Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya dalam Bidang Ekonomi
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA
DALAM BIDANG EKONOMI
SKRIPSI
RAHMAD HIDAYAT
110803018
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA
DALAM BIDANG EKONOMI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
RAHMAD HIDAYAT
110803018
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya dalam
Bidang Ekonomi
: Skripsi
: Rahmad Hidayat
: 110803018
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Agustus 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Elly Rosmaini, M.Si
NIP. 19600520 198503 2 002
Dr. Sawaluddin, M.IT
NIP. 19591231 199802 1 001
Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM
BIDANG EKONOMI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Agustus 2015
Rahmad Hidayat
110803018
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha
Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya
dalam Bidang Ekonomi.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT dan
Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku pembimbing yang telah memberikan
bimbingan dan telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Bapak
Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku
penguji yang telah memberikan saran dan kritik yang membangun dalam
penyempurnaan skripsi ini. Terima Kasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si.
Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen
Matematika FMIPA USU. Terima kasih kepada Bapak Sutarman, M.Sc selaku
Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh staff dan Dosen
Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU seta rekan-rekan kuliah. Ucapan
terima kasih juga ditujukan kepada kedua orang tua penulis Ayahanda Terimo dan
Ibunda Erna Suryani serta keluarga yang selama ini memberikan dorongan yang
diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.
iii
Universitas Sumatera Utara
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM
BIDANG EKONOMI
ABSTRAK
Metode pengali Lagrange adalah sebuah teknik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala persamaan. Inti dari metode
pengali Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan
titik ekstrim bebas kendala. Teori Lagrange digunakan untuk menangani
optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Dalam tulisan ini akan
ditunjukkan suatu persoalan mencari nilai optimum suatu fungsi optimasi
bersyarat dengan menggunakan metode pengali Lagrange dan menyelesaikan
masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi. Langkah-langkah
menentukan nilai optimum menggunakan metode pengali Lagrange yaitu dengan
membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang
hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengali Lagrange λ dengan fungsi
kendalanya.
Kata kunci: Pemrograman Nonlinier, Optimasi, Nilai Optimum, Pengali Lagrange
iv
Universitas Sumatera Utara
LAGRANGE MULTIPLIER METHOD AND APLICATION IN
ECONOMIC CASES
ABSTRACT
Lagrange multiplier method is a technique that can be used to solve optimization
problems with equality constraint. The mean of this method is to change
constrained extreme point into unconstrained extreme point. That theory is used to
handle the optimalization for nonlinear programming problem. In this research
will show problems to find optimum value for a condition optimate function with
Lagrange multiplier method and solve problem from condition optimization in
economy. Steps to get optimum value with Lagrange multiplier method is making
a new function result to sum from the function that we want to optimate with
multiply of multiplier Lagrange λ with its constraint function.
Keyword: Nonlinear Programming, Optimization, Optimum Value, Lagrange
Multiplier
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Manfaat Penelitian
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
4
5
5
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Nonlinier
2.2 Maksimum Dan Minimum
2.3 Matriks Hessian
2.4 Optimasi
2.4.1 Optimasi Tak Besyarat
2.4.2 Optimasi Bersyarat
2.5 Metode Pengali Lagrange
2.6 Utilitas Marjinal
2.7 Produk Marjinal
6
6
6
10
14
15
16
18
23
25
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Optimasi dengan Metode Pengali Lagrange
3.2 Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi
3.3 Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi
27
27
31
35
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
40
40
41
DAFTAR PUSTAKA
42
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
2.1
Nilai Matriks Hessian Untuk Masing-Masing Titik Ekstrim
13
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1
Grafik Maksimum dan Minimum
2.2
Grafik
2.3
Grafik
2.4
Grafik Fungsi Utilitas
2.5
Grafik
90
2.6
Grafik
9
12
45
,
6
40
5
4
5
9
1
14
24
dan
dan
90
18
10
3
25
26
viii
Universitas Sumatera Utara
DALAM BIDANG EKONOMI
SKRIPSI
RAHMAD HIDAYAT
110803018
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA
DALAM BIDANG EKONOMI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
RAHMAD HIDAYAT
110803018
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya dalam
Bidang Ekonomi
: Skripsi
: Rahmad Hidayat
: 110803018
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Agustus 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Elly Rosmaini, M.Si
NIP. 19600520 198503 2 002
Dr. Sawaluddin, M.IT
NIP. 19591231 199802 1 001
Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM
BIDANG EKONOMI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Agustus 2015
Rahmad Hidayat
110803018
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha
Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya
dalam Bidang Ekonomi.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT dan
Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku pembimbing yang telah memberikan
bimbingan dan telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Bapak
Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku
penguji yang telah memberikan saran dan kritik yang membangun dalam
penyempurnaan skripsi ini. Terima Kasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si.
Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen
Matematika FMIPA USU. Terima kasih kepada Bapak Sutarman, M.Sc selaku
Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh staff dan Dosen
Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU seta rekan-rekan kuliah. Ucapan
terima kasih juga ditujukan kepada kedua orang tua penulis Ayahanda Terimo dan
Ibunda Erna Suryani serta keluarga yang selama ini memberikan dorongan yang
diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.
iii
Universitas Sumatera Utara
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM
BIDANG EKONOMI
ABSTRAK
Metode pengali Lagrange adalah sebuah teknik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala persamaan. Inti dari metode
pengali Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan
titik ekstrim bebas kendala. Teori Lagrange digunakan untuk menangani
optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Dalam tulisan ini akan
ditunjukkan suatu persoalan mencari nilai optimum suatu fungsi optimasi
bersyarat dengan menggunakan metode pengali Lagrange dan menyelesaikan
masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi. Langkah-langkah
menentukan nilai optimum menggunakan metode pengali Lagrange yaitu dengan
membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang
hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengali Lagrange λ dengan fungsi
kendalanya.
Kata kunci: Pemrograman Nonlinier, Optimasi, Nilai Optimum, Pengali Lagrange
iv
Universitas Sumatera Utara
LAGRANGE MULTIPLIER METHOD AND APLICATION IN
ECONOMIC CASES
ABSTRACT
Lagrange multiplier method is a technique that can be used to solve optimization
problems with equality constraint. The mean of this method is to change
constrained extreme point into unconstrained extreme point. That theory is used to
handle the optimalization for nonlinear programming problem. In this research
will show problems to find optimum value for a condition optimate function with
Lagrange multiplier method and solve problem from condition optimization in
economy. Steps to get optimum value with Lagrange multiplier method is making
a new function result to sum from the function that we want to optimate with
multiply of multiplier Lagrange λ with its constraint function.
Keyword: Nonlinear Programming, Optimization, Optimum Value, Lagrange
Multiplier
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Manfaat Penelitian
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
4
5
5
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Nonlinier
2.2 Maksimum Dan Minimum
2.3 Matriks Hessian
2.4 Optimasi
2.4.1 Optimasi Tak Besyarat
2.4.2 Optimasi Bersyarat
2.5 Metode Pengali Lagrange
2.6 Utilitas Marjinal
2.7 Produk Marjinal
6
6
6
10
14
15
16
18
23
25
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Optimasi dengan Metode Pengali Lagrange
3.2 Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi
3.3 Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi
27
27
31
35
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
40
40
41
DAFTAR PUSTAKA
42
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
2.1
Nilai Matriks Hessian Untuk Masing-Masing Titik Ekstrim
13
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1
Grafik Maksimum dan Minimum
2.2
Grafik
2.3
Grafik
2.4
Grafik Fungsi Utilitas
2.5
Grafik
90
2.6
Grafik
9
12
45
,
6
40
5
4
5
9
1
14
24
dan
dan
90
18
10
3
25
26
viii
Universitas Sumatera Utara