Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-1-

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT SEGITIGA SIKUSIKU
Y

P(x,y)
r

x disebut absis
y disebut ordinat
r jari-jari
sudut  positif diukur dari sumbu X berlawanan
arah putaran jarum jam.

y


0

x

X

r  x2  y 2

Definisi :

sin  

y
r

cos ec 

x
r
r
sec 
x

cos 

r
y

tg 

y
x

ctg 

x
y

Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena x r dan y r maka
berlaku  1 cos  1 dan  1 sin  1 . Khusus untuk tg dan ctg dapat bernilai
setiap harga positif dan negatif.
Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah
sebagai berikut :

hipotenusa
(sisi miring)

sisi di depan sudut


sisi di samping sudut
Jadi :
sin  

depan
miring

cos ec 

1
cos

cos 

samping
miring

sec 

1
sin 

depan
samping
1
ctg 
tg

tg 

Contoh 1: Tentukan nilai sin  , cos  dan tg dari gambar berikut :
a.
b.



c

b

q

p


a

Jawab

...
...
...
b. sin  
...

: a. sin  

Contoh 2: Diketahui tg 

r

...
...
...
cos  
...
cos  

4
. Tentukan sin  dan
3

...
...

...
tg 
...
tg 

cos 

!

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-2-

4
...

=
3
...
...

....
sin  =
...

r ....

: tg 

Jawab

...
....
...

cos  =

2. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA UNTUK 0   90 
Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri
0   90  kita pergunakan gambar sebagai berikut :

pada

sudut-sudut

istimewa

Y
45

1

2

P(0,r)

60

2

1

45



30

X
1

3

P(r,0)
Dari gambar di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai berikut :




0
30

45
60
90 

cos

sin 

tg

ctg

sec

cos ec

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

C

Contoh 3:

Tentukan AC dan AB !
5
60

A

B

.....
: tg 60  =
.....

Jawab


cos 60 

 AC ....

.....
 AB ....
.....

LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai sin  , cos  dan tg
c
a)
b



dari gambar berikut :
b)



p

a



q
r

2. Tentukan nilai sin  , cos  dan tg  dari gambar berikut :
a)

B

b)

P

6 2



8
6

6

R


A

C
Q
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-3-

3.

A

60 B

Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB

45
D

C

3
maka tentukan cos
10

4. Jika sin  



dan tg



5. Jika tg  2 maka tentukan sin  dan cos 
6. Tentukan nilainya :
a. 2 sin 30   3 cos 30   6 3tg 30 
b.

 3tg 60   6 sin 60 
2 sin 45   6 cos 30 
C

7.

Tentukan AB dan BC

30

B
12

A

3. SUDUT-SUDUT BERELASI
3.1 RELASI



DAN 180    

P’(-x,y)

180  

P(x,y)



3.2 RELASI



....
....
....
....
cos180    
....
....
....
tg 180    
....
....
sin 180    

Y

X

DAN 180    
Y
P(x,y)

180  



X

....
....
....
....
cos180      ....
....
....
tg 180      ....
....
sin 180     

P’(-x,-y)
3.3 RELASI
Y



DAN 360     ATAU    
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-4-



cos360    cos    ....
tg 360    tg     ....
sin 360    sin     ....

P(x,y)








X
P’(x,-y)

3.4 RELASI
Y

DAN 90    



....
....
....
....
cos90     
....
....
....
tg 90     
....
....
sin 90     

P’(y,x)
90   P(x,y)

X
3.5 RELASI

DAN 90    


Y

....
....
....
....
cos90      ....
....
....

tg 90     ....
....
sin 90     

P’(-y,-x)
P(x,y)

90  


X
3.6 RELASI



DAN  270    

P(x,y)
270  

....
....
....
....
cos 270     
....
....
....
tg  270     
....
....
sin  270     

Y



X

P’(-y,-x)

3.7 RELASI
Y



DAN  270    


270   

....
....
....
....
cos 270      ....
....
....

tg  270     ....
....
sin  270     

P(x,y)
X

P’(y,-x)

Contoh 1: Tentukan nilai dari :
a. sin 150 
Jawab

b. cos 225 

: a. sin 150  = sin( … - … ) = sin …
b. cos 225  = ….

c. tg 330 
= ….
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-5-

c. tg 330 

= ….

LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilainya dari :
a. sin 120 
b. sin 135 
e. cos 330 
f. tg150 
i. cos 135 
j. tg 210 

m. sin   150 
n. cos  300  
2. Jika sin  

3
dan 90     180  maka tentukan cos
5

3. Jika tg 

a. sin  



3 dan 270     360  maka tentukan sin



4. Tentukan

c. cos 240 
d. tg 300 
g. sin 240 
h. cos 120 

k. sin 180
l. tg 270 

o. tg   210 
dan tg





dan cos



untuk 0     360  dari :

1
2

b. cos  

1
2
2

c. tg 

3

5. Sederhanakan !
a. 4 sin 225  2 cos 300   2 sin 315  2 cos 315
b. 3 tg 240   2 sin 210   2 sin 315   3 3 tg 330 

4. KOORDINAT KUTUB
Y

P(x,y)

Koordinat Cartesius P(x,y)
Koordinat Kutub P(r,  )

r



X

Hubungan koordinat Cartesius dan koordinat Kutub :
1. Dari koordinat Cartesius ke Kutub
P(x,y) = P(r,  )
r  x2  y2

tg 

y
y
  arctg
x
x

2. Dari koordinat Kutub ke Cartesius
P(r,  )  P ( x, y )

x r cos 
y r sin 

Contoh 1: Tentukan koordinat Cartesius dari titik P(10, 45  )
Jawab

:x=…
=…
y=…
=…
Jadi koordinat Cartesius P(….,….)
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-6-

Contoh 2: Tentukan koordinat kutub dari titik Q(-3,-4)
Jawab

:r=…
=…

Arctg  ....
=…
Jadi koordinat kutub Q(……,……)

....

LATIHAN SOAL
1. Tentukan koordinat Cartesius dari :
a. A8,60  
b. B 10,120  



e. E 3 2 ,325 
i. I 12,0  



f. F



c. C  6,210  



g. G  4, 60  

3 ,300 
j. J  6,90  

2. Tentukan koordinat Kutub dari :
a. A(5,5)
b. B(-4,4)
e. E(-8,0)

f. F(-10,-10)

i. I ( 3 , 1)

j. J(1,-1)

c. C(2,  2 3 )
g. G ( 5 3 ,5)

d. D  4,300  

h. H  2, 225  

d. D(0,5)
h. H ( 1,

3)

5. HUBUNGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT
Y

x 2  y 2 r 2
x r cos  

y r sin  

P(x,y)
r



…(1)
…(2)

0. X
Dari (1) dan (2) didapat hubungan :
x 2  y 2 r 2
 …
2

 cos 2  ....

2
 sin  ....

2

cos   sin  ......
y
................


x
................

tg 

.......
.......

8
, maka tentukan sin
10

Contoh 1: Jika cos  
Jawab



dan tg



: sin 2  .....
sin   ........
tg  

.......
= ….
.......
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-7-

Contoh 2: Buktikan sin  cos  (1  tg 2 ) tg
Jawab

: sin  cos  (1  tg 2 ) ....
= ….
= ….

LATIHAN SOAL
1. Diketahui

8
. Hitung cos A dan tg A !
17

A lancip dan sin A 

9
dan 90   B  180  , maka tentukan sin B dan tg B !
15

2. Jika cos B 

3. Tunjukkan bahwa :
a. cos 2 120   sin 2 120  1
b. sin 2 270   cos 2 270  1
4. Buktikan identitas berikut :
a. 2 cos 2   1 1  2 sin 2 

tg 2
sin 2 
1  tg 2
1  cos 
sin 
2


c.
sin 
1  cos  cos 
d.  sin P  cos P  cos P  sin P  1  2 sin 2 P
b.

e. 1  cos  1  sec   ctg  sin 
f. 1  cos 2   sin 2  tg 2 tg 2

6. PENGUKURAN SUDUT DENGAN DERAJAT DAN RADIAN
1

1 putaran = 360 atau 1 
putaran
360


1 60' (menit) dan 1’ = 60’’ (detik)
Definisi : 1 radian adalah sudut pusat yang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya.
Q
r
1 rad = POQ jika busur PQ = r
Jadi radian yaitu ukuran sudut yang diperoleh dari
perbandingan
O
r
P
panjang busur lingkaran dengan jari-jarinya.

Keliling
Q

O

P

1
lingkaran =
2

r

Jadi POQ = 180  =

r
 rad
r

Jadi 180   rad atau cukup ditulis dengan 180  
1 rad =

180 



180 

57,296  57 17'45' '
3,14

Contoh 1: Nyatakan 120  dengan ukuran radian !
Jawab

: 120  = ….

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-8-

Contoh 2: Nyatakan

Jawab

:

4
dengan ukuran derajat !
3

4
= ….
3

LATIHAN SOAL
1. Nyatakan ke dalam ukuran radian dari :
a. 45 
b. 90 
c. 135 
d. 210 




f. 330
g. 270
h. 360
i. 420

e. 240 
j. 540 

2. Nyatakan ke dalam ukuran derajat dari :
a.

2
3
5
f.
18



b.

3
5
e.
12

c.

5
3

g. 2

d.

11
6

h. 30

3. Berapa radian ukuran 1 ?

4. Tentukan nilai dari :
a. sin

3
2

b. sin

11
6

c. cos

4
3

d. tg

5
4

e. sin 30

B. FUNGSI TRIGONOMETRI
Domain fungsi trigonometri berupa himpunan sudut-sudut dan kodomainnya berupa
bilangan real. Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang periodik, artinya pada selang
sudut tertentu nilai fungsi itu akan berulang sama nilainya. Periode sin dan cos adalah
360  atau 2 . Sedangkan periode tg adalah 180 atau  .
Jadi sin x = sin (x + k. 2 )
cos x = cos (x + k. 2 )
tg x = tg (x + k.  )
dimana k  B
Contoh 1: Tentukan nilai dari :
a. sin 480 
Jawab
: a. sin 480  = …
b. cos 960  = …
c. tg1290  = …

b. cos 960 

c. tg1290 

1. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
1.1 Grafik y = sin x, y = cos x dan y = tg x pada 0  x 360 
Y = sin x
Y
1

0

30

60

90

X
120

150

180

210

240

270

300

330

360

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-9-

-1

y = cos x
Y
1

0

30

60

90

X
120

150

180

210

240

270

300

330

360

60

90

X
120

150

180

210

240

270

300

330

360

-1
y = tg x
Y

0

30

LATIHAN SOAL
Lukislah grafik di bawah ini untuk 0 x 360 !
1.

y 2 sin 

2.

y 5 cos x 

3.

y 2 sin   1

4.

y 3 cos x   2

5.

y sin 2 x 

6.

y sin 2 x   1

7.

y 3 cos 2 x 

8.

y 2 sin 3 x   1

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-10-

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri