PAPER PEMODELAN MATEMATIKA
MODEL SEIR PENYAKIT CAMPAK DENGAN VAKSINASI DAN
MIGRASI
Identifikasi Masalah
Penyakit Campak merupakan salah satu penyakit endemik dinegara berkembang
yang disebabkan oleh virus campak dari famili Paramyxoviridae, genus
Morbilivirus. Model dasar tentang penyebarab penyakit pertama kali dirumuskan
oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Dalam modelnya McKendrick
membagi populasi total menjadi tiga kelas yaitu Suseptible(S), Infected(I),
Recovered(R).
Dan periode laten yang terdapat pada kelas Exsposed(E).
Penambahan kelas pada penyakit campak ini membentuk model SEIR.
Adapun asumsi model SEIR pada penyakit campak adalah :
a. Faktor kelahiran dan kematian diasumsikan sehat tetapi rentan terhadap
penyakit
b. Dalam populasi terjadi proses migrasi. Imigrasi diasumsikan terjadi di
kelas Susceptible (), dan imigran yang masuk ke populasi dipastikan
individu yang tidak terinfeksi penyakit campak. Sedangkan emigrasi
masuk ke tiap kelas (Susceptible, Exposed, Infected, Recovered).
c. Penyakit dapat menyebabkan kematian(fatal).
Berdasarkan asumsi diatas, dapat didefinisikan parameter model sebagai berikut :
S ( t ) : populasi individu sehat yang rentan terkenainfeksi pada waktu t
E ( t ) : populasiindividu yang terdeteksi virus pada waktu t
I ( t ) : populasi individu yang terinfeksi virus dan dapat menularkan
virus kepadaindividu yang sehat pada waktu t
R ( t ) : populasi individu yang sudah sembuhdari penyakit
b :menyatakan laju kelahiran pada kelas Susceptible(S)
μ :menyatakan laju kematiana lami
β :menyatakan laju kontak
δ :menyatakan laju infeksi pada kelas Exposed
γ : menyatakanlaju kesembuhan pada kelas Infected
α :menyatakan laju kematian akibat penyakit campak pada kelas Infected
p: menyatakan proporsi keberhasilan vaksinasi
m1 :menyatakan laju imigrasi
m1 :menyatakan laju emigrasi
Model seir penyakit campak dengan vaksinasi dan migrasi yaitu
dS
=b ( 1−p ) N +m1 S−βSI −μS−m2 S
dt
dE βSI
=
−δE−μE−m2 E
dt
N
dI
=δE−γI −μI−αI−m2 I
dt
dR
=bpN + γI−m2 R−μR
dt
N ( t )=S ( t ) + E ( t ) + I (t ) + R ( t )
Konstruksi dan Diskritisasi Model Matematika
1. Populasi individu yang rentan terinfeksi
Konstruksi
S ( t+ ∆t ) ≈ S ( t ) +b ( 1− p ) N ( t ) ∆ t +m1 S ( t ) ∆ t−βS (t ) I ( t ) ∆ t −μS ( t ) ∆ t−m2 S ( t ) ∆t
S ( t+ ∆t )−S ( t ) ≈ ∆ t( b (1− p ) N ( t )+ m1 S ( t ) −βS ( t ) I ( t )−μS ( t )−m2 S ( t ) )
( S ( t +∆ t )−S ( t ) )
∆t
Ambil
lim
∆t→ 0
≈ b ( 1− p ) N ( t ) +m 1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m 2 S ( t )
S ( t +∆ t )−S ( t )
≈ b ( 1− p ) N ( t ) +m1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m2 S ( t )
∆t
Sehingga diperoleh
dS
=b ( 1−p ) N +m1 S−βSI −μS−m2 S
dt
Diskritisasi
( S ( t +∆ t )−S ( t ) )
∆t
≈ b ( 1− p ) N ( t ) +m1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m2 S ( t )
Karena ∆ t=h
( S ( t +h ) −S ( t ) )
h
≈ b ( 1−p ) N ( t )+ m1 S ( t )− βS ( t ) I ( t )−μS ( t )−m 2 S ( t )
S ( t+ ∆t )−S ( t ) ≈ h(b ( 1− p ) N ( t ) +m1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m2 S ( t ) )
≈ b ( 1 h− ph ) N ( t ) +hm 1 S ( t )−hβS ( t ) I ( t )−hμS ( t )−hm 2 S ( t )
S i+h −S i ≈ b ( 1 h−ph ) N +hm 1 S i−hβ S i I i−hμ Si−hm2 S i
S i+h ≈ S i +b ( 1 h− ph ) N +hm 1 Si−hβ Si I i−hμ S i−hm 2 S Si
2.
Populasi individu yang terdeteksi virus
Konstruksi
E ( t+ ∆ t ) ≈ E ( t ) +
βS ( t ) I ( t ) ∆ t
−δE ( t ) ∆ t−μE (t ) ∆ t−m2 E (t)∆ t
N
E ( t + ∆ t ) −E (t ) ≈ ∆ t
( βS (Nt ) I ( t ) −δE ( t )−μE ( t )−m E ( t ))
2
E ( t +∆ t )−E ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
∆t
N
Ambil
lim
∆t→ 0
S ( t +∆ t )−S ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
∆t
N
Sehingga diperoleh
dE βSI
=
−δE−μE−m2 E
dt
N
Diskritisasi
E ( t +∆ t )−E ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
∆t
N
Karena ∆ t=h
E ( t +∆ t )−E ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
h
N
E ( t+ ∆ t ) −E (t ) ≈ h
E ( t+ ∆ t ) −E (t ) ≈
( βS ( tN) I ( t ) −δE ( t ) −μE ( t )−m E ( t ) )
2
hβS ( t ) I ( t )
−hδE ( t )−hμE ( t )−h m2 E ( t )
N
Ei+ h−Ei ≈
hβ S i I i
−hδ Ei−hμ Ei−h m2 E i
N
Ei+ h ≈ Ei +
hβ Si I i
−hδ Ei−hμ E i−h m2 Ei
N
3. Populasi Individu yang terkena virus dan dapat menularkan ke individu yang
sehat
Konstruksi
I ( t+ ∆ t ) ≈ I ( t ) +δE ( t ) ∆ t−γI ( t ) ∆ t−μI ( t ) ∆t−αI (t ) ∆ t−m2 I ( t ) ∆ t
I ( t+ ∆ t )−I ( t ) ≈ ∆ t(δE ( t )−γI ( t )−μI ( t )−αI ( t )−m2 I ( t ))
I ( t+ ∆ t )−I ( t )
≈ δE ( t )−γI ( t )−μI (t )−αI ( t )−m2 I ( t )
∆t
Ambil
lim
∆t→ 0
S ( t +∆ t )−S ( t )
≈ δI ( t )−γI ( t )−μI ( t )−αI ( t )−m2 I ( t )
∆t
Sehingga diperoleh
dI
=δE−γI −μI−αI−m2 I
dt
Diskritisasi
I ( t+ ∆ t )−I ( t )
≈ δE ( t )−γI ( t )−μI (t )−αI ( t )−m2 I ( t )
∆t
Karena ∆ t=h
I ( t+ ∆ t )−I ( t )
≈ δE ( t )−γI ( t )−μI (t )−αI ( t )−m2 I ( t )
h
I ( t+ ∆ t )−I ( t ) ≈ h(δE (t )−γI ( t )−μI ( t ) −αI ( t ) −m2 I ( t ))
I ( t+ ∆ t )−I ( t ) ≈ hδE ( t )−hγI ( t ) −hμI ( t )−hαI ( t )−h m2 I ( t )
I i +h−I i ≈ hδ E i−hγ I i−hμ I i−hα I i−hm2 I i
I i +h ≈ I i +hδ Ei −hγ I i −hμ I i −hα I i−h m2 I i
4. Populasi individu yang sembuh dari penyakit
Konstruksi
R ( t+ ∆ t ) ≈ R (t ) +bpN ( t ) ∆t +γI ( t ) ∆ t−m2 R ( t ) ∆ t−μR( t)∆ t
R ( t+ ∆ t )−R ( t ) ≈ ∆ t( bpN ( t ) +γI ( t )−m2 R ( t )−μR ( t ))
bpN ( t ) + γI (t )−m2 R ( t )−μR ( t )
R ( t+ ∆ t )−R ( t )
≈¿
∆t
Ambil
lim
∆t→ 0
S ( t +∆ t )−S ( t )
≈ bpN ( t ) + γI ( t )−m2 R ( t )−μR ( t )
∆t
Sehingga diperoleh
dR
=bpN + γI−m2 R−μR
dt
Diskritisasi
R ( t +∆ t )−R ( t )
≈(bpN ( t )+ γI ( t ) −m 2 R ( t )−μR ( t ) )
∆t
Karena ∆ t=h
R ( t +∆ t )−R ( t )
≈(bpN ( t )+ γI ( t ) −m 2 R ( t )−μR ( t ) )
h
R ( t+ ∆ t )−R ( t ) ≈ h(bpN ( t )+ γI ( t )−m2 R ( t ) −μR ( t ) )
R ( t+ ∆ t )−R ( t ) ≈ hbpN ( t ) +hγI ( t ) −hm 2 R ( t )−hμR ( t )
Ri+h −Ri ≈ hbpN +hγ I i−hm 2 Ri −hμ Ri
Ri+h ≈ Ri +hbpN +hγ I i−hm2 Ri−hμ Ri
Penskalaan Model Matematika
Model Dinamika Sel Tumor dengan Terapi Pengobatan menggunakan Virus
Oncolytic
Model khusus dinamika virus Oncolytic terhadap sel tumor diberikan sebagai
berikut :
dX
X +Y
bXY
=r 1 X 1−
−
dt
K
X +Y
(
)
dY
X +Y
bXY
=r 2 Y 1−
+
−aY
dt
K
X +Y
(
)
Penondimensionalan persamaan dengan menggunakan parameter sebagai berikut
X ( t )=x (τ )
β=
bK
r1
Y ( t )= y ( τ )
t=τ
r2
r1
δ=
γ=
a
r1
Kemudian substitusikan parameter ke dalam persamaan
dX
X +Y
bXY
=r 1 X 1−
−
dt
K
X +Y
(
)
β r 1 xy
dx bK
x+ y
K
=
x 1−
−
dτ
β
β r1
x+ y
b
( )
dx
=x ( 1−( x+ y) )− βxy
dτ
dY
X +Y
bXY
=r 2 Y 1−
+
−aY
dt
K
X +Y
(
)
β r 1 xy
dy γ
x+ y
K
= y 1−
+
−δ r 1 y
dτ r 1
β r1
x+ y
b
( )
x+ y
1−(¿)+ βxy−δ y
dy
=γy ¿
dτ
Sehingga diperoleh persamaan yang lebih sederhana yaitu sebagai berikut
dx
=x ( 1−( x+ y) )− βxy
dτ
x+ y
1−(¿)+ βxy−δ y
dy
=γy ¿
dτ
Simulasi Model Diskrit dan Kontinu
Grafik Diskrit
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Perbandingan grafik diskrit dan grafik kontinue
>
>
>
>
>
>
>
Mencari titik tetap atau titik equilibrium
dS
=b ( 1−p ) N +m1 S−βSI −μS−m2 S
dt
dE βSI
=
−δE−μE−m2 E
dt
N
dI
=δE−γI −μI−αI−m2 I
dt
dR
=bpN + γI−m2 R−μR
dt
Diketahui parameter titik equilibrium endemik penyakit adalah
b=0.5, β =0.8, p=0.5, μ=0.1, δ =0.2, α =0.05, γ =0.03, m1=0.1,m2=0.1, n=1
dS
dE
dI
dR
=0 , =0, =0, =0
dt
dt
dt
dt
Kemudian disubstitusikan ke persamaan sehingga diperoleh
0=0.25−0.1 S−0.8 SI
0=0.8 SI −0.4 E
0=0.2E-0 .28 I
0=−0.2 R+0.03 I + 0.25
Titik tetap pertama
0=0.25−0.1 S−0.8 SI
0.25−0.1 S=0.8 SI
I=
0.25−0.1
… … … … .(1)
S
0.25−0.1 S−0.8 SI=0
0.8 SI −0.4 E=0
0.25−0.1 S−0.4 E=0
E=0.625−0.25 S … … … …(2)
Substitusikan I dan E ke persamaan
0=0.8 SI−0.4 E
Sehingga
Untuk mencari S
0.8 S
( 0.25−0.1
)−0.4 ( 0.625−0.25 S)=0
S
0.2−0.085 S−0.25+0.1 S
−0.05+ 0.2 S=0
S=2.5
Mencari
I
0.25−0.1 S−0.8 SI=0
0.25−0.1 ( 2.5 ) −0.8 ( 2.5 ) I =0
0.25−0.25−0.125 I =0
I =0
Mencari
E
0.2E-0 .28 I =0
0.2E-0 .28 ( 0 )=0
E=0
Mencari
R
−0.2 R+0.03 I +0.25=0
−0.2 R+0.03 ( 0 )+ 0.25=0
R=
0.25
=1.25
0.2
Jadi diperoleh titik tetap pertama yaitu ( 2.5, 0,0, 1.25 )
Titik tetap kedua
Mencari S
0.8 SI −0.4 E=0
0.2E-0 .28 I =0
0.8 SI −0.4 E=0
0.4E-0 .56 I =0
0.8 SI −0.56 I =0
S=
Mencari
I
0.56 I
=0.7
0.8 I
0.25−0.1 S−0.8 SI=0
0.25−0.1 ( 0.7 )−0.8 ( 0.7 ) I =0
0.18=0.56 I
I =0.321
Mencari
E
0.2E-0 .28 I =0
0.2E−0.28 ( 0.321 )=0
0.2E-0 .09=0
E=0.45
Mencari
R
−0.2 R+0.03 I +0.25=0
−0.2 R+0.03 ( 0.321 ) +0.25=0
0.2 R=1.15
R=1.29821
Jadi diperoleh titik tetap kedua yaitu ( 0.7, 0.321,0.45, 1.2981 )
Program mencari titik tetap
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Sumber:
Muhammad S, Rahma S.(2012).” Model SEIR Penyakit Campak dengan
Vaksinasi dan Migrasi”. Jurnal Sains, Industri dan Teknologi.Volume 9, No. 2.
Rahmah H.(2009).Model Dinamika Sel Tumor dengan Terapi Pengobatan
Menggunakan Virus Oncolytic. Skirpsi Hikmah Rahmah pada Institut Pertanian
Bogor:Depdikbud.
MIGRASI
Identifikasi Masalah
Penyakit Campak merupakan salah satu penyakit endemik dinegara berkembang
yang disebabkan oleh virus campak dari famili Paramyxoviridae, genus
Morbilivirus. Model dasar tentang penyebarab penyakit pertama kali dirumuskan
oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Dalam modelnya McKendrick
membagi populasi total menjadi tiga kelas yaitu Suseptible(S), Infected(I),
Recovered(R).
Dan periode laten yang terdapat pada kelas Exsposed(E).
Penambahan kelas pada penyakit campak ini membentuk model SEIR.
Adapun asumsi model SEIR pada penyakit campak adalah :
a. Faktor kelahiran dan kematian diasumsikan sehat tetapi rentan terhadap
penyakit
b. Dalam populasi terjadi proses migrasi. Imigrasi diasumsikan terjadi di
kelas Susceptible (), dan imigran yang masuk ke populasi dipastikan
individu yang tidak terinfeksi penyakit campak. Sedangkan emigrasi
masuk ke tiap kelas (Susceptible, Exposed, Infected, Recovered).
c. Penyakit dapat menyebabkan kematian(fatal).
Berdasarkan asumsi diatas, dapat didefinisikan parameter model sebagai berikut :
S ( t ) : populasi individu sehat yang rentan terkenainfeksi pada waktu t
E ( t ) : populasiindividu yang terdeteksi virus pada waktu t
I ( t ) : populasi individu yang terinfeksi virus dan dapat menularkan
virus kepadaindividu yang sehat pada waktu t
R ( t ) : populasi individu yang sudah sembuhdari penyakit
b :menyatakan laju kelahiran pada kelas Susceptible(S)
μ :menyatakan laju kematiana lami
β :menyatakan laju kontak
δ :menyatakan laju infeksi pada kelas Exposed
γ : menyatakanlaju kesembuhan pada kelas Infected
α :menyatakan laju kematian akibat penyakit campak pada kelas Infected
p: menyatakan proporsi keberhasilan vaksinasi
m1 :menyatakan laju imigrasi
m1 :menyatakan laju emigrasi
Model seir penyakit campak dengan vaksinasi dan migrasi yaitu
dS
=b ( 1−p ) N +m1 S−βSI −μS−m2 S
dt
dE βSI
=
−δE−μE−m2 E
dt
N
dI
=δE−γI −μI−αI−m2 I
dt
dR
=bpN + γI−m2 R−μR
dt
N ( t )=S ( t ) + E ( t ) + I (t ) + R ( t )
Konstruksi dan Diskritisasi Model Matematika
1. Populasi individu yang rentan terinfeksi
Konstruksi
S ( t+ ∆t ) ≈ S ( t ) +b ( 1− p ) N ( t ) ∆ t +m1 S ( t ) ∆ t−βS (t ) I ( t ) ∆ t −μS ( t ) ∆ t−m2 S ( t ) ∆t
S ( t+ ∆t )−S ( t ) ≈ ∆ t( b (1− p ) N ( t )+ m1 S ( t ) −βS ( t ) I ( t )−μS ( t )−m2 S ( t ) )
( S ( t +∆ t )−S ( t ) )
∆t
Ambil
lim
∆t→ 0
≈ b ( 1− p ) N ( t ) +m 1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m 2 S ( t )
S ( t +∆ t )−S ( t )
≈ b ( 1− p ) N ( t ) +m1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m2 S ( t )
∆t
Sehingga diperoleh
dS
=b ( 1−p ) N +m1 S−βSI −μS−m2 S
dt
Diskritisasi
( S ( t +∆ t )−S ( t ) )
∆t
≈ b ( 1− p ) N ( t ) +m1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m2 S ( t )
Karena ∆ t=h
( S ( t +h ) −S ( t ) )
h
≈ b ( 1−p ) N ( t )+ m1 S ( t )− βS ( t ) I ( t )−μS ( t )−m 2 S ( t )
S ( t+ ∆t )−S ( t ) ≈ h(b ( 1− p ) N ( t ) +m1 S ( t )−βS ( t ) I ( t ) −μS ( t ) −m2 S ( t ) )
≈ b ( 1 h− ph ) N ( t ) +hm 1 S ( t )−hβS ( t ) I ( t )−hμS ( t )−hm 2 S ( t )
S i+h −S i ≈ b ( 1 h−ph ) N +hm 1 S i−hβ S i I i−hμ Si−hm2 S i
S i+h ≈ S i +b ( 1 h− ph ) N +hm 1 Si−hβ Si I i−hμ S i−hm 2 S Si
2.
Populasi individu yang terdeteksi virus
Konstruksi
E ( t+ ∆ t ) ≈ E ( t ) +
βS ( t ) I ( t ) ∆ t
−δE ( t ) ∆ t−μE (t ) ∆ t−m2 E (t)∆ t
N
E ( t + ∆ t ) −E (t ) ≈ ∆ t
( βS (Nt ) I ( t ) −δE ( t )−μE ( t )−m E ( t ))
2
E ( t +∆ t )−E ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
∆t
N
Ambil
lim
∆t→ 0
S ( t +∆ t )−S ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
∆t
N
Sehingga diperoleh
dE βSI
=
−δE−μE−m2 E
dt
N
Diskritisasi
E ( t +∆ t )−E ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
∆t
N
Karena ∆ t=h
E ( t +∆ t )−E ( t ) βS ( t ) I ( t )
≈
−δE ( t )−μE ( t )−m2 E ( t )
h
N
E ( t+ ∆ t ) −E (t ) ≈ h
E ( t+ ∆ t ) −E (t ) ≈
( βS ( tN) I ( t ) −δE ( t ) −μE ( t )−m E ( t ) )
2
hβS ( t ) I ( t )
−hδE ( t )−hμE ( t )−h m2 E ( t )
N
Ei+ h−Ei ≈
hβ S i I i
−hδ Ei−hμ Ei−h m2 E i
N
Ei+ h ≈ Ei +
hβ Si I i
−hδ Ei−hμ E i−h m2 Ei
N
3. Populasi Individu yang terkena virus dan dapat menularkan ke individu yang
sehat
Konstruksi
I ( t+ ∆ t ) ≈ I ( t ) +δE ( t ) ∆ t−γI ( t ) ∆ t−μI ( t ) ∆t−αI (t ) ∆ t−m2 I ( t ) ∆ t
I ( t+ ∆ t )−I ( t ) ≈ ∆ t(δE ( t )−γI ( t )−μI ( t )−αI ( t )−m2 I ( t ))
I ( t+ ∆ t )−I ( t )
≈ δE ( t )−γI ( t )−μI (t )−αI ( t )−m2 I ( t )
∆t
Ambil
lim
∆t→ 0
S ( t +∆ t )−S ( t )
≈ δI ( t )−γI ( t )−μI ( t )−αI ( t )−m2 I ( t )
∆t
Sehingga diperoleh
dI
=δE−γI −μI−αI−m2 I
dt
Diskritisasi
I ( t+ ∆ t )−I ( t )
≈ δE ( t )−γI ( t )−μI (t )−αI ( t )−m2 I ( t )
∆t
Karena ∆ t=h
I ( t+ ∆ t )−I ( t )
≈ δE ( t )−γI ( t )−μI (t )−αI ( t )−m2 I ( t )
h
I ( t+ ∆ t )−I ( t ) ≈ h(δE (t )−γI ( t )−μI ( t ) −αI ( t ) −m2 I ( t ))
I ( t+ ∆ t )−I ( t ) ≈ hδE ( t )−hγI ( t ) −hμI ( t )−hαI ( t )−h m2 I ( t )
I i +h−I i ≈ hδ E i−hγ I i−hμ I i−hα I i−hm2 I i
I i +h ≈ I i +hδ Ei −hγ I i −hμ I i −hα I i−h m2 I i
4. Populasi individu yang sembuh dari penyakit
Konstruksi
R ( t+ ∆ t ) ≈ R (t ) +bpN ( t ) ∆t +γI ( t ) ∆ t−m2 R ( t ) ∆ t−μR( t)∆ t
R ( t+ ∆ t )−R ( t ) ≈ ∆ t( bpN ( t ) +γI ( t )−m2 R ( t )−μR ( t ))
bpN ( t ) + γI (t )−m2 R ( t )−μR ( t )
R ( t+ ∆ t )−R ( t )
≈¿
∆t
Ambil
lim
∆t→ 0
S ( t +∆ t )−S ( t )
≈ bpN ( t ) + γI ( t )−m2 R ( t )−μR ( t )
∆t
Sehingga diperoleh
dR
=bpN + γI−m2 R−μR
dt
Diskritisasi
R ( t +∆ t )−R ( t )
≈(bpN ( t )+ γI ( t ) −m 2 R ( t )−μR ( t ) )
∆t
Karena ∆ t=h
R ( t +∆ t )−R ( t )
≈(bpN ( t )+ γI ( t ) −m 2 R ( t )−μR ( t ) )
h
R ( t+ ∆ t )−R ( t ) ≈ h(bpN ( t )+ γI ( t )−m2 R ( t ) −μR ( t ) )
R ( t+ ∆ t )−R ( t ) ≈ hbpN ( t ) +hγI ( t ) −hm 2 R ( t )−hμR ( t )
Ri+h −Ri ≈ hbpN +hγ I i−hm 2 Ri −hμ Ri
Ri+h ≈ Ri +hbpN +hγ I i−hm2 Ri−hμ Ri
Penskalaan Model Matematika
Model Dinamika Sel Tumor dengan Terapi Pengobatan menggunakan Virus
Oncolytic
Model khusus dinamika virus Oncolytic terhadap sel tumor diberikan sebagai
berikut :
dX
X +Y
bXY
=r 1 X 1−
−
dt
K
X +Y
(
)
dY
X +Y
bXY
=r 2 Y 1−
+
−aY
dt
K
X +Y
(
)
Penondimensionalan persamaan dengan menggunakan parameter sebagai berikut
X ( t )=x (τ )
β=
bK
r1
Y ( t )= y ( τ )
t=τ
r2
r1
δ=
γ=
a
r1
Kemudian substitusikan parameter ke dalam persamaan
dX
X +Y
bXY
=r 1 X 1−
−
dt
K
X +Y
(
)
β r 1 xy
dx bK
x+ y
K
=
x 1−
−
dτ
β
β r1
x+ y
b
( )
dx
=x ( 1−( x+ y) )− βxy
dτ
dY
X +Y
bXY
=r 2 Y 1−
+
−aY
dt
K
X +Y
(
)
β r 1 xy
dy γ
x+ y
K
= y 1−
+
−δ r 1 y
dτ r 1
β r1
x+ y
b
( )
x+ y
1−(¿)+ βxy−δ y
dy
=γy ¿
dτ
Sehingga diperoleh persamaan yang lebih sederhana yaitu sebagai berikut
dx
=x ( 1−( x+ y) )− βxy
dτ
x+ y
1−(¿)+ βxy−δ y
dy
=γy ¿
dτ
Simulasi Model Diskrit dan Kontinu
Grafik Diskrit
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Perbandingan grafik diskrit dan grafik kontinue
>
>
>
>
>
>
>
Mencari titik tetap atau titik equilibrium
dS
=b ( 1−p ) N +m1 S−βSI −μS−m2 S
dt
dE βSI
=
−δE−μE−m2 E
dt
N
dI
=δE−γI −μI−αI−m2 I
dt
dR
=bpN + γI−m2 R−μR
dt
Diketahui parameter titik equilibrium endemik penyakit adalah
b=0.5, β =0.8, p=0.5, μ=0.1, δ =0.2, α =0.05, γ =0.03, m1=0.1,m2=0.1, n=1
dS
dE
dI
dR
=0 , =0, =0, =0
dt
dt
dt
dt
Kemudian disubstitusikan ke persamaan sehingga diperoleh
0=0.25−0.1 S−0.8 SI
0=0.8 SI −0.4 E
0=0.2E-0 .28 I
0=−0.2 R+0.03 I + 0.25
Titik tetap pertama
0=0.25−0.1 S−0.8 SI
0.25−0.1 S=0.8 SI
I=
0.25−0.1
… … … … .(1)
S
0.25−0.1 S−0.8 SI=0
0.8 SI −0.4 E=0
0.25−0.1 S−0.4 E=0
E=0.625−0.25 S … … … …(2)
Substitusikan I dan E ke persamaan
0=0.8 SI−0.4 E
Sehingga
Untuk mencari S
0.8 S
( 0.25−0.1
)−0.4 ( 0.625−0.25 S)=0
S
0.2−0.085 S−0.25+0.1 S
−0.05+ 0.2 S=0
S=2.5
Mencari
I
0.25−0.1 S−0.8 SI=0
0.25−0.1 ( 2.5 ) −0.8 ( 2.5 ) I =0
0.25−0.25−0.125 I =0
I =0
Mencari
E
0.2E-0 .28 I =0
0.2E-0 .28 ( 0 )=0
E=0
Mencari
R
−0.2 R+0.03 I +0.25=0
−0.2 R+0.03 ( 0 )+ 0.25=0
R=
0.25
=1.25
0.2
Jadi diperoleh titik tetap pertama yaitu ( 2.5, 0,0, 1.25 )
Titik tetap kedua
Mencari S
0.8 SI −0.4 E=0
0.2E-0 .28 I =0
0.8 SI −0.4 E=0
0.4E-0 .56 I =0
0.8 SI −0.56 I =0
S=
Mencari
I
0.56 I
=0.7
0.8 I
0.25−0.1 S−0.8 SI=0
0.25−0.1 ( 0.7 )−0.8 ( 0.7 ) I =0
0.18=0.56 I
I =0.321
Mencari
E
0.2E-0 .28 I =0
0.2E−0.28 ( 0.321 )=0
0.2E-0 .09=0
E=0.45
Mencari
R
−0.2 R+0.03 I +0.25=0
−0.2 R+0.03 ( 0.321 ) +0.25=0
0.2 R=1.15
R=1.29821
Jadi diperoleh titik tetap kedua yaitu ( 0.7, 0.321,0.45, 1.2981 )
Program mencari titik tetap
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Sumber:
Muhammad S, Rahma S.(2012).” Model SEIR Penyakit Campak dengan
Vaksinasi dan Migrasi”. Jurnal Sains, Industri dan Teknologi.Volume 9, No. 2.
Rahmah H.(2009).Model Dinamika Sel Tumor dengan Terapi Pengobatan
Menggunakan Virus Oncolytic. Skirpsi Hikmah Rahmah pada Institut Pertanian
Bogor:Depdikbud.