Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya dalam Bidang Ekonomi
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, optimasi selalu
dilakukan untuk memenuhi kebutuhan. Tetapi optimasi yang dilakukan
masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi.
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu fungsi optimasi tak
bersyarat dan fungsi optimasi bersyarat. Banyak aplikasi dari pemodelan
matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau
syarat untuk memperoleh suatu solusi optimal di mana syarat tersebut yang
mengoptimumkan fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan
optimasi bersyarat. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan
keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan
solusi yang memuaskan.
Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang
menyangkut pengoptimalan, baik kasus maksimasi atau minimasi. Ada banyak
metode optimasi yang berkembang mengikuti perkembangan terutama di bidang
industri, perdagangan dan bidang-bidang lain yang juga menggunakan teori
optimasi.
Metode pengali Lagrange (Multiplier Lagrange) adalah sebuah teknik
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala
persamaan. Sesuai namanya, konsep pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph
Louis Lagrange (1736-1813). Inti dari metode pengali Lagrange adalah mengubah
titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik ekstrim bebas kendala. Teori
pengali Lagrange digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan
program nonlinier.
Pada diferensial fungsi majemuk dikenal konsep diferensial parsial. Dalam
fungsi majemuk dapat dilakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan
Universitas Sumatera Utara
2
khusus dari sebuah fungsi seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan
satu variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari sebuah
fungsi majemuk dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial.
Dalam penerapannya sering kali diharuskan untuk mengoptimumkan (menentukan
nilai ekstrim) dari sebuah fungsi, yakni menentukan nilai maksimum atau
minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain
fungsi yang hendak dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus
optimasi bersyarat banyak dijumpai dalam berbagai bidang, di antaranya seorang
insinyur teknik mungkin akan meminimumkan frekuensi kerusakan walaupun
harus memperhatikan jumlah biaya untuk dua jenis alat pencegah kerusakan yang
terbatas jumlahnya dan konsumen mungkin akan memaksimumkan utilitas yang
diperoleh dari konsumsi barang-barang dengan memperhatikan penghasilannya
yang terbatas.
Metode pengali Lagrange merupakan salah satu cara yang dapat digunakan
untuk menentukan titik ekstrim suatu fungsi berkendala, di mana kendalanya
berbentuk persamaan. Metode pengali Lagrange paling banyak dipakai dengan
pertimbangan prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Untuk
menentukan nilai ekstrim fungsi berkendala tersebut digunakan metode pengali
Lagrange, yaitu dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan
penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengali
Lagrange atau λ dengan fungsi kendalanya. Metode pengali Lagrange digunakan
untuk memperoleh maksimum atau minimum dari fungsi dengan pembatasan
berbentuk persamaan.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan penulis teliti adalah bagaimana mencari nilai
optimum suatu fungsi optimasi bersyarat dengan menggunakan metode pengali
Lagrange.
Selanjutnya,
menerapkan
metode
pengali
Lagrange
untuk
menyelesaikan masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan skripsi ini, penulis hanya membatasi permasalahannya pada
pembahasan tentang masalah optimasi dengan metode pengali Lagrange. Metode
pengali Lagrange digunakan untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dengan
kendala fungsi lain dan menerapkan metode pengali Lagrange untuk
menyelesaikan optimasi bersyarat khususnya dalam bidang ekonomi.
1.4 Tinjauan Pustaka
Alpha C. Chiang (2005), dalam bukunya yang berjudul Fundamental Methods of
Mathematical Economics, menyatakan bahwa metode pengali Lagrange adalah
sebuah teknik dalam menyelesaikan optimasi dengan kendala persamaan. Jika
permasalahan yang dihadapi adalah memaksimalkan
,
,
dengan kendala
, di mana c adalah konstanta. Maka fungsi Lagrangenya adalah:
,
λ
,
1.1
di mana λ adalah pengali Lagrange dengan kondisi optimalnya diperoleh melalui
0.
Prayudi (2009), dalam bukunya yang berjudul Kalkulus Lanjut,
menyatakan bahwa Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim
terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange
dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai
ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange
menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis,
sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di
atasi.
Universitas Sumatera Utara
4
Sri Mulyono (2004), dalam bukunya yang berjudul Riset Operasi,
,
menyatakan bahwa jika suatu fungsi tujuan
,
,…,
,…,
dengan kendala
, maka fungsi Lagrangenya adalah:
,
,
,…,
,…,
1.2
dan kemudian syarat perlu untuk suatu nilai stasioner adalah:
!
,
0
1.3
,…,
0
1.4
Luknanto (2000), dalam bukunya yang berjudul Pengantar Optimasi Non
linier, menyatakan bahwa optimasi multivariabel dengan kendala persamaan
mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
Minimumkan : "
kendala
:
1.5
#
0 untuk $
1,2, … , '
1.6
Metode pengali Lagrange dipakai untuk menyelesaikan optimasi yang dirumuskan
persamaan 1.9 dan 1.10. Metode pengali Lagrange dimulai dengan pembentukan
fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:
,λ
∑)
#* λ#
1.7
#
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui penggunaan metode pengali
Lagrange dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi optimasi bersyarat dan
menyelesaikan masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi.
Universitas Sumatera Utara
5
1.6 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Membantu penulis dalam menerapkan ilmu-ilmunya sehingga dapat
semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh
selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam
kehidupan nyata.
2.
Menambah wawasan penulis tentang metode pengali Lagrange, serta dapat
mencari solusi optimal dari kasus yang berhubungan dengan pengali
Lagrange.
3.
Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk
mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan
penelitian serupa.
1.7 Metode Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
1.
Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya
yang berhubungan dengan metode pengali Lagrange.
2.
Penjabaran mengenai definisi dari program nonlinier, metode pengali
Lagrange, matriks hessian, serta maksimum dan minimum.
3.
Pengerjaan contoh yang dikerjakan dengan metode pengali Lagrange.
4.
Penyelesaian masalah optimasi bersyarat dalam bidang ekonomi dengan
metode pengali Lagrange.
5.
Membuat kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, optimasi selalu
dilakukan untuk memenuhi kebutuhan. Tetapi optimasi yang dilakukan
masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi.
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu fungsi optimasi tak
bersyarat dan fungsi optimasi bersyarat. Banyak aplikasi dari pemodelan
matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau
syarat untuk memperoleh suatu solusi optimal di mana syarat tersebut yang
mengoptimumkan fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan
optimasi bersyarat. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan
keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan
solusi yang memuaskan.
Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang
menyangkut pengoptimalan, baik kasus maksimasi atau minimasi. Ada banyak
metode optimasi yang berkembang mengikuti perkembangan terutama di bidang
industri, perdagangan dan bidang-bidang lain yang juga menggunakan teori
optimasi.
Metode pengali Lagrange (Multiplier Lagrange) adalah sebuah teknik
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala
persamaan. Sesuai namanya, konsep pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph
Louis Lagrange (1736-1813). Inti dari metode pengali Lagrange adalah mengubah
titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik ekstrim bebas kendala. Teori
pengali Lagrange digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan
program nonlinier.
Pada diferensial fungsi majemuk dikenal konsep diferensial parsial. Dalam
fungsi majemuk dapat dilakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan
Universitas Sumatera Utara
2
khusus dari sebuah fungsi seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan
satu variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari sebuah
fungsi majemuk dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial.
Dalam penerapannya sering kali diharuskan untuk mengoptimumkan (menentukan
nilai ekstrim) dari sebuah fungsi, yakni menentukan nilai maksimum atau
minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain
fungsi yang hendak dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus
optimasi bersyarat banyak dijumpai dalam berbagai bidang, di antaranya seorang
insinyur teknik mungkin akan meminimumkan frekuensi kerusakan walaupun
harus memperhatikan jumlah biaya untuk dua jenis alat pencegah kerusakan yang
terbatas jumlahnya dan konsumen mungkin akan memaksimumkan utilitas yang
diperoleh dari konsumsi barang-barang dengan memperhatikan penghasilannya
yang terbatas.
Metode pengali Lagrange merupakan salah satu cara yang dapat digunakan
untuk menentukan titik ekstrim suatu fungsi berkendala, di mana kendalanya
berbentuk persamaan. Metode pengali Lagrange paling banyak dipakai dengan
pertimbangan prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Untuk
menentukan nilai ekstrim fungsi berkendala tersebut digunakan metode pengali
Lagrange, yaitu dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan
penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengali
Lagrange atau λ dengan fungsi kendalanya. Metode pengali Lagrange digunakan
untuk memperoleh maksimum atau minimum dari fungsi dengan pembatasan
berbentuk persamaan.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan penulis teliti adalah bagaimana mencari nilai
optimum suatu fungsi optimasi bersyarat dengan menggunakan metode pengali
Lagrange.
Selanjutnya,
menerapkan
metode
pengali
Lagrange
untuk
menyelesaikan masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan skripsi ini, penulis hanya membatasi permasalahannya pada
pembahasan tentang masalah optimasi dengan metode pengali Lagrange. Metode
pengali Lagrange digunakan untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dengan
kendala fungsi lain dan menerapkan metode pengali Lagrange untuk
menyelesaikan optimasi bersyarat khususnya dalam bidang ekonomi.
1.4 Tinjauan Pustaka
Alpha C. Chiang (2005), dalam bukunya yang berjudul Fundamental Methods of
Mathematical Economics, menyatakan bahwa metode pengali Lagrange adalah
sebuah teknik dalam menyelesaikan optimasi dengan kendala persamaan. Jika
permasalahan yang dihadapi adalah memaksimalkan
,
,
dengan kendala
, di mana c adalah konstanta. Maka fungsi Lagrangenya adalah:
,
λ
,
1.1
di mana λ adalah pengali Lagrange dengan kondisi optimalnya diperoleh melalui
0.
Prayudi (2009), dalam bukunya yang berjudul Kalkulus Lanjut,
menyatakan bahwa Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim
terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange
dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai
ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange
menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis,
sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di
atasi.
Universitas Sumatera Utara
4
Sri Mulyono (2004), dalam bukunya yang berjudul Riset Operasi,
,
menyatakan bahwa jika suatu fungsi tujuan
,
,…,
,…,
dengan kendala
, maka fungsi Lagrangenya adalah:
,
,
,…,
,…,
1.2
dan kemudian syarat perlu untuk suatu nilai stasioner adalah:
!
,
0
1.3
,…,
0
1.4
Luknanto (2000), dalam bukunya yang berjudul Pengantar Optimasi Non
linier, menyatakan bahwa optimasi multivariabel dengan kendala persamaan
mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
Minimumkan : "
kendala
:
1.5
#
0 untuk $
1,2, … , '
1.6
Metode pengali Lagrange dipakai untuk menyelesaikan optimasi yang dirumuskan
persamaan 1.9 dan 1.10. Metode pengali Lagrange dimulai dengan pembentukan
fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:
,λ
∑)
#* λ#
1.7
#
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui penggunaan metode pengali
Lagrange dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi optimasi bersyarat dan
menyelesaikan masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi.
Universitas Sumatera Utara
5
1.6 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Membantu penulis dalam menerapkan ilmu-ilmunya sehingga dapat
semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh
selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam
kehidupan nyata.
2.
Menambah wawasan penulis tentang metode pengali Lagrange, serta dapat
mencari solusi optimal dari kasus yang berhubungan dengan pengali
Lagrange.
3.
Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk
mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan
penelitian serupa.
1.7 Metode Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
1.
Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya
yang berhubungan dengan metode pengali Lagrange.
2.
Penjabaran mengenai definisi dari program nonlinier, metode pengali
Lagrange, matriks hessian, serta maksimum dan minimum.
3.
Pengerjaan contoh yang dikerjakan dengan metode pengali Lagrange.
4.
Penyelesaian masalah optimasi bersyarat dalam bidang ekonomi dengan
metode pengali Lagrange.
5.
Membuat kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara