B disebut KODOMAIN DAERAH KAWAN fungsi f

  KALKULUS I

Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu

Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya

  

Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong.

  Fungsi f dari A ke B adalah suatu ATURAN yang MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengan tepat satu dan hanya satu elemen di B Dalam definisi tersebut,

   A

disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH

DEFINISI untuk fungsi f, dinotasikan dengan

   B disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN fungsi f

  

DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE

adalah semua elemen di B yang berpasangan dengan

• Pada Kalkulus I hanya dipelajari fungsi REAL, yaitu fungsi dengan domain dan kodomain

  subhimpunan bilangan real. Dengan demikian

  ⊆ ℝ dan B ⊆ ℝ

• • Bila daerah asal tidak disebutkan, ambillah daerah

  asal ALAMI / NATURAL sebagai daerah asal,

  yaitu = ∈ ℝ ( ) ∈ ℝ
• Grafik fungsi f(x) adalah kumpulan titik-titik di bidang koordinat Cartesius yang memenuhi = . Grafik fungsi f(x) berupa kurva di bidang koordinat yang TIDAK SALING MENGATAPI

  1. Fungsi Identitas, yaitu f(x) = x 2.

  Fungsi Ganjil, yaitu f(-x) = - f(x) 3. Fungsi Genap, yaitu f(-x) = f(x) 4. Fungsi harga mutlak =

  5. Fungsi yang memiliki asimtot. Asimtot

fungsi f adalah garis di bidang koordinat

yang DIDEKATI oleh grafik y = f(x).

  6. Fungsi bilangan bulat terbesar = = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

   Operasi Aljabar Fungsi

   ±

  ± = ± , = ∩

  = , = ∩

   ( ) = , = ∩ ∧ ( ) ≠ 0.

   ( )

   Komposisi Fungsi:

   ∘

  ∘ = ( ), =?

   −1

  ∘ ≠ ∘

   Fungsi invers dari f(x), dinotasikan dengan adalah

  −1 −1

  fungsi yang bersifat: ( ∘ ) = ∘ =

  −1

   Grafik = simetris dengan grafik y = f(x) terhadap garis y = x.

   Operasi Grafis Fungsi: pergeseran dan pencerminan

  

Operasi grafis terhadap suatu fungsi

Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik

fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan

beberapa operasi secara grafis (geometris)

  NO. FUNGSI BARU OPERASI 1. f (x) + k, k > 0 Geser ke atas k satuan.

  f 2. (x+k), k > 0 Geser ke kiri k satuan.

  3. - f(x) Cerminkan terhadap sumbu x.

  f 4. (-x) Cerminkan terhadap sumbu y.

  Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian 5. | f(x) | grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.

  Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y,

  f

  6. ( | x | ) bagian grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti dengan hasil pencerminan bagian sebelah kanan terhadap sumbu y. Contoh :

  2

  2 y x x y x

  Sketsa grafik fungsi   6  8 dapat diperoleh dari grafik fungsi  ,

  2

  2 y x x x

        sebab 6 8 ( 3 ) 1 .

  2 y x

    Langkah langkah : grafik digeser ke kiri 3 satuan, lalu digeser ke bawah

  1 satuan . x

  Selanjutny a bagian grafik yang di bawah sumbu dicerminka n x terhadap sumbu .

  2 y  x (  3 )

  2 y  x  

  ( 3 )

  1

  

2

y  x

  2

   

  ALJABAR TRANSENDEN Fungsi yang diperoleh

  1. Fungsi Trigonometri dari fungsi konstan dan

  2. Fungsi Eksponensial fungsi indentitas melalui 3.

  Fungsi Logaritma operasi-operasi aljabar

  4. Fungsi Hiperbolik

• , −,∗, , 1.

  Fungsi Polinom 2. Fungsi Rasional

   Limit fungsi di suatu titik

   Limit-limit sepihak

   Eksistensi Limit 

  Limit yang nilainya tak berhingga 

  Limit di ketakhinggaan

LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK

  Misalkan f(x) fungsi dengan daerah asal ⊆ ℝ dan a ∈ ℝ, dengan a tidak harus termuat di Notasi f x L lim ( )  x  a dibaca

“limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L”

atau

  “f(x) mendekati L bila x mendekati a “ berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.

  Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu f(a), x . tidak harus terdefinisi karena kita hanya memandang di sekitar a ₁₀

  11 Situasi yang mungkin terjadi:

  a

  x L y f(x)

  a

  x L y f(x)

  L y f(x)

f(a) Contoh: 2 ,

  4

  1 lim ) 2 )(

  Karena

    

     

       

  2 f x x x x x x x x x

  2

  2

  2

  2 lim

  4

  2 lim

  2 (

  1 ) 2 (

  2 ) (

  4

  ) 2 (

  0,25

  x y f(x)

  2

    x x x

  2  

  2

  2 lim

  4

  ?

    x x x x f

  2





  2  x maka

  x  

  2 x 

  ,

  2 

2 Jika didefinisikan f x 

  4 x 

  ( )  x 

  1 ,

  2  y x

  

  2

  1 f lim   ( 2 ) 

  1

  2

  1

  x 

  2

  4 x

  

  4

f(x)

  0,25

  2

  x

  x 

  2  x 

  ,

  2

  2  x 

  4 f x 

  Jika didefinisikan ( )

  

  1  , x 

  2  

  4 y x

  

  2

  1 f lim   ( 2 )

  2  x

  2

  4 x

  

  4

f(x)

  0,25

  2

  x

LIMIT SEPIHAK

  Notasi   f x  L lim ( ) f x L lim ( )   

    x a

    x a

    Dibaca kanan ) sama dengan L

  “limit f(x) bila x mendekati a dari kiri ( ” atau kanan )

  

“f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri ( “

berarti bahwa

Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat

x > a dengan a dan x < a ( ). f x L lim ( )  f x f x L lim ( )  lim ( )  jika dan hanya jika

    x  a x a x a

    ₁₅

  

   ) ( ? ) ( lim

      

  2 x f x f x f x x x

  2

  2

  ) ( lim ) ( lim sebab ADA, TIDAK ) ( lim

    x f x f _{x x}

  2   _{ }

  2

  ( 2 ) lim sedangkan , ( 1 ) lim

   x f x

  2 

    x x f

• 1
• 2

  2 x 1 , 1 ) (x f

     3 x 2 2,

      

  3

  2

  1

  2 -2 3 -1

  x y f(x)

• 3

  1

  Contoh 1. Fungsi bilangan bulat terbesar

• 3

   Contoh 2.

   lim sin ?  x x

  

  1 x  , n bilangan bulat tak nol  n 

  Bila maka n x

   sehingga

   n   sin sin x

  2  

   maka   n  x , n bilangan bulat 2 ,

  Namun bila x

  2  4 n

  1   sehingga

    n  sin sin

2 

  1 x

2 Perhatikan bahwa bila

  → ∞ maka → 0, sehingga nilai berubah-ubah semakin cepat di antara -1, 0, dan 1 bila → 0

  y  y  f x 

  ( ) sin f(x) x

  1

  1

  x

• 1
• 1

  EKSISTENSI NILAI LIMIT

Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan bahwa nilai limit

fungsi di suatu titik tidak selalu ada. Hal ini disebabkan oleh

  1. Nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan atau

  2. Nilai fungsi berfluktuasi sangat cepat

LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA

  DEFINISI

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali

pada x = a sendiri. Maka

    f x

    f x   lim ( ) lim ( )   x  a x  a  

berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif ( negatif ) sebesar mungkin,

dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan

₁₉ a .

  Contoh :

  

1

  lim

  

  1 x x 

  1

  y

  1 f x

  ( )  x 

  1

  1

  1

  2

  x Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif maupun negatif) dapat berlaku pula pada limit sepihak Situasi yang mungkin terjadi:

    _

  f (x)

  f (x) x

  a

  a x x y

  ) ( lim x f

  

  (x)  

  f

  a

  x y

  (x)

  x a f

    _ ) ( lim x f

  a

  

  y

    _ ) ( lim x f

  f (x)

  a

  a x x y

  ) ( lim x f

  

  (x)   _

  f

  a

  x f a x y x

  ) ( lim

    ) ( lim x f

  

Jika sekurang-kurangnya satu di antara keenam

situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x) asimtot tegak x maka garis = a disebut dari grafik y = f(x).

  1 Contoh :   lim

   x 

  1 x 

  1

  1 lim    x 

  1 x 

  1

  1

  1

  1 lim  TIDAK ADA, sebab lim  lim   x x x

  

  1  1 

  1 

    x

  1 x 1 x

  1

  1 x asimtot tegak Garis = 1 adalah dari grafik .

  = −1

LIMIT DI KETAKHINGGAAN

  x x

  Kemungkinan yang dapat terjadi:

  3  x

  . ada tidak cos lim

  

x x

x x x

     

  2    

  2 . lim

  1

  1 2 lim

  2

  ) ( lim x f x

       

  1

  . 1 lim

   

  Contoh:   

  L x f x

     ada tidak ) ( lim

        

  Notasi

disebut limit f(x) di ketakhinggaan, mengkaji bagaimana perilaku nilai

f (x) manakala x membesar positif (negatif).

  ) ( lim x f x

     

  2 Situasi yang mungkin terjadi: x f

  (x)

  L

  

  (x) ) ada tidak ( lim

  x f

  ) ( lim

   

  

  f (x)

y

L x f x

  L

  x

  ) ( lim

   

  

  f (x) y L x f x

  x f x x

  y

  ) ( lim

   

  (x)  

  x f x x f

  ) ( lim

   

   

  

y

  (x)

  x f x y x f

  ) ( lim

   

   

    x f x Contoh:

  6

  1 lim

  2

  2

  2

  2

  3

  1 . lim

  5

  6

  1

  2

  1

  5

  6

  1 lim

  1

  1

  5

  6

  1

  2

  2

  dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan garis x = 3.

   

       

  L x f L x f x x

  dari grafik y = f(x).

  asimtot datar

  Jika maka garis y = L disebut

  y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).

  Garis

        x x x x x x x x x x x x x x x x

    

    

    

      

    

    

   

    

      

    

    

   

     

  x = 2 adalah asimtot tegak

  5

     

  1

  1 ) lim ( lim .

  5

  6

  1 lim

  3 (

  3 ) 2 )(

  ) 2 )( 3 ( lim

   _{   }

  2

    

   

    

     

  x x x x f

  

    

  2

  1 ) (

  2

  2

  Maka garis

  1 lim

  2 x x x x x x x x x f x x x x

  2

  2

  2

  2

  2

  1 ) lim ( lim .

  5

  6

  3 (

  2

  3 ) 2 )(

  ) 2 )( 3 ( lim

     

   _{   }

    

   

    

     

  2 x x x x x x x x x f x x x x

  ) ( lim atau ) ( lim

  6

  5

  1

  2

    

  

  x x x y

  Asimtot datar Asimtot tegak

  Teorema-teorema tentang limit k f x g x

1. Jika suatu konstanta dan nilai lim ( ) dan lim ( ) ada, maka

  x  a x  a f x  g x  f x  g x

  a. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )  

     x a x a x a f x g x f x g x

  

  b. lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )   x  a x  a x  a f x lim ( )   f x

  ( )  x a g x

   

  c. lim , asalkan lim ( )   g x g x x  a x  a

  ( ) lim ( )   x  a kf x  k f x

  d. lim ( ) lim ( )   x  a x  a f x  g x  h x x a

  2 . Prinsip Apit : Jika ( ) ( ) ( ) untuk nilai di sekitar a

  ( kecuali mungkin di ) dan jika lim f(x)  lim h ( x )  L , maka lim g ( x )  L x  a x  a x  a

  

Trik menentukan limit di suatu titik

   a x

  ) ( lim x f

1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a)

  Contoh

  2

        x x x x x x x x x x x x

     

     

      

     

      

     

     

  1  

  2

  1

  2

  1

  1

  1 . lim

  4

  1 lim ) 1 )(

  4 . 4 lim

  1

  4     

    x x

  2

  1 ) 1 (

  1 (

  1

  1 lim

  1

  2

  1 lim

  1

  2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan

nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa

limit-limit sepihak.

  2

  ? sin lim .

  2   

     

     

    

  2  

  2

  2

  2

  2

    sin lim sin lim lim sin lim lim

  Diketahui bahwa maka

    x x x x

  2

  3

  ) lim ( lim

     

  2 x x x x

  2

  2

  . sin

  Jawab: karena maka

  1 



 

x

  1 sin

    x x x

      

  2  

     x x x x x x x x x x x x x

  f x  lim ( ) ? y

  4. f(x) = [ x ] + [-x]

  x 

  2

  3

  2

  1

  x

• 2 -1

  2

  3

• 3

  1

• 1
<
• 3

  f x  f x lim ( ) lim ( ) _{ } x  x 

  2

  2

  1  (  2 )   1 , 1  x 

  2  

   

  1 f x    x 

  ( )

  2 2 ,

  2 

   f x lim ( )

   2  (-3)   1, 2  x 

  3

  x 

  2

  

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

  , ada tidak tan lim cos lim , 1 sin lim , tan lim , , 1 cos lim sin lim

  2 ^{2 2}   

       

        x x x x x x x x x x x x y

  = tan x sin , lim sin , lim

  1 sin lim

          x x x x x x x x x

2.5 KEKONTINUAN

  

Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a

dikatakan kontinu di x = a jika f x  f a lim ( ) ( )

   x a

  Dengan perkataan lain: f

  (x) kontinu di x = a jika f

  (a) terdefinisi Nilai limitnya di x = a ada Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu f x  f x  f a lim ( ) lim ( ) ( )

    x  a x  a Contoh x 

  

  2 x 

  ,

  2

  2  x 

  4 f x 

  ( )  1  y x 

  ,

  2  

  4 x

  

  2

  1 f lim   ( 2 )

  2  x

  2

  4 x

  

  4 f(x) Jadi f(x) kontinu di x = 2.

  0,25

  2 x

  Akibat: jika f kontinu di x = a maka ada f x lim ( ) x  a Teorema fungsi kontinu:

  1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsi- g a  fungsi f + g, f

  ( ) – g, kf, fg, dan f/g ( jika ) juga kontinu di x = a.

  2. fungsi polinom kontinu di ℝ, sedangkan fungsi rasional kontinu di daerah definisinya.

   ( f g )( x )

  

3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di x = a.

  Contoh: x  1 , 

  

  2

      Jika f ( x ) ax b , x 3 

   x  2 , x  3 ,

    tentukan a dan b agar f ( x ) kontinu di setiap bilangan riil. Jawab:

karena f(x) berupa polinom untuk x &lt; 0, 0 &lt; x &lt; 3, dan x &gt; 3, maka

f

  (x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3 Agar f(x) kontinu di x = 0:

• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1
• Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0 sama dengan f(0), yaitu

  lim f ( x )  lim f ( x )  f ( ), yaitu _{ }

  x  x  b

  = 1

  2 a b

  1  .  

  1

  36

• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5

• • Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3

  sama dengan f(3), yaitu

  5 3 .

  9

    _{ }   a a b a b a f x f x f x x

  3           

  3

  2

  ), yaitu ) 3 ( ( lim ) ( lim

  5

  Agar f(x) kontinu di x = 3:

  9

  5

  9

  1

  5

  9

  4

  4  a Jadi f(x) kontinu di mana-mana bila b = 1 dan a = 4/9. Teorema Nilai Antara (TNA):

misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) &lt; M &lt; f(b).

  Maka terdapat c, a &lt; c &lt; b sedemikian sehingga f(c) = M. y f(x) f(b) M f(a) a c b x