Pembahasan Olimpiade Minggu ke 2
Contact Person : 0896-5985-6821 Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari “Failure is an option. If things are not failing, you are not innovating enough”
(Kegagalan adalah suatu pilihan. Jika hal-hal (yang anda lakukan) tidak mengalami kegagalan, artinya anda tidak cukup melakukan inovasi)
Elon Musk
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
Olimpiade Mingguan Minggu ke-2
Periode 14-21 Maret 2018
Sebelum memulai jangan lupa berdoa dulu ya menurut agama dan keyakinannya masing-masing , bagi yang muslim baca doa mau belajar ya
ِ ي ِ ِ رلا ِ م ِ ح ِ ِ رلا ِ ِ س
ِ ح ِ هللا ِ م ِ مِ ِ نِ ِ ب ْ ً ِا ًم ل عِي ن د زِ ِّب رِ لْ و ُس ر وِاًّي ب نِ ٍد م ح ُم ب وِا ًن ي دِ م لَ س لْا ب وِاًّب رِ هللاا بِ ُت ي ض ر
ا ًم ه قُز ر و
فِي ن“Dengan menyebut nama Allah yang maha pengasih lagi maha penyayang, kami ridho Allah SWT sebagai tuhanku, islam sebagai Agamaku, dan Nabi Muhammad sebagai Nabi dan Rasul, Ya Allah, tambahkanlah kepadaku ilmu dan berikanlah aku pengertian yang baik ”
Number 1 Suatu silinder bermassa dan jari-jari berada di atas permukaan kasar suatu bidang miring yang tidak dapat bergerak dengan sudut kemiringan
. Koefisien gesek antara silinder dan bidang miring sangat besar sehingga silinder tidak dapat slip terhadap bidang miring. Kemudian suatu batang tegar bermassa
= 3 sepanjang = 5 diletakkan di atas bidang miring dan bersentuhan dengan silinder. Ujung bawah batang ini di pasang pada poros licin yang menempel di permukaan bidang miring. Koefisien gesek antara batang dan silinder adalah
. Asumsikan pusat massa batang berada di antara poros licin dan titik sentuh batang dengan silinder.
Jika sudut yang dibentuk antara batang tegar dan bidang miring adalah , tentukanlah : a.
Percepatan pusat massa silinder sebagai fungsi ! b.
Percepatan sudut batang terhadap poros licin sebagai fungsi ! c. Percepatan pm batang komponen sejajar bidang miring sebagai fungsi ! d.
Percepatan pm batang komponen tegak lurus bidang miring sebagai fungsi ! e. Vektor percepatan pusat massa batang!
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
Keterangan : pm adalah pusat massa Pembahasan : a.
Perhatikan gambar di bawah ini!
1
1
1
1
2
sin
2
cos Tinjau gerak rotasi batang terhadap poros licin. Gaya dari poros tidak perlu kita pertimbangkan di sini karena lengan momennya nol. Misalkan percepatan sudut papan adalah .
. Karena silinder slip terhadap batang maka akan berlaku =
1
1
1
2
cos( − ) =
1
2 −
3
5
1
2
3 cos( − ) = (5 )
1
2 −
3
15
2
= 25 … (1) ( − ) −
1
2 cos Sekarang tinjau gerak translasi dan rotasi silinder Gerak translasi (arah sejajar bidang miring) sin − − cos + sin =
2
1
1
- sin −
(sin − cos ) = … (2)
2
1 Gerak rotasi
Misalkan percepatan sudut silinder adalah . Karena silinder menggelinding tanpa slip di atas lantai akan berlaku
= .
1
1
2
( − ) = ⟹ + =
2
1
2
1
2 2 … (3) Sekarang perhatikan titik sentuh antara batang dan silinder. Titik ini tidak ikut berotasi bersama silinder melainkan hanya ikut dipercepat pada arah sejajar bidang miring sehingga akan berlaku = sin ⟹ = sin … (4) Sekarang perhatikan bangun layang-layang yang dibentuk oleh batang dan silinder. Dari sini akan kita dapatkan bahwa tan … (5)
2 = ⟹ = tan 2
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
Subtitusi persamaan (5) ke (4) = sin ⟹ = sin tan 2 … (6) tan 2 Subtitusi persamaan (6) dan (5) ke (1)
15 = 25
( − ) −
1
2 cos sin tan
2 tan 2
15
2
= ( − ) − 25 csc tan
1
2 tan 2 cos 2 … (7) Subtitusi persamaan (3) ke (2)
1 sin − − (sin − cos ) =
1
1
2 +
3 sin + (sin − (1 + cos )) =
1
2
15
2
sin + [ ( − ) − 25 csc tan (1 + cos )) 2 tan 2 cos 2] (sin −
3 =
2
15 [sin + ( − ) (sin − (1 + cos ))] 2 tan 2 cos
3
2
= [ (1 + cos ))] 2 + 25 csc tan 2 (sin − sin + 15 2 tan 2 cos( − ) (sin − (1 + cos ))
=
3
2
2 + 25 csc tan 2 (sin − (1 + cos )) b. Subtitusi nilai ke persamaan (6) sin + 15
1 2 tan 2 cos( − ) (sin − (1 + cos )) = [
]
3 sin tan
2
2
2 + 25 csc tan 2 (sin − (1 + cos )) sin + 15 2 tan 2 cos( − ) (sin − (1 + cos ))
=
3 sin tan
2
2
2 + 25 csc tan 2 (sin − (1 + cos )) c. Percepatan pusat massa batang sejajar bidang miring adalah
5 =
∥
2 sin = 2 sin sin + 15 5 2 tan 2 cos( − ) (sin − (1 + cos ))
=
∥
3 2 tan
2
2
2 + 25 csc tan 2 (sin − (1 + cos )) d. Percepatan pusat massa batang sejajar bidang miring adalah
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
5 =
⊥
2 cos = 2 cos sin + 15 5 2 tan 2 cos( − ) (sin − (1 + cos ))
=
⊥
3 2 cot tan
2
2
2 + 25 csc tan 2 (sin − (1 + cos )) e. Vektor percepatan pusat massa batang adalah
⃗ = ( − ) ̂ − ( − ) ̂
B
2 sin 2 cos
5
5 ⃗ =
( − ) ̂ − ( − ) ̂
B
2 sin 2 cos Dengan adalah percepatan sudut batang seperti jawaban pada bagian b.
Number 2 Diberikan suatu sistem balok-katrol seperti gambar di bawah ini.
… Masing-masing katrol bermassa dan memiliki jari-jari
. Setiap katrol tidak dapat slip terhadap tali. Di ujung kiri sistem diletakkan beban yang bermassa dan diujung kanan sistem diletakkan balok beban bermassa
. Pada sistem terdapat sejumlah balok bermassa ( > 4 ). Arah percepatan gravitasi adalah ke bawah. Jika terdapat buah balok , tentukanlah : a.
Jumlah katrol yang terdapat pada sistem! Untuk kondisi pertama, asumsikan lantai licin. Tentukanlah : b.
Percepatan sistem! c. Jika percepatan sistem sama dengan sepertiga percepatan gravitasi, tentukan massa
! dinyatakan dalam dan Untuk kondisi kedua, asumsikan lantai kasar dengan koefisien gesek kinetik . Tentukanlah : d.
Percepatan sistem! e. Sama seperti sebelumnya, jika percepatan sistem sama dengan sepertiga percepatan gravitasi, tentukan massa ! dinyatakan dalam dan
Selanjutnya, beban di ujung kanan sistem diganti dengan kotak berisi air yang massa totalnya adalah . Setelah selang waktu air habis dan massa beban yang tersisa adalah
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
/4. Abaikan kecepatan air ketika keluar dari kotak. Jika pada awalnya sistem diam, tentukanlah : f.
Kecepatan sistem sebagai fungsi waktu saat air belum habis untuk kondisi pertama! g.
Kecepatan sistem tepat ketika air habis untuk kondisi pertama! h.
Kecepatan sistem sebagai fungsi waktu saat air belum habis untuk kondisi kedua! i. Kecepatan sistem tepat ketika air habis untuk kondisi kedua!
Pembahasan : a.
Untuk mengerjakan soal ini, sebaiknya kita cari pola yang mempermudah kita, bukan malah meninjau setiap bagian sistem. Baik, kita tinjau sebagian sistem seperti gambar di bawah ini.
,1 ,1 ,1 ,2
,1 ′ ,1 ,1
,1 ,1 ,1 ,1 ′ ,1
,1
Kita tinjau fraksi sistem yang terdiri dari 4 katrol dan sebuah balok. Kita hitung balok paling kiri sebagai balok 1 dan kita sebut fraksi sistem yang di dalamnya terdapat balok 1 ini sebagai fraksi sistem 1. Untuk fraksi sistem yang terdapat balok 2 di dalamnya kita namakan fraksi sistem 2 dan seterusnya. Setiap katrol pada fraksi sistem kita beri nama dengan huruf romawi dengan urutan seperti gambar di atas. Karena ada fraksi sistem, maka jumlah katrol dalam sistem adalah 3 + 1 buah katrol.
b.
Selanjutnya karena tali tidak slip terhadap katrol maka akan berlaku = . Kita tinjau benda benda pada fraksi sistem 1 akan kita dapatkan
1
1
2
( − ) = ( − =
,1 ,1
2 ) ⟹
2 Sehingga dengan cara yang sama
1 − =
,1 ,1
2
1
′
− =
,1 ,1
2
1 − =
,2 ,1
2 Untuk balok
′
− =
,1 ,1
Dengan menjumlahkan semua persamaan yang tadi kita dapatkan akan kita peroleh
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
−
,1
= 12 −
,1 ,1
= 12
′
− =
,1 ,1 ′
−
,1 ,1
= 12
- − + )
,1
= (32
3 = + ( + )
,1
2 Maka untuk fraksi berikutnya akan kita peroleh
3
3 = + ( + ) = + 2 ( + )
,2 ,1
2
2
3
3 = + ( + ) = + 3 ( + )
,3 ,2
2
2 … Sehingga pada fraksi ke akan kita dapatkan
3 = + ( + )
,
2
,
Mengikuti pola yang ada
1 = +
,
2
3
1 = + [ ( + ) + ]
2
2 Tinjau beban − = ⟹ = +
Tinjau beban − =
3
1 − − [ ( + ) + ] =
2
2
3
1 − − − [ ( + ) + ] =
2
2
3
1
- ) + + + ] ( − ) = [ (
2
2
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
( − ) =
- (32 + ) + 12 c.
Jika percepatan = /3 maka ( − ) 3 =
- (32 + ) + 12
3
1 ( + ) + + + = 3 − 3
2
2
3
1 2 = ( + ) + + 4
2
2
3
1 = + ) + + 2 2 (
2
4 d. Untuk kasus lantai kasar, kita hanya perlu mengubah persamaan gerak balok menjadi
Untuk balok
′
− − =
,1 ,1 k ′
− = +
,1 ,1
Sehingga akan kita dapatkan dengan cara yang sama seperti bagian b yaitu
3 = + + ( + )
,1
2 Pada fraksi sistem berikutnya
3
3 = + + ( + ) = + 2 + 2 ( + )
,2 ,1
2
2
3
3 = + + ( + ) = + 3 + 3 ( + )
,3 ,2
2
2 …
3 = + + ( + )
,
2 Mengikuti pola yang ada
1
- =
,
2
3
1 = + + [ ( + ) + ]
2
2 Tinjau beban − = ⟹ = +
Tinjau beban − =
3
1 − − − [ ( + ) + ] =
2
2
3
1 − − − − [ ( + ) + ] =
2
2
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
3
1 ( − (1 + ) ) = [ ( + ) + + + ]
2
2 ( − (1 + ) )
=
- (32 + ) + 12 e.
Jika = /3 maka ( − (1 + ) ) 3 =
- (32 + ) + 12
3
1 ( + ) + + + = 3 − 3(1 + )
2
2
3
1 2 = ( + ) + + (4 + 3 )
2
2
3
1
1 = + ) + (4 + 3 ) + 2 (
2
4
2 f. Karena air habis dalam waktu , berarti laju keluarnya massa air setiap waktunya adalah
3 =
4 Maka beban kanan sebagai fungsi waktu adalah
3 ( ) = −
4 Dengan menggunakan hasil dari bagian b akan kita peroleh ( ( ) − )
=
- ( ) + (32 + ) + 12
( − 3 ( − 3 4 − ) 4 − ) =
=
- − 3 − 3 (32 + ) + 12 4 +
4
3
1 dengan = ( + ) + + +
2
2
3 ( − ) 4 ( − )
3
4 = − = 4 − 3 − 4 − 3
− 3 − 3
4
4 4 ( − ) −4 + 4 − 3 4 ( − ) − 4 = = [ + 1] 4 − 3 + 4 − 3 4 − 3
4 ( − ) − 4
- 1] = [ 4 − 3
( )
∫ = [(4 ( − ) − 4 ) ∫ + ∫ ] 4 − 3
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
4 − 4 ( − )
3 ( ) = [ ln (1 − 3 4 ) + ] g.
Saat = 4 − 4 ( − )
3 ( ) = [ ln (1 − 3 4 ) + ] h.
Dengan cara yang sama seperti bagian f akan kita peroleh 4 − 4 ( − (1 + ) )
3 ( ) = [ ln (1 − 3 4 ) + ] i.
Pada saat = 4 − 4 ( − (1 + ) )
3 ( ) = [ ln (1 − 3 4 ) + ]
Number 3 Diberikan sistem balok katrol seperti gambar di bawah. Sistem A Sistem B
1
1
2
2
3
4
3
4
… Pada kedua sistem tersebut, massa semua katrol dapat diabaikan dan anggap katrol licin. Massa = , = 2 , = 3 , = 4 , … , = .
1
2
3
4 Untuk sistem A tentukanlah :
a. ! Percepatan balok
1
b. ! Percepatan balok
2
c. ! Percepatan balok
3
d. ! Percepatan balok
4
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
Untuk sistem B e.
! Jika terdapat balok, tentukan percepatan balok
1 f.
Jika terdapat sangat banyak balok di sebelah kanan sistem ( → ∞), tentukan percepatan balok !
1 Keterangan : untuk soal bagian e dan f, penulis tidak berhasil menemukan solusinya, jadi
di pembahasan hanya ada solusi bagian a sampai d. Silahkan bagi yang ingin mencoba
menemukan solusinya, penulis berharap semoga ada yang berhasil menemukannya agar
solusi soal ini bisa sempurna. Sekian dan terima kasih ... Pembahasan : a. di
Pertama kita tinjau sistem katrol sebelah kiri yang teradapat massa dan
1
2
dalamnya. Misalkan percepatan kedua katrol ini terhadap katrol kiri adalah , maka
L
percepatan pusat massa sistem terhadap katrol kiri adalah (jadikan arah ke atas sebagai arah positif) − −
1
1 L
2 L
2
1
= ⟹ = − = −
pm,L pm,L L L
- 3 +
1
2
2
1 Dengan cara yang sama untuk sistem di sebelah kanan dan misalkan percepatan
3
4 R
massa relatif terhadap katrol kanan adalah , maka dan
− −
1
3 R
4 R
4
3
= ⟹ = − = −
pm,R pm,R R R
- 7 +
3
4
4
3 Sekarang misalkan percepatan katrol kiri dan kanan terhadap katrol tetap adalah .
Kita tinjau gerak sistem kiri dan kanan terhadap tanah. Sistem kiri
− ( ) + + + ) = ( )(
1
2
1 2 pm,L
1 − 3 = 3 ( − ) … (1)
L
3 Sistem kanan ( ) − = ( )( + + + )
3
4
3 4 pm,R
1 7 − = 7 ( − ) … (2)
R
7 Jumlahkan persamaan (1) dan (2) akan kita dapatkan 4 = 10 − ( + )
L R
4 = 10 − ( ) … (3)
- L R
Karena katrol tidak bermassa, tegangan tali pada tali kiri dan kanan yang melilit katrol bergerak akan sama besarnya. Di sini juga berlaku = 2 . Tinjau gerakan masing- masing massa terhadap tanah.
Balok
1
) + − = (
1
1 L
- − = (
) … (4)
L
Balok
2
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari Contact Person : 0896-5985-6821
) − = (− +
2
2 L
- 2 − = 2 (−
) … (5)
L
Balok
3
- − = ) (−
3
3 R
- − 3 = 3 (− ) … (6)
R
Balok
4
− = ) + (
4
4 R
4 − = 4 ( + ) … (7)
R
Dari penjumlahan persamaan (4) dan (5) serta (6) dan (7) akan kita peroleh
1 = − + 3 ⟹ =
( + ) … (8)
L L
3
1 = + 7 ⟹ =
( − ) … (9)
R R
7 Subtitusi persamaan (8) dan (9) ke persamaan (3)
1
1 4 = 10 − ( ( + ) + ( − ))
3
7
10
4 4 = 10 − 21 −
21 94 206
47 ⟹ = 21 =
21 103 Subtitusi ke persamaan (8) dan (9)
1
47
50 = =
L L
3 ( + 103 ) ⟹ 103
1
47
8 = =
R R
7 ( − 103 ) ⟹ 103 Tadi kita sudah mendapat nilai atau besar dari , , dan . Berikutnya kita jadikan
L R
arah atas sebagai arah positif dan arah bawah sebagai arah negatif sehingga nanti, jika nilai percepatan balok terhadap adalah negatif, berarti arahnya ke bawah dan jika positif, berarti arahnya ke atas. Percepatan balok terhadap tanah adalah
1
- =
1
47
50
97 = =
1
1
103 + 103 ⟹ 103
b. terhadap tanah adalah Percepatan balok
2
= −
2
47
50
3 = = − arahnya ke bawah)
2
2
103 − 103 ⟹ 103 (
c. terhadap tanah adalah Percepatan balok
3
- = −
3
Contact Person : 0896-5985-6821 Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
= − −
ُِني م َ لا ع ْ لاِ ِّب رِ ه َّ ل لِ ُد م ح ْ لَا
Kalau udah selesai jangan lupa doa lagi ya, bagi yang muslim baca
arahnya ke bawah)
55 103 (
= −
3
47 103 − 8 103 ⟹
= −
3
4
3
terhadap tanah adalah
4
Percepatan balok
arahnya ke bawah) d.
39 103 (
= −
3
47 103 + 8 103 ⟹
= −
“Segal puji bagi Allah SWT, Tuhan alam semesta”