BAB 1 LOGIKA - BAB 1 Logika.pdf
LKS1
d. x 3 x 4
x 3 x 4 0 x 4 x 1 1. a. kalimat deklaratif 0
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan
b. kalimat deklaratif x 4 atau x 1
c. kalimat non deklaratif x 16 atau x 1
d. kalimat non deklaratif
e. 2 x x 2 3 0
e. kalimat non deklaratif
x 3 x 1 0
2. a. Pontianak tidak terletak di pulau Sulawesi x 3 atau x 1
, y R ( bahasa ) yang tersusun secara baik dan
3. kalimat adalah suatu rangkaian bunyi
6 bermakna utuh. 3 g. y y 6 16 0
y y 6 16 4. Ada dua jenis kalimat dalam matematika, 0
y 8 y 2 0
3 yaitu : 3
- kalimat deklaratif
3 y 3 8 atau y 2 - kalimat non deklaratif
y 3 2 atau y 2
5. a. Variabel adalah faktor penentu suatu
h. xy 10
kalimat terbuka bernilai benar atau salah.
Konstanta adalah nilai pengganti varibel
yang menentukan suatu kalimat benar
atau salah.
i. y x 2 1
Kalimat terbuka adalah jenis kalimat yang
2 x y 1
nilai kebenarannya belum dapat dipastikan karena masih mengandung
, y R variabel.
2 j. 7 x 2 y
6. a. Pernyataan salah
b. Bukan pernyataan
c. Bukan pernyataan
d. Bukan pernyataan
e. Pernyataan benar
9. a. 2 adalah bilangan yang harus dibagi 3
f. Pernyataan benar
b. Negara Australia berpenduduk kurang dari 400 juta jiwa.
c. 2 x 3 0
7. Jika p benar maka ~ p salah,
d. 2 7 10
Jika p salah maka ~ p benar.
e. 35 tidak mempunyai kebalikan
f. tidak semua siswa SMA pada hari Senin berseragam putih – putih.
g. Beberapa siswa paling sedikit 100 orang
h. Tidak banyak buruh pabrik yang mogok bekerja.
j. Jumlah sudut dalam segitiga bukan 2 180 j. x 10 8
x 2 19 0
10. a. 3 x 1 2
x 18 x 18
x 1 Pernyataan salah karena
~ x 3 x 1 2
b. x 3 1 0 18 x 18
3 x 1 0 Pernyataan salah
3 11. a. x 3 6
Pernyataan salah
c. Pernyataan benar
d. 2 x 1 10 x 1 , 2
11 Pernyataan salah
2 b. Pernyataan benar
Pernyataan benar 2 c. x 10 8
e. 2
x ( lihat nomor 10 j ) x 4 3 0
x 3 x 1 0 18 x 18
Pernyataan benar
d. 2 2 x x 15
2 2 x x 15 0
1 x 3
2 x 5 x 3 0
Pernyataan benar
f. x y 3 4 2 x 5 0 atau x 3
x y 3 4
3 y 4 x
Pernyataan salah
e. 2 x y 2 8
4 x y 2 , y R x 10 2 y
Pernyataan salah
g. Pernyataan salah x 2 , 8
h. 2 x y 4
x 2 4 y y 2 x 6
2 x y 4 y 3 x 4
Pernyataan salah 2 y 4 x 2
i. 2 x 3 x 5 x
Pernyataan benar
x 2 y 2 10
2 10 x y 2 10 x y
y 1 , 2 m 2 m 2 0
Pernyataan salah, karena untuk
Pernyataan benar
x 3 dan x 4 maka y 1 , 2 , 3 , 4
2 g. x y x xy y
f. Pernyataan benar
f. y x yang memenuhi
x y 2 10 3 2 2 2 3 pernyataan benar
x x y xy xy y
3 2 2 g. untuk 3 x 3 dan x 4 tidak ada x 2 x y 2 xy y
y 1 , 2 , 3 , 4 yang memenuhi
3 3 x y x 2 y 2 10 Pernyataan salah
h. x y y
Pernyataan salah
h. Pernyataan benar
x 0 Pernyataan salah
12. a. Setiap siswa memakai seragam sekolah
i. y , 3 x R
b. Kuadrat beberapa bilangan real tidak
Pernyataan salah
selalu tak negatif.
j. x y y
13. a. ~ x R x 1 0
Pernyataan benar
b. 2
15. a. ~ x y xy 2 x y xy 2
c. ~ x R , p , q z , x , q 0 b. ~ x y y cos x x y y cos x
c. x y x y x 2 xy y
d. a , b , c , x , y , z , n R
a nx b ny c nz
d. x y xy 100
e. x y xy 1
e. x R y R x y 0
B.
f. 2
x R y R x y
1. a. untuk x 1 maka x 1
14. a. 5 x 1 14 1 x
x 15 3
5 Pernyataan salah
2 Pernyataan salah 2 b. untuk x 1 maka x 1
b. sin x
x 30 c.
Pernyataan benar
x 1 x
Pernyataan benar
Pernyataan benar
Pernyataan benar
d. x 2 x
d. cos 180 x cos x
x x 2
Pernyataan salah
0 2 Pernyataan salah 0 2 Pernyataan salah
x 1 , 2
Pernyataan benar
z 3 x 17 0
2. a. x y 1
17 x 17 y 1 x 2
x 1 , 2 , 3
x 1 , 2 , 3
2 x 2 z 2 3 x 14 0 x 1
y 1 , 2 , 3 x 1 , x y 1
2 14 x 14
x 1 , 2 , 3
Pernyataan benar
y 3 , z 1 x 7 0 x y 12
2 b. 2
y 12 x 0 2
x 1 , 2 , 3
z 2 x 1 0 x 1 y 11 0
x 1 , 2 , 3
11 y 11 z 2 3 x 9 0
y 1 , 2 , 3
x 2 2 y 8 0 x
1 , 2 , 3 8 y 8 Pernyataan benar karena y z x ,
2 2 y 2
1 , 2 x y 2z
2 2 x 2 3 y 3 0 e. x y 2z
y 1 z 1 , y 1 x 1 , 2 , 3 Pernyataan benar karena x 1 , 2 , 3 y 2 x 1 , 2 , 3
2 2 y x y 12 y 3 x
2 c. 2 x y 12 z 2 , y 1 x 1 , 2
2 x 2 12
y 1 x 1 , 2 , 3 y 3 x 1 , 2 , 3 y 2 x 1 , 2 z 3 , y 1 x 1 , 2 , 3
y 2 x 1 , 2 , 3
y 3 x 1 , 2
Pernyataan salah
2 2 d. 2 x y 2z
2 z y 0
2 2 2 x 3. a.
2 y 2 1 , z 1 x 1 0 b. x x x
1 x 1 c. x x 1 x x 1 , 2 , 3 d. x x 2 x
e. x x 0
4. x 3 10
LKS2
x 3 3 3 6 x 4 4 3 7 1. C. “ada murid yang menganggap x 5 5 3 8 matematika tidak sukar”
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan
Tidak terdapat x A x 3 10
2. D. S
Pernyataan salah
S Pernyataan benar
c. x 1 x 3 1 3 4 3. D. S
Pernyataan benar
d. x 5 x 3 5 3 S
7 4. E. q
Pernyataan salah P B , q S , r B
5. a. x y , ~p x , y
b. x y , ~p x , y
c. y x z , ~p x , y
6. a. x y xy yx
5. A. ~ p ~q
b. x y xy x 0
N Dp Nq N Dp ~q
c. x y y x 1
N p ~q
~ p ~q
d. x y 0y , 0
6. B. DND pq Np
~ p q ~ p ~ D pq Np
7. a.
~ ~p
p ~p
ND pq Np
DND pqNp S
~ ~p p
7. B. q
b.
~ ~p ~ ~ ~p
B ~[ p (~ q )]
~ ~p ~p ~[ p (~ q )] ~ S S
~ S B atau r q
8. E. 3 2
9. A. p
d. 2 p : kedua akar persamaan x 1 0 p B dan q S
merupakan bilangan real ~(~
~( p 2 ) q S ) S q : kedua akar persamaan x 1 0 ~ S
Tidak berlawanan
10. B. S
e. p : Diagonal suatu persegi panjang Misalkan : 2 p : 2 4 berpotongan di tengah – tengah
q : 9 habis dibagi 2 q : Diagonal suatu persegi panjang p B dan q S
Saling tegak lurus p q B S
B. Evaluasi Pemahaman dan 3 4. a. 2 8
Penguasaah Materi
2. a. ~ p : Harti gadis yang tidak lincah
b. ~ q : Harti gadis yang tidak pandai
c. p : Harti gadis yang lincah dan q
d.
pandai
d. ~ p : Harti gadis yang tidak lincah q
tetapi pandai
e. p ~ q : Harti gadis yang lincah tetapi
S tidak pandai
f. ~ p ~ q : Harti gadis yang tidak lincah
S dan tidak pandai
3. a. p : 13 bukan bilangan prima
B S q : 4 x 2 1 untuk x Himpunan
S Bilangan asli
e.
b. p : 23 adalah bilangan ganjil
B S q : 23 bukan bilangan prima
c. p : ada bilangan bulat yang habis dibagi
3 dan 5 3 dan 5
C. Evaluasi Kemampuan Analisis
b. p ~q r p ~ p ~q ~ p q
SS
p ~q r
pqr
~q
h. (~ p) ( ~
c. S ~p
q ~r
pqr ~P
q ~r
~p q ~r
B S SS
2. a. ~ p r Np q DNpq
B B B b. p ~ p q p ~ Dpq
p NDpq
SS
SSS
Dp NDpq
d. ~ p q r
c. ~ p q p ~ q p q r p q r ~ p q r
NDpq Dp Nq
DNDpq DPNq
B d. ~ p q ~ ~p ~q
B NDpq ~ Np Nq
B NDpq ~ Np Nq
B NDpq NDNp Nq
B DNDpq NDNp Nq B DNDpq NDNp Nq
2. C. ~ p ~q
p ~ p Nq NDpq
~p q ~ p q
p ~ Dp Nq NDpq
D N Dp Nq NDpq
3. A. p ~q
~ ~p q p ~q
DpN Dp Nq NDpq
DDpN Dp Nq NDpq
4. B. ~p p ~p q
3. a. NDp Nq NDp ~q ~p p q ~p p ~p q N p ~q
5. A. p q
~ p ~q
Kalimat ~p ~q
b. DNDpq Np DN p q Np Lingkaran ~ ~p ~q p q
D ~ p q ~p ~ p q ~p
6. A. Saya tidak hadir dan anda tidak pergi
c. DDp Nr Dq Np DDp Nr q ~p
Kalimat ~ p q ~p ~q
D p ~r q ~p
Saya tidak hadir dan anda tidak pergi
p ~r q ~p
7. C. 1 , 2 , 5 , 6 , 7 ,..., 9
d. DNDq DNpq Np
DNDNq D ~p q Np
p 2 : x x 4 0
DNDNq ~p q Np
Pernyataan : p q salah, jika p salah
DND ~q ~p q Np
DN ~q ~p q Np
q salah
~ ~q ~p q Np
x 2 x 4 0
~ ~q ~p q ~p
x 0 atau x 4
e. DNDp Dqp DDNqrp p salah, jika x 0 atau x 4
DNDp Dq pD DNqr p
DNDp Dq pD Nq r p
x 3 x 3 0
DNDp Dq pD ~q r p
x 3 atau x 3
DNDp Dq p ~q r p
q salah, jika x 3
, dan DNDp q p ~q r p
p salah jika q x 0 x 3 x 4
DN p q p ~q r p
x 1 , 2 , 5 , 6 , 7 ,..., 9
D ~ p q p ~q r p
8. B. 5
~ p q p ~q r p
p 2 : x x 3 10 0
q 2 : x 25 0
p benar jika p benar dan q benar q
LKS3
x 2 x 3 10 0
x 5 x 2 0
A.
x 5 atau x 2
1. B. Benar 2 x 25 0
pq p q
x 5 x 5 0
B B B x 5 atau x 5
B p benar jika q x 5 S
SS
9. B. 0 x 3 e. p Sumbu : x dan sumbu y pada sistem p 2 : x 9 0 koordinat Carksius saling
x 3 x 3 0 berpotongan di 0 , 0 .
x 3 atau x 3 q Sumbu : x dan sumbu y pada sistem
koordinat Carksius saling tegak lurus. q : x x 5 0
f. p Setiap bilangan prima habis bibagi :
x x 5 0 oleh
1. x 0 atau x 5 q Setiap bilangan prima habis dibagi :
p salah jika p salah dan q salah q
dirinya sendiri. p salah untuk 3 x 3 g. p Ia mempunyai rambut pirang. :
q salah untuk 0 x 5 q Ia mempunyai mata biru. :
2. a. Ia kaya atau bahagia
b. Ia kaya dan bahagia
c. Ia tidak kaya
d. Ia tidak bahagia
e. Ia tidak kaya dan tidak bahagia
f. Ia kaya dan tidak bahagia
g. Ia tidak kaya dan bahagia
0 x 3 h. Ia kaya atau tidak bahagia
i. Ia tidak kaya atau bahagia j. Ia tidak kaya atau tidak bahagia
10. C. 1 x 3 atau 2 x 0
k. ~ p q ~p q
p : x x 6 0
Tidak benar ia kaya dan bahagia x 2 x 3 0 l. ~ ~p q p ~q
Tidak benar ia tidak kaya dan bahagia q : x x 0
x x 1 0 3. a. p q
x 0 atau x 1 b. ~p q
c. p ~q
d. ~ p q
e. ~p ~q
f. ~ ~p ~q
p benar, jika q 2 x 0 atau
g. ~ ~p q
1 x 3
4. a. p : 2 2 4 benar q : 3 5 6 salah
B.
~ ~p q
1. a. p Ani gadis yang cantik. :
B S q Ani gadis yang lembut. :
b. p Ia ingin belajar menari. :
b. p Paris ibukota Perancis : benar
q London ibukota Inggris : q Ia ingin belajar menyanyi. benar :
p bernilai
c.
p Bintang film itu sangat terkenal. benar : q q Bintang film itu sangat rendah hati. :
c. p :
50 habis dibagi 5 benar
d. p Setiap segitiga sama kaki mempunyai : q : 50 habis dibagi 6 salah dua sisi yang sama panjang.
d. p Panjang diagonal – diagonal suatu : q Setiap segitiga sama kaki mempunyai :
persegi panjang saling tegak lurus dua sudut yang sama besar.
p salah maka ~p benar
e. 2 p : x x 4 4 0 adalah bentuk
kuadrat sempurna
x 2 x 4 4 0 B B B … B … B
S … S p b enar
q 2 : x x 4 4 0 mempunyai akar – akar kembar
C.
q b enar
p q benar
1. a.
2 f. 2 p : cos x sin x 1 salah
B B B B B B B cos B x
B B B q B : tan x salah sin x
p q salah
g. S p : 5 adalah bilangan prima benar
q : 5 habis dibagi 2 salah
SSSS
h. p : 3 5 benar
B : p q p r
q : 3 5 salah
p q salah
p q r p q p r
b.
5. a. p Ia tidak kaya :
B B q Ia bahagia B :
~ p q ~p ~q
SS
Ia kaya atau tidak bahagia
p ~p q p q
b.
p Mark pandai :
c.
q Erik pandai :
p ~q q p q r : Audrey cantik
p ~q
~ p q r ~p ~q ~r
Mark dan Erik tidak pandai atau Audrey
tidak cantik.
p ~q q p q
c. p Ia tinggi :
d.
q Ia tampan :
~ p q ~p ~q
~p q
p ~p q p q
B Ia tidak tinggi atau tidak tampan B
d. p : 3 2 5 S B B B B
~ S
~p p
p ~p q p q
e. p mawar berwarna merah :
2. a. p ~p q p ~q q
q melati berwarna putih :
p ~p p q p q ~q ~q
~ p q ~p ~q
S p q p q S
mawar tidak berwarna merah atau melati tidak berwarna putih.
p q p q
b. ~ p q r ~ p q r ~ p q ~r
~p ~q ~r ~p ~q ~r
4. a. p q ~p p ~p q ~p ~p q ~r
S q ~p q ~p
3. a.
p b. ~p ~p p p p q p p p q
B B c. ~ p q ~p q ~p ~q ~p q
B B B B B LKS4
SSS
B B A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan
B B B B B p 2 : x x 6
x x 6 0
B B B x 3 x 2 0
SS
x 3 atau x 2
q 2 : x x 3 9
x 2 x 3 9 0
B B Agar p q bernilai salah maka p B
dan q S
SSS
untuk 2 x 2 2 3
B B B B B 2. C. p benar, q salah, dan r salah
B B p 2 : x x 2 0
B B x 2 x 1 0
SSS
x 2 atau x 1
q : 117 adalah bilangan prima ; q S
B B B B B agar p q bernilai benar maka p S
dan q . S
B B agar p S maka 2 x 1
agar p ~q B maka :
~q B q S
B B B B B Pernyataan yang benar adalah :
~p q S S
SS B S
SSSS
5. E. ~p q
B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan
Materi
Pernyataan yang benar adalah :
1. a. p : AC BD
~p q S S
q : ABCD persegi panjang
6. C. ~p ~q
b. p : 7 bukan bilangan prima p S , q B q : 7 bilangan ganjil
Pernyataan yang benar adalah :
~p ~q B S
c. p nilai matematika saya 10 :
7. B. ~q ~p bernilai benar
p S , q B Karena 3 3 9 maka beberapa pun
~q ~p S B nilai matematika saya, nilai kebenaran B implikasi tersebut adalah benar B
d. p segitiga ABC sama sisi :
8. C. ~q q segitiga ABC sama kaki :
agar r S bernilai salah S maka
e. p : ABCD belah ketupat r B bernilai salah
agar q r
S
q : AC BC
maka
agar p q bernilai salah S maka
p p q ~p p q
~p p ~p q
b. p suatu bilangan habis dibagi : 2
B ~p q
q Bilangan itu adalah bilangan genap :
~p q
c. p Besar sudut – sudut suatu segitiga : p q
adalah sama. q Panjang sisi – sisi segitiga itu adalah :
10. C. p q r
d. p Panjang sisi – sisi suatu segi empat :
adalah sama.
q segi empat itu adalah persegi :
B B B Bilangan genap
SSS
p q p r p q r p q p r p q r
6. a. ~p ~q
~q ~p ~q q segitiga itu memenuhi rumus :
siku – siku.
~p
S Pythagoras
B B B q Jepang menang dalam Perang :
g. p Indonesia merdeka. :
b. ~ ~p q
~p ~p q ~ ~p q
Dunia II
B S q : x habis dibagi oleh 1 dan dirinya
h. p : x adalah bilangan prima.
B sendiri.
p c. q B p ~p q
~p q p ~p q
~p
B B jika dan hanya jika dua garis itu saling
4. a. Hasil kali gradient dua garis adalah 1 B B S
SS tegak lurus.
b. segitiga ABC siku – siku di
A jika dan
2 2 hanya jika 2 a b c d.
p ~q ~p q
c. x B adalah bilangan ganjil jika dan
B hanya jika B x bilangan ganjil.
d. tidak bisa diubah menjadi biimplikasi
2 e. 2 x y jika dan hanya jika x y
e. p q ~p q
~p q
p ~p q
5. a. p : x 4 B B B B B
q B : x 16
b. p : x 0
7. a. ~p : Jika ia tidak rajin belajar maka q
1 q : 0 ia lulus ujian x
b. p ~q : Jika ia rajin belajar maka ia p q B tidak lulus ujian
c. 2 p : x 16
c. ~ ~p q ~ p q
q : x 4 atau x 4 ~p ~q p q B Ia tidak rajin belajar dan tidak lulus ujian
d. p : x 1 d. ~p ~q : Jika ia tidak rajin belajar q maka ia tidak lulus ujian : x 3 3
e. ~p : Jika ia tidak rajin belajar maka q p q B
e. p : 5 x 7 32 ujian maka ia rajin belajar.
ia lulus ujian dan jika ia lulus
5 x 25 f. p ~q : Jika ia rajin belajar maka x 5
ia tidak lulus ujian dan jika ia p 2 : x 25
tidak lulus ujian maka ia rajin x belajar. 5
g. p : Ia rajin belajar jika dan hanya q p q S
f. p : 2 64 q : x 6
jika ia lulus ujian.
h. ~p ~q : Jika ia tidak rajin belajar
b. p ~q p ~ p ~q q ~p
maka ia tidak lulus ujian dan
p ~q p ~ p ~q q ~p jika ia tidak lulus ujian maka
ia tidak rajin belajar.
SB
C. Evaluasi Kemampuan Analisis
p ~q p ~ p ~q q ~p
1. a. ~ p q p ~q
~ B p q p ~q
c. p q r
SSS
b. ~ p q p ~q ~p q
p q ~ p q p ~q ~p q
SSS
~ p q r p q ~r p ~q ~ p q
4. a.
c.
~ p q r p q ~r p q
p ~q
2. a. ~ p ~q ~ ~p ~q q p
~ ~p ~q ~ q p
b. ~ p q q r p q ~q ~r p q ~q ~p
~ p q q r
b. ~ p ~q ~ ~p q ~q p
B B S ~ ~p q ~ ~q p
B p ~q q ~p
c. ~ ~p ~q ~ p ~q q ~p
~ p ~q ~ q ~p
SS
~p q ~q p ~q ~r p q ~q ~r
3. a. p q ~ p q
p S q p q ~p q
SS
5. a. p q q p
p q ~p
B B B p ~q q ~p
SS
b. ~p p q S q ~p
pq ~p p q
~p p q
q ~p
B 6. B. p q p
B S SS
B B B Konvers dari p p q : p q p
SS
c. q p q p
7. B. ~q p
pq p q
B B B B B Kontraposisi dari ~p : q ~q p
B B 8. D . ~q p Kontraposisi p : q ~q ~p
SSS
~ ~q ~p ~ q ~p
~q p
LKS5
9. D. “jika q benar p salah”
p B q S S
A.
S B
1. D.
~q p
q S p B B
p ~q : ~p q S
Invers dari
p S q B B
~p B , p S ,
q S
dari dan
q B p S S
p q B ~q p S
q p B ~p ~q B
q B p B B
q ~p B 10. E.
B B B p q ~r p q p ~q ~ p q
3. B. r p ~q
S p q ~r r ~ p q
r ~p ~q
r p ~q
p ~q ~ p q
4. D. p q ~r
~ p q r ~ ~p q r
11. C. “jika ia tidak berhasil maka ia tidak
berusaha
p ia berusaha :
p ~ ~q r
q ia berhasil :
p q ~r
Kontraposisi p : q ~q ~p Jika tidak berhasil maka ia tidak berusaha
12. D. guru tidak hadir dan ada beberapa murid
e. konvers : jika sin x cos x maka tidak bersuka ria.
tan x 1 p guru tidak hadir :
Invers : jika tan x 1 maka q semua murid bersuka ria :
sin x cos x
~ p q ~ ~p q
Kontraposisi : jika sin x cos x maka p ~q
tan x 1 Guru tidak hadir dan ada beberapa murid
f. konvers : jika persamaan itu tidak bersuka ria
mempunyai dua akan positif berbeda maka diskriminan
13. D. “semua grafik fungsi kuadrat memotong persamaan kuadrat non negatif sumbu x ”
invers : jika diskriminan persamaan kuadrat tidak non negaif maka
14 . A. p q persamaan itu tidak mempunyai ~p q p q
dua akar poiti berbeda kontraposisi : jika persamaan itu tidak mempunyai dua akar
15. A. p q positif berbeda maka
p p q p ~p q
diskriminan persamaan
p ~p p q
kuadrat tidak tidak non negatif
2. a. x 5 B
2 x 2
1. a. konvers : jika x 625 maka x 5 2
Invers : jika x 5 maka x 625
2 625 B
Kontraposisi : jika x 625 maka
p B q B (pernyataan benar)
b. AC tegak lurus BD B
b. konvers : jika ABCD layang – layang
maka AC tegak lurus BD ABCD layang – layang B
p B q B (pernyataan benar)
Invers : jika AC tidak tegak lurus
c. x bilangan real dengan x 2 B
BD maka ABCD bukan
layang – layang
kontraposisi : jika ABCD bukan
x 4 B
layang – layang maka
AC tidak tegak lurus BD p B q B (pernyataan benar)
c. konvers : jika 2 x 4 maka x bilangan
d. 2 log x 5
real dengan x 2 5
Invers : jika x bukan bilangan real
2 x 32 B
dengan x 2 maka x 4
2 p B q B (pernyataan benar)
kontraposisi : x 4 maka x bukan bilangan real dengan
x e. 2 tan x 1 B
d. konvers : jika 2 x 32 maka log x 5 sin x cos x S
log (pernyataan benar) x 5 maka x 32 p B q S
Invers : jika 2
kontraposisi : jika x 32 maka
f. diskriminan persamaan kuadrat non
2 negatif B
log x 5 persamaan itu mempunyai dua akar positif berbeda S
p B q S (pernyataan salah)
3. a. konvers – invers
3. B.
~p q kontraposisi ~p q
~q p
b. konvers – invers p ~q p ~q
~r
~p p q p p q p
c. invers – invers
4. C.
4. a. invers – konvers – invers
p q ~p ~q konvers ~p ~q
~q ~p
b. kontraposisi – invers
q ~p konvers q ~p
c. kontrposisi – konvers
~q p invers ~q p
5. a. negasi invers p ~q ~ ~p q
6. D.
~p ~q
b. negasi konvers ~p q ~ q ~p
c. negasi kontraposisi
~p q ~ ~q p
7. A.
~q ~p
~q
~p
8. C.
LKS6
p q S r q S
A.
~r s r s S
1. A.
Oleh karena s bernilai salah S , maka r
p bernilai benar, q bernilai salah, dan p
bernilai benar.
2. A.
9. E.
p bernilai salah S
q bernilai benar B
Yang bernilai salah : q p p r
~r ~p ~r ~p
10. C
~p q r benar B , jika
~p q
q ~r Karena ~p benar maka p salah, q benar
B B B ~q
p ~r r ~p dan r benar.
~p
dari kedua kesimpulan diatas, jika digabung menjadi :
~p
B.
r ~p
1. a.
( seharusnya ~r ) p
tidak sah
B B B B e. ~p r
( karena p r ~p r )
~p t
SS
~q ~p ( karena p q ~q ~p )
b.
pq p q
p q p q
~q t q t
B sah
B f. p q
SSS
B B q ~r ( karena ~q ~r q ~r )
c.
~p ~q ~ p q ~p ~q ~ p q
p ~r
pq
B B B ~r ~t
B ( karena t r ~r ~t )
B 2. a. S Argumentasi tidak sah p q
Argumentasi sah
r p tidak sah
c. p r ~r ~p ~p q ( karena p q ~p q )
q ~p
q tidak sah
B Argumentasi tidak sah S
p q r t r p
p q r t r p q t
Argumentasi sah B
SSS
LKS7
g. p : 4 7 4 7 4 7 ...
1. a. p : x 3
q suku ke- : n -nya adalah 1 , 5 5 , 5 1
q : x 9 harus dibuktikan n N , p q benar harus dibuktikan p benar q
ambil sembarang n N x 3
4 7 4 7 4 7 ... x 3
artinya suku ke- n 4 atau 7 ( p benar) x 2 9 ( terbukti )
akan dibuktikan n 1 , 5 5 , 5
1 4 atau
b. p : n bilangan real
7 , karena jika q benar maka q : n n
p benar q
harus dibuktikan n R , p q benar
1 4 untuk n ganjil n 2
1 n , 5 5 , 5
4 4 (benar) n n ( terbukti )
1 , 5 5 , 5 1 7 untuk n genap
c. bilangan real
q : 1 sin x cos x
harus dibuktikan x R , p q benar
7 (benar) 7 ambil sembarang x R
1 sin x sin x cos x sin x
2 2 2 2 ( terbukti )
2 2 cos x ( terbukti ) 2. a. p :n genap
q : n genap q : 1 sin x 0 akan dibuktikan n Z , p q benar harus dibuktikan x R , p q benar
d. p : x bilangan real
dengan cara membutuhkan ~q ~p ambil sembarang x R
benar
karena 1 sin x 1 maka
~q : n ganjil
1 sin x 1 1 0 ( terbukti )
~p 2 :n ganjil
e. p : a genap ambil sembarang n p 2 :a genap
2 harus dibuktikan 2 a Z , p q benar n a
ambil sembarang a yang genap Z
4 a 4 a 1 2 ( terbukti ) 2
a 2n
b. p : nm ganjil
2 2 2n q : n dan m keduanya ganjil
2 2n
2 ( terbukti ) akan dibuktikan n , m Z , p q
f. harus dibuktikan
benar
3 3 dengan cara membuktikan ~q ~p
2 15 2 5 1 benar
benar
~q : n dan m keduanya genap ~p : nm genap
ambil sembarang n , m Z n 2 a dan m 2 b , a , b Z
nm 2 a . 2 b
2 2 ab ( terbukti ) 2 2 ab ( terbukti )
a . b b 0 b 0 oleh garis ketiga yaitu p
a 0 ab 0 ab 0 : b sudut – sudut dalam bersebrangan
a 0 ab 0 ab 0 sama besar akan dibuktikan a benar dengan b dari table dapat dilihat bahwa ab 0
cara membuktikan ~b ~a benar
( terbukti )
~b sudut – sudut dalam berseberangan :
c. p : a , b , c bilangan asli berturut – turut tidak sama besar
dengan a b c ~a : dua garis n dan m sejajar, tidak
dipotong oleh garis ketiga yaitu p
andaikan ~b ~a benar / a , b , c N , p q benar ~a salah maka ~b harus salah
akan dibuktikan
~ a , b , c N , p q a , b , c N~ p q
Jadi, sudut dalam beseberangan harus
a , b , c N~ ~p q
sama besar
a , b , c N , p ~q
akan dibuktikan p ~q benar ambil sembarang a , b , c N , dengan
b a 1
c b 1 a 2 ( p benar)
3 3 ~q 3 : c a b
A 2 180 A 1
(sehadap)
180 B 1 3 2 3 3 2
a 6 a 12 a 8 a a 3 a 3 a 1
A 3 180 A 4
3 2 3 a 3 6 a 12 a 8 2 a 3 a 3 a 1
( terbukti )
180 B 4 (sehadap)
B 1 ( terbukti )
3. a. p : ab genap
LKS8
q : a atau b genap akan dibuktikan
1 a , b Z , ~p ~q benar
1. 1 2 3 4 ... n n n 1
2 a , b Z , ~q ~p benar
1 ~q dan b ganjil a i n 1 P 1 . 1 1 1 2 1
~q ab ganjil
P 1 benar
ambil sembarang a , b Z
ii n k P k 1 2 3 4 ... k
ab 2 n 1 2 m 1
4 nm 2 n 2 m 1 ( terbukti )
(asumsikan P k benar)
b. p : a . b 0 iii n k 1 P k 1
q : a 0 atau b 0 1
1 2 3 ... k k 1 k 1 k 2
2 dengan a , b R , ~q ~p benar
akan dibuktikan a , b R , p q benar
k k 1 k 1 k 1 k 2
2 ~q 2 : a 0 dan b 0 ganjil 1 1 ~p : a . b 0 ganjil
k 1 k 2 k 1 k 2
ambil sembarang a , b R
( terbukti )
a 0 dan b 0
1 3 5 ... 2 n 1 n 2 n 1 2 n 1
i n 1 P 1 . 1 2 1 2 1 1
i n 1 P 1
P 1 (benar)
P 1 (benar)
ii n k P k 1 3 2 5 2 ... 2 k 1
k 2 k 1 2 k 1
ii n k P k ...
1 . 2 2 . 3 k k 1 (asumsikan P k benar)
iii n k 1 P k 1
(asumsikan P k benar)
1 2 3 2 5 2 ... 2 k 1 2 2 k 1 1 2 1 3 k 1 2 k 1 1 2 k 1 1
iii n k 1 P k 1
3. 1 2 3 4 ... n n n 2
2 1 . 3 3 . 5 2 n 1 2 n 1 2 n 1 1 2 i n 1 P 1 . 1 1 1 1 1 1 1
4 i n 1 P 1
P 1 (benar)
1 2 P 1 (benar)
ii n k P k 4 3 2 3 3 3 ... k 3 k 2 k 1
4 1 1 ii n k P k ...
1 . 3 3 . 5 2 k 1 2 k 1 2 k 1 iii n k 1 P k 1
(asumsikan P k benar)
(asumsikan P k benar)
k 1 2 1 k 2 2 k 1 2 k 2 2 2 k 1 k 1 k 4 1 4 2 k 1 2 k 3 2 k 3 k ( terbukti ) 1 k 1
( terbukti ) n 1 4. n 1 2 4 8 ... 2 2 1
i n 1 P 1 2 1 1 7. 1 P 1 nP P 0 , n 1 P 1 (benar)
i n 1 P 1 1 P 1 1 . P ii n k P k 1 2 4 ... 2 k 1 2 k 1 2 1 P 1 P
(asumsikan P k benar)
P 1 (benar)
iii n k 1 P k 1
1 2 4 ... 2 k 1 2 k 2 k 1 1 ii n k P k 1 k 1 kP
2 k 1 2 k 2 k 1 1 (asumsikan P k (benar)
2 . 2 k 1 2 k 1 1 iii n k 1 P k 1 1 k 1 2 1 k 1 P
2 k 1 1 2 k 1 1 2 k 2 1 kP P ( terbukti )
( terbukti )
8. x y x y
UKAB1
akan dibuktikan
P 1 P 2 ... P n P 1 P 2 ... P n
i n 1 P 1 P P
1. B.
P 1 benar
2. D. ada ikan yang bernapas idak dengan
ii n k P k P 1 P 2 ... P k P 1 P 2 ... P k
insang
(asumsikan P k benar)
p x ikan bernapas dengan insang iii n k 1 P k 1 P 1 P 2 ... P k P k 1 P 1 P 2 ... P k P k 1 ~ x , p x x , ~p x
oleh karena x y x y , maka berlaku ada ikan yang bernapas dengan insang
P 1 P 2 ... P k 1 P 1 P 2 ... P k P k 1
3. B. semua sarjana berumur tidak kurang dari
p x : sarjana berumur kurang dari
9. n 3 n 3
22 tahun
1 ~ x , p x x , ~p x
i n 1 P 1 3 . 1 3
semua sarjana berumur tidak kurang dari
P 1 benar
22 tahun
ii n k P k 3 k 3 4. D. biimplikasi
(asumsikan P k benar) k 1 5. A. 111 bukan bilangan prima
iii n k 1 P k 1 3 k 1 3
3 k k 3 3 . 3 6. A. beberapa bilangan pecahan merupakan Berdasarkan
P bilangan bulat
p x : bilangan pecahan merupakan
3 k 3 3 . 3 ~ ~ x , p x ~ x , ~p x
bilangan bulat
( terbukti )
x , p x
1 2 n 1 10. n 1 2 . 2 3 . 2 ... n . 2 1
1 7. C. q p
i n 1 P 1 1 1 1 . 2 1 ~ ~p q p ~q
P 1 benar
~p ~q
ii n k P k 1 2 . 2 1 3 . 2 2 ... k . 2 k 1 1 k 1 . 2 k
P k benar
~p q p ~q p q ~p ~q p q q p
10. E. 2 10. E. 2
p (benar) dan q (salah)
19. A. p q
A : p q q r
p q q salah jika p B dan q S
20. B. 1 x 1
p : 2 bilangan prima genap S S S
12. C. q p bernilai benar
p salah jika q p B dan q S
p q ~q p
q salah 2 x 1
21. B. 1 x 1
x Real x 4 0
2 ~p ~q salah jika ~p B dan
~q S ,
13. A.
dengan kata lain ~q B
14. B. semua perampok tidak memakai 2 x 1 0
Pistol
15. E. p ~q r q
22. C. Rini gadis jelek atau pandai ~ p ~q ~p q
16. B. p p q ~p q
23. B. ada bilangan real yang kuadratnya q ~r
negatif
2 2 ~p ~r ~
24. B. burung tidak berkicau dan hari msuk p
Pagi
~ ~p ~q ~ p ~q
25. E. x 1 atau x 4
p salah jika q p S q B atau
p B q S
q 2
S jika x x 3 4 0
x x 1 4 0
Faktor dari 5 adalah 1 dan 5 dan tidak ada dua bilangan bulat sedemikian sehingga pembagian kedua bilangan itu sama dengan 5.
x 1 atau x 4 Jadi, 5 bukan bilangan rasional jadi, 5 merupakan bilangan irasional
3. misalkan n p
1 1 B. 1 langkah dasar : p
1 2 3 6 (benar)
langkah induksi :
1. a.
k : benar 2 3 6
kk
n 1 p n n 1 : n 1 N , 2 3 1 n 6 1
B B B B kesimpulan
akan dibuktikan p n 1 benar
b. k 6 . 2 . 3 p q
B B B B k 1 6 ( terbukti )
Jadi, n 2 3 6 ( terbukti )
4. a. 2 p : x 4 0
q : 3 5 15
c.
p q p q ~p q p ~q A p benar, q benar maka p harus q
B B B B B B benar
B B B B b. 2 p : x x 6 0
A : ~p q p ~q
p q ~p q p ~q
p salah, q salah maka p harus q
x 2 x 3 0
B B B x 2 atau x 3 S 2 S B B c. p : x x 3 2 0
p q ~q ~p
q : 4 6 24 p benar, q salah maka p harus q
2. akan dibuktikan 5 merupakan bilangan
salah
irasional. Andaikan 2 5 merupakan x x 3 2 0
x 2 x 1 0
bilangan rasional.
x 2 atau x 1
5. a. konvers – invers – kontraposisi dari p 5 q
p q p ~q p q p ~q
b. invers – konvers – kontraposisi dari p 5q
~p q ~p ~p q ~p