01 Integral Fungsi Trigonometri

TEKNIK PENGINTEGRALAN
A. Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Pada materi “Turunan Fungsi” telah diuraikan tentang rumus-rumus dasar turunan
fungsi trigonometri, yakni turunan fungsi sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan dan
cosecant. Mengingat integral merupakan proses balikan dari turunan, maka rumusrumus dasar integral trigonometri didapat dari rumus dasar turunan fungsi trigonometri,
yakni sebagai berikut:

 sin x dx = –cos x + C
cos x. artinya  cos x dx = sin x + C
sec 2 x artinya  sec 2 x dx = tan x + C
 csc 2 x artinya  csc 2 x dx = –cot x + C
sec x. tan x artinya  sec x. tanx dx = sec x + C
–csc x. cot x artinya  csc x. cotx dx = –csc x + C

1. Jika f(x) = cos x maka f’(x) = –sin x.
2. Jika f(x) = sin x maka f’(x) =
3. Jika f(x) = tan x maka f’(x) =
4. Jika f(x) = cot x maka f’(x) =
5. Jika f(x) = sec x maka f’(x) =
6. Jika f(x) = csc x maka f’(x) =

artinya

Dari rumus-rumus dasar tersebut diperoleh rumus-rumus pengembangan, yaitu :
Jika y = sin (ax + b) maka y’ = a.cos (ax + b), sehingga
dy

dx

= a.cos (ax + b)

dy = a.cos (ax + b) dx

 dy

 a. cos(ax  b) dx

=

y = a. cos(ax  b) dx
sin (ax + b) = a. cos(ax  b) dx

sehingga :  cos(ax  b) dx = sin (ax + b) + C
Dengan cara yang sama diperoleh rumus-rumus pengembangan integral trigonometri
yang lainnya, yakni sebagai berikut :
1.

 cos(ax  b) dx =

2.

 sin(ax  b) dx =  a cos (ax + b)

3.

 sec

2

4.

 csc

2

1

a

sin (ax + b) + C
1

(ax  b) dx =

1

a

(ax  b) dx = 

Teknik Pengintegralan

+ C

tan (ax + b) + C
1

a

cot (ax+b) + C

1

1

5.

 sec(ax  b). tan(ax b) dx =

6.

 csc(ax  b). cot(ax b) dx =  a csc(ax+b) + C

a

sec (ax+b) + C
1

Untuk pemahaman selengkapnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :
01. Selesaikanlah integral berikut ini :
a.

 4 sin(2x  3)dx

 6 sec

b.

2

(2  4x )dx

c.

1

1

 csc 4 x cot 4 x dx

Jawab
a.

4

 4 sin(2x  3)dx

=  cos(2 x  3) + C
2

= –2.cos(2x – 3) + C
b.

 6 sec

2

(2  4x )dx

=

6

4
3

tan(2  4 x) + C

=  tan(2  4 x) + C
2

c.



1
1
csc x cot x dx
4
4

= 

1

1/ 4

cot

1
4

x + C

1

=  4 cot x + C
4

02. Selesaikanlah integral berikut ini :
a.  (tan2 x  4)dx

b.

 4 sin

2

3x dx

Jawab
a. Untuk menjawab soal nomor 2a, diperlukan rumus-rumus trigonometri kelas X,

yakni:
sin 2 x  cos 2 x  1
sin 2 x cos 2 x
1

x
2
2
cos x cos x
cos 2 x
2

2

1
 sin x 
 cos x 
 cos x    cos x  x 





cos 2 x
tan 2 x  1  sec 2 x
tan 2 x  sec 2 x  1 …................................................................................................. (1)

Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut
2
2
 (tan x  4)dx =  (sec x  1  4)dx
=

 (sec

2

x  5)dx

= tan x  5x  C

Teknik Pengintegralan

2

b. Untuk menjawab soal nomor 2b, juga diperlukan rumus trigonometri kelas XI, yakni:
cos 2  1  2 sin 2 
2 sin 2   1  cos 2
1
sin 2   (1  cos 2 ) ................................................................................................ (2)
2

Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut
1
2
 4 sin 3x dx =  4. 2 [1  cos 2(3x)]dx
=  [ 2  2 cos 6 x ] dx
2
= 2 x  sin 6 x  C
6
1
= 2 x  sin 6 x  C
3

03. Selesaikanlah integral berikut ini :
a.

 2 sin 4x.cos 2x dx

b.

 (sin x  cos x)

2

dx

Jawab
a. Untuk menjawab soal nomor 3a, diperlukan rumus trigonometri kelas XI, yakni:
2.sinA.cosB = sin(A + B) + sin(A – B) …............................................................... (3)
Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut

 2 sin 4x.cos 2x dx

=
=

 [sin(4x  2x)  sin(4x  2x)] dx
 [sin 6x  sin 2x] dx

1
1
=  cos 6 x  cos 2 x  C
2
6
b. Untuk menjawab soal nomor 3b, diperlukan rumus trigonometri kelas X dan XI,
yakni:
sin 2  2.sin  . cos  ………………………………………...................................... (4)

sin 2   cos 2   1 ….............................................................................................. (5)
Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut

 (sin x  cos x)

2

dx =

=
=

 (sin x  2.sin x. cos x  cos x)dx
2
2
 (sin x  cos x  2.sin x. cos x)dx
 (1  sin 2x)dx
2

2

1
= x  cos 2 x  C
2

Teknik Pengintegralan

3

/6



 cos (2x  3 ) dx

04. Hitunglah

0

Jawab
/6



 cos (2x  3 ) dx

/6

=


1
sin(2 x  )
2
3 0

=

1

1
  
sin (2   )  sin (2[0]  )
2
2
3
6 3

=

1
   1
sin     sin
2
3 3 2

0

 
0  3 


1
2
1
sin
 sin
2
3
3
2
1 1  1 1 
3   3
=
2  2 
2 2 

=

= 0

Teknik Pengintegralan

4