Pembahasan Olimpiade MA SMAI
PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE TINGKAT MA/SMAI
A. ISIAN SINGKAT
1. Persamaan garis
Karena
adalah
tegak lurus
Persamaan garis
−
=−
+
+
=
−
maka gradien garis
adalah
Kedua garis melalui (a, b) maka :
−
=−
+
dan
+
− −
=
−
=−
−
adalah
−
=−
−
+
=
2. Jack = 3028 + Wawan↔Jack - Wawan = 3028 (1)
Jack = -3056 + Primya↔Primya - Jack = 3056 (2)
Hendra = -3028 + Maul↔Maul - Hendra = 3028 (3)
Hendra = 3096 + Wawan↔Hendra - Wawan = 3096 (4),
Maka:
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh Maul - Wawan = 6124 (5)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Primya - Wawan = 6084 (6)
Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh Maul - Primya = 40 (7)
Sehingga dari beberapa persamaan di atas didapatkan
1|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
Maul = Primya + 40 ↔Maul>Primya
Primya = Jack + 3056 ↔Primya>Jack
Maul = Hendra + 3028↔Maul>Hendra
Hendra = Wawan + 3096↔Hendra>Wawan
Jadi, dari uraian di atas jelas yang jadi Presiden (yang mendapatkan nilai terbanyak)
adalah Maul dan Primya sebagai wakilnya.
3. Dengan dalil cosinus
Maka
cos
=
cot
=
cot
=
cot
=
cot
=
=
Sehingga,
=
=
=
+
.�
cot
.�
.�
=
+
+ cot
cot
+ cot
cos
sin
.
+
. �
=
=
+
.
.
+
.
+
.
−
+
.�
+
�
+
.�
.����
+
.
−
−
−
. sin
−
−
,
4. Pertama-tama kita telah mengetahui bahwa umur-umur mereka merupakan bilangan asli
dan hasil kalinya 36. Dari sini kita dapat menuliskan semua kemungkinan yang ada.
2|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
Kemungkinannya :
(1,1,36)
(1,2,18)
(1,3,12)
(1,4,9)
(1,6,6)
(2,2,9)
(2,3,6)
(3,3,4)
38
21
16
14
13
13
11
10
Dengan memperhatikan tabel diatas, kita melihat bahwa perkataan si ibu “apabila saya
memberitahumu jumlah umur mereka, kamu pasti masih bingung” menunjukkan bahwa
jika jumlah umur mereka diketahui, masih terdapat lebih dari satu kemungkinan. Hal ini
berarti jumlah umur mereka adalah 13, dan umur mereka masing-masing (1,6,6) atau
(2,2,9). Tetapi kita perhatikan bahwa ibu tersebut juga berkata “baiklah. Anak tertua saya
menyukai kelinci”. Hal ini berarti ada anak tertua dalam keluarga itu, jadi kemungkinan
umur (1,6,6) tidak memenuhi.
Jadi, umur ketiga anak tersebut masing-masing adalah : 2 tahun, 2 tahun, dan 9 tahun.
5.
=
−
+
�
untuk n = 1,
=
−
+
=
+
=
+
untuk n = 2,
=
−
+
=
+
=
+
+
untuk n = 3,
=
−
+
=
+
=
+
+
dan seterusnya…
maka untuk n = 2014,
+
+
+⋯+
=
−
+
menggunakan Sn untuk jumlahnya
3|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
=
+
+
\
=
+
( +
1+2+3+...+2014 =
)=
=
=
+
+
6. Jawab:
Tersedia angka , , , , , , , (ada 8 angka)
Jika dibuat bilangan tiga angka yang berbeda di antara
dan
maka dapat disusun
sebagai berikut:
a. Jika posisi ratusan angka
bilangan =
× ×
dan posisi puluhan angka
(bukan angka 5), maka banyak
=
b. Jika posisi ratusan angka , maka banyak bilangan =
apabila posisi ratusan angka
c. Jika posisi ratusan angka
=
× ×
atau , maka banyak bilangan adalah
dan posisi puluhan angka <
Jadi, banyak bilangan yang dimaksud =
+
+
Ket :
dan
=
�= ,
−
=|
= titik pusat
Persamaan garis
,
+
,
+
= , =−
+
+
√ +
+ =
=√
+
−
=|
+ −
√ +
. Sama hal nya
, banyak bilangan =
+
7. Rumus
=√
=
|
4|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
∓
|
=
×
×
+
=
=
−
=
=
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak titik B ke
diagonal AG !
H
Penyelesaian :
G
Panjang diagonal sisi BG = √
F
E
Panjang diagonal ruang AG = √
Lihat segitiga ABG
C
Sin A =
G
A
B
BP =
�
�
( √ )
�
=
√
√
√
√
√
=
= √
Jadi, jarak B ke AG = √ cm
A
B
9. karena a adalah salah satu akar maka dapat
sehingga:
+
.
.
+
=− −
=
maka −
−
dikali a menjadi
+ +
=
ditulis
+
+
+ +
=
ditulis
+ +
= ,
=
=− −
=
karena a adalah salah satu akar maka dapat
sehingga:
+
+
=
maka −
−
=
5|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
= ,
�
=− −
dikali b menjadi
=− −
.
=
.
Sehingga
+
.
=
+
=
+
=
10. Penyelesaian:
+
=
+
−
+
+
+
−
+
=
−
−
+
=
Jika
=
+
−
−
+
−
=
=
+
− −
+
=
−
5 + 99
Peluang =
5
=
=
.
.
−
+
.
=
=
Jadi, banyak minimum kelereng putih adalah 990 dan banyak maksimumnya adalah
1035.
B. URAIAN
1. Penyelesaian :
sin
−
/ cos
− cos +
− cos +
−
−
+⋯ =
+⋯ =
6|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
sin
− cos
− cos +
− cos +
− cos
− cos
cos
+ cos
=
=
−
−
−
+⋯ =
+⋯ =
=
+ cos
Dengan identitas trigonometri di dapat : sin
�
<
�
=
sin
=
+ sin
−
Karena
+ cos
sin
�
=
−
−
= ±√ −
−
berada dikuadran II, artinya nilai sin a haruslah positif
sin
=√ −
−
2. Penyelesaian :
Alternatif 1
−
=
=
−
=
−
=
Karena
!=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
merupakan tiga bilangan berurutan, maka habis dibagi
Alternatif 2
−
(i)
Jika z genap maka
juga genap sehingga
Jika z ganjil maka
juga ganjil sehingga
sehingga terbukti
habis dibagi 6.
7|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
−
−
adalah genap.
adalah genap.
−
Dengan demikian,
dibagi 2.
(ii)
−
Akan dibuktikan
bilangan bulat genap sehingga
−
habis
habis dibagi 3.
Teorema Fermat: “Untuk a bilangan bulat dan p bilangan prima berlaku
�
�
−
.”
≡
Berdasarkan Teorema Fermat, maka
−
juga habis dibagi 3. Maka,
3.
Karena
−
�
habis dibagi p dapat ditulis dengan
−
+
habis dibagi 3.
−
=
−
−
−
= .
8|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
atau
habis dibagi 3 dan
+
+
−
−
pasti habis dibagi
−
=
Karena 2 dan 3 relatif prima maka terbukti bahwa
∙
≡
−
−
maka
habis dibagi
A. ISIAN SINGKAT
1. Persamaan garis
Karena
adalah
tegak lurus
Persamaan garis
−
=−
+
+
=
−
maka gradien garis
adalah
Kedua garis melalui (a, b) maka :
−
=−
+
dan
+
− −
=
−
=−
−
adalah
−
=−
−
+
=
2. Jack = 3028 + Wawan↔Jack - Wawan = 3028 (1)
Jack = -3056 + Primya↔Primya - Jack = 3056 (2)
Hendra = -3028 + Maul↔Maul - Hendra = 3028 (3)
Hendra = 3096 + Wawan↔Hendra - Wawan = 3096 (4),
Maka:
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh Maul - Wawan = 6124 (5)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Primya - Wawan = 6084 (6)
Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh Maul - Primya = 40 (7)
Sehingga dari beberapa persamaan di atas didapatkan
1|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
Maul = Primya + 40 ↔Maul>Primya
Primya = Jack + 3056 ↔Primya>Jack
Maul = Hendra + 3028↔Maul>Hendra
Hendra = Wawan + 3096↔Hendra>Wawan
Jadi, dari uraian di atas jelas yang jadi Presiden (yang mendapatkan nilai terbanyak)
adalah Maul dan Primya sebagai wakilnya.
3. Dengan dalil cosinus
Maka
cos
=
cot
=
cot
=
cot
=
cot
=
=
Sehingga,
=
=
=
+
.�
cot
.�
.�
=
+
+ cot
cot
+ cot
cos
sin
.
+
. �
=
=
+
.
.
+
.
+
.
−
+
.�
+
�
+
.�
.����
+
.
−
−
−
. sin
−
−
,
4. Pertama-tama kita telah mengetahui bahwa umur-umur mereka merupakan bilangan asli
dan hasil kalinya 36. Dari sini kita dapat menuliskan semua kemungkinan yang ada.
2|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
Kemungkinannya :
(1,1,36)
(1,2,18)
(1,3,12)
(1,4,9)
(1,6,6)
(2,2,9)
(2,3,6)
(3,3,4)
38
21
16
14
13
13
11
10
Dengan memperhatikan tabel diatas, kita melihat bahwa perkataan si ibu “apabila saya
memberitahumu jumlah umur mereka, kamu pasti masih bingung” menunjukkan bahwa
jika jumlah umur mereka diketahui, masih terdapat lebih dari satu kemungkinan. Hal ini
berarti jumlah umur mereka adalah 13, dan umur mereka masing-masing (1,6,6) atau
(2,2,9). Tetapi kita perhatikan bahwa ibu tersebut juga berkata “baiklah. Anak tertua saya
menyukai kelinci”. Hal ini berarti ada anak tertua dalam keluarga itu, jadi kemungkinan
umur (1,6,6) tidak memenuhi.
Jadi, umur ketiga anak tersebut masing-masing adalah : 2 tahun, 2 tahun, dan 9 tahun.
5.
=
−
+
�
untuk n = 1,
=
−
+
=
+
=
+
untuk n = 2,
=
−
+
=
+
=
+
+
untuk n = 3,
=
−
+
=
+
=
+
+
dan seterusnya…
maka untuk n = 2014,
+
+
+⋯+
=
−
+
menggunakan Sn untuk jumlahnya
3|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
=
+
+
\
=
+
( +
1+2+3+...+2014 =
)=
=
=
+
+
6. Jawab:
Tersedia angka , , , , , , , (ada 8 angka)
Jika dibuat bilangan tiga angka yang berbeda di antara
dan
maka dapat disusun
sebagai berikut:
a. Jika posisi ratusan angka
bilangan =
× ×
dan posisi puluhan angka
(bukan angka 5), maka banyak
=
b. Jika posisi ratusan angka , maka banyak bilangan =
apabila posisi ratusan angka
c. Jika posisi ratusan angka
=
× ×
atau , maka banyak bilangan adalah
dan posisi puluhan angka <
Jadi, banyak bilangan yang dimaksud =
+
+
Ket :
dan
=
�= ,
−
=|
= titik pusat
Persamaan garis
,
+
,
+
= , =−
+
+
√ +
+ =
=√
+
−
=|
+ −
√ +
. Sama hal nya
, banyak bilangan =
+
7. Rumus
=√
=
|
4|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
∓
|
=
×
×
+
=
=
−
=
=
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak titik B ke
diagonal AG !
H
Penyelesaian :
G
Panjang diagonal sisi BG = √
F
E
Panjang diagonal ruang AG = √
Lihat segitiga ABG
C
Sin A =
G
A
B
BP =
�
�
( √ )
�
=
√
√
√
√
√
=
= √
Jadi, jarak B ke AG = √ cm
A
B
9. karena a adalah salah satu akar maka dapat
sehingga:
+
.
.
+
=− −
=
maka −
−
dikali a menjadi
+ +
=
ditulis
+
+
+ +
=
ditulis
+ +
= ,
=
=− −
=
karena a adalah salah satu akar maka dapat
sehingga:
+
+
=
maka −
−
=
5|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
= ,
�
=− −
dikali b menjadi
=− −
.
=
.
Sehingga
+
.
=
+
=
+
=
10. Penyelesaian:
+
=
+
−
+
+
+
−
+
=
−
−
+
=
Jika
=
+
−
−
+
−
=
=
+
− −
+
=
−
5 + 99
Peluang =
5
=
=
.
.
−
+
.
=
=
Jadi, banyak minimum kelereng putih adalah 990 dan banyak maksimumnya adalah
1035.
B. URAIAN
1. Penyelesaian :
sin
−
/ cos
− cos +
− cos +
−
−
+⋯ =
+⋯ =
6|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
sin
− cos
− cos +
− cos +
− cos
− cos
cos
+ cos
=
=
−
−
−
+⋯ =
+⋯ =
=
+ cos
Dengan identitas trigonometri di dapat : sin
�
<
�
=
sin
=
+ sin
−
Karena
+ cos
sin
�
=
−
−
= ±√ −
−
berada dikuadran II, artinya nilai sin a haruslah positif
sin
=√ −
−
2. Penyelesaian :
Alternatif 1
−
=
=
−
=
−
=
Karena
!=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
merupakan tiga bilangan berurutan, maka habis dibagi
Alternatif 2
−
(i)
Jika z genap maka
juga genap sehingga
Jika z ganjil maka
juga ganjil sehingga
sehingga terbukti
habis dibagi 6.
7|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
−
−
adalah genap.
adalah genap.
−
Dengan demikian,
dibagi 2.
(ii)
−
Akan dibuktikan
bilangan bulat genap sehingga
−
habis
habis dibagi 3.
Teorema Fermat: “Untuk a bilangan bulat dan p bilangan prima berlaku
�
�
−
.”
≡
Berdasarkan Teorema Fermat, maka
−
juga habis dibagi 3. Maka,
3.
Karena
−
�
habis dibagi p dapat ditulis dengan
−
+
habis dibagi 3.
−
=
−
−
−
= .
8|OL I MPIA D E MA TEMA TIKA X VI ( OP TIKA XVI)
atau
habis dibagi 3 dan
+
+
−
−
pasti habis dibagi
−
=
Karena 2 dan 3 relatif prima maka terbukti bahwa
∙
≡
−
−
maka
habis dibagi