SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA
SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA
TINGKAT SMA
1. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000
sedemikian hingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10
Jawab :
Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10,
maka pasangan angka pertama dan angka terakhir yang mungkin
adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)
Untuk (1,9)
a.
Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91
b.
Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka)
dan kebalikanya (10 angka)
c.
Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2
angka dari angka 0 sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi
dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99. Sehingga
jumlahnya adalah 80.
Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah
adalah 160 ( dikali 2, karena satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9
dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)
Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.
Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka
untuk pasangan (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)
Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan
adalah :
182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya
dihitung sekali saja)
2.
Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …. + 20092 – 20102
+ 20112
Jawab :
12 – 22 dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 3 2 – 42 dapat
diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4) = – 3 – 4, dan seterusnya.
Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :
-1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 2011 2 , atau :
- (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 20112
- ½ x 2010 x 2011 + 20112
2011 (-1005 + 2011)
2011 x 1006 = 2023066
3.
Manakah yang merupakan bilangan prima ?
1111 – 11,
77 – 7,
22 – 2
Jawab :
1111 – 11 = 11 (1110 – 1)
77 – 7 = 7 (76 – 1)
55 – 5 = 5 (54 – 1)
33 – 3 = 3 (32 – 1)
22 – 2 = 2 (2 – 1) = 2
4.
55 – 5,
33 – 3,
⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)
⟾ prima
Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan
KPK 120
Jawab :
FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22
KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 2 3
. 3 . 5,
Maka pasangan bilangannya adalah
22 dengan 23 . 3 . 5
⟾
4 dengan 120
2
3
2 . 3 dengan 2 . 5
⟾
12 dengan 40
22 . 5 dengan 23 . 3
⟾
20 dengan 24
2
3
2 . 3. 5 dengan 2 ⟾
60 dengan 8
5.
Berapa digit satuan dari 17103 + 5?
Jawab :
Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup
hanya memperhatikan angka terakhir dari 7103
Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita
akan dapatkan pola angka satuanya sebagai berikut :
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1
Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka
satuan sebagai berikut :
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6
Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka
satuannya = 2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa
2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya
6
Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka
terakhirnya adalah 6
6.
Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing
hanya sekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang
berbeda sedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu
paling kecil
Jawab :
Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga
berbeda, maka selisih paling kecil adalah 11111
Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan
angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan
susunan angka tersebut.
7.
Jika 1998 = psqtru, dengan p, q, dan r bilangan prima, hitunglah p
+ q + r + s + t + u?
Jawab :
1998 = 2. 33. 37
Sehingga p + q + r + s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47
8.
Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan
2002 : (m2 – 2) juga merupakan bilangan bulat positif
Jawab :
Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m2 – 2 harus sama dengan nilai
salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor
tersebut.
Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah :
m2 – 2 = 2, dengan m = 2
m2 – 2 = 7, dengan m = 3
m2 – 2 = 14, dengan m = 4
9.
Tentukan sisa pembagian 132011 oleh 10
Jawab :
Karena dibagi 10, maka sisa pembagiannya adalah angka satuan
dari bilangan tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya,
kita cukup dengan memperhatikan angka satuan dari 32011.
Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari 3, 32, 33, 34, 35, …
sebagai berikut :
3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1
Karena 2011/4 = 502 bersisa 3, maka sebagaimana pada
pembahasan soal nomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya
adalah 1
Berarti sisa pembagianya adalah 1
10.
Hasil kali angka-angka dari bilangan dua digit N adalah M.
Tentukan N, jika M + N = 118.
Jawab :
Misalkan N adalah bilangan dengan a sebagai digit puluhan dan b
sebagai digit satuan
M = ab
N = 10a + b
M + N = 118
ab + 10a + b = 118
karena a dan b adalah digit satuan yang merupakan bilangan bulat
positif mulai dari 0 hingga 9 dan a tidak nol, maka kita tinggal
mencari mana yang cocok.
Jika a = 1, maka b = 45
⟾
tidak cocok
Jika a = 2, maka b = 32,67
⟾
tidak cocok
Jika a = 3, maka b = 22
⟾
tidak cocok
Jika a = 4, maka b = 15,6
⟾
tidak cocok
Jika a = 5, maka b = 11,33
⟾
tidak cocok
Jika a = 6, maka b = 8,28
⟾
tidak cocok
Jika a = 7, maka b = 6
⟾
cocok
Maka N adalah 76
TINGKAT SMA
1. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000
sedemikian hingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10
Jawab :
Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10,
maka pasangan angka pertama dan angka terakhir yang mungkin
adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)
Untuk (1,9)
a.
Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91
b.
Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka)
dan kebalikanya (10 angka)
c.
Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2
angka dari angka 0 sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi
dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99. Sehingga
jumlahnya adalah 80.
Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah
adalah 160 ( dikali 2, karena satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9
dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)
Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.
Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka
untuk pasangan (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)
Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan
adalah :
182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya
dihitung sekali saja)
2.
Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …. + 20092 – 20102
+ 20112
Jawab :
12 – 22 dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 3 2 – 42 dapat
diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4) = – 3 – 4, dan seterusnya.
Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :
-1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 2011 2 , atau :
- (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 20112
- ½ x 2010 x 2011 + 20112
2011 (-1005 + 2011)
2011 x 1006 = 2023066
3.
Manakah yang merupakan bilangan prima ?
1111 – 11,
77 – 7,
22 – 2
Jawab :
1111 – 11 = 11 (1110 – 1)
77 – 7 = 7 (76 – 1)
55 – 5 = 5 (54 – 1)
33 – 3 = 3 (32 – 1)
22 – 2 = 2 (2 – 1) = 2
4.
55 – 5,
33 – 3,
⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)
⟾ prima
Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan
KPK 120
Jawab :
FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22
KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 2 3
. 3 . 5,
Maka pasangan bilangannya adalah
22 dengan 23 . 3 . 5
⟾
4 dengan 120
2
3
2 . 3 dengan 2 . 5
⟾
12 dengan 40
22 . 5 dengan 23 . 3
⟾
20 dengan 24
2
3
2 . 3. 5 dengan 2 ⟾
60 dengan 8
5.
Berapa digit satuan dari 17103 + 5?
Jawab :
Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup
hanya memperhatikan angka terakhir dari 7103
Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita
akan dapatkan pola angka satuanya sebagai berikut :
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1
Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka
satuan sebagai berikut :
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6
Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka
satuannya = 2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa
2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya
6
Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka
terakhirnya adalah 6
6.
Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing
hanya sekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang
berbeda sedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu
paling kecil
Jawab :
Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga
berbeda, maka selisih paling kecil adalah 11111
Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan
angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan
susunan angka tersebut.
7.
Jika 1998 = psqtru, dengan p, q, dan r bilangan prima, hitunglah p
+ q + r + s + t + u?
Jawab :
1998 = 2. 33. 37
Sehingga p + q + r + s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47
8.
Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan
2002 : (m2 – 2) juga merupakan bilangan bulat positif
Jawab :
Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m2 – 2 harus sama dengan nilai
salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor
tersebut.
Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah :
m2 – 2 = 2, dengan m = 2
m2 – 2 = 7, dengan m = 3
m2 – 2 = 14, dengan m = 4
9.
Tentukan sisa pembagian 132011 oleh 10
Jawab :
Karena dibagi 10, maka sisa pembagiannya adalah angka satuan
dari bilangan tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya,
kita cukup dengan memperhatikan angka satuan dari 32011.
Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari 3, 32, 33, 34, 35, …
sebagai berikut :
3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1
Karena 2011/4 = 502 bersisa 3, maka sebagaimana pada
pembahasan soal nomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya
adalah 1
Berarti sisa pembagianya adalah 1
10.
Hasil kali angka-angka dari bilangan dua digit N adalah M.
Tentukan N, jika M + N = 118.
Jawab :
Misalkan N adalah bilangan dengan a sebagai digit puluhan dan b
sebagai digit satuan
M = ab
N = 10a + b
M + N = 118
ab + 10a + b = 118
karena a dan b adalah digit satuan yang merupakan bilangan bulat
positif mulai dari 0 hingga 9 dan a tidak nol, maka kita tinggal
mencari mana yang cocok.
Jika a = 1, maka b = 45
⟾
tidak cocok
Jika a = 2, maka b = 32,67
⟾
tidak cocok
Jika a = 3, maka b = 22
⟾
tidak cocok
Jika a = 4, maka b = 15,6
⟾
tidak cocok
Jika a = 5, maka b = 11,33
⟾
tidak cocok
Jika a = 6, maka b = 8,28
⟾
tidak cocok
Jika a = 7, maka b = 6
⟾
cocok
Maka N adalah 76