilai Li optimal (L∗i ) dicari dengan
∑
2
(Qi ,k,Li ,mi )
i
)+
menurunkan persamaan (4.2) terhadap Li , ∂ JT CtotalU
= ni=1 [−hi ( kσ3/2
∂L2i
4Li
√
√
∑
(1−β)σi ( 1+k2 −k) Di (πi +γi (1−β))σi ( 1+k2 −k)
−
] < 0. Jika R(Li ) = ci (Li−1 −Li )+ i−1
3/2
3/2
j=1 cj (bj −
8Li
8Li
∂R(Li )
∂Li
Qi
∂ 2 R(Li )
∂L2i
= −ci dan
aj ) maka
= 0. Dengan demikian diketahui bahwa fungsi
merupakan fungsi konkaf terhadap Li pada interval [Li−1 , Li ]. Dalam mencari nilai
mi optimum (m∗i ), pada persamaan (4.2) diturunkan terhadap mi , sehingga dike′
∑n 2Di Si
2
2Di Ai
(Qi ,k,Li ,mi )
=
[
+
] ≥ 0 merupakan suatu fungsi kontahui ∂ JT CtotalU
2
3
3
i=1 mi Qi
∂mi
mi Qi
veks, sehingga agar diperoleh nilai m yang optimal(m∗i ). Karena terdapat satu
kendala berarti terdapat 21 = 2 macam nilai λ. Hasil turunan fungsi Lagrange
terhadap Qi adalah
Qi =
v
u
u 2[Di (Ai + R(Li ) +
t
′
Si +Ai
mi
√
√
√ √
+ [πi + γi (1 − β)]σi Li 21 ( 1 + k 2 − k)) − λ( 21 σi Li ( 1 + k 2 − k))]
′
hi + hi (mi (1 −
Di
)
Pi
−1+
2Di
)
Pi
′′
+ h i mi
(5.5)
Hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ = 0 adalah
√
∑
−2 ni=1 hi σi Li
k
√
√
√
= 1 + ∑n Di
1 + k2
i=1 Qi [πi + γi (1 − β)]σi Li + hi (1 − β)σi Li
(5.6)
sedangkan hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ ̸= 0 adalah
√
2α
1 + k 2 − k = ∑n σ √L
(5.7)
i
i=1
i
Qi
dan untuk mencari nilai λ-nya adalah
√
√
∑n f Di (πi +γi (1−β))σi √Li
k
+ hi σi Li + h2i (1 − β)( √1+k
Li
2 − 1)σi
i=1
2Qi
λ=
∑n f σi √Li
i=1
(5.8)
2Qi
k
dengan f = ( √1+k
2 − 1) Algoritme berikut digunakan untuk menentukan nilai optimal Qi , k, Li , mi Algoritme 5.2
(1) Menetapkan nilai mi = 1
(2) Untuk setiap Lij dengan j = 1, 2, . . . , J gunakan langkah berikut
(a) Mengambil nilai kj = 0 atau λ = 0 atau λ ̸= 0 (misal diambil sebarang
λ positif = 0.01)
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
6
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
(3)
(4)
(5)
(6)
(b) Menghitung Qij menggunakan persamaan (5.5)
(c) Agar memperoleh nilai kij ; maka untuk λ = 0 gunakan nilai Qij pada
persamaan (5.6) dan untuk λ ̸= 0 gunakan nilai Qij pada persamaan
(5.7)
(d) Memasukan nilai Qij ke persamaan (5.8)
(e) Menghitung nilai JT CtotalU (Qij , kj , Lij , mi )
Mengulangi langkah (a) - (e) hingga tidak ada perubahan pada nilai Qij dan
kj
Tentukan minij JT CtotalU (Qij , kj , Lij , mi ).
Jika JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , mi ) =minij JT CtotalU (Qij , kj , Lij , mi ) maka (Q∗ij , kj∗ , L∗ij )
merupakan penyelesaian optimal untuk mi tetap
Menentukan mi = mi + 1 dan melakukan langkah b − c untuk menentukan
nilai JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i )
∗
Jika JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , mi ) ≤ JT CtotalU (Q∗ij−1 , kj−1
, L∗ij−1 , mi − 1) maka
kembali ke langkah (d), jika tidak maka ke langkah (f)
∗
Himpunan JT CtotalU (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i ) = JT CtotalU (Q∗ij−1 , kj−1
, L∗ij−1 , mi − 1)
maka (Q∗ij , kj∗ , L∗ij , m∗i ) adalah penyelesaian optimalnya.
6. Penerapan
Penerapan model persediaan pada sub bab ini diambil dari Sahraeian dan
Koosha [2] dipadukan dengan Ye dan Xu [4]. Diketahui : D1 ≈ N (500, 82 ), P1 =
′
1800, A1 = 150, A1 = 150, S1 = 1300, S2 = 1500, D2 ≈ N (600, 82 ), P2 = 2000, A2 =
′
′
′
′′
′′
200, A2 = 150, h1 = 30, h2 = 20, h1 = 20, h2 = 15, h1 = 25, h2 = 18, π1 = 45, π2 =
50, β = 0.5, γ1 = γ2 = 150, α = 0.5
Dengan menerapkan algoritme 5.1 diperoleh penyelesaian optimal dari total
biaya persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer per tahun untuk λ = 0
pada JT CN adalah sebesar 20806.2 dengan m∗ = 2, L∗ = 4, Q∗1 = 98.5793, Q∗2 =
139.276, k ∗ = 1.37489 dengan titik pemesanan kembali(reorder point) r1 = 2022.
dan r2 = 2419.25. untuk λ ̸= 0 pada JT CN adalah sebesar 22830.4 dengan m∗ = 2,
Tabel 1. Biaya Optimal Permintaan Berdistribusi Normal(λ = 0 dan λ ̸= 0)
λ
m1 = m2 L1 = L2
0
2
8
0
2
6
0
2
4
0
2
3
54580.8
2
8
55871.8
2
6
57434.7
2
4
58384.4
2
3
Q1
99.0291
98.5733
98.5793
99.8891
95.2515
95.1408
95.5373
97.0673
Q2
139.647
139.179
139.276
140.892
139.185
139.181
139.807
141.726
k
JT CN
1.37282 21314.2
1.37507
21037.
1.37489 20806.2∗
1.36809 20905.6
0.747896 23010.9
0.663597 22877.9
0.536277 22830.4∗
0.433782 23046.1
L∗ = 4, Q∗1 = 95.5373, Q∗2 = 139.807, k ∗ = 0.536277 dengan titik pemesanan
kembali(reorder point) r1 = 2008.58 dan r2 = 2407.51.
Dengan menerapkan algoritme 5.2 sehingga diperoleh penyelesaian optimal dari
total biaya persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer per tahun untuk
λ = 0 pada JT CU adalah sebesar 22554.8 dengan m∗ = 1, L∗ = 4, Q∗1 = 177.008,
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
7
2016
Model Persediaan Terintegrasi Produsen - Distributor - Pengecer dengan Multi Produk dan Kendala Tingkat
Layanan
Q∗2 = 248.632, k ∗ = 1.60286 dengan titik pemesanan kembali(reorder point) r1 =
2025.65 dan r2 = 2422.44.
Tabel 2. Biaya Optimal Permintaan Berdistribusi Tidak Diketahui(λ = 0 dan λ ̸= 0)
λ
m1 = m2 L1 = L2
0
1
8
0
1
6
0
1
4
0
1
3
26490.1
2
8
35292.4
2
6
44578.4
2
4
54458.5
2
3
Q1
181.431
179.182
177.008
176.921
104.454
101.807
99.6482
99.8792
Q2
k
JT CU
253.362 1.58107 23531.7
250.885 1.59212 23062.1
248.552 1.60286 22554.8∗
248.632 1.60299 22382.6
147.404 1.61225 24044.9
145.103 1.39229 23618.4
143.441 1.09715 23285.5∗
144.209 0.889621 23362.1
untuk λ ̸= 0 pada JT CU adalah sebesar 23285.5 dengan m∗ = 1, L∗ = 4, Q∗1 =
99.6482, Q∗2 = 144.209, k ∗ = 0.889621 dengan titik pemesanan kembali(reorder
point) r1 = 2025.65 dan r2 = 2422.44.
7. Kesimpulan
(1) Model persediaan terintegrasi JT CN dinyatakan pada persamaan (4.1) dan
persamaan (4.2).
(2) Penyelesaian optimal berdasarkan model persediaan terintegrasi adalah (Q∗ ,
k ∗ danλ∗ ) yaitu pada Persamaan (5.1), (5.2), (5.3), (5.5), (5.6), (5.3), (5.4)
dan(5.8).
(3) Berdasarkan penerapan, total biaya persediaan dapat diminimumkan dengan
menggunakan kondisi Karush Kuhn-Tucker dan nilai λ = 0 sehingga biaya
persediaan terintegrasi yang diperoleh adalah 20806.2 dengan banyaknya pesanan adalah Q∗1 = 98.5793 = 99 unit dan Q∗2 = 139.276 = 139 unit dan titik
pemesanan kembali pada r1 = 2022. = 2022 unit dan r2 = 2419.25 = 2419
unit.
Daftar Pustaka
1. Ouyang, L.Y., Wu, K.S., and Ho, C.H., Integrated Vendor-Buyer Coperative Models with Stochastic Demand In Controllable Lead Time, International Journal of Production Economics 92
(2004), 255–266.
2. Sahraeian, R., and Koosha, M., A Cost Allocation Model for Optimizing The Inventory of A
Supply Chain with Controllable Lead Time, Journal of American Science 7 (2011), 216–222.
3. Taleizadeh, A. A., Niaki, S. T. A., Najafi, A. A., Multiproduct Single-Machine Production System
with Stochastic Scrapped Production Rate, Partial Backordering and Service Level Constraint,
Journal of Computational and Applied Mathematics 223 (2010), 1834–1849.
4. Ye, F., and Xu, X., Cost Allocation Model for Optimizing Supply Chain Inventory with Controllable Lead Time, Computers and Industrial Engineering 59 (2010), 93–99.
R. Mikiyana, A. K. Nughthoh, Sutrima
8
2016