Metode Pengali Lagrange pada Optimalisasi Reksa Dana Saham

DAFTAR PUSTAKA

Arturo, E. 2013. Optimizacion de portafolios de accionesutulizando los multipli cadores de Lagrange. Diakses tanggal 30 September 2014 dari http://search.ebscohost.com.

Ayu, F. 2013. Penentuan Kentungan Maksimum Pada Penjualan Tape Dengan Menggunakan Metode Pengali Lagrange. Diakses tanggal 30 September 2014 dari http://ojs.unud.ac.id.

Luknanto, D. 2000. Pengantar Optimasi Non-Linier. Diakses tanggal 30 Septem er 2014 dari http://luk.staff.ugm.ac.id/optimasi/pdf/Nonlinier2003.pdf.

Rodoni, A dan O. Yong. 2001. Analisis Investasi dan Teori Portofolio. PT Rajagrafindo Persada, Jakarta. Hal: 3-9.

Simatupang, M. 2010. Pengetahuan Praktis Investasi Saham Dan Reksa Dana. Mitra Wacana Media, Jakarta. Hal: 151-239.

Syah, Khairuddin dkk. Analisis Perbandingan Economic Dipatch Pembangkit Menggunakan Metode Pengali Lagrange Dan CFPSO. Diakses tanggal 30 September 2014 dari http://jurnaleccis.b.ac.id.

Syaripuddin. 2011. Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang Ekonomi. Diakses tanggal 30 September 2014 dari http://fmipa.unmul.ac.id.

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Pengumpulan Data

Pengumpulan data sekunder diperoleh dari penyajian data reksa dana kepada publik dan investor yang ditampilkan oleh BAPEPAM-LK pada web resmi Otoritas Jasa Keuangan (OJK) (www.ojk.go.id) yaitu data ringkasan reksa dana saham periode Januari-Desember 2014 yang dikelola oleh Manajer Investasi PT BNP Paribas Investment Partners. Kode Emiten pada data tersebut, sebagai berikut:

1. INSPIRA : Reksa Dana BNP PARIBAS INSPIRA 2. STAR : Reksa Dana BNP PARIBAS STAR 3. FOIP : Reksa Dana INFRASTRUKTUR PLUS

Untuk penyederhanaan perhitungan, didefinisikan indeks i sebagai nama-nama reksa dana saham di atas, yaitu:

Tabel 3.1 Daftar Nama Reksa Dana Saham i Nama Reksa Dana Saham 1

2 3

Reksa Dana BNP PARIBAS INSPIRA Reksa Dana Saham BNP PARIBAS STAR Reksa Dana INFRASTRUKTUR PLUS

Dalam Pengolahan data mentah penulis menggunakan rumus sehingga data tersebut nantinya dapat dimasukkan dalam perhitungan selanjutnya, antara lain:

3.2.1. Rumus Tingkat Pengembalian Reksa Dana (return reksa dana saham)

Nilai ini diperoleh dari angka NAB per unit penyertaan untuk masing-masing reksa dana saham yang diteliti, dengan rumus (Eko P. Pratomo 2005):

{khe5 4 =|1}G|1~_|1~ 3.1

di mana:

Kinerja Rd = rata-rata kinerja reksa dana sub-periode tertentu NAK = Nilai Aktiva Bersih/unit akhir bulan ini

NAW = Nilai Aktiva Bersih/unit akhir bulan sebelumnya Perhitungannya adalah sebagai berikut:

Return pada bulan Januari adalah 0 karena NAW untuk semua reksa dana saham adalah 0, sehingga return pada bulan Februari tahun 2014:

1. INSPIRA : Reksa Dana BNP PARIBAS INSPIRA

5 , = 1.448.865.813.559,26 − 1.365.627.298.392,59_{1.365.627.298.392,59} = 0,060952586 2. STAR : Reksa Dana BNP PARIBAS STAR

5 , =1.374.973.235.488,86 − 1.424.858.846.575,44_{1.424.858.846.575,44} = −0,035010914 3. FOIP : Reksa Dana INFRASTRUKTUR PLUS

5 *, = 2.110.695.687.812,67 − 1.980.464.561.584,30_{1.980.464.561.584,30} = 0,065757867 Kemudian, return periode bulan suatu perusahaan didefinisikan sebagai rata-rata return bulanan, yaitu:

=∑C$UMS• ,

2 3.2 di mana:

= return periode bulan

5 k, = return bulanan perusahaan i pada bulan ke j

p = banyak bulan dalam data

Perhitungannya sebagai berikut:

Return Reksa Dana BNP PARIBAS INSPIRA, Reksa Dana BNP PARIBAS STAR, dan Reksa Dana INFRASTRUKTUR PLUS Tahun 2014.

Tabel 3.2 Return Bulanan Tahun 2014 Bulan Kode Emiten Return Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Rata-rata INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA INSPIRA 0 0,060952586 0,026552419 0,017552418 0,001152918 0,001482145 0,006204476 0,005854525 -0,011644522 -0,004163335 0,021646975 0,015958867 0,017313835 Tabel 3.2 Lanjutan

Bulan Kode Emiten Return Januari Februari Maret April STAR STAR STAR STAR 0 -0,035010914 -0,024431000 -0,055225807

Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Rata-rata STAR STAR STAR STAR STAR STAR STAR STAR -0,085647105 -0,062122580 -0,201981609 -0,077957354 -0,078589701 -0,065410433 -0,046499909 -0,040533588 -0,064291640 Tabel 3.2 Lanjutan

Bulan Kode Emiten Return Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Rata-rata FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP FOIP 0 0,065757867 0,025117968 0,094245470 0,034181433 0,202542590 0,115446848 0,182863088 0,199475868 0,109250239 0,084585424 0,078345522 0,099749283

3.2.2. Tingkat Risiko

Pada kasus ini, tingkat risiko didefinisikan sebagai nilai kovarian antara return

periode bulan reksa dana i dengan return periode bulan reksa dana j. Secara matematis, kovarian adalah ukuran kekuatan hubungan antara dua peubah acak X dan peubah acak Y. Kovarian didefinisikan sebagai:

]^3 51,52= ∑ [ S@,€GS@ SC,€GSC ] •

€UM

|G 3.3 di mana:

]^3 51,52 = kovarian peubah acak X dan peubah acak Y

51 = rata-rata peubah acak X

Perhitungannya adalah sebagai berikut:

Tabel 3.3 Return INSPIRA dengan INSPIRA No Bulan Return Inspira Return -

(Rata-rata)

[Return-(Rata-rata) x [Return-(Rata-rata)] 1 Januari 0 -0,099749283 0,000299768886014159000 2 Februari 0,060952586 -0,033991415 0,001904340568082080000 3 Maret 0,026552419 -0,074631315 0,000085351439619423800 4 April 0,017552418 -0,000324736 0,000000056921568849167 5 Mei 0,011529181 -0,065567850 0,000033462222386852200 6 Juni 0,001482145 0,102793307 0,000250642401445134000 7 Juli 0,062044762 0,015697565 0,002000855790092650000 8 Agustus 0,005854525 0,083113805 0,000131315786056029000 9 September -0,011644522 0,099726585 0,000838586449651313000 10 Oktober -0,004163335 0,009500957 0,000461268824639941000 11 November 0,021646975 -0,015163859 0,000018776102864448700 12 Desember 0,015958867 -0,021403761 0,000001835938620996620

Jumlah 0,006026261331041880000

Kovarian lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama. Berikut adalah hasil perhitungan kovarian pada Januari-Maret 2015.

Tabel 3.4 Kovarian antar Seluruh Reksa Dana Saham

Return W W W_*

W 0,000547842 -0,000447765 -0,000461173

W -0,000447765 0,002487863 -0,001279873

W* -0,000461173 -0,001279873 0,004492629

3.3 Pembahasan

3.3.1. Formulasi Model

Untuk mendapatkan porsi reksa dana saham dan varian portofolio pada expected return tertentu pada efficient set digunakan Metode Pengali Lagrange. Metode Lagrange akan menghasilkan porsi reksa dana saham dan varian portofolio minimum untuk berbagai expected return yang diinginkan. Secara definisi, suatu portofolio dikatakan optimal jika tidak ada lagi portofolio lain yang mempunyai expected return yang lebih tinggi pada tingkat varian tertentu atau tidak ada lagi portofolio lain yang mempunyai varian yang lebih rendah pada expected return tertentu. Secara matematis kondisi tersebut dapat dicapai dengan meminimumkan varian portofolio, yaitu:

7‚ = ∑ ∑ 0 0 7 3.4

di mana:

7‚ = minimum varian portofolio

0 = porsi reksa dana saham i

0 = porsi reksa dana saham j

7 = kovarian return reksa dana saham i dengan return reksa dana saham j

2. Menentukan kendala

Kondisi atau kendala yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut:

∑ 0 − = 0 3.5

Kendala ini menyatakan bahwa total perkalian porsi dan expected return masing-masing reksa dana saham dalam portofolio sama dengan return portofolio.

∑ 0 − 1 = 0 3.6

Kendala ini menyatakan bahwa total porsi semua reksa dana saham dalam portofolio sama dengan satu.

Syarat perlu untuk penyelesaian masalah dengan Metode Pengali Lagrange dengan n variabel dan m kendala persamaan adalah sebagai berikut:

minimumkan

dengan kendala: = 0, = 1,2, … , 3.7 = & , & , … , &

di mana fungsi Pengali Lagrange untuk kasus ini didefinisikan dengan memperkenalkan pengali Lagrange untuk setiap kendala sebagai:

ƒ & , & ,… , & , , , … , „

= + + + ⋯ + 3.8

dengan memperlakukan L sebagai sebuah fungsi n+m variabel

& , & ,… , & , , , … , , maka syarat perlu untuk nilai ekstrim dari L yang juga merupakan solusi masalah asal, diberikan oleh:

=! ="M=

=> ="#+ ∑

=/$

="M = 0, k = 1,2, . . , h 3.9 =!

="$= = 0, = 1,2, … , 3.10 Dengan mengkombinasikan minimum varian dan kendala reksa dana saham, maka objective function persamaan lagrange dinyatakan sebagai berikut:

…khk g W45k4h =

∑ ∑ 0 0 7 + ∑ 0 − + ∑ 0 − 1 3.11

Penyelesaian model dilakukan setelah menggunakan tambahan kendala

∑ 0 − + ∑ 0 − 1 dalam model. Dengan menggunakan kendala tersebut, diharapkan model memenuhi fungsi tujuan. Langkah berikutnya adalah menurunkan objective function. Kemudian diselesaikan sebagai persamaan linier dengan menggunakan matriks.

3.3.2. Penyelesaian Model

Fungsi varian mempunyai (n+2) variabel yang tidak diketahui, yaitu

0 , 0 , … , 0 , dan . Dengan mencari turunan pertama fungsi varian terhadap

0 , , dan menyamakan dengan nol, maka diperoleh (n+2) persamaan yang memberikan solusi untuk (n+2) variabel yang tidak diketahui dalam fungsi varian tadi. Turunan parsial dari fungsi varian terhadap 0 , , adalah sebagai berikut:

=cdS

=?M = 20 7 + 20 7 + ⋯ + 20 7 + 6 + = 0 3.12 =cdS

=? = 20 7 + 20 7 + ⋯ + 20 7 + 6 + = 0 3.13 =cdS

=?T = 20 7 + 20 7 + ⋯ + 20 7 + 6 + = 0 3.14 =cdS

=.M = 0 + 0 + ⋯ + 0 − 6 = 0 3.15 =cdS

=. = 0 + 0 + ⋯ + 0 − 1 = 0 3.16 Persamaan di atas dapat diselesaikan sebagai persamaan linier dengan menggunakan matriks berikut ini:

ˆ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰

Š27₂₇ 27₂₇ 27₂₇ *_* 27_* 27_* 27_** ⋯

27 1

27 1

27_{* *} 1

⋮ ⋱ ⋮

27 27 27 *

*

1 1 1 ⋯

27 1

0 0

1 0 0‹Œ

Œ Œ Œ Œ • x 0 0 0* ⋮ 0 =

0 0 0 ⋮ 0 ‚ 1 3.17

(M) (w) (k)

Model di atas akan memberikan target fungsi tujuan. Target-target ini dapat menjadi acuan bagi pembuat keputusan. Oleh karena itu, target tersebut dapat diterima ataupun tidak diterima pembuat keputusan. Mungkin target tidak

konsisten dengan urutan prioritas fungsi tujuan atau bertentangan dengan hirarki fungsi tujuan.

1. Penyelesaian Kasus

Pada formulasi model, turunan parsial dari objective function dapat diselesaikan sebagai persamaan linier dengan menggunakan matriks. Bentuk persamaan matriks di atas dapat dinyatakan sebagai Mw=k, sehingga 0 = …G Ž. Jadi, nilai

0 dapat diperoleh dengan mengalikan invers matriks varian-kovarian dengan vektor k.

Pada pengolahan data, telah didefinisikan matriks kovarian antar seluruh reksa dana saham, sebagai berikut:

Tabel 3.5 Matriks Kovarian antar Seluruh Reksa Dana Saham

Return W W W_*

W 0,000547842 -0,000447765 -0,000461173

W -0,000447765 0,002487863 -0,001279873

W* -0,000461173 -0,001279873 0,004492629

Matriks di atas disusun dengan cara mengalikan varian-kovarian reksa dana saham dengan 2 yang akan digunakan dalam Persamaan Lagrange.

Maka matriks M:

0,001095684 −0,00089553 −0,000922346 0,017313835 1 −0,00089553 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1

0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 0 0

1 1 1 0 0

Setelah memperoleh matriks M di atas, maka selanjutnya akan ditentukan …G .

…G ₌

L•• ‘ 4 … 3.18 Matriks M merupakan matriks berordo 5x5 maka untuk memperoleh …G perlu diselesaikan det (M) terlebih dahulu dengan menentukan minor dan kofaktornya.

P = −1 K _{|… | = |… |}

P = −1 K _{|… | = −|… |}

P * = −1 K*|… *| = |… *|

P “ = −1 K“|… “| = −|… “|

P I = −1 KI|… I| = |… I|

P = −1 K _{|… | = −|… |}

P = −1 K _{|… | = |… |}

P * = −1 K*|… *| = −|… *|

P “ = −1 K“|… “| = |… “|

P I = −1 KI|… I| = −|… I|

P* = −1 *K |…* | = |…* |

P* = −1 *K |…* | = −|…* |

P** = −1 *K*|…**| = |…**|

P_*“ = −1 *K“_|…

*“| = −|…*“|

P_*I = −1 *KI_|…

*I| = |…*I|

P“ = −1 “K |…“ | = −|…“ |

P“ = −1 “K |…“ | = |…“ |

P“* = −1 “K*|…“*| = −|…“*|

P““ = −1 “K“|…““| = |…““|

P“I = −1 “KI|…“I| = −|…“I|

PI = −1 IK |…I | = |…I |

PI* = −1 IK*|…I*| = |…I*|

PI“ = −1 IK“|…I“| = −|…I“|

P_II = −1 IKI_|…

II| = |…II| Minor-minor matriks M adalah:

|… | = '

0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1

−0,06429164 0,099749283 0 0

1 1 0 0

'

|… | = 0,004975726 ”0,008985258 0,099749283 10,099749283 0 0

1 0 0”

− −0,002559746 ”−0,002559746 0,099749283 1−0,06429164 0 0

1 0 0”

+ −0,06429164 ”−0,002559746 0,008985258 1−0,06429164 0,099749283 0

0 1 0”

− 1 ”−0,002559746 0,008985258 0,099749283−0,06429164 0,099749283 0

|… | = 0,004975726 •0,008985258 –0 0_{0 0–}

− 0,099749283 –0,099749283 0_{1 0– + 1 –}0,099749283 0_{1 0–—} − −0,002559746 •−0,002559746 –0 0_{0 0–}

− 0,099749283 –−0,06429164 0_{1 0– + 1 –}−0,06429164 0_{1 0–—} + −0,06429164 •−0,002559746 –0,099749283 0_{1 0–} − 0,008985258 –−0,06429164 0_{0 0–}

+ 1 –−0,06429164 0,099749283_{0 1} –— − 1 •−0,002559746 –0,099749283 0_{1 0–} − 0,008985258 –−0,06429164 0_{1 0–}

+ 0,099749283 –−0,06429164 0,099749283_{1 1} –— |… | = 0,004975726[0,008985258ƒ 0 0 − 0 0 „

− 0,099749283ƒ 0,099749283 0 − 0 1 „ + 0,099749283 0 − 0 1 \

+ 0,002559746[−0,002559746ƒ 0 0 − 0 0 „ − 0,099749283ƒ −0,06429164 0 − 0 1 „ + −0,06429164 0 − 0 1 \

− 0,06429164[−0,002559746ƒ 0,099749283 0 − 0 1 „ − 0,008985258 −0,06429164 0 − 0 0

+ −0,06429164 1 − 0,099749283 0 \ − [−0,002559746ƒ 0,099749283 0 − 0 1 „ − 0,008985258 −0,06429164 0 − 0 1

+ 0,099749283 −0,06429164 1 − 0,099749283 1 \ |… | = −0,0269094244186919

Minor lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama. Berikut adalah hasil perhitungan minor matriks M.

|… | = 0,0135227869778385 |… *| = 0,0133866374408534

|… “| = −0,000325344464766

|… I| = −0,0000780344159940

|… | = 0,0135227869778385 |… | = −0,0067956030869607 |… *| = −0,0067271838908778

|… “| = 0,0010023638428448

|… I| = −0,0000444619210975

|…* | = 0,133866374408534

|…* | = −0,0067271838908778

|…**| = −0,0066594535499756

|…*“| = −0,0006770193963682

|…*I| = −0,0000151124376710

|…“ | = −0,0003253444464766

|…“ | = 0,0010023638428448

|…“*| = −0,0006770193963682

|…““| = 0,0000936397552094

|…“I| = −0,0000009915878066

|…I | = −0,0000780344159940

|…I | = −0,0000444619210975

|…I“| = −0,0000009915878066

Jadi, matriks minornya adalah:

… =

˜ ™ š

−0,0269094244186919 0,0133866374408534 0,0133866374408534 −0,000325344464766 −0,0000780344159940 0,0135227869778385 −0,0067956030869607 −0,0067271838908778 0,0010023638428448 −0,0000444619210975 0,133866374408534 −0,0067271838908778 −0,0066594535499756 −0,0000151124376710 −0,0000151124376710 −0,0003253444464766 0,0010023638428448 −0,0006770193963682 0,0000936397552094 −0,0000009915878066 −0,0000780344159940 −0,0000444619210975 −0,0000151124376710 −0,0000009915878066 0,0000000489133681 ›

œ •

Maka kofaktor-kofaktor matriks M adalah:

P = −1 K _{|… | =0,0269094244186919}

P = −1 K _{|… | =-0,0135227869778385}

P * = −1 K*|… *| =-0,0133866374408534

P “ = −1 K“|… “| =0,0003253444464766

P I = −1 KI|… I| =0,0000780344159940

P = −1 K _{|… | =-0,0135227869778385}

P = −1 K _{|… | =0,0067956030869607}

P * = −1 K*|… *| =0,0067271838908778

P “ = −1 K“|… “| =-0,0010023638428448

P I = −1 KI|… I| =0,0000444619210975

P* = −1 *K |…* | =-0,0133866374408534

P_* = −1 *K _|…

* | =0,0067271838908778

P** = −1 *K*|…**| =0,0066594535499756

P*“ = −1 *K“|…*“| =0,0006770193963682

P*I = −1 *KI|…*I| =0,0000151124376710

P“ = −1 “K |…“ | =0,0003253444464766

P“ = −1 “K |…“ | =-0,0010023638428448

P“* = −1 “K*|…“*| =0,0006770193963682

P““ = −1 “K“|…““| =-0,0000936397552094

P“I = −1 “KI|…“I| =0,0000009915878066

PI = −1 IK |…I | =0,0000444619210975

PI* = −1 IK*|…I*| =0,0000151124376710

PI“ = −1 IK“|…I“| =0,0000009915878066

Jadi matriks kofaktornya adalah:

0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,0133866374408534 0,000325344464766 0,0000780344159940 −0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975 −0,133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,0003253444464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681

Setelah mendapatkan matriks kofaktor, maka adjoint matriks M adalah transpose kofaktor matriks M, yaitu:

o … = {ž ₌

ˆ ‰ ‰ ‰

Š 0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,0133866374408534_{−0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975}0,000325344464766 0,0000780344159940 −0,133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,0003253444464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681‹Œ

Œ Œ •ž

o … = {ž ₌

ˆ ‰ ‰ ‰

Š 0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,133866374408534 0,0003253444464766_{−0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975}0,0000780344159940 −0,0133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,000325344464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681‹Œ

Œ Œ •

dan determinan matriks M adalah:

|…| = ''

0,001095684 −0,00089553 −0,000922346 0,017313835 1 −0,00089553 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1

0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 0 0

1 1 1 0 0

'' |…|

= 0,001095684 '

0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1

−0,06429164 0,0997469283 0 0

1 1 0 0

'

− −0,00089553 '

−0,00089553 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,000922346 0,008985258 0,099749283 1

0,017313835 0,0997469283 0 0

1 1 0 0

'

+ −0,000922346 '

−0,00089553 0,004975726 −0,06429164 1 −0,000922346 −0,002559746 0,099749283 1

0,017313835 −0,06429164 0 0

1 1 0 0

'

− 0,017313835 '

−0,00089553 0,004975726 −0,002559746 1 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 1 0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 0

1 1 1 0

'

+ '

−0,00089553 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 0,099749283

0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 0

1 1 1 0

' |…| =0,00013760877476248

Jadi invers matriks M adalah:

…G ₌

Ÿ ¡ ‘ 4 …

…G ₌

H,HHH *¢£HJ¢¢“¢£ “J

ˆ ‰ ‰ ‰

Š 0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,133866374408534 0,0003253444464766_{−0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975}0,0000780344159940 −0,0133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,000325344464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681‹Œ

Œ Œ •

…G ₌

' '

195,5502072 −98,26980148 −97,280405573 2,36427108 0,567074419 −98,26980148 49,38350115 48,88630033 −7,28415644 0,323103822

−97,28040573 48,88630033 48,3941054 4,91988536 0,109821759

2,36427108 −7,28415644 4,91988536 −0,680478083 0,0077205847 0,567074419 0,323103822 0,109821759 0,007205847 −0,000355452 ' '

dan vektor k adalah:

Ž = '' 0 0 0 6 1

''

Penyelesaian matriks tersebut menghasilkan:

0 = 2,36427108 6 + 0,567074419 0 = −7,28415644 6 + 0,323103822 0* = 4,91988536 6 + 0,109821759

0“ = −0,680478083 6 + 0,0077205847

0I = 0,007205847 6 − 0,000355452

Dari persamaan di atas, tampak bahwa nilai 0 ditentukan oleh expected return yang diinginkan. Dengan memasukkan berbagai nilai expected return (dalam kasus ini 0,20%, 0,30%, 0,40%, 0,50%, dan 0,60%) ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh nilai 0 , 0 , 0_*, dan seperti dalam tabel di bawah ini.

Tabel 3.6 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,20%

E(Rp) k 0,20%

¥¦ 2,36427108 0,567074419 0,571802961

¥_§ -7,28415644 0,323103822 0,308535509

¥¨ 4,91988536 0,109821759 0,119661530

Total 1

Tabel 3.7 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,30%

E(Rp) k 0,30%

¥¦ 2,36427108 0,567074419 0,574167232

¥§ -7,28415644 0,323103822 0,301251353

¥¨ 4,91988536 0,109821759 0,124581415

Tabel 3.8 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,40%

E(Rp) k 0,40%

¥¦ 2,36427108 0,567074419 0,576531503291172

¥§ -7,28415644 0,323103822 0,293967196466450

¥¨ 4,91988536 0,109821759 0,129501300242378

Total 1

Tabel 3.9 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,50%

E(Rp) k 0,50%

¥¦ 2,36427108 0,567074419 0,578895774

¥§ -7,28415644 0,323103822 0,28668304

¥¨ 4,91988536 0,109821759 0,134421186

Total 1

Tabel 3.10 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,60%

E(Rp) k 0,60%

¥¦ 2,36427108 0,567074419 0,581260045

¥§ -7,28415644 0,323103822 0,279398884

¥¨ 4,91988536 0,109821759 0,139341071

Total 1

Sekarang menentukan nilai varian portofolio untuk berbagai expected return dengan cara mengalikan porsi reksa dana saham 0 dengan varian-kovarian antar reksa dana saham.

Tabel 3.11 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,20%

E(Rp) 0,20% ¥_¦ ¥_§ ¥_¨

0,571802961 0,308535509 0,119661530

¥¦ 0,571802961 0,000179122 -7,89954E-05 -3,15548E-05

¥§ 0,308535509 - 7,89954E-05 0,000236830 -4,72527E-05

¥¨ 0,119661530 -3,15548E-05 -4,72527E-05 6,43294E-05

Varian 0,000164675 Dev Standar 0,012832594

Tabel 3.12 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,30%

E(Rp) 0,30% ¥_¦ ¥_§ ¥_¨

0,574167232 0,301251353 0,124581415

¥¦ 0,574167232 0,000180606 -7,74493E-05 -3,2988E-05

¥_§ 0,301251353 -7,74493E-05 0,000225779 -4,8034E-05

¥¨ 0,124581415 -3,2988E-05 -4,8034E-050 6,9728E-05

Tabel 3.13 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,40%

E(Rp) 0,40% ¥_¦ ¥_§ ¥_¨

0,576531503291172 0,29396719646645 0,129501300242378

¥¦ 0,576531503291172 0,000182096 -7,58878E-05 -3,44319E-05

¥§ 0,293967196466450 -7,58878E-05 0,000214993 -4,87237E-05

¥¨ 0,129501300242378 -3,44319E-05 -4,87237E-05 7,5344E-05

Tabel 3.14 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,50%

E(Rp) 0,50% ¥_¦ ¥_§ ¥_¨

0,578895774 0,286683040 0,134421186

¥¦ 0,578895774 0,000183593 -7,43109E-05 -3,58866E-05

¥§ 0,286683040 -7,43109E-05 0,000204470 -4,93215E-05

¥¨ 0,134421186 -3,58866E-05 -4,93215E-05 8,11776E-05

Varian 0,000150203 Deviasi Standar 0,012255731

Tabel 3.15 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,60%

E(Rp) 0,60% ¥_¦ ¥_§ ¥_¨

0,581260045 0,279398884 0,139341071

¥¦ 0,581260045 0,000185096 -7,27186E-05 -3,7352E-05

¥§ 0,279398884 -7,27186E-05 0,000194212 -4,98277E-05

¥¨ 0,139341071 -3,7352E-05 -4,98277E-05 8,72286E-05

Varian 0,00014674 Deviasi Standar 0,012113617

Setelah diperoleh varian portofolio untuk expected return dan porsi reksa dana saham yang ada, maka diperoleh titik-titik kombinasi expected return dan porsi reksa dana saham untuk membentuk kurva minimum variance set yaitu kurva yang menggambarkan hubungan expected return dengan deviasi standar.

Tabel 3.16 Deviasi Standar dan Varian Portofolio

No E(Rp) Deviasi Standar Varian

1 0,20% 0,012832594 0,000164675 2 0,30% 0,012616291 0,000159171 3 0,40% 0,012423631980037 0,000154346631575399 4 0,50% 0,012255731 0,000150203 5 0,60% 0,012113617 0,00014674

Berikut gambar deviasi standar portofolio.

Gambar 3.8 Deviasi Standar Portofolio

Besaran ₁dan ₂ adalah Pengali Lagrange. ₁ adalah harga risiko per unit untuk setiap expected return yang ada. Jika expected return naik satu unit, maka risiko (varian) akan naik sebesar ₁. Sementara itu, ₂ adalah harga risiko per unit untuk setiap unit expected return yang terkait dengan perubahan porsi reksa dana saham dalam portofolio.

Berdasarkan penyelesaian matriks diperoleh nilai ₁, ₂ dan analisis perubahan nilai ₁ dan ₂ pada portofolio reksa dana saham INSPIRA-STAR-FOIP pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.17 Analisis Perubahan Nilai ₁dan ₂ Portofolio INSPIRA-STAR-FOIP

No E(Rp) Varian

Perubahan

E(Rp) Perubahan Varian 1 0,20% 0,000164675

2 0,30% 0,000159171 0,001 -5,504E-06

3 0,40% 0,000154346631575399 0,001 -0,000004824368424601

4 0,50% 0,000150203 0,001 -0,000004143631575399

5 0,60% 0,00014674 0,001 -3,463E-06 0,012

0,0121 0,0122 0,0123 0,0124 0,0125 0,0126 0,0127 0,0128 0,0129

0,00% 0,10% 0,20% 0,30% 0,40% 0,50% 0,60% 0,70%

Deviasi Standar

Tabel 3.17 Lanjutan

Perub. Var/ Perub.

E(Rp)

Perubahan

Kolom 5 λ₁

Perubahan λ₁ -0,681839038838571

-0,005504 -0,682519516921244 -0,00068 -0,004824368 0,00068 -0,683199995003917 -0,00068 -0,004143632 0,00068 -0,683880473086591 -0,00068 -0,003463 0,00068 -0,684560951169264 -0,00068

Tabel 3.17 Lanjutan

λ_{2 Perubahan} λ₂

0,00722025891118059

0,00722746475839734 0,00000720584721675 0,00723467060561408 0,00000720584721674 0,00724187645283083 0,00000720584721675 0,00724908230004758 0,00000720584721675

Dapat dilihat nilai 0 , 0 , 0_*, dan untuk berbagai expected return. Kolom 4 berisi perubahan varian untuk setiap perubahan varian expected return sebesar 0,001. Kenaikan expected return dari 0,0020 menjadi 0,0060 menyebabkan varian pertama turun dari 0,000164675 menjadi 0,000159171 kemudian turun lagi menjadi 0,000154346631575399 dan turun lagi menjadi 0,000150203 dan berakhir pada nilai 0,00014674. Dapat dikatakan kenaikan expected return berbanding terbalik dengan nilai variannya yaitu mengalami penurunan. Kolom 5 berisi rasio perubahan varian terhadap perubahan expected return (koefisien variasi). Jelas tampak bahwa perubahan nilai koefisien variasi (kolom 6) sama dengan perubahan nilai ₁, yaitu sebesar 0,00068 tetapi dengan tanda yang berlawanan. Artinya untuk perubahan expected return sebesar 0,001 unit, maka harga risiko per unit (koefisien variasi) akan naik sebesar 0,00068 dan nilai perubahan ₁ juga sebesar 0,00068 (dengan tanda negatif).

Sesuai dengan pengertian Pengali Lagrange bahwa ₁ adalah penyeimbang tekanan oleh perubahan expected return terhadap perubahan varian minimum.

Dengan kata lain, ₁ adalah harga dari setiap unit risiko untuk setiap unit perubahan expected retrun. Sementara itu, ₂ adalah harga risiko per unit yang terkait dengan perubahan porsi reksa dana saham yang ada dalam portofolio. Perubahan expected return menyebabkan perubahan porsi reksa dana saham dalam portofolio.

Gambar 3.9 Kinerja ₁

Gambar 3.10 Kinerja ₂ -0,685930073071595

-0,684560951169256 -0,683191829266918 -0,681822707364579 -0,680453585462241

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80%

s1

λ1

0,00721500000000000 0,00722000000000000 0,00722500000000000 0,00723000000000000 0,00723500000000000 0,00724000000000000 0,00724500000000000 0,00725000000000000 0,00725500000000000

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80%

s2

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pengolahan data dan perhitungan pada bab sebelumnya dapat diuraikan kesimpulan sebagai berikut:

1. Pada penelitian ini metode Pengali Lagrange dapat menghasilkan porsi reksa dana saham dan varian portofolio minimum untuk berbagai expected return yang diinginkan. Pengali Lagrange dalam fungsi Q, = Q +

Q , fungsi Q dapat dipandang sebagai pengganggu (competing) terhadap fungsi Q untuk mencapai nilai maksimum atau minimum. Dalam hal ini Pengali Lagrange dapat dipandang sebagai ukuran kekuatan Q mempengaruhi nilai Q . adalah kekuatan dari constraint dalam memenuhi fungsi objectives.

2. Bila kendala berubah, Pengali Lagrange adalah tingkat perubahan dari optimal value. Dalam penyelesaian contoh kasus, adalah perubahan rasio risiko terhadap perubahan expected return dengan kata lain, adalah harga per unit risiko untuk setiap unit perubahan expected return.

3. Pada contoh kasus investasi dalam 1 tahun, diperoleh porsi investasi yang optimal, yaitu tidak ada lagi portofolio lain yang mempunyai varian yang lebih rendah pada expected return tertentu, Dengan kata lain, pembuat keputusan harus menginvestasikan dana pada reksa dana saham INSPIRA dengan porsi 0,581260045, STAR dengan porsi 0,279398884, dan FOIP dengan porsi 0,139341071. Investasi tersebut secara ekspektasi akan memberikan keuntungan optimal yakni expected return sebesar

4.2. Saran

Dari penelitian yang telah dilakukan, ada beberapa saran sebagai berikut:

1. Preferensi sebaiknya dilakukan oleh seseorang yang ahli dan berpengalaman mengenai fluktuasi reksa dana saham.

2. Bagi peneliti selanjutnya, dapat melakukan penelitian pada kegiatan investasi reksa dana saham untuk mendapatkan hal-hal lain yang dapat mempengaruhi tingkat keuntungan dan risiko.

3. Bagi peneliti selanjutnya, dapat melakukan proses optimalisasi reksa dana saham dengan menggunakan metode lain yang lebih sederhana.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Lingkungan Investasi 2.1.1 Pengertian Investasi

Lingkungan investasi meliputi berbagai jenis sekuritas atau efek yang ada, di mana dan bagaimana mereka diperjualbelikan. Proses investasi berkenaan dengan bagaimana seharusnya seorang investor membuat keputusan mengenai pemilihan sekuritas, seberapa ekstensif investasi sebaiknya dilakukan dan kapan investasi seharusnya dilaksanakan. Investasi dalam arti luas, berarti mengorbankan dollar sekarang untuk dollar masa depan. Ada dua atribut berbeda yang melekat: risiko dan waktu. Pengorbanan terjadi saat sekarang ini dan memiliki kepastian. Hasil baru akan diperoleh kemudian dan besarnya tidak pasti. Di beberapa kasus, elemen waktu merupakan faktor yang mendominasi misalnya obligasi pemerintah. Di kasus lain, risiko menjadi atribut yang dominan misalnya option call pada saham biasa. Namun bisa juga baik waktu maupun risiko menjadi faktor yang penting misalnya jumlah saham di saham biasa.

2.1.2 Pengertian Reksa Dana Saham

Bagi investor reksa dana, memahami jenis reksa dana adalah sesuatu yang sangat penting, karena setiap jenis reksa dana memiliki karakteristik yang berbeda-beda di mana setiap investor dapat memilih dan menyesuaikan maksud tujuan investasi yang diinginkan, toleransi atas tingkat risiko yang dihadapi serta kondisi keuangan yang dimilikinya berdasarkan dari masing-masing karakteristik dari setiap jenis reksa dana yang beredar saat ini.

Pengertian reksa dana saham menurut Mangansa Simatupang (2010) adalah reksa dana yang melakukan investasi sekurang-kurangnya 80% dari portofolio yang dikelolanya ke dalam efek bersifat ekuitas atau saham. Sedangkan menurut Otoritas Jasa Keuangan adalah reksa dana yang melakukan investasi sekurang-kurangnya 80% dari aktivanya dalam bentuk efek bersifat utang. Reksa dana ini memiliki risiko yang relatif lebih besar dari reksa dana pasar uang. Tujuannya adalah untuk menghasilkan tingkat pengembalian yang stabil.

2.1.3 Bentuk Reksa Dana

Dilihat dari bentuknya, reksa dana dapat dibedakan menjadi (Mangansa, 2010): a. Reksa Dana Berbentuk Perseroan (PT)

Reksa Dana berbentuk perseroan adalah suatu perusahaan yang kegiatan usahanya secara khusus menghimpun dana dengan menjual saham reksa dana, dan selanjutnya dana yang diperoleh dari penjualan saham reksa dana tersebut diinvestasikan pada berbagai jenis efek yang diperdagangkan di pasar modal dan pasar uang seperti saham-saham, surat utang obligasi, deposito dan lain lain.

b. Reksa Dana Berbentuk Kontrak Investasi Kolektif (KIK)

Reksa dana berbentuk kolektif (KIK) adalah kontrak antara manajer investasi dengan bank kustodian yang mengikat pemegang unit penyertaan di mana manajer investasi diberikan wewenang untuk mengelola portofolio investasi kolektif dan bank kustodian diberikan wewenang untuk melaksanakan penitipan kolektif.

2.1.4 Sifat Reksa Dana

Jika dilihat dari sifatnya, reksa dana dibagi menjadi: a. Reksa Dana Tertutup (Closed Ended)

Reksa dana tertutup adalah reksa dana di mana manajer investasi sebagai pengelola reksa dana maupun direksi sebagai pihak yang menerbitkan

reksa dana tidak dapat membeli kembali unit saham reksa dana yang telah terjual kepada investor, atau dengan kata lain investor tidak dapat menjual kembali unit saham reksa dana dan jual beli reksa dana dilakukan melalui bursa efek tempat di mana unit saham reksa dana tersebut dicatatkan.

b. Reksa Dana Terbuka (Openned Ended)

Menurut undang-undang pasar modal, reksa dana terbuka adalah reksa dana yang menawarkan atau menjual unit penyertaan reksa dana serta dapat membeli kembali unit penyertaan tersebut dari investor. Unit penyertaan reksa dana terbuka ini tidak dicatatkan di Bursa Efek karena jual beli dapat berlangsung secara terus-menerus yang dilakukan antara manajer investasi dengan investor. Manajer investasi sesuai dengan ketentuan yang berlaku wajib membeli reksa dana yang dijual investor (redemtion).

2.1.5 Jenis Reksa Dana

Pada awalnya perkembangan reksa dana di Indonesia, hanya terdapat 4 jenis reksa dana yaitu reksa dana saham, pendapatan tetap, pasar uang dan campuran sehingga keempat jenis reksa dana, dikelompokkan sebagai jenis reksa dana konvensional. Kemudian sejalan dengan perkembangan waktu dan sangat dinamisnya produk-produk investasi pasar modal, berkembang lagi beberapa jenis reksa dana yaitu reksa dana syariah, reksa dana terstruktur yang meliputi reksa dana terproteksi, reksa dana penjaminan dan reksa dana indeks, kemudian yang terakhir saat ini reksa dana Exchange Trade Fund (ETF) yang berbentuk KIK dan diperdagangkan di Bursa Efek serta reksa dana real estate.

a. Reksa Dana Saham

Reksa Dana Saham adalah reksa dana yang melakukan sekurang-kurangnya 80% dari portofolio yang dikelolanya dalam efek bersifat ekuitas atau saham. Reksa dana ini mengupayakan untuk memperoleh capital gain dalam jangka panjang. Dengan komposisi saham sebagai komposisi utama dalam portofolio reksa dana saham, maka secara teoritis

pergerakan harga atau NAB reksa dana saham akan lebih fluktuatif atau lebih berisiko dibanding dengan jenis reksa dana lainnya seperti reksa dana pasar uang, pendapatan tetap, campuran dan lain-lainnya, namun sejalan dengan tingkat risiko yang relatif lebih tinggi tersebut, dalam jangka panjang reksa dan saham akan memberikan potensi pertumbuhan NAB yang lebih besar dibandingkan dengan jenis reksa dana lainnya.

b. Reksa Dana Pendapatan Tetap

Reksa dana pendapatan tetap adalah reksa dana yang portofolio efeknya sekurang-kurangnya 80% terdiri dari efek-efek yang bersifat utang. Reksa dana ini mengkhususkan pada efek yang memberikan pendapatan secara tetap. Umumnya reksa dana pendapatan tetap di Indonesia memanfaatkan instrumen obligasi sebagai bagian terbesar dari investasinya. Komposisi demikian pada umunya sangat menarik bagi investor yang konservatif terhadap risiko karena secara teoritis transaksi perdagangan instrumen obligasi relatif jauh lebih stabil dari pada saham.

c. Reksa Dana Pasar Uang

Reksa Dana Pasar Uang adalah reksa dana di mana portofolio asetnya terdiri dari sekurang-kurangnya 80% dalam bentuk efek bersifat utang jangka pendek dengan jatuh tempo kurang dari 1 tahun. Reksa dana ini mengutamakan investasi pada jenis-jenis efek di pasar uang dengan orientasi pendapatan jangka pendek, seperti deposito, Sertifikat Bank Indonesia (SBI) dan surat-surat utang jangka pendek lainnya.

d. Reksa Dana Campuran

Reksa Dana Campuran adalah yang komposisi portofolionya tidak mengacu kepada komposisi sekurang-kurangnya 80% untuk saham, surat utang dan pasar uang pada masing-masing reksa dana saham, reksa dana pendapatan tetap atau reksa dana pasar uang.

Reksa dana terproteksi adalah reksa dana yang memberikan jaminan kepada para investor bahwa dana yang diinvestasikan tidak akan mengalami kerugian, karena dana yang diinvestasikan para investor pada produk reksa dana terproteksi diharapkan sekurang-kurangnya tetap sama dengan jumlah investasi awal.

f. Reksa Dana Penjaminan

Reksa Dana Penjaminan adalah reksa dana yang memberikan jaminan atas nilai investasi awal pada saat jatuh tempo. Namun penjaminan tidak dilakukan oleh manajer investasi, tetapi melalui penjaminan oleh pihak ketiga seperti bank asuransi dan sebagainya.

g. Reksa Dana Indeks

Reksa Dana Indeks adalah reksa dana yang portofolio efeknya terdiri atas efek yang menjadi bagian dari suatu indeks yang menjadi acuannya. Sekurang-kurangnya 80% dari NAB diinvestasikan pada efek yang merupakan bagian dari kumpulan efek yang ada dalam indeks tersebut. Di mana pembobotan masing-masing efek antara 80% - 120%.

h. Reksa Dana Syariah

Reksa dana syariah merupakan produk keuangan yang harus mengacu pada sistim keuangan Islam sebagaimana yang digariskan. Reksa dana syariah muncul karena semakin tingginya animo masyarakat untuk berinvestasi terhadap produk-produk investasi yang berpedoman pada kaidah-kaidah Islam.

i. Reksa Dana Exchanged Trade Fund (ETF)

Reksa dana Excanged Trade Fund (ETF) adalah suatu bentuk reksa dana saham di mana aset portofolionya didasarkan pada suatu indeks tertentu, misalnya Indeks Standart and Poor 500, kemudian unit penyertaannya dicatatkan dan diperdagangkan di Bursa Efek dengan menggunakan jasa

broker seperti halnya saham yang dicatatkan dan diperdagangkan di Bursa Efek.

j. Reksa Dana Real Estate (Dire)

Reksa dana real estate adalah suatu jenis reksa dana di mana manajer investasi membeli dan mengelola gedung, seperti misalnya gedung perkantoran atau apartemen. Selanjutnya para investor akan menerima secara periodik pendapatan dari uang sewa gedung tersebut, setelah dibebani biaya pengelolaan gedung. Uraian lebih lanjut terkait dengan reksa dana dire belum dapat diberikan mengingat bahwa ketentuan perizinan jenis reksa dana dire pada pasar modal Indonesia masih baru dikeluarkan dan sampai saat ini belum ada manajer investasi yang telah meluncurkan jenis produk reksa dana dire.

2.2 Pengertian dan Konsep Dasar Portofolio

Asas pendekatan Markowitz adalah menggunakan perubahan atau variabel keuntungan sebagai taksiran untuk risiko investasi. Markowitz mencoba membentuk konsep risiko dengan menggunakan konsep statistik yaitu varian. Satu masalah dengan model Markowitz jika digunakan secara praktikal adalah untuk mengidentifikasi satu kedudukan portofolio yang efisien, yaitu seseorang perlu mengetahui keuntungan yang diharapkan untuk setiap sekuritas. Berikut penjelasan statistik untuk satu sekuritas:

a. Tingkat Keuntungan

Tingkat keuntungan merupakan peningkatan dalam persentase kekayaan dengan memegang saham untuk suatu jangka waktu. Persentase tingkat keuntungan adalah sama dengan peningkatan dalam rupiah dibagi oleh nilai pasaran saham pada awal jangka tertentu, yaitu:

5 =LMK NMKNO

NO 2.1 di mana:

P = dividen untuk jangka waktu investasi

QH = harga atau nilai pasaran pada awal jangka panjang

Q = harga pada akhir jangka waktu investasi

Tingkat keuntungan rata-rata dapat diperoleh dengan rumus adalah sebagai berikut:

5 = R∑T#UMS#V _2.2

di mana n adalah jumlah keuntungan sampel. b. Varian dan Deviasi Standar

Varian keuntungan menerangkan kecenderungan sekuritas untuk menghasilkan keuntungan yang berada di atas atau di bawah rata-rata sampel. Model varian sebagai dasar portofolio sebagai berikut:

W45 5 =[∑T#UMS#GS ]

G 2.3

7 = Z[∑T#UMS#GS \

G 2.4

di mana:

W45 5 = varian reksa dana saham

7 = deviasi standar reksa dana saham 5 = return bulanan reksa dana saham i 5 = rata-rata return reksa dana saham i c. Kovarian

Kovarian menerangkan hubungan antara keuntungan dan sekuritas. Untuk menghitung kovarian perlu menghitung deviasi yang berlaku daripada rata-rata keuntungan setiap saham pada setiap bulan. Kovarian dapat dihitung berdasarkan rumus (2.5):

di mana:

]^3 51, 52 = kovarian return A dan return B 5 = return bulanan reksa dana saham i 51 = rata-rata return reksa dana saham i

5 = return bulanan reksa dana saham j 5₂ = rata-rata return reksa dana saham j

Dengan kovarian yang positif, ini berarti apabila satu sekuritas menghasilkan keuntungan yang melebihi keuntungan rata-rata, maka sekuritas yang satu lagi juga mempunyai kecenderungan untuk bertindak dengan cara yang sama, yaitu melebihi keuntungan rata-ratanya.

d. Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi diperoleh dengan membagi kovarian dengan hasil kali deviasi standar.

5 = [`ab S@,SC]

[cdS S@ " cdS SC]M

2.6

di mana:

5 = koefisien korelasi

]^3 51, 52 = kovarian return reksa dana saham A dan B

W45 51 = varian return reksa dana saham A

W45 52 = varian return reksa dana saham B

2.3 Konsep Return dan Risiko

Ada dua unsur penting dalam melakukan investasi yaitu return dan risiko. Dalam melakukan suatu investasi, investor diharapkan pada trade off antara keduanya. Apabila investor mengharapkan return yang tinggi, maka ia akan dihadapkan pada risiko yang tinggi pula. Demikian juga sebaliknya.

Gambar 2.1 Hubungan Antara Risiko dan Tingkat Keuntungan

Dalam investasi ditegaskan bahwa investor selalu berpikir rasional, di mana investor akan memilih return tertinggi bila dihadapkan pada risiko yang sama dan juga akan memilih investasi dengan risiko terendah bila dihadapkan pada return yang sama.

Teori portofolio mendasarkan diri atas pengamatan bahwa para investor di bursa melakukan diversifikasi (Van Horne, 1989). Dengan kata lain mereka membentuk portofolio. Investor melakukan diversifikasi karena ingin mengurangi risiko. Diversifikasi yang membentuk portofolio melalui simulasi dapat memperkecil tingkat risiko dan mencapai return tertentu. Dalam teori portofolio ada dua hal penting yang perlu diketahui lebih jauh mengenai return dan risiko:

a. Return

Return yang diperoleh investor berasal dari berbagi sumber, antara lain: 1. Dividen adalah bagian laba yang diberikan manajer investasi selaku

pengelola reksa dana kepada para pemegang unit penyertaannya. 2. Capital Gain (loss) adalah return yang diperoleh para pemegang unit

penyertaan yang berasal dari perubahan Nilai Aktiva Bersih (NAB) aset-aset yang dipegangnya. Apabila perubahan NAB tersebut positif maka disebut capital gain dan apabila perubahannya negatif maka

Tingkat keuntungan yang diharapkan

Tingkat keuntungan bebas

disebut capital loss. Pengertian NAB menurut UU Nomor 8 Tahun 1995 Pasal 23 Tentang Pasar Modal adalah:

Nilai pasar yang wajar dari suatu efek dan kekayaan lain dari reksa dana dikurangi seluruh kewajibannya.

Dengan adanya dua komponen di atas, maka return total yang diterima oleh investor adalah penjumlahan dari dua komponen tersebut. Sehingga formulanya adalah:

efg5h i^f4j = Pk3k eh + Qe5gl4ℎ4h nop

Di mana komponen dividen biasanya merupakan nol atau positif. Dikatakan nol apabila reksa dana saham tersebut tidak membagikan dividen dan dikatakan positif apabila reksa dana saham tersebut membagikan dividen. Untuk komponen perubahan harga, nilainya bisa dibagi negatif, nol, positif. Dikatakan negatif apabila NAB reksa dana tersebut mengalami penurunan dan positif apabila mengalami kenaikan.

b. Risiko

Risiko didefinisikan sebagai actual return suatu investasi menyimpang dari expected return-nya (Jones, 1996). Salah satu pengukuran risiko adalah deviasi standar (standard deviation) atau varian (variance) yang merupakan kuadrat dari deviasi standar. Risiko portofolio juga dapat diukur dengan besarnya deviasi standar atau varian dari nilai-nilai pengembalian sekuritas-sekuritas tunggal yang ada didalamnya.

2.4 Terminologi Reksa Dana Saham dan Portofolio

Terminologi reksa dana saham berdasarkan PT. Bursa Efek Indonesia.

a. Anggota Bursa Efek

Perusahaan Efek yang telah memiliki izin usaha sebagai perantara perdagangan efek dari Badan Pengawas Pasar Modal-Lembaga Keuangan (BAPEPAM-LK) dan telah memperoleh Persetujuan Keanggotaan Bursa.

Pihak yang menyelenggarakan dan menyediakan sistim dan sarana untuk mempertemukan penawaran jual dan beli efek pihak-pihak lain dengan tujuan memperdagangkan efek di antara mereka.

c. Bursa Efek Indonesia (BEI)

Perseroan yang berkedudukan di Jakarta yang telah memperoleh izin usaha dari BAPEPAM sebagai pihak yang menyelenggarakan dan menyediakan sistim dan sarana untuk mempertemukan penawaran jual dan permintaan beli efek pihak-pihak lain dengan tujuan memperdagangkan efek di antara mereka, sebagaimana dimaksud dalam Pasal 1 angka 4 UU Nomor 8 Tahun 1995 Tentang Pasar Modal.

d. Capital Gain

Keuntungan yang diperoleh karena perbedaan antara harga beli dan harga jual suatu efek. Apabila perbedaan tersebut bersifat negatif (rugi) disebut capital loss.

e. Closed-End Investment Fund (Reksa Dana Tertutup)

Reksa dana yang melakukan emisi saham yang tidak dijual kepada atau dapat dibeli kembali oleh reksa dana yang bersangkutan.

f. Dividen

Bagian laba atau pendapatan perusahaan yang ditetapkan oleh direksi (dan disahkan oleh rapat pemegang saham) untuk dibagikan kepada pemegang saham. Pembayarannya diatur berdasarkan ketentuan yang berlaku pada jenis saham yang ada.

g. Efek

Surat berharga, yaitu surat pengakuan utang, surat berharga komersial, saham, obligasi, tanda bukti utang, unit penyertaan kontrak investasi kolektif, kontrak berjangka atas efek, dan setiap derivatif dari efek.

h. Emiten

Perusahaan yang memperoleh dana melalui pasar modal, baik dengan menerbitkan saham atau obligasi dan menjualnya secara umum kepada masyarakat.

i. Expected Return

Merupakan return yang diharapkan investor atas investasi.

j. Kustodian

Pihak yang memberikan jasa penitipan efek dan harta lain yang berkaitan dengan efek serta jasa lain, termasuk menerima dividen, bunga, dan hak-hak lain, menyelesaikan transaksi efek, dan mewakili pemegang rekening yang menjadi nasabahnya.

k. Manajer Investasi

Pihak yang kegiatan usahanya mengelola portofolio efek untuk para nasabah atau mengelola portofolio investasi kolektif untuk sekelompok nasabah, kecuali perusahaan asuransi, dana pensiun, dan bank yang melakukan sendiri kegiatan usahanya berdasarkan peraturan perundang-undangan yang berlaku.

l. IPO (Intial Public Offering)/ Go Public

Penawaran perdana saham kepada masyarakat umum. Tindakan itu dilakukan oleh perusahaan emiten, dan untuk selanjutnya saham-saham yang IPO dicatat di Bursa Efek Indonesia.

m. Right Issue

Mekanisme bagi sebuah perusahaan yang sudah IPO untuk mengeluarkan saham baru. Di sini ada hak bagi pemegang saham lama untuk membeli saham baru sebelum ditawarkan ke masyarakat.

Angka yang menyatakan jumlah dana yang dikelola oleh sebuah reksa dana namun kerap terjadi salah kaprah yang menganggap NAB yang dalam bahasa Inggris disebut Net Asset Value, sebagai harga reksa dana, padahal bukan.

o. NAB/UP (Nilai Aktiva Bersih per Unit Penyertaan)

Angka yang menyatakan harga suatu reksa dana, dan transaksi dilakukan berdasarkan nilai itu. Harap diingat bahwa investor reksa dana baru akan mengetahui harga reksa dana pada esok harinya sebelum pukul 12.00 setiap hari atau esok harinya lagi bila transaksi dilakukan pukul 12.00.

p. UP (Unit Penyertaan)

Satuan dalam reksa dana di mana saat investor membeli reksa dana itu artinya investor membeli UP dari MI atau Manajer Investasi. Demikian pula sebaliknya, saat investor menjual investasi reksa dana investor akan semakin banyak bila UP semakin besar.

2.5 Metode Pengali Lagrange

Model persamaan fungsi objektif di atas merupakan model permasalahan pemograman nonlinier. Untuk menyelesaikan masalah pemograman nonlinier, dapat digunakan pengali Lagrange λ _{dengan membentuk persamaan Lagrange.}

Jika metode pengali Lagrange melibatkan constraint lebih dari satu, parameter yang dipilih adalah , q atau parameter yang lain. Misalnya untuk memperoleh nilai ekstrim &, r, ) dengan constraint &, r, ) = 0 dan ℎ = 0 maka sebagai fungsi Lagrange adalah:

s &, r, ), , q = &, r, ) + &, r, ) + qℎ &, r, ) 2.7

cara penyelesaiannya adalah :

=t

Metode ini dapat diperluas untuk n variabel & , & , … , & dengan k kendala w & , & , … , & , w & , & , … , & , … , wx & , & , … , &

sebagai Fungsi Lagrangenya adalah:

s & , & , … , & , , , … , = + w + w + ⋯ + xwx 2.9

dengan cara penyelesaiannya:

=t ="M = 0,

=t

=" = 0, … ,="=tT = 0,

=t

=.M= 0, … ,

=t

=.z= 0 2.10 di mana , , … , _x adalah Pengali Lagrange.

Kerangka Teoritis:

Gambar 2.5 Kerangka Teoritis Penelitian

Portofolio Reksa Dana

Saham

Data Return

Matriks Pers. Lagrange

Invers Matriks

Porsi 0 Evaluasi Keputusan

Matriks Varian-Kovarian

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Metode Pengali Lagrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan optimasi untuk program-program nonlinier. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange (1736-1813). Inti pokok pada metode ini adalah membentuk Metode Pengali Lagrange yaitu fungsi baru yang merupakan penjumlahan fungsi tujuan dengan hasil perkalian antara fungsi kendala dengan faktor Pengali Lagrange. Nilai ekstrim pada Metode Pengali Lagrange akan sama dengan nilai ekstrim pada fungsi berkendala, sehingga dengan menyelesaikan persoalan optimasi bebas pada Metode Pengali Lagrange akan memberikan hasil yang sama dengan menyelesaikan optimasi pada fungsi berkendala.

Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang menyangkut pengoptimalan, baik itu kasus maksimasi atau minimasi. Masalah optimasi dalam kehidupan nyata baik disadari maupun tidak ternyata banyak digunakan oleh masyarakat untuk memenuhi kebutuhannya. Dalam bidang keahlian tertentu, masalah optimasi juga banyak digunakan, misalnya seorang ahli teknik sipil merencanakan pembangunan gedung dengan biaya minimum tetapi menginginkan faktor keamanan yang tinggi, seorang investor menginginkan nilai return yang tinggi dengan nilai risiko yang rendah, dan banyak lagi bidang keahlian yang lain yang melibatkan masalah optimasi.

Teori portofolio modern mendasarkan teorinya pada asumsi bahwa investor bertindak secara rasional dengan memilih porsi asetnya dalam sebuah portofolio sedemikian rupa sehingga dapat meminimalkan risiko dan memaksimalkan return (Wawan dan Silvia, 2005).

Untuk memaksimalkan return dengan risiko tertentu, para investor tentunya harus melakukan diversifikasi untuk membentuk suatu portofolio. Reksa dana saham merupakan suatu alternatif investasi yang telah mengakomodir kedua unsur tersebut. Dengan semakin berkembangnya reksa dana saham di Indonesia, maka investor dihadapkan kepada suatu keputusan untuk memilih portofolio reksa dana saham yang optimal (Teguh, 2001).

Ada dua komponen yang harus diperhatikan dalam penggunaan Metode Pengali Lagrange yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Untuk fungsi kendala harus diperhatikan apakah fungsi kendala tersebut tunggal atau multi kendala dan apakah fungsi kendala tersebut berbentuk persamaan atau pertidaksamaan. Fungsi tujuan yang akan diselidiki berupa fungsi nonlinier yang dapat berupa fungsi dengan satu variabel atau multi variabel. Untuk itu perlu dikaji lebih lanjut tentang Metode Pengali Lagrange untuk menyelesaikan masalah optimasi pada fungsi nonlinier multi variabel, khususnya dengan multi kendala berbentuk persamaan.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan di tulisan ini adalah bagaimana peranan Metode Pengali Lagrange dalam optimasi portofolio reksa dana saham.

1.3Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, penulis menggunakan batasan masalah sebagai berikut: 1. Hanya terdapat satu penilaian pembuat keputusan terhadap bobot setiap

fungsi tujuan.

2. Sumber data reksa dana saham yang digunakan adalah Otoritas Jasa Keuangan (OJK) (www.ojk.go.id).

3. Data yang dipilih dapat mewakili data NAB reksa dana saham pada tahun-tahun sebelumnya.

4. Data reksa dana saham yang digunakan adalah data NAB pada akhir bulan, dengan mengabaikan fluktuasi NAB pada satu periode (bulan).

5. Data reksa dana saham yang digunakan merupakan 80% dari NAB reksa dana saham.

6. Data reksa dana saham pada setiap perusahaan tidak bergantung pada perusahaan lainnya.

1.4Tinjauan Pustaka

Penentuan keuntungan maksimun pada penjualan olahan tape UD. Sari Madu di mana pendapatan maksimum dari triwulan pertama sampai triwulan keempat menjadi fungsi kendala (Femi, 2013).

Penerapan Metode Pengali Lagrange dalam upaya untuk meminimalkan biaya bahan bakar pembangkit dalam permasalahan economic dispatch. Dalam hal ini Metode Pengali Lagrange bersifat deterministik (Khairudin, 2012).

Penerapan Metode Pengali Lagrange dalam perekonomian di mana tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengubah bentuk masalah ekonomi terkendala dan tanpa kedala kemudian dimodelkan dalam bentuk optimasi. Penelitian terfokus pada masalah parsial dan utilitas marjinal konsumsi juga kesetimbangan parsial marjinal produksi (Syaripuddin, 2011).

Mengoptimalkan portofolio saham dengan menggunakan Metode Pengali Lagrange di mana pada penelitian ini membahas pemecahan model portofolio investasi Markowitz untuk aset di pasar saham Bursa Efek Kolombia (Eduardo, 2013).

Markowitz mendefinisikan portofolio sekuritas yang efisien sebagai portofolio yang memberikan tingkat keuntungan diharapkan maksimum untuk suatu tahap varian dan memberikan varian yang minimum untuk suatu tahap tingkat keuntungan yang diharapkan. Asas pendekatan teori portofolio modern adalah menggunakan perubahan atau variabel keuntungan sebagai taksiran untuk risiko investasi. Reksa dana saham (equity fund) adalah reksa dana yang melakukan investasi sekurang-kurangnya 80% dari portofolio yang dikelola ke dalam efek bersifat ekuitas atau saham.

Adapun metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah Metode Pengali Lagrange. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:

, = + ∑ 1.1

Syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala = 0 , dengan

= 1,2, . . . , agar mempunyai maksimum/minimum relatif pada titik ∗adalah

turunan parsial pertama dari Metode Pengali Lagrangenya yang didefinisikan sebagai = , , … , , , , … , terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

Syarat cukup bagi sebuah fungsi agar mempunyai minimum/maksimum relatif pada titik ∗adalah jika fungsi kuadrat Q yang didefinisikan sebagai:

= ∑ ∑ _" !

# "$d& d& 1.2 Dievaluasi pada titik = ∗ harus definit positif (atau definit negatif) untuk setiap nilai dx yang memenuhi semua kendala.

Syarat perlu agar = ∑ ∑ !

"# "$d& d& definit positif (atau definit negatif) untuk setiap variasi nilai dx adalah setiap akar polinomial zi, yang di dapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).

' ' '

− ) * … …

− ) * … …

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮

* … − ) ⋱

* … 0 0 … 0

* … 0 0 … 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

* … 0 0 … 0

' ' '

dengan:

= _"! -∗,.

# "$ , =

/# -∗

"$ 1.4 Proses penelitian Metode Pengali Lagrange pada optimasi portofolio dimulai dengan mencari nilai varian portofolionya kemudian dijadikan fungsi tujuannya. Misalnya diberikan 2 jenis saham, yaitu saham perusahaan A dan saham perusahaan B. Investor ingin membentuk susunan portofolio dari 2 saham tersebut. Selanjutnya diberikan track record dari saham A dan saham B adalah sebagai berikut:

Tabel 1.1 Track Record Saham A dan Saham B

Saham A Return Saham B Return

1870 1960 2175 2200 2000 2880 2800 2875 1880 2050 0,048 0,110 0,011 -0,091 -0,060 -0,043 0,042 0.003 0,090 45000 44000 46000 45000 44000 44500 45000 46100 46700 47000 -0,022 0,045 -0,022 -0,022 0,011 0,011 0,024 0,013 0,006 Mean Var Cov 0,0123 0,0046 0,0007 0,0051 0,0005

Apabila investor ingin membentuk susunan portofolio yang memiliki risiko kerugian minimum, maka bagaimanakah bobot yang harus diberikan pada saham A dan saham B?

Pada permasalahan ini, diperoleh variabel keputusannya adalah: 01adalah besar alokasi dana di saham A

Sementara itu, pendekatan besarnya risiko kerugian portofolio dapat didekati melalui nilai varian portofolio. Sehingga dari sini didapatkan fungsi tujuannya, yaitu:

meminimalkan:

345 6 = 345 01. 51+ 02. 52 1.5 = 0₁. 7₁ + 0₂. 7₂ + 20₁0₂. 7₁₂

= 0₁. 0,0046 + 0₂. 0,0005 + 20₁0₂. 0,0007 dengan kendala:

01 + 02 = 1 1.6 Penyelesaian dengan menggunakan Metode Pengali Lagrange terlebih dahulu dibentuk fungsi tujuan, yaitu:

meminimalkan:

01, 02 = 01. 0,0046 + 02. 0,0005 + 20102. 0,0007 1.7

dengan kendala:

01, 02 = 01+ 02− 1 = 0 1.8

selanjutnya, dicari titik kritis (a,b) yang terjadi saat:

∇ 0₁, 0₂ = . ∇ 0₁. 0₂ 1.9

sehingga diperoleh 2 persamaan, yaitu:

=> =?@=

=/

=?@↔ 2. 01. 0,0046 + 2. 02. 0,0007 = B 1.10

=> =?C =

=/

=?C ↔ 2. 02. 0,0005 + 2. 01. 0,0007 = B 1.11 dari persamaan (1) dan (2) tersebut diperoleh:

B = B 1.12

↔ 2. 01. 0,0046 + 2. 02. 0,0007 = 2. 02. 0,0005 + 2. 01. 0,0007

↔ 01 0,0046 − 0,0007 = 02 0,0005 − 0,0007

↔ 01 = 02−0,0002 _0,0039

↔ 0₁ = −0,05128205. 0₂

apabila disubstitusikan ke fungsi kendala diperoleh:

01 + 02 = 1

↔ −0,05128205. 0₂+ 0₂ = 1

↔ 0₂ =

GH,HI J HIK

↔ 0₂ = 1,0540540523 kemudian diperoleh:

01 = −0,0540540523

Terbukti bahwa menggunakan Metode Pengali Lagrange diperoleh kombinasi portofolio yang memiliki risiko kerugian terkecil adalah apabila diambil bobot untuk saham B sebesar 100%, atau dengan kata lain investor harus menginvestasikan seluruh modalnya di saham B agar risiko kerugian investasinya minimal.

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan gambaran tentang efektifitas Metode Pengali Lagrange dalam optimalisasi portofolio reksa dana saham.

Manfaat dari penelitian ini adalah dapat digunakan sebagai acuan dalam pemilihan metode untuk optimalisasi reksa dana saham.

1.7 Metodologi Penelitian 1.7.1 Studi Literatur

Tahap ini dilakukan dengan mengidentifikasi permasalahan, mengkaji metode pengali lagrange, prosedur pembentukan model optimisasi portofolio reksa dana saham secara matematis. Penelusuran referensi penelitian ini dari berbagai sumber seperti, buku, internet, jurnal, maupun penelitian yang telah ada sebelumnya mengenai hal-hal yang berhubungan dengan Metode Pengali Lagrange.

1.7.2. Pengumpulan Data

Pada tahap ini dilakukan pengumpulan data sekunder yang diperoleh dari web resmi Otoritas Jasa Keungan (www.ojk.go.id) yaitu data ringkasan NAB reksa dana saham bulanan periode Januari 2014-Desember 2014 pada 1 perusahaan reksa dana saham.

1.7.3. Pengolahan Data

Berdasarkan data ringkasan reksa dana saham yang diperoleh dari Otoritas Jasa Keuangan (OJK) akan dilakukan langkah-langkah berikut ini:

1. Menentukan fungsi tujuan 2. Mencari return periode bulan 3. Meminimumkan risiko

4. Mencari varian-kovarian setiap reksa dana saham

5. Menyelesaikan persamaan linier dengan menggunakan matriks 6. Penyelesaian kasus

METODE PENGALI LAGRANGE PADA OPTIMALISASI

PORTOFOLIO REKSA DANA SAHAM

ABSTRAK

Metode Pengali Lagrange digunakan untuk memecahkan model optimasi untuk mendapatkan porsi reksa dana saham dan varian portofolio pada expected return tertentu. Penerapannya pada reksa dana saham tahun 2014 yang diperoleh dari Otoritas Jasa Keuangan. Pada penelitian ini, permasalahan investasi dimodelkan dengan Model Markowitz yang diselesaikan sebagai persamaan linier dengan menggunakan matriks. Penggunaan Metode Pengali Lagrange akan menghasilkan porsi reksa dana saham dan varian minimum di mana kondisi tersebut dapat dicapai dengan meminimumkan varian portofolio.

LAGRANGE MULTIPLIER METHOD THE OPTIMIZATION

OF THE PORTFOLIO OF MUTUAL FUND SHARES

ABSTRACT

Lagrange Multiplier method is used to solve the optimization model to get the portion of equity funds and portfolio variance on certain expected return. Application in equity funds in 2014 were obtained from the Finance Services Authority. In this study, the problem of investment was modeled with the Markowitz model and solved as linear equations using matrix. The use of Lagrange Multiplier Method will produce a portion of equity funds and minimum variants in which these conditions can be achieved by minimizing the portfolio variance.

METODE PEN

POR

FAKULTAS MA

U

E PENGALI LAGRANGE PADA OPTI

PORTOFOLIO REKSA DANA SAHA

SKRIPSI

CITRA DEWI HASIBUAN

110803072

DEPARTEMEN MATEMATIKA

ATEMATIKA DAN ILMU PENGETA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

TIMALISASI

HAM

GETAHUAN ALAM

RA

METODE PEN

POR

Diajukan untuk melengk

FAKULTAS MA

U

E PENGALI LAGRANGE PADA OPTI

PORTOFOLIO REKSA DANA SAHA

SKRIPSI

engkapi tugas dan memenuhi syarat untuk m Sains

CITRA DEWI HASIBUAN

110803072

DEPARTEMEN MATEMATIKA

ATEMATIKA DAN ILMU PENGETA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

TIMALISASI

HAM

mencapai gelar Sarjana

GETAHUAN ALAM

RA

PERSETUJUAN

Judul : Metode Pengali Lagrange pada Optimalisasi Reksa Dana Saham

Kategori : Skripsi

Nama : Citra Dewi Hasibuan Nomor Induk Mahasiswa : 110803072

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Diluluskan di Medan, Juni 2015 Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si Dr. Esther S M Nababan, M.Sc NIP. 19531218 198003 1 003 NIP. 19610318 198711 2 001

Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP. 196209011988031002

PERNYATAAN

METODE PENGALI LAGRANGE PADA OPTIMALISASI

PORTOFOLIO REKSA DANA SAHAM

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2015

Citra Dewi Hasibuan 110803072

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus dengan kasih dan berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Metode Pengali Lagrange pada Optimalisasi Reksa Dana Saham.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Esther S M Nababan, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terima kasih kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan. Terima kasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA-USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA-USU. Akhirnya yang teristimewa kepada Ayahanda Oskar Hasibuan dan Ibunda Sedi Agustina Simbolon serta saudari penulis Fitri Handayani Hasibuan dan Yuliani Hasibuan yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.

METODE PENGALI LAGRANGE PADA OPTIMALISASI

PORTOFOLIO REKSA DANA SAHAM

ABSTRAK

Metode Pengali Lagrange digunakan untuk memecahkan model optimasi untuk mendapatkan porsi reksa dana saham dan varian portofolio pada expected return tertentu. Penerapannya pada reksa dana saham tahun 2014 yang diperoleh dari Otoritas Jasa Keuangan. Pada penelitian ini, permasalahan investasi dimodelkan dengan Model Markowitz yang diselesaikan sebagai persamaan linier dengan menggunakan matriks. Penggunaan Metode Pengali Lagrange akan menghasilkan porsi reksa dana saham dan varian minimum di mana kondisi tersebut dapat dicapai dengan meminimumkan varian portofolio.

LAGRANGE MULTIPLIER METHOD THE OPTIMIZATION

OF THE PORTFOLIO OF MUTUAL FUND SHARES

ABSTRACT

Lagrange Multiplier method is used to solve the optimization model to get the portion of equity funds and portfolio variance on certain expected return. Application in equity funds in 2014 were obtained from the Finance Services Authority. In this study, the problem of investment was modeled with the Markowitz model and solved as linear equations using matrix. The use of Lagrange Multiplier Method will produce a portion of equity funds and minimum variants in which these conditions can be achieved by minimizing the portfolio variance.

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR LAMPIRAN x

Bab 1. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 7

1.6 Kontribusi Penelitian 7

1.7 Metodologi Penelitian 8

Bab 2. LANDASAN TEORI 9

2.1 Lingkungan Investasi 9

2.1.1 Pengertian Investasi 9

2.1.2 Pengertian Reksa Dana Saham 9

2.1.3 Bentuk Reksa Dana 10

2.1.4 Sifat Reksa Dana 10

2.1.5 Jenis Reksa Dana 11

2.2 Pengertian dan Konsep Dasar Portofolio 14

2.3 Konsep Return dan Risiko 16

2.4 Terminologi Reksa Dana Saham dan Portofolio 18

2.5 Metode Pengali Lagrange 21

Bab 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 23

3.1 Pengumpulan Data 23

3.2 Pengolahan Data 23

3.2.1 Rumus Tingkat Pengembalian Reksa Dana 24 (Return Reksa Dana Saham)

3.2.2 Tingkat Risiko 26

3.3 Pembahasan 27

3.3.1 Formulasi Model 27 3.3.2 Penyelesaian Model 29

Bab 4. KESIMPULAN DAN SARAN 49

4.1 Kesimpulan 49

4.2 Saran 50

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

Tabel 1.1 Track Record Saham A dan Saham B 6 Tabel 3.1 Daftar Nama Reksa Dana Saham 24 Tabel 3.2 Return Bulanan Tahun 2014 26 Tabel 3.3 Return Inspira dengan Inspira 28 Tabel 3.4 Kovarian Antar Seluruh Reksa Dana Saham 29 Tabel 3.5 Matriks Kovarian Antar Seluruh Reksa Dana Saham 34 Tabel 3.6 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,20% 42 Tabel 3.7 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,30% 42 Tabel 3.8 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,40% 43 Tabel 3.9 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,50% 43 Tabel 3.10 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,60% 43 Tabel 3.11 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,20% 43 Tabel 3.12 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,30% 43 Tabel 3.13 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,40% 44 Tabel 3.14 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,50% 45 Tabel 3.15 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,60% 45 Tabel 3.16 Deviasi Standar dan Varian Portofolio 45 Tabel 3.17 Analisis Perubahan Nilai dan 46

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

Gambar 2.1 Hubungan Antara Risiko dan Tingkat Keuntungan 17 Gambar 2.5 Kerangka Teoritis Penelitian 22

Gambar 3.8 Deviasi Standar Portofolio 46

Gambar 3.9 Kinerja 48

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lampiran

1 Resume Aktiva Reksa Dana Saham BNP Paribas INSPIRA

52 2 Resume Aktiva Reksa Dana Saham BNP Paribas

STAR

53 3 Resume Aktiva Reksa Dana Saham BNP Paribas FOIP 54

LAGRANGE MULTIPLIER METHOD THE OPTIMIZATION

OF THE PORTFOLIO OF MUTUAL FUND SHARES

ABSTRACT

Lagrange Multiplier method is used to solve the optimization model to get the portion of equity funds and portfolio variance on certain expected return. Application in equity funds in 2014 were obtained from the Finance Services Authority. In this study, the problem of investment was modeled with the Markowitz model and solved as linear equations using matrix. The use of Lagrange Multiplier Method will produce a portion of equity funds and minimum variants in which these conditions can be achieved by minimizing the portfolio variance.

vi

vi DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR LAMPIRAN x

Bab 1. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 7

1.6 Kontribusi Penelitian 7 1.7 Metodologi Penelitian 8

Bab 2. LANDASAN TEORI 9

2.1 Lingkungan Investasi 9 2.1.1 Pengertian Investasi 9 2.1.2 Pengertian Reksa Dana Saham 9 2.1.3 Bentuk Reksa Dana 10 2.1.4 Sifat Reksa Dana 10 2.1.5 Jenis Reksa Dana 11 2.2 Pengertian dan Konsep Dasar Portofolio 14 2.3 Konsep Return dan Risiko 16 2.4 Terminologi Reksa Dana Saham dan Portofolio 18 2.5 Metode Pengali Lagrange 21 Bab 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 23

3.1Pengumpulan Data 23

3.2Pengolahan Data 23

3.2.1 Rumus Tingkat Pengembalian Reksa Dana 24 (Return Reksa Dana Saham)

3.2.2 Tingkat Risiko 26

3.3Pembahasan 27

3.3.1 Formulasi Model 27 3.3.2 Penyelesaian Model 29

Bab 4. KESIMPULAN DAN SARAN 49

4.1 Kesimpulan 49

4.2 Saran 50

viii

viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

Tabel 1.1 Track Record Saham A dan Saham B 6 Tabel 3.1 Daftar Nama Reksa Dana Saham 24 Tabel 3.2 Return Bulanan Tahun 2014 26 Tabel 3.3 Return Inspira dengan Inspira 28 Tabel 3.4 Kovarian Antar Seluruh Reksa Dana Saham 29 Tabel 3.5 Matriks Kovarian Antar Seluruh Reksa Dana Saham 34 Tabel 3.6 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,20% 42 Tabel 3.7 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,30% 42 Tabel 3.8 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,40% 43 Tabel 3.9 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,50% 43 Tabel 3.10 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,60% 43 Tabel 3.11 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,20% 43 Tabel 3.12 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,30% 43 Tabel 3.13 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,40% 44 Tabel 3.14 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,50% 45 Tabel 3.15 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,60% 45 Tabel 3.16 Deviasi Standar dan Varian Portofolio 45 Tabel 3.17 Analisis Perubahan Nilai dan 46

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

Gambar 2.1 Hubungan Antara Risiko dan Tingkat Keuntungan 17 Gambar 2.5 Kerangka Teoritis Penelitian 22

Gambar 3.8 Deviasi Standar Portofolio 46

Gambar 3.9 Kinerja 48

x

x

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lampiran

1 Resume Aktiva Reksa Dana Saham BNP Paribas INSPIRA

52 2 Resume Aktiva Reksa Dana Saham BNP Paribas

STAR

53 3 Resume Aktiva Reksa Dana Saham BNP Paribas FOIP 54