LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES BAB 2
LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES
BAB 2
INTEGRASI NUMERIS
Disusun oleh :
Nama
: Lutfiana Rochmatuz Zam Zam
NIM
: 13521178
Kelas
:D
Asisten
: 1. Heni Anggrowati
2. Andry Septian
3. Agus Kurniawan
4. Khuriyati A’malina
LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES
JURUSAN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
YOGYAKARTA
2015
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. TUJUAN
Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk integral dengan menggunakan
penyelesaian numerik
B. DASAR TEORI
Integral numerik juga dinamakan quadrature telah menjadi perhatian para ilmuwan
sejak abad 18 hingga 19. Quadrature pada prinsipnya adalah konsep yang sangat mudah
yaitu bagaimana mengevaluasi integral suatu fungsi :
b
I=∫ f ( x ) dx
(1.1)
a
Persamaan diatas merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batasbatas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Dalam integral analitis, persamaan dapat
diselesaikan menjadi:
b
∫ f ( x ) dx= [ F ( x )]ba=F (b )−F (a )
(1.2)
a
dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x)= f (x).
Sebagai contoh :
2
2
[ ] [
]
∫ x dx= 13 x 3 = 13 (2)3− 13 (0)3 = 2,67
0
0
2
(1.3)
Gambar 1.1 Integral suatu fungsi
Integral numerik dilakukan apabila:
1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis
2) Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik
dalam bentuk angka (tabel).
2
Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan
perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh
berdasar data. Bentuk paling sederhana adalah dua titik data yang dapat dibentuk fungsi
polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier).
Metode Simpson adalah metode integral numerik yang menggunakan fungsi
polinomial dengan orde lebih tinggi. Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan
metode integrasi trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi
berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik tengahnya. Atau
dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.
Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan
Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data
tersebut adalah sama. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan f
(b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 1.2 a). Apabila
terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat
titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 1.2 b). Rumus
yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan)
Simpson.
Gambar 1.2 Aturan Simpson
1) Simpson 1/3
Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua).Di
dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang
melalui titik f (xi – 1), f (xi) dan f (xi + 1) untuk mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat
diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.
x
I( x ) = ∫ f ( x ) dx
a
Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi:
I '( x )=
dI( x )
=f ( x )
dx
maka persamaan deret Taylor adalah:
3
2
3
Δx
Δx
I( x i + 1 )=I( x i + Δx) =I ( x i )+ Δx f (x i ) +
f '( x i ) +
f ''( xi )
2!
3!
I( x i − 1 )=I ( x i− Δx) =I (x i )−Δx f ( x i ) +
Δx4
+
f '''( x i )+O ( Δx 5 )
4!
Δx 2
Δx 3
f ' ( xi ) −
f ''(x i )
2!
3!
4
+
Δx
f '''( x i )−O ( Δx5 )
4!
Gambar 1.3 Penurunan Metode Simpson
Nilai I (xi+ 1) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi+ 1. Sedangkan nilai
I (xi 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi 1). Dengan demikian luasan di bawah
fungsi antara batas xi 1 dan xi+ 1 yaitu (Ai), adalah luasan I (xi+ 1) dikurangi I (xi 1).
Ai = I (xi+ 1) – I (xi 1) atau
Δx 3
A i = 2 Δx f (x i )+
f ''( x i )+ O ( Δx 5 )
3
Maka dari hasil perhitungan, persamaan dibawah ini didapatkan dan dikenal dengan
metode Simpson 1/3.
A i=
Δx
( f + 4 f i + f i + 1 ) + O ( Δx 5 )
3 i −1
Diberi tambahan nama 1/3 karena x dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias,
Δx=
b−a
2
, sehingga persamaandapat ditulis dalam bentuk:
A i=
b−a
[ f (a) + 4 f (c ) +f ( b ) ]
6
dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.
Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:
εt = −
Oleh karena
1
Δx 5 f ''''(ξ )
90
b−a
Δx=
2
5
(b−a)
εt = −
f ''''(ξ )
2880
, maka:
4
2) Simpson 1/3 dengan banyak pias
Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan
membagiluasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama.
Δx=
b−a
n
dengan n adalah jumlah pias.
Gambar 1.4 Metode Simpson dengan banyak pias
Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias;
b
∫ f ( x ) dx=A 1 + A 3+. ..+ A n − 1
a
Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap.
b
(f +
∫ f ( x ) dx= Δx
3 0
a
4 f 1 + f 2 )+
Δx
Δx
( f 1 +4 f 2 +f 3 )+. ..+
( f n − 2 + 4 f n − 1+ f n )
3
3
atau
b
∫ f ( x ) dx= Δx
3
a
[
f ( a )+f (b)+ 4
n −1
n−2
i=1
i=2
]
∑ f ( xi )+ 2 ∑ f ( x i )
Dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak pias ini jumlah interval
adalah genap. Jika interval tidak begitu besar dan fungsi tidak berubah tajam, maka
integrasi seperti gambar di atas dapat di dekati dengan rumus simpson sebagai berikut:
yo
∆ x +4 . y + y
y .dx =
. (¿
m
n )… … … .
3
x
∫¿
y
Kalau interval cukup besar dan atau fungsi berfariasi sangat besar, maka kesalahan
akan besar.
Interval xo sampai xn dibagi menjadi N bagian yang sama besar ( N genap ) dan
masing masing interval besarnya
∆x
. masing masing batas interval di beri indeks :
1,2,3,... N ; sehingga :
Xi = Xo + i ∆ x
5
Rumus simson dikenakan pada tiap 2 interval berrurutan :
Yo dan Yn
koefisien = 1
Y nomor ganjil
koefisien = 4
Y nomor genap
koefisien = 2
Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias adalah:
5
(b−a)
εa = −
f ''''
180 n4
dengan
f ''''
adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.
3) Metode Simpson 3/8
Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial
order tiga yang melalui empat titik.
b
b
I=∫ f ( x ) dx≈∫ f 3 ( x ) dx
a
a
Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, diperoleh:
I=
3 Δx
f ( x )+3 f (x 1 )+3 f ( x 2 )+f ( x 3 ) ]
8 [ 0
dengan:
Δx=
b−a
3
Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk:
I = ( b−a)
[ f ( x 0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 ) ]
8
Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:
εt = −
Mengingat
3
Δx 3 f '''' (ξ )
80
Δx=
b−a
3
, maka:
( b−a)5
εt = −
f ''''(ξ )
6480
Metode Simpson 1/3 lebih disenangi karena mencapai ketelitian order tiga dan
hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode Simpson 3/8 yang membutuhkan
empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk
jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode
6
trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup besar.
Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode
Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.
Alogaritma Penentuan Integrasi dengan cara Simpson
1. Mendefinisikan y = f(x)
2. Menentukan batas atas dan batas bawah (x0 dan x1)
3. Menentukan nilai i
xi−xo
4. Menghitung x=
i
5. Menghitung
y
(¿ ¿ o+ 4 y 1 +2 y 2+ 4 y 3 +2 y 2+ …+2 y N −2+ 4 y N−1 + y N )
∆x
ydx=¿
¿
3
Xi
∫¿
Xo
∑¿
ydx=¿
∆x
¿
3
Xi
∫¿
Xo
Dengan syarat :
Yo dan YN
Y nomer ganjil
Y nomer genap
→
→
→
koefisien = 1
koefisien = 4
koefisien = 2
7
Flowchart
Mulai
Definisikan f(x)
Definisikan f(x) dan menentukan
batas atas dan batas bawah(x0
dan x1)
Tentukan nilai i
Hitung
Hitung
∑¿
ydx=¿
∆x
¿
3
Xi
Hitung ∫ ¿
Xo
Selesai
8
BAB II
PERSOALAN DAN PENYELESAIAN
A. LATIHAN
LATIHAN 1
xo
1
xi
i
∆x
2
10
0,1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
f(x)
2,3452
2,4830
2,6199
2,7565
2,8934
3,0311
3,1699
3,3101
3,4520
3,5958
3,7417
SUM
∫dx
y
2,3452
9,9322
5,2398
11,0262
5,7869
12,1244
6,3397
13,2402
6,9039
14,3830
3,7417
91,0632
3,0354
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 1 dan batas atas 2
adalah 3,0354
LATIHAN 2
xo
2
xi
4
4
y=∫
2
9
(
x2
3
+3 √ x−√ x dx
2
)
i
∆x
20
0,1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
f(x)
4,9827
5,2718
5,5691
5,8747
6,1887
6,5112
6,8423
7,1820
7,5305
7,8878
8,2539
8,6289
9,0130
9,4060
9,8080
10,2192
10,6395
11,0689
11,5076
11,9555
12,4126
SUM
∫dx
y
4,9827
21,0873
11,1383
23,4989
12,3774
26,0448
13,6846
28,7281
15,0610
31,5511
16,5078
34,5158
18,0259
37,6239
19,6161
40,8768
21,2790
44,2757
23,0152
47,8219
12,4126
504,1247
16,8042
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 2 dan batas atas 4
adalah 16,8042
LATIHAN 3
xo
1
xi
i
∆x
2
20
0,05
2
(
( 6−2 x ) 4
y=∫ e
1
10
+ √ 3 x3 +
1
dx
x2
)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
1,95
2
f(x)
56,9142
51,6746
46,9412
42,6650
38,8016
35,3113
32,1581
29,3096
26,7366
24,4126
22,3138
20,4186
18,7075
17,1630
15,7691
14,5115
13,3770
12,3540
11,4319
10,6009
9,8524
SUM
∫dx
y
56,9142
206,6984
93,8825
170,6599
77,6032
141,2451
64,3162
117,2385
53,4732
97,6504
44,6276
81,6744
37,4151
68,6521
31,5383
58,0458
26,7540
49,4161
22,8637
42,4035
9,8524
1552,9246
25,8821
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 1 dan batas atas 2
adalah 25,8821
B. TUGAS
TUGAS 1
x0
2
xi
4
11
i
∆x
20
0,1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
f(x)
2,5845
2,3344
2,1295
1,9584
1,8133
1,6886
1,5802
1,4851
1,4010
1,3260
1,2587
1,1979
1,1427
1,0924
1,0463
1,0038
0,9647
0,9284
0,8948
0,8634
0,8341
SUM
∫dx
y
2,5845
9,3377
4,2590
7,8335
3,6265
6,7542
3,1604
5,9405
2,8020
5,3039
2,5173
4,7915
2,2854
4,3694
2,0925
4,0154
1,9294
3,7138
1,7895
3,4535
0,8341
83,3941
2,7798
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 2 dan batas atas 4
adalah 2,7798
TUGAS 2
x0
2
xi
i
∆x
3
10
0,1
3
(
y=∫ x 2 ln( x )+
2
12
1
+2 √ x 3 dx
√x
)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
f(x)
9,1365
10,0484
11,0166
12,0417
13,1243
14,2650
15,4642
16,7225
18,0404
19,4185
20,8572
SUM
∫dx
y
9,1365
40,1935
22,0332
48,1669
26,2487
57,0599
30,9284
66,8900
36,0808
77,6739
20,8572
435,2689
14,5090
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 2 dan batas atas 3
adalah 14,5090
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Kualitatif
1. Tujuan praktikum ini adalah agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk integral
dengan menggunakan penyelesaian numerik dengan cara simpson
2. Metode Simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi
polinomial dengan orde lebih tinggi
3. Dengan menggunakan program excel, dapat mempermudah dalam perhitungan
dan penyelesaian bentuk integrasi
4. Semakin banyak iterasi, maka hasil yang akan didapat semakin akurat
13
Kuantitatif
a. Latihan
Latihan 1)
= 3,0354
Latihan 2)
4
y=∫
2
(
x2
3
+3 √ x−=√ x16,8042
dx
2
)
Latihan 3)
2
(
4
y=∫ e( 6−2 x )+ √ 3 x3 +
1
1
dx
x2
)
= 25,8821
b. Tugas
Tugas 1)
=
2,7798
Tugas 2)
3
(
y=∫ x 2 ln( x )+
2
1
+2 √ x 3 dx
x
√
)
=
14,5090
B. SARAN
Sebelumnya penulis mengucapkan maaf sebesar-besarnya jika dalam
penulisan saran maupun laporan ini kurang berkenan. Penulis mengucapkan banyak
terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam praktikum
komputasi. Bagi penulis, niat atau komitmen adalah segalanya, jika sudah mempunyai
niat atau komitmen dalam melakukan sesuatu harus dikerjakan dengan tuntas. Dengan
demikian, saran yang dapat diberikan oleh penulis antara lain :
1. Harus teliti dalam memasukan rumus pada Ms.Excel baik tanda baca maupun
angka-angkanya
14
2. Tidak melakukan copy paste hasil pekerjaan lain karena akan merugikan orang lain
dan diri sendiri
3. Memperhatikan saat asisten sedang menjelaskan dan tidak bergurau saat di dalam
laboratorium komputasi
4. Lebih mendalami Ms. Excel supaya mampu mengimplementasikan apa yang sudah
didapat di kelas saat kuliah
5. Untuk menentukan nilai y perlu diperhatikan agar tidak salah dalam memasukkan
nilai koeffisien nya
DAFTAR PUSTAKA
https://id.wikipedia.org/wiki/Metode_integrasi_numerik (diakses pada hari jumat tanggal 23
Oktober 2015 pukul 15.00 wib)
https://www.academia.edu/7340332/INTEGRASI_NUMERIK (diakses pada hari jumat
tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.02 wib)
https://www.academia.edu/9088219/Laporan_Komputasi_Integrasi_Numerik (diakses pada
hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.04 wib)
http://irohmunawaroh.blogspot.co.id/2012/11/integrasi-numerik-makalah-diajukan.html
(diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.06 wib)
https://www.yumpu.com/id/document/view/13982931/praktikum-16-integrasi-numerikmetode-simpson-member-of- (diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.07
wib)
15
16
BAB 2
INTEGRASI NUMERIS
Disusun oleh :
Nama
: Lutfiana Rochmatuz Zam Zam
NIM
: 13521178
Kelas
:D
Asisten
: 1. Heni Anggrowati
2. Andry Septian
3. Agus Kurniawan
4. Khuriyati A’malina
LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES
JURUSAN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
YOGYAKARTA
2015
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. TUJUAN
Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk integral dengan menggunakan
penyelesaian numerik
B. DASAR TEORI
Integral numerik juga dinamakan quadrature telah menjadi perhatian para ilmuwan
sejak abad 18 hingga 19. Quadrature pada prinsipnya adalah konsep yang sangat mudah
yaitu bagaimana mengevaluasi integral suatu fungsi :
b
I=∫ f ( x ) dx
(1.1)
a
Persamaan diatas merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batasbatas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Dalam integral analitis, persamaan dapat
diselesaikan menjadi:
b
∫ f ( x ) dx= [ F ( x )]ba=F (b )−F (a )
(1.2)
a
dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x)= f (x).
Sebagai contoh :
2
2
[ ] [
]
∫ x dx= 13 x 3 = 13 (2)3− 13 (0)3 = 2,67
0
0
2
(1.3)
Gambar 1.1 Integral suatu fungsi
Integral numerik dilakukan apabila:
1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis
2) Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik
dalam bentuk angka (tabel).
2
Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan
perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh
berdasar data. Bentuk paling sederhana adalah dua titik data yang dapat dibentuk fungsi
polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier).
Metode Simpson adalah metode integral numerik yang menggunakan fungsi
polinomial dengan orde lebih tinggi. Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan
metode integrasi trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi
berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik tengahnya. Atau
dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.
Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan
Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data
tersebut adalah sama. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan f
(b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 1.2 a). Apabila
terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat
titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 1.2 b). Rumus
yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan)
Simpson.
Gambar 1.2 Aturan Simpson
1) Simpson 1/3
Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua).Di
dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang
melalui titik f (xi – 1), f (xi) dan f (xi + 1) untuk mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat
diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.
x
I( x ) = ∫ f ( x ) dx
a
Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi:
I '( x )=
dI( x )
=f ( x )
dx
maka persamaan deret Taylor adalah:
3
2
3
Δx
Δx
I( x i + 1 )=I( x i + Δx) =I ( x i )+ Δx f (x i ) +
f '( x i ) +
f ''( xi )
2!
3!
I( x i − 1 )=I ( x i− Δx) =I (x i )−Δx f ( x i ) +
Δx4
+
f '''( x i )+O ( Δx 5 )
4!
Δx 2
Δx 3
f ' ( xi ) −
f ''(x i )
2!
3!
4
+
Δx
f '''( x i )−O ( Δx5 )
4!
Gambar 1.3 Penurunan Metode Simpson
Nilai I (xi+ 1) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi+ 1. Sedangkan nilai
I (xi 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi 1). Dengan demikian luasan di bawah
fungsi antara batas xi 1 dan xi+ 1 yaitu (Ai), adalah luasan I (xi+ 1) dikurangi I (xi 1).
Ai = I (xi+ 1) – I (xi 1) atau
Δx 3
A i = 2 Δx f (x i )+
f ''( x i )+ O ( Δx 5 )
3
Maka dari hasil perhitungan, persamaan dibawah ini didapatkan dan dikenal dengan
metode Simpson 1/3.
A i=
Δx
( f + 4 f i + f i + 1 ) + O ( Δx 5 )
3 i −1
Diberi tambahan nama 1/3 karena x dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias,
Δx=
b−a
2
, sehingga persamaandapat ditulis dalam bentuk:
A i=
b−a
[ f (a) + 4 f (c ) +f ( b ) ]
6
dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.
Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:
εt = −
Oleh karena
1
Δx 5 f ''''(ξ )
90
b−a
Δx=
2
5
(b−a)
εt = −
f ''''(ξ )
2880
, maka:
4
2) Simpson 1/3 dengan banyak pias
Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan
membagiluasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama.
Δx=
b−a
n
dengan n adalah jumlah pias.
Gambar 1.4 Metode Simpson dengan banyak pias
Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias;
b
∫ f ( x ) dx=A 1 + A 3+. ..+ A n − 1
a
Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap.
b
(f +
∫ f ( x ) dx= Δx
3 0
a
4 f 1 + f 2 )+
Δx
Δx
( f 1 +4 f 2 +f 3 )+. ..+
( f n − 2 + 4 f n − 1+ f n )
3
3
atau
b
∫ f ( x ) dx= Δx
3
a
[
f ( a )+f (b)+ 4
n −1
n−2
i=1
i=2
]
∑ f ( xi )+ 2 ∑ f ( x i )
Dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak pias ini jumlah interval
adalah genap. Jika interval tidak begitu besar dan fungsi tidak berubah tajam, maka
integrasi seperti gambar di atas dapat di dekati dengan rumus simpson sebagai berikut:
yo
∆ x +4 . y + y
y .dx =
. (¿
m
n )… … … .
3
x
∫¿
y
Kalau interval cukup besar dan atau fungsi berfariasi sangat besar, maka kesalahan
akan besar.
Interval xo sampai xn dibagi menjadi N bagian yang sama besar ( N genap ) dan
masing masing interval besarnya
∆x
. masing masing batas interval di beri indeks :
1,2,3,... N ; sehingga :
Xi = Xo + i ∆ x
5
Rumus simson dikenakan pada tiap 2 interval berrurutan :
Yo dan Yn
koefisien = 1
Y nomor ganjil
koefisien = 4
Y nomor genap
koefisien = 2
Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias adalah:
5
(b−a)
εa = −
f ''''
180 n4
dengan
f ''''
adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.
3) Metode Simpson 3/8
Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial
order tiga yang melalui empat titik.
b
b
I=∫ f ( x ) dx≈∫ f 3 ( x ) dx
a
a
Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, diperoleh:
I=
3 Δx
f ( x )+3 f (x 1 )+3 f ( x 2 )+f ( x 3 ) ]
8 [ 0
dengan:
Δx=
b−a
3
Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk:
I = ( b−a)
[ f ( x 0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 ) ]
8
Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:
εt = −
Mengingat
3
Δx 3 f '''' (ξ )
80
Δx=
b−a
3
, maka:
( b−a)5
εt = −
f ''''(ξ )
6480
Metode Simpson 1/3 lebih disenangi karena mencapai ketelitian order tiga dan
hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode Simpson 3/8 yang membutuhkan
empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk
jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode
6
trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup besar.
Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode
Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.
Alogaritma Penentuan Integrasi dengan cara Simpson
1. Mendefinisikan y = f(x)
2. Menentukan batas atas dan batas bawah (x0 dan x1)
3. Menentukan nilai i
xi−xo
4. Menghitung x=
i
5. Menghitung
y
(¿ ¿ o+ 4 y 1 +2 y 2+ 4 y 3 +2 y 2+ …+2 y N −2+ 4 y N−1 + y N )
∆x
ydx=¿
¿
3
Xi
∫¿
Xo
∑¿
ydx=¿
∆x
¿
3
Xi
∫¿
Xo
Dengan syarat :
Yo dan YN
Y nomer ganjil
Y nomer genap
→
→
→
koefisien = 1
koefisien = 4
koefisien = 2
7
Flowchart
Mulai
Definisikan f(x)
Definisikan f(x) dan menentukan
batas atas dan batas bawah(x0
dan x1)
Tentukan nilai i
Hitung
Hitung
∑¿
ydx=¿
∆x
¿
3
Xi
Hitung ∫ ¿
Xo
Selesai
8
BAB II
PERSOALAN DAN PENYELESAIAN
A. LATIHAN
LATIHAN 1
xo
1
xi
i
∆x
2
10
0,1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
f(x)
2,3452
2,4830
2,6199
2,7565
2,8934
3,0311
3,1699
3,3101
3,4520
3,5958
3,7417
SUM
∫dx
y
2,3452
9,9322
5,2398
11,0262
5,7869
12,1244
6,3397
13,2402
6,9039
14,3830
3,7417
91,0632
3,0354
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 1 dan batas atas 2
adalah 3,0354
LATIHAN 2
xo
2
xi
4
4
y=∫
2
9
(
x2
3
+3 √ x−√ x dx
2
)
i
∆x
20
0,1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
f(x)
4,9827
5,2718
5,5691
5,8747
6,1887
6,5112
6,8423
7,1820
7,5305
7,8878
8,2539
8,6289
9,0130
9,4060
9,8080
10,2192
10,6395
11,0689
11,5076
11,9555
12,4126
SUM
∫dx
y
4,9827
21,0873
11,1383
23,4989
12,3774
26,0448
13,6846
28,7281
15,0610
31,5511
16,5078
34,5158
18,0259
37,6239
19,6161
40,8768
21,2790
44,2757
23,0152
47,8219
12,4126
504,1247
16,8042
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 2 dan batas atas 4
adalah 16,8042
LATIHAN 3
xo
1
xi
i
∆x
2
20
0,05
2
(
( 6−2 x ) 4
y=∫ e
1
10
+ √ 3 x3 +
1
dx
x2
)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
1,95
2
f(x)
56,9142
51,6746
46,9412
42,6650
38,8016
35,3113
32,1581
29,3096
26,7366
24,4126
22,3138
20,4186
18,7075
17,1630
15,7691
14,5115
13,3770
12,3540
11,4319
10,6009
9,8524
SUM
∫dx
y
56,9142
206,6984
93,8825
170,6599
77,6032
141,2451
64,3162
117,2385
53,4732
97,6504
44,6276
81,6744
37,4151
68,6521
31,5383
58,0458
26,7540
49,4161
22,8637
42,4035
9,8524
1552,9246
25,8821
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 1 dan batas atas 2
adalah 25,8821
B. TUGAS
TUGAS 1
x0
2
xi
4
11
i
∆x
20
0,1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
f(x)
2,5845
2,3344
2,1295
1,9584
1,8133
1,6886
1,5802
1,4851
1,4010
1,3260
1,2587
1,1979
1,1427
1,0924
1,0463
1,0038
0,9647
0,9284
0,8948
0,8634
0,8341
SUM
∫dx
y
2,5845
9,3377
4,2590
7,8335
3,6265
6,7542
3,1604
5,9405
2,8020
5,3039
2,5173
4,7915
2,2854
4,3694
2,0925
4,0154
1,9294
3,7138
1,7895
3,4535
0,8341
83,3941
2,7798
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 2 dan batas atas 4
adalah 2,7798
TUGAS 2
x0
2
xi
i
∆x
3
10
0,1
3
(
y=∫ x 2 ln( x )+
2
12
1
+2 √ x 3 dx
√x
)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
f(x)
9,1365
10,0484
11,0166
12,0417
13,1243
14,2650
15,4642
16,7225
18,0404
19,4185
20,8572
SUM
∫dx
y
9,1365
40,1935
22,0332
48,1669
26,2487
57,0599
30,9284
66,8900
36,0808
77,6739
20,8572
435,2689
14,5090
Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 2 dan batas atas 3
adalah 14,5090
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Kualitatif
1. Tujuan praktikum ini adalah agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk integral
dengan menggunakan penyelesaian numerik dengan cara simpson
2. Metode Simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi
polinomial dengan orde lebih tinggi
3. Dengan menggunakan program excel, dapat mempermudah dalam perhitungan
dan penyelesaian bentuk integrasi
4. Semakin banyak iterasi, maka hasil yang akan didapat semakin akurat
13
Kuantitatif
a. Latihan
Latihan 1)
= 3,0354
Latihan 2)
4
y=∫
2
(
x2
3
+3 √ x−=√ x16,8042
dx
2
)
Latihan 3)
2
(
4
y=∫ e( 6−2 x )+ √ 3 x3 +
1
1
dx
x2
)
= 25,8821
b. Tugas
Tugas 1)
=
2,7798
Tugas 2)
3
(
y=∫ x 2 ln( x )+
2
1
+2 √ x 3 dx
x
√
)
=
14,5090
B. SARAN
Sebelumnya penulis mengucapkan maaf sebesar-besarnya jika dalam
penulisan saran maupun laporan ini kurang berkenan. Penulis mengucapkan banyak
terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam praktikum
komputasi. Bagi penulis, niat atau komitmen adalah segalanya, jika sudah mempunyai
niat atau komitmen dalam melakukan sesuatu harus dikerjakan dengan tuntas. Dengan
demikian, saran yang dapat diberikan oleh penulis antara lain :
1. Harus teliti dalam memasukan rumus pada Ms.Excel baik tanda baca maupun
angka-angkanya
14
2. Tidak melakukan copy paste hasil pekerjaan lain karena akan merugikan orang lain
dan diri sendiri
3. Memperhatikan saat asisten sedang menjelaskan dan tidak bergurau saat di dalam
laboratorium komputasi
4. Lebih mendalami Ms. Excel supaya mampu mengimplementasikan apa yang sudah
didapat di kelas saat kuliah
5. Untuk menentukan nilai y perlu diperhatikan agar tidak salah dalam memasukkan
nilai koeffisien nya
DAFTAR PUSTAKA
https://id.wikipedia.org/wiki/Metode_integrasi_numerik (diakses pada hari jumat tanggal 23
Oktober 2015 pukul 15.00 wib)
https://www.academia.edu/7340332/INTEGRASI_NUMERIK (diakses pada hari jumat
tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.02 wib)
https://www.academia.edu/9088219/Laporan_Komputasi_Integrasi_Numerik (diakses pada
hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.04 wib)
http://irohmunawaroh.blogspot.co.id/2012/11/integrasi-numerik-makalah-diajukan.html
(diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.06 wib)
https://www.yumpu.com/id/document/view/13982931/praktikum-16-integrasi-numerikmetode-simpson-member-of- (diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.07
wib)
15
16