KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

  KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika Disusun Oleh: BAMBANG SETYAWAN NIM : 033214003 PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008

  QUANTIZATION OF RLC CIRCUIT ENERGY A THESIS Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Science Degree in Physic Study Program by: BAMBANG SETYAWAN NIM : 033214003 PHYSIC STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF PHYSIC FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008

HALAMAN PERSEMBAHAN

  K arya ini kupersembahkan kepada D ia J uru S elamatku, sehingga kupercaya kepada semua anugerahN ya yang senantiasa membimbingku dalam menghadapi berbagai rintangan hidup K epada B apak, I bu, adik, dan saudara- saudaraku terkasih yang terus ada disampingku, yang terus bersabar menunggu sampai tiba waktunya aku menyelesaikan studi

  K epada teman- teman seperjuangan, kakak angkatan, adik angkatan yang selalu membantu tanpa pamrih dalam kuliah K epada sahabat- sahabat yang aku kasihi, karena merekalah ada canda dan tawa, ada suka dan duka

HALAMAN MOTTO

  “S iapa yang mempunyai selera untuk membaca buku- buku yang baik, niscaya ia sanggup menanggung kesepian di suatu tempat dengan tentram”(M ahatma Gandhi)

PERNYATAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 17 September 2008 Penulis, Bambang Setyawan

ABSTRAK KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC

  Telah dilakukan kuantisasi energi pada rangkaian RLC dengan menggunakan pengkuantuman secara aljabar. Jika digunakan asumsi bahwa 1 muatan Q sebagai koordinat q, I sebagai momentum p, dan A sebagai ,

  2 m maka energi total rangkaian RLC mirip dengan energi osilator harmonik. Energi

  1 dengan

  = ω ( δ ) δ h

• pada rangkaian RLC dapat dituliskan menjadi E

  1 , 2 , 3 , .

  δ =

  L

  ABSTRACT QUANTIZATION OF RLC CIRCUIT ENERGY

  Quantization of energy RLC circuit using the algebraic quantization have been performed. If use assumption that the charge Q as coordinate q, I as the 1 momentum p, and A as the , then the total energy of the RLC circuit similar to

  2 m the energy of the harmonic oscillator. Energy of the RLC circuit can be written to

  1 ) where 1 , 2 , 3 , .

  = ω δ δ = δ h L

• be E (

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kepada Tuhan karena telah memberikan rahmatNya dan karena peran sertaNya dalam membantu pembuatan skripsi ini. Berkat Dialah alam semesta dan segala isinya diciptakan, sehingga kita dapat mempelajari gejala- gejala alam yang luar biasa melalui ilmu fisika.

  Banyak pihak telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ini. Oleh karena itu dengan rendah hati saya mengucapkan banyak terima kasih kepada

  1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing tugas akhir yang dengan sabar membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini.

  2. Bapak, Ibu, Adik, yang telah berkorban sedemikian banyak dan yang telah memberi dukungan kepada saya.

  3. Dekan fakultas Sains danTeknologi Rm. Gregorius Heliarko SJ, beserta staf.

  4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak Dr.

  Edi Santosa, M.Si, Bapak Prasetyadi, S.Si, M.Si, Ibu Dwi Nugrahaeni Rositawati, S.Si, M.Si, Bapak Prof. Dr. Liek Wilardjo, Bapak Drs. BA.

  Tjipto Sujitno, M.T, APU, dan semua dosen yang telah membantu saya dalam menyelesaikan studi S1.

  5. Laboran program studi fisika Bapak Gito, dan Mas Sis 6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.

  7. Teman- teman dari fisika baik kakak angkatan dan adik angkatan seperti Mbak Ayu, Mbak Yuni, Mbak Ratna, Mas Ridwan, Mas Adit, Mas Basil, Manggar, Sujad, Ade, Siska, dan teman- teman lainnya yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu.

  8. Ibu dan Bapak Kost yang telah menjaga saya selama berada di Yogya.

  9. Teman- teman kost Danang, Yansen, dan Willy. Saya menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat berguna bagi perkembangan skripsi ini.

  Yogyakarta, 16 September 2008 Penulis, Bambang Setyawan

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL…………………………………………………………. i HALAMAN PERSETUJUAN……………………………………………….. ii HALAMAN PENGESAHAN………………………………………………… iii HALAMAN PERSEMBAHAN……………………………………………… iv HALAMAN MOTTO………………………………………………………… v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………... vi ABSTRAK…………………………………………………………………….. vii ABSTRACT…………………………………………………………………… viii KATA PENGANTAR………………………………………………………… ix DAFTAR ISI………………………………………………………………….. xii

BAB I PENDAHULUAN

  1.1 Latar Belakang……………………………………………. 1

  1.2 Perumusan Masalah………………………………………. 3

  1.3 Batasan Masalah………………………………………….. 3

  1.4 Tujuan Penelitian…………………………………………. 3

  1.5 Kegunaan Penelitian……………………………………… 4

  1.6 Sistematika Penulisan……………………………………. 4

  BAB II DASAR TEORI

  2.1 Hamiltonian Osilator harmonik………………………… 6

  2.2 Persamaan Nilai Eigen…………………………………. 7

  2.3 Operator Kreasi dan Operator Annihilasi........................ 12

  2.4 Persamaan Differensial Orde Dua……………………… 15

  BAB III METODE PENELITIAN

  3.1 Studi dan Elaborasi Persamaan Differensial Orde Dua... 18

  3.2 Perumusan Energi pada Kapasitor yang Terangkai pada Rangkaian RLC ……………………………………….. 18

  3.3 Kuantisasi Energi pada Rangkaian RLC……………… 18

  

BAB IV KUANTISASI ENERGI RANGKAIAN RLC

  4.1 Energi Rangkaian RLC……………………………….. 19

  4.2 Kuantisasi Energi Rangkaian RLC…………………… 19

  4.3 Implikasi Kuantisasi Energi Rangkain RLC.................. 24

  BAB V PENUTUP

  5.1 Kesimpulan…………………………………………… 25

  5.2 Saran…………………………………………………. 25

  DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………… 26

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

  Fisika merupakan ilmu yang mengalami perkembangan yang sangat pesat dibandingkan dengan ilmu lain. Perkembangan ilmu fisika dapat dilihat dari beberapa bidang seperti astronomi, fisika kuantum, energi dan beberapa bidang fisika terapan. Banyak gejala fisis yang diamati dari eksperimen, yang tidak dapat dijelaskan oleh fisika klasik. Sebagai contoh, energi elektron, energi radiasi benda hitam, efek fotolistrik, hamburan Compton, spektrum garis dari atom, dan lain- lain yang menunjukkan bahwa energi terkuantisasi.

  Kuantisasi energi dalam fisika merupakan suatu yang sangat penting terkait dengan fenomena-fenomena fisis yang teramati dalam eksperimen. Dalam fisika dikenal kuantisasi kanonik yang dikaitkan dengan teori medan gelombang dalam bentuk harmonik dengan melakukan generalisasi formalisme Hamiltonian.

  Generalisasi formalisme Hamiltonian adalah suatu transisi dari teori medan klasik ke teori medan terkuantisasi yang dilakukan dengan cara mengganti Poisson bracket klasik menjadi Poisson bracket kuantum (Silaban, 1977). Jika suatu medan suatu sistem fisis terkuantisasi, maka secara otomatis energi sistem fisis itu juga terkuantisasi.

  Cara yang lain untuk mengkuantisasi energi adalah cara aljabar dengan mendefinisikan operator kreasi dan operator annihilasi. Sebagai contoh, energi osilator harmonik yang dinyatakan oleh operator Hamiltonian Hˆ

  ( )

  2

  ˆ

  p

  H

  V =

• ˆ ˆ

  2 m dengan pˆ operator momentum, m massa partikel, dan Vˆ operator energi potensial

  1 _{2 2} ˆ

  V m x ˆ , = ω

  2 menghasilkan energi terkuantisasi

  1

   E ,

  1 , 2 , 3 ,

  = ω  + δ δ =

  h   L

  δ

  2

    h dengan , h adalah tetapan Planck, dan frekuensi sudut.

  

= ω

  h

  2

  π

  Dalam fisika dikenal rangkaian seri RLC yang terdiri dari tahanan ( R ), kumparan ( L ), dan kapasitor ( C ). Kapasitor dapat menyimpan muatan listrik (Q). Muatan listrik yang tersimpan dalam kapasitor diberikan oleh

  Q CV =

  dengan V adalah beda potensial listrik. Energi yang tersimpan dalam kapasitor tersebut dikenakan oleh

  1 ₂ E CQ .

  =

  2 Energi yang tersimpan di dalam kapasitor mirip dengan energi potensial osilator harmonik

  1 _{2 2} V m x

  = ω

  2

  1.2 Perumusan Masalah

  Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan sebelumnya bahwa energi potensial dari kapasitor keping sejajar yang terangkai seri dengan L dan R mirip dengan energi potensial osilator harmonik. Oleh sebab itu, permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mengkuantisasi energi yang tersimpan pada rangkaian RLC.

  1.3 Batasan Masalah

  Masalah yang diteliti dibatasi pada 1. Rangkaian RLC yang tersusun secara seri pada rangkaian pengosongan dan rangkaian pengisian.

  2. Masalah kuantisasi energi rangkaian RLC menggunakan pengkuantuman secara aljabar.

  1.4 Tujuan Penelitian

  Tujuan dari penelitian ini adalah untuk 1. Mengkuantisasi energi dalam rangkaian RLC secara aljabar.

  2. Implikasi dari kuantisasi energi yang tersimpan di dalam kapasitor pada rangkaian RLC seri.

1.5 Kegunaan Penelitian

  Penelitian ini berguna untuk 1. Menjelaskan kuantisasi energi rangkaian RLC.

2. Mengembangkan ilmu pengetahuan khususnya mengenai konsep kuantisasi energi pada rangkaian RLC seri.

1.6 Sistematika Penelitian

  Bab I pendahuluan Dalam bab ini dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan

  masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, kegunaan penelitian, dan sistematika penelitian.

  Bab II Dalam bab ini akan dijelaskan teori kuantisasi secara aljabar, persamaan

  nilai eigen, operator kreasi dan annihilasi, dan perumusan persamaan diferensial rangkaian RLC beserta penyelesaiannya.

  Bab III Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam penelitian ini.

Bab IV Bab IV menjabarkan kuantisasi energi rangkaian RLC menggunakan metode kuantisasi pada osilator harmonik secara aljabar. Bab V Bab V berisi kesimpulan dan saran.

BAB II DASAR TEORI

2.1 Hamiltonian Osilator Harmonik

  Secara umum osilator harmonik diibaratkan sebagai sebuah massa m yang ditempatkan pada sebuah pegas dengan konstanta k dan kemudian ditarik dengan jarak tertentu dari posisi setimbangnya kemudian dilepas. Persamaan geraknya mengikuti hukum Hooke (Griffihs,1995) ₂

  d x F kx m (2.1) = − = ₂ dt

  dan solusi dari persamaan (2.1) menjadi

  x ( t ) A sin( t ) B cos( t ) (2.2) = ω + ω

  dimana

  k

  (2.3)

  ω ≡ m

  adalah frekuensi osilasi. Energi potensial osilator harmonik (V) dapat diperoleh dari relasi

  dV F (2.4) = − dx

  atau

  dV Fdx , (2.5) = −

  sehingga _x

  1 ₂ V ( kx ) dx kx . (2.6)

  = − − = ∫

  2 Jika x diberikan oleh persamaan (2.2), maka

  1 _{2 2} ˆ .

  V ( x ) m x ˆ . (2.7) = ω

  2 Energi suatu sistem fisis diwakilkan oleh sebuah operator yang disebut Hamiltonian

  Hˆ . Operator Hamiltonian diberikan oleh ( )

  ˆ

  H T V (2.8) =

• ˆ ˆ

  dengan Tˆ operator tenaga kinetik dan Vˆ operator tenaga potensial. Jika osilator harmonik dengan tenaga potensial Vˆ diberikan oleh persamaan (2.7), maka Hamiltonian menjadi

  1

  ˆ

  H T m x , (2.9) = ω ^{2 2}

• ˆ ˆ

  2 dengan ₂

  p ˆ

  ˆ (2.10)

  T =

  2 m

2.2 Persamaan Nilai Eigen

  Operator yang berkorespondensi untuk menunjukkan suatu momentum linear diberikan oleh (Liboff, 1980)

  pˆ i . (2.11) = − ∇

  h Jika ditinjau hanya ke arah x saja, maka operator momentum pˆ menjadi

  ∂ p ˆ i . (2.12) _{x h} = − x

  ∂

  Persamaan nilai eigen dari operator pada persamaan (2.12) diberikan oleh (Liboff, 1980)

  ∂ i p . (2.13)

  − h ψ = n x ψ n x

  ∂

  dengan fungsi eigen dan pˆ nilai eigen yang tidak lain adalah momrntum ke

  ψ _{n x} arah x.

  Operator yang berkorespondensi terhadap energi adalah Hamiltonian Hˆ . Untuk partikel tunggal bermassa m berada dalam medan potensial

  V (x ) ,

  persamaan Hamiltonian diberikan oleh _{2 2}

  p ˆ

  h

  V ( x ) V ( x ) (2.14) = = − ∇

• H
• ˆ
²

  2 m 2 m Persamaan nilai eigen untuk Hˆ menjadi

  ˆ (2.15)

  H ( x ) E ( x ) ψ = ψ _{n n}

  atau ˆ

  H E . (2.16) ψ = n ψ n

  Hamiltonian untuk partikel bebas

  V menjadi ( = ) _{2 2} p ˆ

  h ² ˆ

  H (2.17) = = − ∇

  2 m 2 m Jika gerak partikel ditinjau ke satu arah saja ( misalnya ke arah sumbu x ), maka persamaan Schrodinger yang tak bergantung waktu menjadi _{2 2} h ∂

  E . (2.18) − ψ = ψ _{2 n n}

  2 m x

  ∂

  Jika dituliskan ₂ 2 mE , (2.19)

  ξ = ₂

  h maka persamaan (2.18) menjadi ₂

  d ψ ⁿ +

  (2.20) ₂ ξ ψ = ² _n

  dx

  Penyelesaian persamaan (2.20) adalah ^{i ξ x − i ξ x} +

  Ae Be (2.21) ψ n = Dengan A dan B adalah tetapan integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas.

  Persamaan (2.21) adalah fungsi eigen dari Hˆ yang berkorespondensi untuk energi nilai eigen (Liboff, 1980) _{2 2}

  k

  h

  E . (2.22) =

  2 m Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu diberikan oleh _{2 2}

  

d

  1

  ψ

  h

  − ω ψ = ψ ₂ ^{n 2 2} _{n n}

• m x E (2.23)

  2 m dx

  2 Persamaan energi osilator harmonik dalam bentuk Hamiltonian dapat memperoleh persamaan Schrodinger tak bergantung waktu seperti persamaan (2.23) h

  (Purwanto, 2006). Dengan memenuhi variabel x z , membuat persamaan

  = m

  ω

  (2.23) menjadi ₂ 1 d

  1

  ψ

  m x E (2.24) − ω ω ψ = ψ ^{n 2 2}

• ˆ

  h n n ₂

  2

  2

  dz

  atau ₂

  d ψ ⁿ − = ²

• z (2.25)
₂ λ ψ _n dz

  ( )

  dengan

  2 E . (2.26)

  λ = ω

  h Untuk memperoleh solusi persamaan (2.25) diberikan nilai _{z 2}

  − η u ( z ) e , sehingga diperoleh

  ψ n = = _{2 − η z 2 2} d e

  4 z e . (2.27) _{2 ( )} = − η η ^{2 2 − η z}

• 2

  dz

  Sehingga persamaan ( 2.25) menjadi _{2 2 − η z 2 2 − η z 2}

  2 4 z e z e (2.28)

  − η η λ − = + + ( ) ( )

  1 Sebagai contoh, persamaan (2.28) terpenuhi jika diberikan Fungsi , 1 .

  η = λ = ₂

  2

  − z / ² u ( z ) e merupakan solusi pada persamaan (2.25) dengan

  1

  = λ =

  (Purwanto,2006) ₂

  d ψ

• 1 z . (2.29)
₂ ⁿ − ψ n = ²

  ( ) dz

  Dengan mengambil bentuk umum sembarang yang merupakan perkalian dengan ₂

  − z / ²

  ,

  f ( z ) e = ₂

  − _{z / 2} e f ( z ) (2.30)

  ψ n =

  dan mensubstitusikan ke persamaan (2.30) dengan persamaan (2.29) diperoleh persamaan baru dalam f(z) ₂

  d f df 2 z f .

  1 (2.31) ₂ − λ − ) + ( =

  dz dz

  Pemecahan dari persamaan (2.31) dapat diperoleh dengan menggunakan metode Frobrnius, yaitu dengan mengekspansi ke deret takhingga (Purwanto,2006).

  

∞

_{r 2} f z a z a a z a z (2.32)

  ( ) + + + r = ^{1 2 L}

_{r =}

∑

  Dengan mensubstitusikan persamaan (2.32) ke persamaan (2.31) diperoleh persamaan baru

  

∞

_k a k

  2 k 1 a 2 k 1 z . (2.33)

• Persamaan (2.33) terpenuhi oleh semua z jika koefisien z

  = − − λ − + +

_{k =}

[ k ^{2 ( )( ) k { ( ) } ]} _k

∑

  = a k

  2 k 1 a 2 k 1 . (2.34)

• ^k
• ^{2 ( )( ) k { − ( λ − ) } =}

  Persamaan (2.34) menunjukkan bahwa pemecahannya akan berbentuk deret takhingga, yakni berhenti pada k

  = δ

  1 2 , , 1 , 2 , 3 , 4 , . (2.35)

  λ − = δ δ =

  L Dari persamaan (2.35) dan persamaan (2.26) diperoleh energi dari osilator harmonik

  1

   E , (2.36)

   + = δ h ω δ  

  2

    dan sketsa dari energi osilator harmonik diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1.

  1 ₂ V ( x ) m x

  = ω

  V

  2 E ₂ E ₁ x

Gambar 2.1 Sketsa aras- aras tenaga pada osilator harmonik

2.3 Operator Kreasi dan Operator Annihilasi

  Melalui pedoman persamaan Schrodinger, dan melihat kembali osilator harmonik secara aljabar diperoleh operator-operator

• =
• −
•     
• −

  p i x a p i x a

  , ˆ

  1 ˆ

• −
• = =

• aˆ dengan

• aˆ dengan
• =
• = + =
Persoalan untuk menemukan nilai eigen dari Hˆ telah diubah bentuk untuk menemukan nilai eigen dari operator ˆ

  a a x k m

p

H

  2 ˆ ˆ

  h . (2.43)

  ω

  (2.41) Dengan menambahkan

  − aˆ dan dengan mengurangkan

  − aˆ

  diperoleh ,

  2 ˆ ˆ

  ˆ

  γ − +

  a a x ρ i a a p

  ˆ

  ˆ ^{2 2}

  − + − =

  1 ˆ ˆ

     

   

  − +

  2

  1 ˆ ˆ ˆ

  2

  1

  2 ˆ

  . (2.42) Sehingga persamaan Hamiltonian untuk osilator harmonik menjadi

  a a a a a a

  ˆ ˆ

  ω ω ω ω

  ρ γ ρ γ − =

  (2.37) atau

  ( ) ( ) p i x m m

a

p i x m m

a

  ˆ ˆ

  2

  1 ˆ

  ˆ ˆ

  2

  1 ˆ _{2 1} ^{2 1}

  −   

     =

   =

  h h (2.38) dengan

  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

  ω ρ ω

γ

m m

  h h

  2

  1 ,

  2

  = =

  (2.39) Persamaan ( 2.38) mempunyai hubungan komutator dasar

  [ ] h i p x

  =

  ˆ ,

  ˆ (2.40)

  Hubungan komutator dasar menunjukkan bahwa

  [ ] − + + −

  ˆ ˆ

  N a a (2.44) ≡ + −

  Perhitungan komutator dari Nˆ dengan aˆ dan aˆ yaitu (Cohen-Tannoudji,1977)

• −

  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

  N , a a a , a a a , a a , a a a = = = −

• ˆ

  [ − ] [ − ] [ − ] − + + − + − − [ ]

  (2.45)

  N , a ˆ a ˆ a ˆ , a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ , a ˆ a ˆ a ˆ = = − − = + + + + + + − + +

• ˆ

  [ ] [ ] [ ] [ ]

  dan ˆ

  N , a ˆ a ˆ − = − −

  [ ]

  (2.46) ˆ

  ˆ ˆ

  N , a a =

  [ ]

  Fungsi menjadi fungsi eigen dari Nˆ yang berkorespondensi dengan nilai eigen

  ψ _n n sehingga diperoleh (Liboff, 1980)

  ˆ

  N n . (2.47) ψ = n ψ n

  Hubungan antara a ˆ dengan Nˆ diberikan oleh

  ψ _n −

  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

  

N a a a a a a

  1 a a a a

  1

  ψ = ψ = ( − ) ψ = ( − ) ψ

• − n − − n − − n − − n

  (2.48) ˆ ˆ

  N a ˆ a ˆ N

  1 a ˆ n 1 n 1 a ˆ

  ψ = − ψ = ( − ) ψ = ( − ) ψ − n − n − n − n

  

( )

  Fungsi ˆ adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang berkorespondensi dengan nilai

  a − ψ _n

  eigen

  n

  1

  −

  ˆ (2.49)

  a ψ = ψ

  − n n − ¹

  dan ˆ . (2.50)

  a ψ = ψ

  − n − ^{1 n − 2} Karena dari sifatnya aˆ disebut sebagai operator annihilasi (Liboff, 1980).

  − Dengan cara yang sama seperti persamaan (2.47) , maka operasi dalam bentuk ˆ

  ˆ menghasilkan

  N a ψ + _n

  ˆ ˆ ˆ

  N a n

  1 a (2.51)

  ψ n = ( ) ψ + + + n

  ˆ Persamaan (2.51) mengindikasikan bahwa a adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang

  ψ ⁿ

  berkorespondensi dengan nilai eigen n

  1

  a ˆ (2.52) ψ = ψ _{n n 1}

  dan ˆ

  a (2.53) ψ = ψ _{n 1 n 2}

• Operator aˆ disebut sebagai operator kreasi.
>Jika operator annihilasi aˆ dan operator kreasi aˆ dikenakan pada suatu kea
• −

  maka menghasilkan (Cohen-Tannoudji,1977)

  δ a ˆ

  1 1 (2.54)

  δ = δ δ + + +

  dan ˆ

  a

  1 . (2.55)

  δ = δ δ − −

2.4 Persamaan Differensial Orde Dua

  Persamaan differensial orde dua mempunyai bentuk ₂

  d y dy a a a y (2.56) _{2 2} + + ₁ = dx dx

  dan ₂

  a a d y dy ₁ y F ( x ) (2.57) ₂ + = + dx a dx a _{2 2}

  dimana a , a , a merupakan konstanta. Persamaan (2.56) merupakan persamaan _{2 1} differensial orde dua homogen, sedangkan persamaan (2.57) merupakan persamaan differensial orde dua takhomogen.

  Suatu rangkaian RLC terdiri dari kapasitor, resistor, dan induktor yang disusun seri kemudian dihubungkan dengan sumber tegangan baterai sebesar V , seperti Gambar 2.2

  R

  V C L

Gambar 2.2 Rangkaian RLC dengan sumber

  Persamaan differensial orde dua dari rangkaian RLC yang disusun seri seperti pada Gambar 2.2 diberikan oleh

  Rangkaian RLC tanpa sumber Jika tanpa sumber tegangan, maka persamaan differensial orde dua rangkaian

  2

  −   

     − − =

  LC L R L R D LC L R L R D

  4

  2

  1

  2

  4

  1

  

  2 _{2 2} ^{2 1} (2.61)

  Penyelesaian persamaan (2.59) secara lengkap menjadi

  ( ) ^{t t} e L

  V K e L

  V K L

  

V

Q t α β

  β α αβ − −

  ) ( (2.62) dengan ₁ K dan ₂ K adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan kemudian.

  R C L Gambar 2.3

     

    

  . (2.59) Dengan menggunakan operator

     

  Q d L = + +

  (2.58) atau

  L

  V Q LC dt dQ L

  R dt Q d ₂ ²

  1

  = + +

  dt d D

  1 V Q

  =

  , persamaan (2.59) menjadi

  L

  V Q LC DQ L R Q D ²

  1

  = + +

  (2.60) Akar-akar penyelesaian dari persamaan (2.60) diberikan oleh

  2 ²

  C dt dQ R dt

• − = − =    
•     

  β α − = 

• −
• =
^{2 1}

  RLC pada Gambar 2.3 menjadi ₂ d Q dQ

  1 L R Q (2.63) ₂ + + =

  dt dt C d

  Dengan menggunakan operator D , persamaan (2.63) menjadi

  = dt ₂ R

  1 D Q DQ Q . (2.64)

• =

  L LC

  Karena mempunyai akar-akar penyelesaian yang sama seperti pada persamaan (2.61), maka penyelesaian secara lengkap persamaan (2.64) menjadi

  − α ^{t − β t}

  = ^{3 4}

• Q ( t ) K e K e . (2.65)

  dengan K dan K adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan _{3 4} kemudian.

BAB III METODE PENELITIAN Penelitian dilakukan dengan studi pustaka terhadap teori osilator harmonik

  dan penyelesaian persamaan differensial orde dua untuk rangkaian RLC yang disusun secara seri. Langkah- langkah yang ditempuh sebagai berikut.

  3.1 Studi dan Elaborasi Persamaan Differensial Orde Dua Rangkaian RLC

  Persamaan differensial orde dua pada rangkaian RLC tersebut diselesaikan persamaan umum untuk nilai Q t . Dari persamaan umum yang diperoleh,

  ( ) kemudian dicari persamaan khusus dengan memasukkan syarat batas.

  3.2 Perumusan Energi pada Kapasitor yang Terangkai pada Rangkaian RLC

  Dengan mengunakan hubungan yang ada dalam persamaan osilator harmonik, dijabarkan kembali energi pada kapasitor yang terangkai pada rangkaian RLC.

  3.3 Kuantisasi Energi pada Rangkaian RLC

  Kuantisasi energi pada rangkaian RLC dilakukan dengan mengubah r energi E menjadi operator, dengan memperhatikan persyaratan matematis dan fisis r yang harus dipenuhi. Energi E dinyatakan sebagai kombinasi linear dari operator kreasi aˆ dan operator annihilasi aˆ .

  − +

BAB IV KUANTISASI ENERGI RANGKAIAN RLC

4.1 Energi Rangkaian RLC

  Dari persamaan (2.69), dan dengan menggunakan syarat batas

  Q ( t ) q dan Q ( t ) dimana K dan K q diperoleh persamaan = = = ∞ = ^{1 = 2 =}

  baru

  − β t Q ( t ) Q e . (4.1)

  =

  Persamaan (4.1) menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah muatan yang berasal dari proses pengosongan. Hal tersebut terjadi karena rangkaian tidak diberi sumber tegangan. Sedangkan dari persamaan (2.68), dengan menggunakan syarat batas Q ( t )

  = =

  dan Q ' ( t ) diperoleh persamaan baru

  = =

  V V

  1

  α − β

  β t − α t

  = ₂ L L αβ ( α β )( α β ) α + αβ + −

• +

  −
• Q ( t ) e e (4.2)

  Persamaan (4.2) menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah muatan yang berasal dari proses pengisian. Peristiwa tersebut terjadi karena rangkaian diberi sumber tegangan

  Melalui persamaan (4.1) dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada rangkaian RLC, yaitu sebesar

  dQ ( t ) _t − β

  I Q e (4.3) = = − β dt

  Melalui persamaan (4.2) dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada rangkaian RLC, yaitu sebesar

  dQ ( t )

  1 V

  − β t − α t α − β

  I e e (4.4) = = − β − α ₂ α β α − β

• t L

  ( )( )

  α + αβ

  Energi potensial yang dimiliki oleh muatan yang disimpan di kapasitor yang terhubung pada rangkaian RLC sebesar

  1 ₂ V CQ (4.5)

  =

  2 Sedangkan energi kinetik yang dimiliki pada rangkaian RLC yaitu sebesar

  1

     

  IR

  I R i L . (4.6) = = ω −  

• T

    C

  ω    

  Dari persamaan (4.5) dan persamaan (4.6) diperoleh energi total dari rangkaian

  RLC

  1

  1

    ²  

E H T

  V I R i L CQ . (4.7) _{tot  } = = = ω − + + +  

  C

  2

  ω    

4.2 Kuantisasi Energi Rangkaian RLC

  Persamaan (4.7) mirip dengan persamaan energi osilator harmonik dengan operator Hamiltonian ₂ ˆ

  p

  1 _{2 2} ˆ

  H m q = ω +

  2 m

  2 dengan pˆ menyatakan momentum dan qˆ sebagai koordinat, dan dengan menganggap

  1

     

  = ω −    

• A R i L diperoleh hubungan

  C ω  

   

  1 ²

  IA CQ . (4.8) =

• H

  2 Jika mengunakan hubungan antara persamaan (4.8) dengan persamaan energi osilator harmonik dengan operator Hamiltonian, maka diperoleh ₂

  p ˆ

  I =

  dan

  1 A

  =

  2 m yang menghasilkan ˆ

  p I (4.9) =

  dan

  1 _{2 2}

  1 ₂ ˆ

  m q CQ ω =

  2

  2 yang menghasilkan

  q ˆ Q (4.10) =

  Metode pengkuantuman osilator harmonik secara aljabar dengan menggunakan operator annihilasi aˆ dan operator kreasi aˆ didefinisikan sebagai

  − + _{2 1}

  1

   

  − = ( ω )  

• a ˆ m q ˆ i p ˆ

  2 m

  ω

  h

    _{1 2}

  1

    a ˆ m q ˆ i p ˆ

  = ω −   ( ) +

  2 m

  ω

  h

   

  Jika pasangan momentum (persamaan (4.9)) dan koordinat (persamaan (4.10)) disubstitusikan ke dalam operator annihilasi dan operator kreasi, maka untuk rangkaian pengosongan muatan, operator annihilasi menjadi _{1 2}

  1

  − β t  

  I (4.11) = ω

• a ˆ m Q e i

  −   ( )

  2 m

  ω

  h

    sedangkan operator kreasi menjadi _{1 2}

  1

  − β t  

  ˆ

  a m Q e i I (4.12) = ω −  

  ( )

• 2 m

  ω  h 

  Untuk rangkaian pengisian muatan, operator annihilasi menjadi ₁

  − α t ₂ − β t

  1 

  V e V e     ( α − β ) 

   

  ˆ (4.13)

  a m i

  I − = ω + + +

     ^{2 }

  2 m L L h ω αβ ( α β )( α − β ) α αβ

  

•   ( )   

  sedangkan operator kreasi menjadi _{1 2} − β t − α t

  

  V V e 

  1  e 

  ( α − β )   

  

  ˆ

  a m i I (4.14) = ω − + +  

   

• ²
• ω αβ ( α β )( α − ) β α αβ
>2 m L L

  h

  

    ( )   

  Penjumlahan persamaan(4.11) dengan persamaan (4.12) menghasilkan

  m ω − β ^t

  2 Q e (4.15)

• a ˆ a ˆ

  =

• −

  2 h Pengurangan persamaan (4.11) dengan persamaan (4.12) menghasilkan

  I a ˆ a ˆ i

  2 (4.16)

  − =

• −

  2 m h ω Penjumlahan persamaan (4.13) dan persamaan (4.14) menghasilkan

  − β t − α t

  V V e m  e  ω α − β

  ( )

  ˆ ˆ

  a a

  2 (4.17)

  = + + +

• −
₂

  2 L L

  αβ α β α − β α αβ + +

  h

  ( )( ) ( )

   

  Pengurangan persamaan (4.13) dan persamaan (4.14) menghasilkan

  I

  ˆ ˆ

  a a i

  2 (4.18)

  − = − +

  2 m

  ω

  h Dari persamaan (2.47) dan persamaan (4.8) terdapat hubungan korespondensi bahwa energi dari rangkaian RLC mengikuti