Seri Pembahasan Soal Olimpiade SMP

Mochamad Rofik - UMM| 085607989128

Seri Pembahasan Soal Olimpiade SMP
I.

Bukti dengan Induksi
1. � � ��� ( + √ ) + ( − √ )
dengan ∈ � selalu menghasilkan bilangan bulat.
Bukti:
 Untuk

= , ������ ��

( +√ ) +( −√ ) = .
merupakan bilangan bulat, jadi benar untuk =
 Misal � merupakan bilangan asli dan diasumsikan pernyataan benar
untuk semua bilangan asli
�,
jadi ( + √ ) + ( − √ ) adalah suatu bilangan bulat untuk
�+

+( −√ )
Berikutnya akan dibuktikan bahwa ( + √ )
merupakan bilangan bulat.
�+
+ �+ = � + �
+ − �− �
�−
= �+ �
+ −
+ �−

�+

juga

�.

dengan = ( + √ ) ��
= ( − √ ).
Sebelumnya telah dibuktikan bahwa + , �− + �− , � +

�
merupakan bilangan bulat sehingga dapat dipastikan �+ +
�+
juga merupakan bilangan bulat, sehingga terbukti bahwa

( +√ ) +( −√ )
dengan

2. Buktikan
Bukti:
 Untuk



=

∈ � selalu menghasilkan bilangan bulat
+ +

+

= ,

+ + ⋯+

=

+

+

= makan untuk = terbukti benar
Misal pernyataan bernilai benar untuk
+ +

+ +

+ +

+ ⋯+

+ +

+

+ ⋯+

,

=

+

+

+

+
=

(
+

+ )

+
+

Mochamad Rofik - UMM| 085607989128

Selanjutnya untuk mempuktikan hipotesis diatas akan dibuktikan bahwa
pernyataan tersebut juga bernilai benar untuk + .
+ +

+ +

+ ⋯+

+

+

=

+

=

+

+

=

+

=

Jadi terbukti +

+ +

+ +⋯+

=

=

+

+
.

+

+

+

+

+

+

+

+