KEGIATAN 10. ARUS LISTRIK BOLAK BALIK

KEGIATAN X

ARUS LISTRIK BOLAK BALIK

Modul tentang listrik arus bolak-balik meliputi proses pembelajaran untuk menentukan persamaan arus dan tegangan pada rangkaian arus bolak-balik, serta pembelajaran untuk menggambarkan diagram fasor pada rangkaian RLC.

Setelah pembelajaran modul ini, kompetensi yang menerapkan konsep arus dan tegangan bolak-balik, serta diagram fasor dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan penggunaan arus bolak-balik dalam kehidupan sehari-hari. Prasyarat dalam mempelajari modul bagian ini adalah telah mempelajari dan menguasai tentang listrik arus searah dan listrik statis.

Spesifikasi kinerja yang diharapkan adalah menentukan persamaan arus listrik bolak-balik, menentukan persamaan tegangan litrik bolak-balik , dan menggambarkan diagram fasor pada rangkaian RLC. Berdasarkan spesifikasi kinerja memungkinkan penerapan teori listrik arus dan tegangan bolak-balik secara mendalam di dunia kerja diantaranya untuk menyelesaikan persoalan di bidang produktif.

a. Tujuan

Setelah membaca uraian kegiatan diharapkan dapat : - _{Memiliki pemahaman tentang listrik arus bolak-balik.}

- _{Menghitung besar arus bolak-balik pada rangkaian penghambat.}

- _{Menggambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada} sebuah rangkaian penghambat.

- _{Menghitung besar arus bolak-balik pada rangkaian kapasitif.}

- _{Menggambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada} sebuah rangkaian kapasitif.

- _{Menghitung besar arus bolak-balik pada rangkaian induktif.}

- _{Menggambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada} sebuah rangkaian induktif.

- _{Menghitung tegangan maksimum listrik bolak-balik pada rangkaian RLC} bersimpal tunggal.

- _{Menghitung impedansi listrik bolak-balik pada rangkaian RLC bersimpal} tunggal.

b. Uraian dan contoh

Dalam bagian ini yang dibahas arus bolak-balik yang dihasilkan di dalam rangkaian RLC yang bersimpal (berphasa) tunggal. Sebuah tegangan gerak elektrik (gaya gerak listril = GGL) yang berubah dengan waktu menurut persamaan

ε = εm sin ωt (10-1)

ω = 2f, dengan f diukur dalam satuan hertz (Hz) adalah frekwensi sudut yang tetap. Sebuah tegangan gerak elektrik sejenis ini dapat dihasilkan misalnya oleh sebuah generator arus bolak-balik.

Arus bolak-balik adalah penting karena dua sebab : (1) Dari segi praktis, maka teknologi modern yang cara kehidupan negara maju sungguh berbeda dengan tegangan gerak elektrik oleh persamaan ac-1 dan arus bolak-balik yang bersesuaian dengan itu tidak tersedia. (2) Dari segi teoritis, jika Mengetahui respon setiap rangkaian RLC terhadap tegangan elektrik dari persamaan ac-1, maka dapat mencari respon, yakni arus yang dihasilkan, terhadap setiap tegangan gerak elektrik, tak peduli betapapun sukarnya bentuk gelombangnya.

Tujuan utama adalah untuk mencari arus bolak-balik I di dalam rangkaian dari Gambar ac-1 dengan menggunakan ε, ω, R, C, dan L. untuk kondisi-kondisi yang dapat melokalisir. Maka di dalam semua bagian simpal adalah sama dan menganggap bahwa I diberikan oleh

i = im sin (t - ) (10-2)

Di dalam persamaan 10-2 im adalah amplitudo arus dan  adalah sudut fasa di antara arus bolak-balik dari persamaan 10-2 dan tegangan gerak elektrik dari persamaan 10-1. Tugas sekarang ialah untuk menyatakan im dan  di dalam persamaan 10-2 dengan menggunakan εm, ω, R, C, dan L.

Untuk melakukan hal tersebut, pisahkan soal yang disarankan oleh Gambar 10.1 menjadi tiga soal yang terpisah, yang didalamnya ditinjau R, C, dan L secara terpisah.

Gambar 10.1 Sebuah rangkaian RCL yang bersimpal (fasa) tunggal yang dihubungkan dengan sebuah generator ac. VR, VC, dan VL adalah perbedaan potensial yang berubah-ubah terhadap waktu, berturut-turut melalui hambatan, kapasitor dan inductor.

1. Rangkaian Resistor (penghambat)

Gambar 10-2a memperlihatkan sebuah rangkaian yang hanya dihubungkan sebuah elemen penghambat (resistor), pada mana bekerja tegangan gerak elektrik bolak-balik dari Persamaan 10-1. Dari teorema simpal dan dari definisi resistans, maka didapatkan rumus berikut

Perbandingan persamaan 10-3a dan Persamaan 10-3c memperlihatkan bahwa kuantitas VR dan iR yang berubah-ubah terhadap waktu adalah sefasa (in phase), yakni kuantitas-kuantitas tersebut mencapai nilai-nilai maksimumnya pada waktu yang sama. Seperti yang diharapkan dari Persamaan 10-2, maka kuantitas-kuantitas tersebut juga mempunyai frekuensi sudut  yang sama. Gambar 10.2b merupakan grafik dari Persamaan 10.3a dan 10.3c.

VR

Vc

VL

VR = εm sin ωt (teorema simpal) (10-3a) VR = iR R (definisi) atau (10-3b) iR = (εm / R) sin ωt (10-3c)

ε = εm sin ωt

0  2

Gambar 10-2 (a) sebuah rangkaian penghambat bersimpal tunggal yang mengandung sebuah generator ac. (b) Arus dan perbedaan potensial yang melalui hambatan adalah sefasa. Di dalam Persamaan 10-2, Ф = 0. (c) Diagram fasor memperlihatkan hal yang sama. Panah-panah pada sumbu vertikal adalah nilai-nilai sesaat.

Gambar 10.2c memperlihatkan cara lain untuk melihat situasi tersebut. Gambar tersebut kadang-kadang dinamakan sebuah diagram fasor, yang didalam fasor, yang dinyatakan oleh panah terbuka, berotasi di dalam arah yang bertentangan dengan arah perputaran jarum jam dengan frekuensi sudut ω mengelilingi titik asal. Fasor-fasor tersebut mempunyai sifat-sifat ini: (a) Panjang fasor sebanding dengan nilai maksimum dari kuantitas bolak-balik yang terlibat, yakni kuantitas untuk VR (pers. 10.3a) dan kuantitas (εm/R) untuk iR (pers. 10.3c), dan (b) Proyeksi fasor-fasor pada sumbu vertikal memberikan nilai-nilai sesaat dari arus-arus bolak-balik yang terlibat. Jadi, panah-panah pada sumbu vertical berturut-turut menyatakan kuantitas VR dan kuantitas iR yang berubah-ubah terhadap waktu, seperti di dalam Pers. 10.3a dan Pers. 10.3c. Bahwa VR dan iR adalah sefasa disimpulkan dari kenyataan bahwa fasor-fasornya terletak sepanjang garis yang sama di dalam Gambar 10.2c.

Ikutilah rotasi fasor-fasor di dalam Gambar 10-2c dan yakinkanlah diri anda sendiri bahwa diagram fasor ini menjelaskan Persamaan 10-3a dan 10-3c secara lengkap dan dengan tepat.

VR

(ε = εm sin ωt) ( a )

ωt iR

VR VR, iR

(b)

i_R,_m ( = ε_m/R) V_R,m (= ε_m)

i_R,m ε_m/R) V_R

i R

ωt

Contoh 10.1

Sebuah resistor 25 ohm dihubungan dengan sumber tegangan arus bolak-balik maksimum 300 volt. Hitung arus maksimum yang mengalir melalui rangkaian tersebut.

Penyelesaian

εm = 300 V R = 25  Im = εm / R

Im = 300 V / 25  Im = 12 A

2. Rangkaian kapasitif

Gambar 10-3 (a) Sebuah rangkaian kapasitif bersimpal tunggal yang dihubungkan dengan sebuah generator ac. (b) Perbedaan potensial melalui kapasitor terbelakang terhadap arus selama seperempat siklus. Di dalam Persamaan 10.2,  =-900_{. (c)} Sebuah diagram fasor memperlihatkan hal yang sama. Panah-panah pada sumbu vertikal adalah nilai-nilai sesaat.

V_C V_C,m (= ε_m ) ωt

ω

(c) i_C,m (=ω Cε_m ) i_C

ε = ε_m sin ωt (a)

V_C

0  2ωt V_C

i_C V_C, i_C

Gambar 10.3a memperlihatkan sebuah rangkaian yang hanya mengandung sebuah elemen kapasitif, pada mana bekerja (bereaksi) sebuah tegangan gerak elektrik dai Persamaan 10-1.Dari teorema simpal dan dari definisi kapasitans , maka dapat dituliskan:

VC = εm sin ωt (teorema simpal) (10-4a) dan

VC = q / C (definisi) (10-4b) Dari hubungan-hubungan ini diperoleh:

q = εm C sin ωt atau

ic ( = dq/dt) = ω C εm cos ωt (10-4c)

Perbandingan dari Persamaan 10-4a dan 10-4c memperlihatkan bahwa kuantitas-kuantitas VC dan iC yang berubah-ubah terhadap waktu adalah berbeda fasa sebesar seperempat siklus (900_{). Hal ini terlihat di dalam Gambar 10-3b, yang merupakan grafik} dari Persamaan 10-4a dan 10-4c, dengan melihat bahwa VC, terbelakang terhadap iC, yakni dengan berlalunya waktu, maka VC mencapai maksimumnya setelah iC mencapai maksimum, selama seperempat siklus.

Hal ini terlihat juga di dalam diagram fasor dari Gambar 10.3c. Sewaktu fasor berotasi di dalam arah yang dianggap berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka jelaslah bahwa fasor VC,m tertinggal terhadap fasor iC,m selama seperempat siklus.

Sudut fasa  diantara VC dan iC didalam Gambar 10.3 adalah -900_{. Untuk} memperlihatkan ini, maka masukkan fasa  = -900 _{ke dalam Persamaan 10-2 dan} ekspansikannya, sehingga didapatkan:

i = ( εm /Xc) cos ωt yang cocok dengan Persamaan ac-4c.

Karena alasan-alasan simetri dari notasi, maka Persamaan 10-4c dituliskan kembali sebagai Persamaan berikut:

yang didalamnya terdapat

Xc = 1 / ω C (10-5b)

XC dinamakan reaktansi kapasitif (capasitive reactance). Dengan membandingkan Persamaan 10-3c dan 10-5a, maka dapat dilihat bahwa amplitudo-amplitudo arus berutrut-turut adalah ( εm /R) dan ( εm /Xc). Dengan ketentuan satuan dari XC adalah Ohm.

Em didalam Persamaan 10-4a adalah nilai maksimum VC (=VC,m). Jadi, dari Persamaan 10-5a dapat dituliskan:

VC,m=iC,mXC (10-6)

Hal ini menyarankan bahwa bila suatu arus bolak-balik, yang amplitudonya im dan frekuensi sudutnya ω, terdapat di dalam sebuah kapasitor, maka perbedaan potensial maksimum melalui kapasitor tersebut diberikan oleh:

VC,m=imXC

Contoh 10-2

di dalam Gambar 10-3a, dimisalkan C = 150 F, f = 60Hz, dan Em = 300 V. Carilah (a) VC,m, (b) XC, dan (c) iC,m.

Penyelesaian:

(a) Dari Persamaan ac-4a, VC,m=300 V. (b) Dari Persamaan 39-5b,

XC = 1 / ω C = 1/ 2 fC

= 1/ (2) (60 Hz) (150x 10-5 _F) = 18 

(c) Dari Persamaan 10-6a, iC,m = VC,m / XC

= 300 V / 18  = 17 A.

3. Rangkaian induktif

Gambar 10.4a memperlihatkan sebuah rangkaian yang hanya mengandung sebuah elemen induktif, padanya bekerja sebuah tegangan gerak elektrik bolak-balik

dari Persamaan 10-1. Dari teorema simpal dan definisi induktans, maka dapat dituliskan:

VL= εm sin ωt (10-7a) dan

VL= L ( di/dt) (10-7b) Dari hubungan-hubungan ini, maka dapat dilihat bahwa

di = = (εm / L) sin ωt dt atau

iL =  di = - ( εm / ω L) cos ωt (10-7c)

Perbandingan Persamaan 10-7a dan 10-7c memperlihatkan bahwa kuantitas-kuantitas VL dan iL yang berubah-ubah terhadap waktu mempunyai perbedaan fasa sebesar 900_{. Hal ini terlihat dalam Gambar 10.4b, yang merupakan grafik dari} Persamaan 10-7a dan 10-7c. Dengan melihat bahwa VL mendahului iL, yakni dengan berlalunya waktu maka VL mencapai maksimumnya sebelum iL mencapai maksimum, selama 900_.

Hali ini lebih jelasnya terlihat pada diagram fasor dari Gambar 10-4c. Sewaktu fasor berotasi di dalam arah yang berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka jelaslah bahwa fasor VL,m mendahului iL,m 900

Sudut fasa  diantara VL dan iL di dalam Gambar ac-4 adalah + 900_{. Untuk} memperlihatkan ini, letakkan  = + 900 _{di dalam Persamaan 10-2 dan ekspansikan.} Selanjutnya akan diperoleh

i = -im cos t yang cocok dengan Persamaan 10-7c.

Karena alasan kekompakan notasi, maka Persamaan 10-7c dapat dituliskan kembali sebagai

iL= - (εm / XL) cos t (10-9a) yang didalamnya harus mempunyai

Gambar 10.4 (a) Sebuah rangkaian induktif yang dihubungkan dengan sebuah generator ac. (b) Perbedaan potensial melalui induktor tersebut mendahului arus selama seperempat siklus (900_{). Didalam Persamaan 10-2,  = + 90}0._{. (c) Sebuah diagram fasor} memperlihatkan hal yang sama. Panah-panah pada sumbu vertikal adalah nilai-nilai sesaat.

XL dinamakan reaktansi induktif. Seperti untuk reaktansi kapasitif (Persamaan ac-5), satuan SI untuk XL adalah Ohm.

εm di dalam Persamaan 10-7a adalah nilai VL maksimum (=VL,m). Jadi, dari Persamaan ac-7a dapat dituliskan Persamaan:

VL,m= iL,m XL (10-9a)

Persamaan ini menyarankan bahwa bila suatu arus bolak-balik yang amplitudonya im dan frekuensi sudutnya  terdapat di dalam sebuah induktor, maka perbedaan potensial maksimum melalui induktor tersebut diberikan oleh

VL,m= im XL (10-9b)

Contoh 10-3

Dari Gambar 10-4, misalkan L = 60 mH, f = 60 Hz, dan εm = 300 V. Carilah (a) VL,m (b) XL , dan (c) iL,m.

Penyelesaian

(a) Dari Persamaan 10-7a VL,m = εm = 300 V.

i_L i _L,m ( = - ε_m /L ) t

V_L V_L,m ( = - ε_m)

0  2 i_L

t V_L,i_L V_L

ε = ε_m sin t (a)

(b) (c) V_L

(b) Dari Persamaan 10-8b Xl = L = 2 fL

= (2 )(60 Hz)(60 x 10-3 _H) = 23 

(c) Dari Persamaan 10-9a, iL,m = VL,m/ XL

= 300 V/ 23  = 13 A

4. Rangkaian RCL

Setelah menyelesaikan analisis mengenai rangkaian-rangkaian R, C, dan L yang terpisah, maka sekarang beralih ke Gambar 10.1, yang di dalamnya terdapat ketiga-tiga elemen tersebut. Tegangan gerak elektrik diberikan oleh Persamaan 10-1

ε = εm sin ωt (10-1)

Dan arus (tunggal) di dalam rangkaian tersebut mempunyai bentuk yang diperlihatkan di dalam Persamaan 10-2

i = im sin ( ωt – Ø) (10-2) selain itu juga harus ditentukan im dan Ø

Tahap pertama dimulai dengan memasukkan teorema simpal ke dalam rangkaian Gambar 10-1, sehingga dihasilkan

ε = VR + VC + VL (10-10)

Kesemuanya adalah kuantitas-kuantitas yang yang berubah-ubah dengan waktu secara sinus, yang nilai maksimumnya, menurut urutan adalah εm (Persamaan 10-1), VR,m (=imR), VC,m(=imXC; Persamaan 10-6b), dan VL,m ( = imXL; Persamaan 10-9b).

Walaupun Persamaan 10-10 pada waktu sembarang, namun tidak dapat digunakan dengan mudah untuk mencari im dan Ø di dalam Persamaan 10-2 karena perbedaan-perbedaan fasa yang terdapat diantara suku-suku yang terpisah tersebut. Karena itu, maka beralih ke diagram fasor dari Gambar 10-5a, yang memperlihatkan nilai-nilai maksimum dari I, VR, VC, dan VL. Periksalah bagian 10-2 untuk melihat apakah perbedaan-perbedaan fasanya benar, yakni VR sefasa dengan arus (Gambar

10-2), VC tertinggal 900 _{terhadap arus (Gambar 10.3), dan VL mendahului arus 90}0 (Gambar 10.4).

Seperti di dalam bagian elem-elemen yang ditinjau secara terpisah, proyeksi-proyeksi fasor pada sumbu vertical memberikan nilai-nilai sesaat dari kuantitas-kuantitas yang terlibat. Jadi, jumlah aljabar dari VR, VC, VL pada sumbu vertikal menyamai ε, seperti yang diharuskan oleh Persamaan 10.10.

Jumlah vektor dari amplitudo-amplitudo fasor VR,m, VC,m dan VL,m dinyatakan menghasilkan sebuah fasor yang amplitudonya adalah εm dari Persamaan 10-1. Proyeksi εm pada sumbu vertikal, merupakan ε dari Persamaan 10.1 yang berubah-ubah terhadap waktu, yakni harus sama dengan VR+VC+VL seperti yang dinyatakan oleh Persamaan 10-10.

εm dapat dicari dari Gambar 105b, yang di dalamnya telah dibentuk fasor VL,m -VC,m. Fasor ini adalah tegaklurus pada VR,m , sehingga diperoleh

εm =√V2

R,m + (VL,M – VC,m)2

εm =√(im R)2+ (im XL – im XC)2

εm = im √R2

+ (XL – XC)2 (10-11)

Kuantitas yang mengalikan im impedansi dinamakan Z rangkaian dari Gambar 10.1. dapat dituliskan sebagai

im= εm / Z (10-12)

yang mengingatkan akan hubungan i= ε/R ( Persamaan 10-2) untuk jaringan-jaringan penghambat dengan tegangan gerak elektrik yang tetap. Satuan SI dari impedansi adalah Ohm.

ωt (ωt – Ø) ( V_m - V_C,m)

V_m ε_m ω

Ø V_Rm V

R VRm i m i m V_C V_Cm

V

L,m VL ω V C,m (b) Gambar 10-5

V_C V_Cm

Gambar 10.5(a) Sebuah diagram fasor yang bersesuaian dengan rangkaian dari Gambar 10.1. Perhatikan amplitudo-amplitudo fasor dan nilai-nilai sesaat yang diperlihatkan pada sumbu vertical. (b) Diagram yang sama yang memperlihatkan hubungan diantara tegangan gerak elektrik ε dan arus i berturut-turut dari Persamaan 10.1 dan Persamaan 10.2. Sudut fasa Ø dari Persamaan 10-2 diperlihatkan dengan jelas. Persamaan 10-12 dapat dituliskan dengan perincian sepenuhnya (lihat Persamaan 10-11, 10-5b, dan 10-8b) sebagai

εm

Im = (10-13) √ R2 _{+ (ωL - 1/ωC)}2

Jadi soal yang pertama dikemukakan didalam paragraf kedua dari elemen yang ditinjau secara terpisah telah dikemukakan; dimana im dinyatakan dengan menggunakan εm ,ω, R, C, dan L. Tahap selanjutnya adalah mencari sudut fasa Ø diantara i dan ε; bandingkan Persamaan 10-1 dan Persamaan 10-2.

Sudut Ø diperlihatkan dalam Gambar 10.5b dan dapat dituliskan sebagai berikut;

Tan Ø = (VL,m - VC,m ) / VR,m

= im (XL - XC ) / im R

= (XL - XC) / R (10-14)

Jadi dengan demikian soal yang kedua yang dikemukakan didalam elemen-elemen RCL telah dipecahkan; dimana dinyatakan Ø dengan menggunakan ω, R, C, dan L. Seperti yang telah dikatakan sebelumnya, maka Ø tidak bergantung pada εm. Dengan menaikkan εm maka im akan semakin besar (lihat Persamaan 10-13) tetapi tidak akan mengubah Ø; skala operasi diubah tetapi sifat operasinya tidak berubah. Gambar 10-5b digambarkan secara sembarang dengan XL>XC; yakni dengan menganggap bahwa rangkaian dari Gambar 10-1 lebih bersifat induktif daripada kapasitif. Untuk anggapan ini, εm mendahului im (walaupun tidak 900_{, seperti di dalam} rangkaian kapasitas murni dari Gambar 10.3 dimana εm tertinggal terhadap im, sebesar 900_{). Sesuai dengan perubahan ini, yaitu dari yang mendahului menjadi tertinggal, maka} sudut Ø di dalam Persamaan 10-14 ( dan yang berarti juga didalam Persamaan 10-2)

Contoh 10.4

- _{Sebuah rangkaian RCL, mempunyai hambatan resistor 10 ohm, kapasitas} kapasitor 10 mikrofarad, induktans dari induktor 1 henri.. Jika frekwensi sumber 60 Hertz.dan sumber tegangan maksimum 300 V.

Hitungllah (a) Reaktansi kapasitif (b) Reaktansi induktif,

(c) Impedansi (d) kualt arus listrik maksimum dan (e) besar sudut fasa

Penyelesaian

R = 10  C = 10 F L = 1 H f = 60 Hertz εm = 300 V (a). Xc = 1/ ω

= 1/ (2.  . f. c)

= 1/ (2. 3,14. 60 Hz. 10. 10-6 _F) = 265,4 

(b) XL= ω . L Xl = 2  . f. L

XL = 2 . 3,14 . 60 Hz . 1 H XL = 376,8 

(c) Z = _R2 ₍

_X

_Xc)2

l



Z = 2 2

) 4 , 265 8 , 376 (

10

 

Z = 10012744,16

Z = 113,3  (d) im = εm / Z

im = 2,65 A (e) tg Ø = (Xl -Xc) / R

tg Ø = (376,8 – 265,4)  / 10  tg Ø = 11,14

Ø = arc tg 11,14 Ø = 84,90

- _{Jelaskan pengartian arus listrik bolak-balik.}

- _{Hitung besar arus maksimum, bila resistor 25 ohm dihubungkan dengan GGL} 250 V dengan sudut fase (Ø ) 600

- _{Gambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada sebuah} rangkaian resistor - sumber arus bolak-balik.

- _{Sebuah kapasitor yang kapasitansinya 0,50 mikrofarad dihubungkan dengan} sumber arus balik yang εm = 300 V. Berapakah amplitudo arus bolak-balik yang dihasilkan, jika frekwensi sudut (w) adalah. 100 rad/det

- _{Gambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada sebuah} kapasitor yang dihubungkan dengan sumber arus bolak-balik.

- _{Sebuah inductor yang induktansinya 45 mH mempunyai reaktansi XL sebesar} 1500 ohm. Berapakah seharusnya (a) frekwensi sudut w yang dipakaikan dan (b) Jika sebuah tegangan sumber (εm ) 300 V yang dipakai, berapakah

amplitudo Imdari arus baolak-balik yang dihasilkan.

- _{Gambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada sebuah} inductor yang dihubungkan dengan sumber arus bolak-balik.

- _{Sebuah rangkaian RCL, mempunyai R = 20 ohm, C = 20 mikrofarad, dan L =} 1 henri., f = 60 Hertz.dan im = 47 A Carilah (a) Xc, , (b) XL, (c) εm

- _{Sebuah rangkaian RCL, mempunyai R = 30 ohm, C = 25 mikrofarad, dan L =} 2 henri., f = 60 Hertz.dan εm = 300 V . . Carilah (a) Z, (b) Ø .

Kunci Jawaban

- _{Arus listrik yang tegangan dan arusnya terus berubah antara tegangan positif} dan negatif, sehingga tidak perlu dicari kutuk positif dan negatifnya.

- _{5,022 Adalah}

ω

- 15. 10-3 _{cos 100 t}

-- _{(a) 33333 rad/det (b) 0,2 A} iR,m ( = εm/R) VR,m (= εm)

iR,m εm/R) VR

iR

ωt

V

C VC,m (= εm ) ωt

ω i_C,m (=ω Cε_m ) i_C

0  2ωt V_C

i C V

C, iC

i_L i _L,m ( = - ε_m /L ) t

V_L V_L,m ( = - ε_m)

0  2 i_L

t V

- _{(a) Xc = 132,7 ohm (b) 372 ohm (c) 35579 volt} - _{(a) 652,7 ohm (b) 87,4}0

10-2), VC tertinggal 900 _{terhadap arus (Gambar 10.3), dan VL mendahului arus 90}0 (Gambar 10.4).

Seperti di dalam bagian elem-elemen yang ditinjau secara terpisah, proyeksi-proyeksi fasor pada sumbu vertical memberikan nilai-nilai sesaat dari kuantitas-kuantitas yang terlibat. Jadi, jumlah aljabar dari VR, VC, VL pada sumbu vertikal menyamai ε, seperti yang diharuskan oleh Persamaan 10.10.

Jumlah vektor dari amplitudo-amplitudo fasor VR,m, VC,m dan VL,m dinyatakan menghasilkan sebuah fasor yang amplitudonya adalah εm dari Persamaan 10-1. Proyeksi εm pada sumbu vertikal, merupakan ε dari Persamaan 10.1 yang berubah-ubah terhadap waktu, yakni harus sama dengan VR+VC+VL seperti yang dinyatakan oleh Persamaan 10-10.

εm dapat dicari dari Gambar 105b, yang di dalamnya telah dibentuk fasor VL,m -VC,m. Fasor ini adalah tegaklurus pada VR,m , sehingga diperoleh

εm =√V2

R,m + (VL,M – VC,m)2 εm =√(im R)2+ (im XL – im XC)2

εm = im √R2

+ (XL – XC)2 (10-11)

Kuantitas yang mengalikan im impedansi dinamakan Z rangkaian dari Gambar 10.1. dapat dituliskan sebagai

im= εm / Z (10-12)

yang mengingatkan akan hubungan i= ε/R ( Persamaan 10-2) untuk jaringan-jaringan penghambat dengan tegangan gerak elektrik yang tetap. Satuan SI dari impedansi adalah Ohm.

ωt (ωt – Ø) ( V_m - V_C,m)

V_m ε_m ω

Ø V_Rm V

R VRm i m i m V_C V_Cm

V

L,m VL ω V C,m (b) Gambar 10-5 V_C V_Cm

Gambar 10.5 (a) Sebuah diagram fasor yang bersesuaian dengan rangkaian dari Gambar 10.1. Perhatikan amplitudo-amplitudo fasor dan nilai-nilai sesaat yang diperlihatkan pada sumbu vertical. (b) Diagram yang sama yang memperlihatkan hubungan diantara tegangan gerak elektrik ε dan arus i berturut-turut dari Persamaan 10.1 dan Persamaan 10.2. Sudut fasa Ø dari Persamaan 10-2 diperlihatkan dengan jelas. Persamaan 10-12 dapat dituliskan dengan perincian sepenuhnya (lihat Persamaan 10-11, 10-5b, dan 10-8b) sebagai

εm

Im = (10-13) √ R2 _{+ (ωL - 1/ωC)}2

Jadi soal yang pertama dikemukakan didalam paragraf kedua dari elemen yang ditinjau secara terpisah telah dikemukakan; dimana im dinyatakan dengan menggunakan εm ,ω, R, C, dan L. Tahap selanjutnya adalah mencari sudut fasa Ø diantara i dan ε; bandingkan Persamaan 10-1 dan Persamaan 10-2.

Sudut Ø diperlihatkan dalam Gambar 10.5b dan dapat dituliskan sebagai berikut;

Tan Ø = (VL,m - VC,m ) / VR,m

= im (XL - XC ) / im R

= (XL - XC) / R (10-14)

Jadi dengan demikian soal yang kedua yang dikemukakan didalam elemen-elemen RCL telah dipecahkan; dimana dinyatakan Ø dengan menggunakan ω, R, C, dan L. Seperti yang telah dikatakan sebelumnya, maka Ø tidak bergantung pada εm. Dengan menaikkan εm maka im akan semakin besar (lihat Persamaan 10-13) tetapi tidak akan mengubah Ø; skala operasi diubah tetapi sifat operasinya tidak berubah. Gambar 10-5b digambarkan secara sembarang dengan XL>XC; yakni dengan menganggap bahwa rangkaian dari Gambar 10-1 lebih bersifat induktif daripada kapasitif. Untuk anggapan ini, εm mendahului im (walaupun tidak 900_{, seperti di dalam} rangkaian kapasitas murni dari Gambar 10.3 dimana εm tertinggal terhadap im, sebesar 900_{). Sesuai dengan perubahan ini, yaitu dari yang mendahului menjadi tertinggal, maka} sudut Ø di dalam Persamaan 10-14 ( dan yang berarti juga didalam Persamaan 10-2) secara otomatis akan menjadi negatif.

Contoh 10.4

- _{Sebuah rangkaian RCL, mempunyai hambatan resistor 10 ohm, kapasitas} kapasitor 10 mikrofarad, induktans dari induktor 1 henri.. Jika frekwensi sumber 60 Hertz.dan sumber tegangan maksimum 300 V.

Hitungllah (a) Reaktansi kapasitif (b) Reaktansi induktif,

(c) Impedansi (d) kualt arus listrik maksimum dan (e) besar sudut fasa Penyelesaian

R = 10 

C = 10 F L = 1 H f = 60 Hertz εm = 300 V (a). Xc = 1/ ω

= 1/ (2.  . f. c)

= 1/ (2. 3,14. 60 Hz. 10. 10-6 _F) = 265,4 

(b) XL= ω . L Xl = 2  . f. L

XL = 2 . 3,14 . 60 Hz . 1 H XL = 376,8 

(c) Z = _R2 ₍

_X

_Xc)2 l 

Z = 2 2

) 4 , 265 8 , 376 (

10

  Z = 10012744,16

Z = 113,3 

(d) im = εm / Z

im = 2,65 A (e) tg Ø = (Xl -Xc) / R

tg Ø = (376,8 – 265,4)  / 10 

tg Ø = 11,14 Ø = arc tg 11,14

Ø = 84,90

- _{Jelaskan pengartian arus listrik bolak-balik.}

- _{Hitung besar arus maksimum, bila resistor 25 ohm dihubungkan dengan GGL} 250 V dengan sudut fase (Ø ) 600

- _{Gambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada sebuah} rangkaian resistor - sumber arus bolak-balik.

- _{Sebuah kapasitor yang kapasitansinya 0,50 mikrofarad dihubungkan dengan} sumber arus balik yang εm = 300 V. Berapakah amplitudo arus bolak-balik yang dihasilkan, jika frekwensi sudut (w) adalah. 100 rad/det

- _{Gambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada sebuah} kapasitor yang dihubungkan dengan sumber arus bolak-balik.

- _{Sebuah inductor yang induktansinya 45 mH mempunyai reaktansi XL sebesar} 1500 ohm. Berapakah seharusnya (a) frekwensi sudut w yang dipakaikan dan (b) Jika sebuah tegangan sumber (εm ) 300 V yang dipakai, berapakah

amplitudo Imdari arus baolak-balik yang dihasilkan.

- _{Gambarkan diagram fasor hubungan antara tegangan dan arus pada sebuah} inductor yang dihubungkan dengan sumber arus bolak-balik.

- _{Sebuah rangkaian RCL, mempunyai R = 20 ohm, C = 20 mikrofarad, dan L =} 1 henri., f = 60 Hertz.dan im = 47 A Carilah (a) Xc, , (b) XL, (c) εm

- _{Sebuah rangkaian RCL, mempunyai R = 30 ohm, C = 25 mikrofarad, dan L =} 2 henri., f = 60 Hertz.dan εm = 300 V . . Carilah (a) Z, (b) Ø .

Kunci Jawaban

- _{Arus listrik yang tegangan dan arusnya terus berubah antara tegangan positif} dan negatif, sehingga tidak perlu dicari kutuk positif dan negatifnya.

- _{5,022 Adalah}

ω

- 15. 10-3 _{cos 100 t}

-- _{(a) 33333 rad/det (b) 0,2 A} iR,m ( = εm/R) VR,m (= εm)

iR,m εm/R) VR

iR

ωt

V

C VC,m (= εm ) ωt

ω i_C,m (=ω Cε_m ) i_C

0  2ωt

V_C i

C V

C, iC

i_L i _L,m ( = - ε_m /L )

t

V_L V_L,m ( = - ε_m)

0  2

i_L

t V

- _{(a) Xc = 132,7 ohm (b) 372 ohm (c) 35579 volt} - _{(a) 652,7 ohm (b) 87,4}0