Materi Mekanila_Gerak Parabola dan Gerak Melingkar

(1)

Gerak Parabola dan Gerak

Melingkar

Gerak Parabola (Peluru)

Perpaduan gerak lurus beraturan (GLB) pada sumbu x dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) pada sumbu y pada sistem koordinat kartesius merupakan gerak yang lintasannya berbentuk parabola.

A. Pembuktian Gerak Parabola

Pembuktian bahwa gerak peluru itu berbentuk suatu parabola adalah sebagai berikut: 1. Hambatan udara diabaikan

2. Nilai g tetap 3. X0=Y0= tetap

(i) Berdasarkan rumus GLB pada sumbu x didapatkan persamaan t= x

V₀_x (ii) Berdasarkan rumus GLBB pada sumbu y didapatkan persamaan

y=V0yt−1₂g t 2

Dengan melakukan substitusi t dalam persamaan y maka didapatkan:

y=V₀_yt−1

2g t

(2)

y=V0y x V0x

−1

(

x V0x

)

y=V0y

V0x

x−

(

2V0x

)

x2❑

Dengan menganggap A= V0y V0x

dan B= ₂_Vg

0x maka persamaan di atas dapat dituliskanmenjadi:

y=Ax−B x2❑ yang tidak lain adalah persamaan kuadrat yang bila digambarkan dalam koordinat kartesius berbentuk parabola.

B. Menghitung Kecepatan Awal Gerak Parabola

Kecepatan awal pada sumbu x dan sumbu y dapat dicari dengan pendekatan matematis yaitu menggunakan trigonometri:

V0y V0 α V0x

Berdasarkan perhitungan trigonometri pada segitiga siku-siku diketahui bahwa:

cosα=V0x

dan sinα=V0y

Sehingga diperoleh

Kecepatan awal pada sumbu x adalah

V₀_x=V₀cosα

Kecepatan awal pada sumbu y adalah V0y=V0sinα

C. Menghitung Waktu Maksimum t dan tinggi maksimum (ymaks)

Saat benda berada di puncak, maka berdasarkan gerak vertikal ke atas diperoleh waktu untuk mencapai titik tertinggi yaitu:

Vt = V0y - gt

<=>Voy - Vt = gt

<=> t = V0y−Vt g <=> t = V0sinα−Vt

(3)

<=> t = V0sinα g

Untuk mencari ketinggian puncak (ymaks) dapat digunakan rumus mencari kedudukan pada gerak lurus berubah beraturan dengan memanfaatkan waktu t untuk mencapai titik tertinggi tersebut.

y_max=V₀_yt−1

2g t

¿>y_max=V₀sinα

(

V0sinα

)

−

1 2g

(

V0sinα

)

¿>y_max=

(

sin2α g

)

−

1 2g

(

V₀2sin2α g2

)

❑

¿>y_max=V0

sin2α

D. Menghitung Jarak Terjauh (xmax) dan Waktu untuk mencapai jarak terjauh (tx)

Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak terjauh adalah dua kali dari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum. Ilustrasi berikut ini akan menjelaskan waktu untuk mencapai jarak terjauh.

t (waktu pada ketinggian maksimum)

tx (waktu pada jarak terjauh)

Sehingga tx= 2

V₀sinα g V0x=

x_max tx

x_max=V₀_{x .}t_x

x_max=V_0.cosα.2V0sinα

x_max=V0

2sinα .cosα g x_max=V0

sin 2α g E. Contoh Gerak Parabola Dalam Kehidupan Sehari-hari

(4)

r v v

Ada beberapa contoh gerak parabola dalam kehidupan sehari-hari, antara lain:

1. Gerak bola yang ditendang. Gerakan lintasan bola yang dimaksud disini adalah gerak pada lintasan yang membentuk parabola.

2. Gerak peluru yang ditembakkan. Tentunya lintasan peluru yang dimaksud disini adalah lintasan yang berbentuk parabola.

GERAK MELINGKAR

Gerak melingkar mempunyai lintasan berbentuk lingkaran, arah kecepatan selalu berubah yaitu dalam arah tegak lurus jari-jari lintasannya serta mempunyai percepatan sentripental yang selalu mengarah pada pusat lingkaran.

1. Gerak Melingkar Beraturan

Pada gerak melingkar beraturan, benda bergerak pada lintasan berbentuk lingkaran dengan laju tetap, sedangkan kecepatannya terus menerus berubah sesuai dengan posisinya pada lingkaran tersebut.

Gambar di atas adalah gambar sebuah partikel A bergerak dengan laju tetap pada lintasan lingkaran dengan jari-jari r, sedangkan arah kecepatannya selalu berubah. Contoh gerak melingkar beraturan adalah gerak jarum arloji, dan gerak satelit pada orbitnya.

(5)

a = ∆v / ∆t

berdasarkan definisi percepatan ini, arah kecepatan benda yang selalu berubah pada gerak melingkar beraturan akan menimbulkan percepatan.

(6)

v r

2. Besaran Fisis Pada Gerak Melingkar Beraturangerak Melingkar Beraturan a. Besaran sudut (Ɵ

)

Perhatikan sebuah partikel yang bergerak mengelilingi sebuah lingkaran dengan jari-jari r, seperti gambar di bawah ini:

Untuk menjelaskan posisi partikel atau sejauh mana partikel ini mengelilingi lingkaran, digunakan sudut (baca: theta). Posisi partikel berpindah sebesar Ɵ Ɵ

setelah benda tersebut bergerak sejauh s pada keliling lingkaran. Besar sudut Ɵ

dinyatakan dalam radian. Suatu radian (rad) didefinisikan sebagai sudut dimana panjang busur lingkaran (s) sama jari-jari lingkaran tersebut (r). Pada gambar di atas, bila s = r maka akan bernilai 1 rad. Secara umum, besaran sudut ditulis :Ɵ Ɵ

= s/r

Dimana r = jari-jari lngkaran (m) s = panjang busur lingkaran (m)

= sudut (rad), 1 rad = 57,3

Ɵ 0

b. Kecepatan dan laju anguler (ω)

Pada gerak melingkar, besaran yang menyatakan seberapa jauh benda berpindah ( ) dalam selang waktu tertentu 9t) disebut sebagai kecepatan anguler atauƟ

kecepatan sudut (ω). Kecepatan sudut rata-rata:

ϖ=Δθ

Δt

Sedangkan kecepatan sedut sesaat dinyatakan :

ω=LimΔθ

(7)

c. Periode (T)

Periode adalah waktu yang dibutuhkan oleh suatu benda untuk bergerak satu putaran (T).

T = Perpindahan anguler / kecepatan anguler T =

2Π

ω _atau ω=

2π

T _{………..(1)}

dimana T = periode (sekon) ω = kecepatan sudut (rad/s)

2 π _{= perpindahan anguler untuk satu putaran}

Bila jumlah putaran benda dalam satu sekon (frekuensi putaran) dinyatakan sebagai f, maka diperoleh hubungan:

T

=

1 f

_{………..(2)}

Dengan memasukkan persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh:

ω

=

2 πf

T = periode (sekon) F = frekuensi (1/s)

ω = kecepatan sudut (rad/s)

d. Kecepatan dan laju linier

Rumus persamaan untuk laju linier rata-rata adalah ¯

v=Δs

Δt

Bila benda bergerak satu putaran, maka panjang lintasan menjadi 2 π _{r dan}

selang waktu tempuhnya menjadi T. Persamaan kecepatan atau laju linier menjadi: v=2πr

T _{atau v = 2} π _f_r

(8)

Sebuah benda bergerak melingkar beraturan. Dalam selang waktu 20 detik, benda tersebut melakukan putaran sebanyak 80 kali. Tentukan periode dan frekuensi gerak benda tersebut.

Penyelesaian: a. Periode (T)

Waktu tempuh = 20 sekon Jumlah putaran = 80

T = waktu tempuh total / jumlah putaran = 20 / 80

= 0,25 sekon b. Frekuensi (f)

f

=

1 T

=

1 0,25

=

_{4 Hertz}

e. Hubungan kecepatan linier dan kecepatan anguler

v = ωr

C

ontoh:

Roda sebuah mesin gerinda dengan diameter 25 cm berputar dengan kecepatan sudut 2400 rpm. Tentukanlah laju linier sebuah titik yang terletak pada permukaan roda gerinda tersebut.

Penyelesian:

ω = 2400 rpm = 2400.

(

2π

)

_{= 80} π _rad/s

v = ωr

= 80 π _{rad/s .}

(

25 2

)

= 1000 π _cm/s

= 3140 cm/s = 3,14 m/s

f. Percepatan sudut (α)

Percepatan sudut didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut dibagi dengan selang waktu yang dibutuhkan untuk perubahan tersebut.

(9)

Percepatan sudut rata-rata

α=ω−ω0

t =

Δω Δt

Dimana ω = kecepatan sudut akhir (rad/s) ω0 = kecepatan sudut awal (rad/s)

α _{= percepatan sudut rata-rata (rad/ s}2₎

Percepatan sudut sesaat dinyatakan dalam persamaan:

α=lim Δω

Δt Contoh:

Sebuah motor listrik berada dalam keadaan diam, kemudian dipercepat selang waktu 400 sekon sehingga kecepatan sudutnya mencapai 15000 rpm. Tentukan percepatan sudut motor listrik tersebut!

Penyelesaian:

1 rpm = 2 π _{/ 60 rad/s}

ω0 = 0 rpm

ω1 = 15000 rpm = 15000 x

2π

60 _{rad/s = 1570 rad/s}

α=ω−ω0

t =

Δω Δt =

1570

400 _{= 3,925 rad/ s}2

g. Percepatan Sentripental

a_s=(ωr) 2

r =ω

2_r

Atau

a

=

(

2 π

T

)

r

=

4 π

r

T

Contoh:

Bulan bergerak mengelilingi bumi dengan lintasan hamper berbentuk lingkaran dengan jari-jari 385.000 km. Waktu yang dibutuhkan bulan untuk satu kali putaran adalah 27,3 hari. Tentukan besarnya percepatan bulan.

(10)

Pada saat mengelilingi Bumi, Bulan akan menempuh lintasan sepanjang 2 π _r

(11)

v=2πr

T , _{T =27,3 hari = 2358720 sekon}

v=2π(385000000

235000000 =1025 _m/s

Percepatan bulan: a=v

r =

(1025)2

385000000=0, 0027 _m/s2

h. Hubungan percepatan sentripental dengan percepatan sudut

Misalkan sebuah benda yang bergerak melingkar dalam selang waktu ∆t berubah kecepatan angulernya sebesar ∆ω, sehingga kecepatan linier benda tersebut berubah juga sebesar ∆v.

v = ∆r ∆ω ………..(3)

bila ruas kiri dan kanan persamaan (3) dibagi dengan ∆t maka diperoleh persamaan:

Δv Δt=r

Δω Δt

Untuk ∆t mendekati nol maka

LimΔv

Δt=rlim Δω

Δt Sementara itu,

LimΔv

Δt=as

sedangkan Lim Δω

Δt =α

Sehingga diperoleh hubungan antara percepatan sedut dengan percepatan sentripental

as = ra

3. Gerak Melingkar Beraturan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Contoh gerak melingkar beraturan dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak melingkar pada sebuah mesin penggerak dalam mesin penggilingan padi. Dalam mesin penggerak ini dijumpai dua buah roda sepusat dengan diameter yang berbeda. Roda dengan diameter yang besar (r2) disebut sebagi roda gila (flywheel), sedangkan

(12)

roda inilah sabuk ditempatkan. Roda gila dan penggerak sabuk mempunyai sumbu yang sama (satu poros), pada saat diputar maka kedua roda ini mempunyai kecepatan anguler (ω) yang sama dengan arah putar yang sama pula.

ω

1 =

ω

Sehingga diperoleh hubungan:

v₁ r₁=

v₂ r₂

Perhatikan gambar berikut:

Pada bagian penggiling padi, terdapat sebuah roda yang dihubungkan dengan roda penggerak sabuk menggunakan sabuk (belt). Roda ini dihubungkan dengan mesin penggiling sehingga perputaran mesin penggiling dapat mengupas kulit padi yang dimasukkan dari atas dan pada bagian bawah mesin akan keluar beras hasil penggilingan. Bila tidak terjadi slip antara sabuk dengan roda-roda tersebut maka roda penggerak sabuk (roda 1) dan roda mesin penggiling (roda 3) mempunyai kelajuan linier yang sama.

v₁=v₂ Sehingga diperoleh hubungan:

(13)

Bila

r

>

r

1 _maka

ω

₁ _{menjadi lebih besar dari}

ω

₃

,

_{sehingga dapat disimpulkan}

bahwa roda-roda yang mempunyai sumbu putar yang sama mempunyai laju anguler yang sama, sedangkan roda-roda yang dihubungkan dengan sabuk mempunyai laju linier yang sama.

Contoh soal:

Sebuah mesin penggiling padi mempunyai roda-roda dengan diameter 12 cm dan 40 cm. Kedua roda dihubungkan dengan sabuk. Bila roda yang kecil diputar dengan laju anguler tetap sebesar 80 rad/s. Tentukanlah laju linier kedua roda dan laju anguler (dalam rpm) roda dengan diameter yang lebih besar!

Penyelesaian:

a. Laju linier kedua roda ω₁=80rad/s

r₁=0,06m

v₁=ω₁r₁=80×0,06=4,8m/s

Jadi, kedua roda dihubungkan dengan sabuk sehingga laju liniernya sama, yaitu 4,8 m/s

b. Laju anguler roda 2

v

₂

=

ω

₂

r

₂

4,8

=

ω

₂

.0,2

m

ω

=

24 rad

/

s

1 putaran

/

s

=

2 πrad

/

s

ω

₂

=

24 rad

/

s

ω

₂

=

3,82

putaran

/

s

=

229 putaran

/

menit

ω

₂

=

229 rpm

(14)

Contoh lain gerak melingkar beraturan dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak roda-roda pada sepeda yang dihubungkan dengan rantai

4. Gerak Melingkar Berubah Beraturan

Menurut hokum Newton II, suatu benda yang mengalami gerak dipercepat harus mempunyai gaya netto yang bekerja pada benda tersebut dan besarnya dirumuskan dalam bentuk:

F = ma

Dimana: F = gaya

m = massa benda a = percepatan benda

Agar benda yang bergerak melingkar memiliki laju yang tetap dan tetap dalam lintasan berbentuk lingkaran, maka gaya harus tetap diberikan pada benda tersebut. Bila gaya ini dihilangkan, benda akan bergerak pada lintasan lurus. Besarnya gaya yang dibutuhkan agar benda tetap bergerak melingkar dapat ditentukan dengan memasukkan nilai percepatan sentripetal ke dalam persamaan di atas sehingga diperoleh persamaan:

F

=

m

.

a

Gaya ini juga mengarah pada pusat lingkaran sehingga disebut gaya sentripetal (Fs) Sementara itu, as=

r _atau as=ω2r _{, sehingga diperoleh persamaan}

F_s=mv

r atau

F_s=mω2r Adapun ω=

2π

T _{, sehingga diperoleh persamaan:}

F_s=m4π

2_r T2

Contoh soal:

Bila jarak antara pusat bumi dan bulan adalah 3,85 x 108_{m, sedangkan massa bulan}

(15)

bila periode bulan mengelilingi bumi adalah 27,3 hari. (Asumsikan orbit bulan mengelilingi bumi berbentuk lingkaran)

Penyelesaian:

Besarnya gaya yang diberikan bumi terhadap bulan dapat dihitung menggunakan persamaan gaya sentripetal.

F_s=m4π 2_r

T2 F_s=7, 35×10

22_×₄_π2_×_3,85_×₁₀8

23587202

F_s=1, 113×10 30

5, 564×1012

(1)

Pada saat mengelilingi Bumi, Bulan akan menempuh lintasan sepanjang 2 π _r dengan laju v.

(2)

v=2πr

T , _{T =27,3 hari = 2358720 sekon} v=2π(385000000

235000000 =1025 _m/s Percepatan bulan:

a=v2 r =

(1025)2

385000000=0, 0027 _m/s2

h. Hubungan percepatan sentripental dengan percepatan sudut

Misalkan sebuah benda yang bergerak melingkar dalam selang waktu ∆t berubah kecepatan angulernya sebesar ∆ω, sehingga kecepatan linier benda tersebut berubah juga sebesar ∆v.

v = ∆r ∆ω ………..(3)

bila ruas kiri dan kanan persamaan (3) dibagi dengan ∆t maka diperoleh persamaan:

Δv Δt=r

Δω Δt

Untuk ∆t mendekati nol maka LimΔv

Δt=rlim Δω

Δt Sementara itu,

LimΔv Δt=as

sedangkan Lim Δω

Δt =α

Sehingga diperoleh hubungan antara percepatan sedut dengan percepatan sentripental

as = ra

3. Gerak Melingkar Beraturan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

(3)

ω

1 =

ω

Sehingga diperoleh hubungan:

v₁ r₁=

v₂ r₂ Perhatikan gambar berikut:

v₁=v₂ Sehingga diperoleh hubungan:

(4)

Bila

r

>

r

1 _maka

ω

₁ _{menjadi lebih besar dari}

ω

₃

,

_{sehingga dapat disimpulkan}

bahwa roda-roda yang mempunyai sumbu putar yang sama mempunyai laju anguler yang sama, sedangkan roda-roda yang dihubungkan dengan sabuk mempunyai laju linier yang sama.

Contoh soal:

Penyelesaian:

a. Laju linier kedua roda ω₁=80rad/s

r₁=0,06m

v₁=ω₁r₁=80×0,06=4,8m/s

Jadi, kedua roda dihubungkan dengan sabuk sehingga laju liniernya sama, yaitu 4,8 m/s

b. Laju anguler roda 2

v

₂

=

ω

₂

r

₂

4,8

=

ω

₂

.0,2

m

ω

=

24 rad

/

s

1 putaran

/

s

=

2 πrad

/

s

ω

₂

=

24 rad

/

s

ω

₂

=

3,82

putaran

/

s

=

229 putaran

/

menit

ω

₂

=

229 rpm

(5)

Contoh lain gerak melingkar beraturan dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak roda-roda pada sepeda yang dihubungkan dengan rantai

4. Gerak Melingkar Berubah Beraturan

Menurut hokum Newton II, suatu benda yang mengalami gerak dipercepat harus mempunyai gaya netto yang bekerja pada benda tersebut dan besarnya dirumuskan dalam bentuk:

F = m a Dimana: F = gaya

m = massa benda a = percepatan benda

F

=

m

.

a

Gaya ini juga mengarah pada pusat lingkaran sehingga disebut gaya sentripetal (Fs) Sementara itu, as=

r _atau as=ω2r _{, sehingga diperoleh persamaan} F_s=mv

r atau

F_s=mω2r Adapun ω=

2π

T _{, sehingga diperoleh persamaan:} F_s=m4π

2_r

Contoh soal:

Bila jarak antara pusat bumi dan bulan adalah 3,85 x 108_{m, sedangkan massa bulan} adalah 7,35 x 1022_{kg, tentukanlah besarnya gaya yang diberikan bumi terhadap bulan}

(6)

bila periode bulan mengelilingi bumi adalah 27,3 hari. (Asumsikan orbit bulan mengelilingi bumi berbentuk lingkaran)

Penyelesaian:

Besarnya gaya yang diberikan bumi terhadap bulan dapat dihitung menggunakan persamaan gaya sentripetal.

F_s=m4π

2_r

T2 F_s=7, 35×10

22_×₄_π2_×_3,85_×₁₀8

23587202 F_s=1, 113×10

5, 564×1012 F_s=2,0×1020N