03 Fungsi Trigonometri
PERSAMAAN DAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
B. Fungsi Trigonometri
Untuk memahami fungsi trigonometri secara umum, terlebih dahulu kita akan
membahas grafik fungsi trigonometri dasar, yaitu grafik fungsi y = sin x, y = cos x dan y = tan x.
Grafik fungsi ini digambar dalam tata koordinat Cartesius yang menggunakan dua sumbu, yakni sumbu-X sebagai nilai sudut, dan sumbu-Y sebagai nilai fungsinya. Namun untuk melukis kedua sumbu ini dipakai aturan tersendiri, yakni sebagai berikut
Sumbu-X sebagai nilai sudut, panjangnya sama dengan keliling lingkaran (2πr). Dalam satuan derajat sumbu ini dibagi menjadi 360 bagian yang setiap bagiannya
menunjukkan 10. Sedangkan dalam satuan radian nilai-nilai sudut tersebut
dikonversikan kedalam π radian. Sumbu-Y sebagai nilai fungsi, skalanya dihitung satu satuan sebagai panjang jari-jari lingkaran.
Terdapat tiga komponen penting dalam grafik fungsi trigonometri, yaitu :
(a) Nilai maksimum fungsi adalah nilai ordinat tertinggi yang dicapai oleh fungsi itu. (b) Nilai minimum fungsi adalah nilai ordinat terendah yang dicapai oleh fungsi itu. (c) Perioda fungsi, yaitu besarnya interval sudut yang diperlukan untuk melakukan satu
.
r
r r
r
r 1
1
r 2
0
180
0
90
0
0 2700 3600
.
.
.
.
.
(2)
Nilai maksimum fungsi adalah 1, Nilai minimum fungsi adalah –1.
Perioda fungsi adalah 3600, artinya fungsi akan berulang setiap kelipatan 3600. (2) Grafik Fungsi Kosinus
Fungsi kosinus dasar adalah fungsi y = cos x. Grafik fungsi ini dapat digambarkan sebagai berikut:
Nilai maksimum fungsi adalah 1, Nilai minimum fungsi adalah –1.
Perioda fungsi adalah 3600, artinya fungsi akan berulang setiap kelipatan 3600. (3) Grafik Fungsi Tangens
Fungsi tangens dasar adalah fungsi y = tan x. Grafik fungsi ini dapat digambarkan sebagai berikut:
(3)
Nilai maksimum fungsi adalah Nilai minimum fungsi adalah .
Periodanya adalah 1800, artinya fungsi akan berulang setiap kelipatan 1800. Selanjutnya fungsi trigonometri dasar di atas dikembangkan menjadi fungsi
trigonometri sederhana, sehingga terjadi perubahan nilai maksimum, nilai minimum dan perioda fungsi
Fungsi trigonometri sederhana yaitu fungsi trigonometri dengan bentuk umum :
y = k.sin a(x ± α) y = k.cos a(x ± α) y = k.tan a(x ± α)
Aturan dalam perubahan tersebut adalah sebagai berikut: Fungsi y = k.sin a(x ± α) memiliki : nilai maksimum = k(1) = k
nilai minimum = k(–1) = –k periodenya
a 3600
Fungsi y = k.cos a(x ± α) memiliki : nilai maksimum = k(1) = k nilai minimum = k(–1) = –k periodenya
a 3600
Fungsi y = k.tan a(x ± α) memiliki : nilai maksimum = k() = nilai minimum k(–) = – periodenya
a 3600
Untuk pemahaman lebih lanjut, akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum dan periode setiap fungsi berikut ini : (a) y = 5.sin (3x – 600) (b) y = 3.cos(2x + 450)
(c) y = 6.tan2x (d) y = 4 + 2cos5x
(e) y = 5 – 3cos( 3 1
x + ) Jawab
(a) y = 5.sin (3x – 600)
(4)
(c) y = 6.tan2x
Nilai maksimum = 5() = Nilai minimum = 5(–) = – Periode =
2 1800
= 900 (d) y = 4 + 2cos5x
Nilai maksimum = 4 + 2(1) = 4 + 2 = 6 Nilai minimum = 4 + 2(–1) = 4 – 2 = 2 Periode =
5 3600
= 720 (e) y = 5 – 3cos(
3 1
x + )
Nilai maksimum = 5 – 3(–1) = 5 + 3 = 8 Nilai minimum = 5 – 3(1) = 5 – 3 = 2 Periode =
3 / 1 3600
= 10200
02. Tentukanlah nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi f(x) =
x sin 3 5 24 Jawab
Nilai maksimum =
) 1 ( 3 5 24
= 2 24
= 12 Nilai maksimum =
) 1 ( 3 5 24
= 8 24
= 3
berikutnya, akan diuraikan tata cara menggambar grafik fungsi trigonometri sederhana Dalam menggambar grafik fungsi trigonometru sederhana, digunakan metoda
transformasi (perubahan), yakni dengan mengamati tiga macam perubahan grafik, yaitu
– Perubahan nilai maksimum dan minimum fungsi
– Perubahan perioda fungsi
– Pergeseran fungsi (Jika +α maka fungsi bergeser ke kiri sejauh α, jika –α maka fungsi bergeser ke kanan sejauh α)
(5)
f g
x y
O 1 2
1
2
f g O
1
3
x y
3
1
y 1
03. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 900 1800 2700 3600
04. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 3.sin x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 900 1800 2700 3600
g adalah fungsi y = sin x f adalah fungsi y = 3.sin x
05. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = cos 2x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
g adalah fungsi y = cos x f adalah fungsi y = 2.cos x
(6)
x y
f g
1
y 1
0
g adalah fungsi y = cos x f adalah fungsi y = cos.2x
06. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = tan 3x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
fungsi y = tan x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi y = tan.3x digambarkan dengan garis penuh
07. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = sin(x – 450) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
fungsi g : y = sin x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi f : y = sin(x – 450) digambarkan dengan garis penuh
(7)
f g y
1
0
f g y
08. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = cos(x + 300) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 600 900 1500 1800 2400 2700 3300 3600
fungsi g : y = cos x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi f : y = cos(x + 300) digambarkan dengan garis penuh
09. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos(x + 300) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
1800
00 600 900 1500 2400 2700 3300 3600
x 1
x 2
h 1
1
(8)
12
f
g y
10. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = sin(2x + 600) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
600 1500 2400 3300
00 450 900 1350 1800 2700 3600
fungsi h : y = sin x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi g : y = sin 2x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi f : y = sin 2(x + 30)0 digambarkan dengan garis penuh
11. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi sinus Jawab
Bentuk umum : y = k.sin a(x –α) Maka :
k = 3
perioda = 2(900) = 1800 sehingga a =
180 360
= 2
α = 750– 900 = –150
Jadi y = 3.sin 2(x – [–150]) y = 3.sin (2x + 300)
Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi cosinus Jawab
Bentuk umum : y = k.cos a(x –α) Maka :
k = 2
perioda = 4(300) = 1200 sehingga a =
120 360
= 3
α = 200
Jadi y = 2.cos 3(x – 200) y = 2.cos (3x – 400)
0 20
80
110 x y
2
2
75 165 0
3
3
x
h 1
1
(9)
13. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi sinus
Jawab
Bentuk umum : y = k.sin a(x –α) Maka :
k = 2
perioda = 2(900) = 1800 sehingga a =
180 360
= 2
α = 650– 450 = 200
Jadi y = 2.sin 2(x – 200) y = 2.sin (2x – 400)
14. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi tangens
Jawab
Bentuk umum : y = k.tan a(x –α) diperoleh
k = 2
perioda = 750– 150 = 600 Maka : a =
60 180
= 3
α = 150– 300 = –150
sehingga y = k.tan 3(x – [–150]) y = k.tan (3x + 450) Titik potong dg sb-Y di (0, 2) Sehingga 2 = k.tan (3[0] + 450)
2 = k.tan 450 2 = k.(1) k = 2
y 2
2
0
65
0
155 0
x
y
0
15 750
(1)
(c) y = 6.tan2x
Nilai maksimum = 5() = Nilai minimum = 5(–) = – Periode =
2 1800
= 900 (d) y = 4 + 2cos5x
Nilai maksimum = 4 + 2(1) = 4 + 2 = 6 Nilai minimum = 4 + 2(–1) = 4 – 2 = 2 Periode =
5 3600
= 720 (e) y = 5 – 3cos(
3 1
x + )
Nilai maksimum = 5 – 3(–1) = 5 + 3 = 8 Nilai minimum = 5 – 3(1) = 5 – 3 = 2 Periode =
3 / 1 3600
= 10200
02. Tentukanlah nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi f(x) =
x sin 3 5
24 Jawab
Nilai maksimum =
) 1 ( 3 5
24
= 2 24
= 12 Nilai maksimum =
) 1 ( 3 5
24
= 8 24
= 3
berikutnya, akan diuraikan tata cara menggambar grafik fungsi trigonometri sederhana Dalam menggambar grafik fungsi trigonometru sederhana, digunakan metoda
transformasi (perubahan), yakni dengan mengamati tiga macam perubahan grafik, yaitu
– Perubahan nilai maksimum dan minimum fungsi – Perubahan perioda fungsi
– Pergeseran fungsi (Jika +α maka fungsi bergeser ke kiri sejauh α, jika –α maka fungsi bergeser ke kanan sejauh α)
(2)
f g
x y
O
1 2
1
2
f g O
1
3
x y
3
1
f g
O
1
x y
1
03. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 900 1800 2700 3600
04. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 3.sin x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 900 1800 2700 3600
g adalah fungsi y = sin x f adalah fungsi y = 3.sin x
05. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = cos 2x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
g adalah fungsi y = cos x f adalah fungsi y = 2.cos x
(3)
x y
f g
1
y
1
0
g adalah fungsi y = cos x f adalah fungsi y = cos.2x
06. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = tan 3x dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
fungsi y = tan x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi y = tan.3x digambarkan dengan garis penuh
07. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = sin(x – 450) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
fungsi g : y = sin x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi f : y = sin(x – 450) digambarkan dengan garis penuh
(4)
f g y
1
0
f g y
08. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = cos(x + 300) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
00 600 900 1500 1800 2400 2700 3300 3600
fungsi g : y = cos x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi f : y = cos(x + 300) digambarkan dengan garis penuh
09. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = 2.cos(x + 300) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
1800
00 600 900 1500 2400 2700 3300 3600
fungsi h : y = cos x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi g : y = 2.cos x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi f : y = 2cos(x + 300) digambarkan dengan garis penuh
x
1
x
2
h
1
1
2
(5)
12
f
g y
10. Lukislah fungsi trigonometri f(x) = sin(2x + 600) dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab
600 1500 2400 3300
00 450 900 1350 1800 2700 3600
fungsi h : y = sin x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi g : y = sin 2x digambarkan dengan garis putus-putus fungsi f : y = sin 2(x + 30)0 digambarkan dengan garis penuh
11. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi sinus Jawab
Bentuk umum : y = k.sin a(x –α) Maka :
k = 3
perioda = 2(900) = 1800 sehingga a =
180 360
= 2 α = 750– 900 = –150
Jadi y = 3.sin 2(x – [–150]) y = 3.sin (2x + 300)
Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi cosinus Jawab
Bentuk umum : y = k.cos a(x –α) Maka :
k = 2
perioda = 4(300) = 1200 sehingga a =
120 360
= 3 α = 200
Jadi y = 2.cos 3(x – 200) –
0 20
80
110 x y
2
2
75 165
0 3
3
x
h
1
1
(6)
13. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi sinus
Jawab
Bentuk umum : y = k.sin a(x –α) Maka :
k = 2
perioda = 2(900) = 1800 sehingga a =
180 360
= 2 α = 650– 450 = 200
Jadi y = 2.sin 2(x – 200) y = 2.sin (2x – 400)
14. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada gambar berikut ini dalam fungsi tangens
Jawab
Bentuk umum : y = k.tan a(x –α) diperoleh
k = 2
perioda = 750– 150 = 600 Maka : a =
60 180
= 3 α = 150– 300 = –150
sehingga y = k.tan 3(x – [–150]) y = k.tan (3x + 450) Titik potong dg sb-Y di (0, 2) Sehingga 2 = k.tan (3[0] + 450)
2 = k.tan 450 2 = k.(1) k = 2
Jadi y = 2.tan (3x + 450)
y 2
2
0
65
0
155 0
x
y
0
15 750