Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya dalam Bidang Ekonomi
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Non linier
Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan
dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam
model matematika yang memuat fungsi tujuan non linier dan fungsi kendala linier
atau non linier. Hal ini didasarkan pada penemuan beberapa contoh penerapan
dalam dunia usaha bisnis yang menggunakan asumsi ketaklinieran dalam
,
,…,
membuat perencanaan. Bentuk umum dari pemrograman non linier adalah untuk
menentukan
Memaksimumkan/meminimumkan :
dengan kendala
di mana
,
,
,…,
, sehingga mencapai tujuan yaitu:
:
0
, ,
2.1
1,2, … ,
dan
merupakan fungsi-fungsi dengan n variabel keputusan.
2.2 Maksimum dan Minimum
Dalam program non linier tidak selamanya terdapat satu titik maksimum ataupun
minimum. Sebuah fungsi dapat memiliki lebih dari satu maksimum ataupun
minimum.
Suatu fungsi
jika
dikatakan memiliki maksimum lokal (maksimum relatif) di
lebih besar dari sembarang nilai
lainnya dari
dikatakan memiliki minimum lokal (minimum relatif) di
dari sembarang nilai
global) dari
lebih kecil
sekitar . Maksimum mutlak (maksimum
adalah nilai yang paling tinggi dari seluruh nilai-nilai fungsi
tersebut. Dengan kata lain,
jika
lain untuk
jika
sekitar , dan
dikatakan memiliki maksimum mutlak (global) di
untuk semua
di , di mana
adalah daerah asal (domain) dari
Universitas Sumatera Utara
7
dan
disebut nilai maksimum
(minimum global) dari
jika
dari
dan
. Sebaliknya, minimum mutlak
adalah nilai yang paling rendah dari seluruh nilai-nilai
fungsi tersebut. Dengan kata lain,
di
pada
untuk semua
dikatakan memiliki minimum mutlak (global)
di , di mana
disebut nilai minimum
adalah daerah asal (domain)
pada . Jika
memiliki maksimum atau
atau minimum dan memiliki kemiringan 0 di , maka
tidak memiliki maksimum
minimum lokal di , maka
adalah titik kritis . Jika
adalah titik belok (saddle
point) (Stewart, 1999). Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik
maksimum kurvanya berbentuk cembung ke atas dan fungsi yang mempunyai titik
minimum kurvanya berbentuk cembung ke bawah, diperlihatkan oleh Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Grafik Maksimum dan Minimum
Andaikan adalah titik kritis dari fungsi kontinu .
Uji Turunan Pertama
1. Jika
berubah dari positif ke negatif pada , maka
memiliki maksimum
lokal pada .
2. Jika
berubah dari negatif ke positif pada , maka
memiliki minimum
lokal pada .
Universitas Sumatera Utara
8
3. Jika
tidak berubah tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya pada ,
maka
tidak memiliki maksimum ataupun minimum lokal pada .
Uji Turunan Kedua
0 dan
Andaikan
0, maka
kontinu dekat .
0, maka
0 dan
1. Jika
2. Jika
memiliki minimum lokal pada .
memiliki maksimum lokal pada .
Pada kasus suatu fungsi dengan satu variabel bebas nilai ekstrim dapat
dilukiskan dalam suatu grafik dengan dua dimensi. Titik maksimum dilukiskan
,
sebagai puncak suatu bukit dan titik minimum sebagai dasar suatu lembah.
Dengan dua variabel bebas, fungsi
merupakan bidang yang berada
dalam ruang berdimensi tiga. Meskipun titik maksimum dilukiskan sebagai
puncak bukit dan titik minimum dilukiskan sebagai dasar lembah, akan tetapi baik
bukit maupun lembah mempunyai sifat tiga dimensi.
,
Definisi 2.1:
Titik
,
dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi
0 dan
,
!
0.
jika
Definisi 2.1, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrim fungsi dua
variabel adalah fungsi
mempunyai turunan parsial pertama dan adanya titik
yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol.
Andaikan
,
adalah fungsi dua variabel dari
0 dan
dan
sedemikian sehingga
0.
,
dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu. Andaikan pula bahwa
1.
2.
!!
!!
,
,
!
,
dikatakan sebagai nilai maksimum , jika:
,
dikatakan sebagai nilai minimum , jika:
,
,
!!
!!
0.
0.
,
,
"#
"#
!
!
,
,
$
$
0,
0,
dan
dan
,
0
atau
,
0
atau
Universitas Sumatera Utara
9
,
3.
!!
,
"#
bukan nilai ekstrim dan
,
,…,
!
,
$
,
0, uji gagal dan
,
disebut dengan titik pelana.
dikatakan
Pada fungsi multivariabel (lebih dari satu variabel bebas), yaitu
untuk uji syarat kedua dapat menggunakan suatu determinan
yang dikenal dengan nama determinan Hessian.
12
Contoh 2.1:
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi
"∞, ∞
" 45
%
) 40
(
*
) 5 pada
Penyelesaian :
0. Maka
60
"3
)2
0,
Syarat perlu untuk mencari nilai ekstrim yang pertama adalah turunan
pertama dari
adalah
sehingga diperoleh titik-titik kritis dari
0 untuk
Turunan kedua dari
maksimum di
1 dan
adalah
1 dan minimum di
nilai maksimum dari
dan
2
yaitu
60 4
0 untuk
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.2.
*
(
0,
"9
1
1 dan
2.
) 4 , sehingga
2. Maka
2. Sehingga
*
12 merupakan
memiliki
"11 merupakan minimum dari
.
Maksimum
Titik Belok
Gambar 2.2 Grafik
12
%
" 45
(
) 40
Minimum
*
)5
Universitas Sumatera Utara
10
2.3 Matriks Hessian
fungsi dengan / variabel yang
Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari turunan
pasial kedua dari suatu fungsi. Misalkan
memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinu. Matriks Hessian dari
ditulis H adalah:
H
45 6
3 4 75
2 45 6
24 5 7
2 ⋯
2 45 6
14 9 7
45 6
4 7 5
45 6
4 55
⋯
45 6
4 9 5
⋯
45 6
>
=
⋯
4 5 9=
⋱ ⋯ =
45 6 =
⋯
5 <
4 9
4 7 9
45 6
2.2
Jika terdapat suatu matriks berukuran / ? /, maka principal minor ke @ di mana
Definisi 2.2:
@
/ adalah suatu sub matriks dengan ukuran @ ? @ yang diperoleh dengan
menghapus / " @ baris dan kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut.
Andaikan A adalah suatu matriks berukuran 3 ? 3 sebagai berikut:
Contoh 2.2:
A
matriks 2 ? 2 sebagai berikut:
2
B1
3
6
5
4
3
2C
1
maka, principal minor ke-1 adalah [2], [5] dan [1]. Principal minor ke-2 adalah
D
2
1
6
E
5
D
2
3
3
E
1
D
5
4
2
E
1
Principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri. Determinan dari suatu
principal minor disebut dengan determinan principal.
Universitas Sumatera Utara
11
Leading principal minor ke @ dari suatu matriks / ? / diperoleh dengan
menghapus / " @ baris terakhir dan kolom yang bersesuaian. Dari matriks A di
atas, maka leading principal minor ke-1 adalah 2 (hapus dua baris dan dua kolom
terakhir). Leading principal minor ke-2 adalah:
D
2
1
6
E
5
Dengan demikian, leading principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri.
principal. Banyaknya determinan leading principal dari suatu matriks / ? /
Determinan dari suatu leading principal minor adalah determinan leading
adalah /.
Untuk menentukan apakah suatu matriks adalah definit positif, semidefinit
positif, definit negatif, semidefinit negatif, atau indefinit dapat dilakukan suatu
pengujian sederhana di mana hanya berlaku jika matriksnya simetris.
Uji Matriks Definit Positif
1. Semua elemen diagonal positif.
2. Semua determinan leading principal positif.
Uji Matriks Semidefinit Positif
1. Semua elemen diagonal non negatif.
2. Semua determinan leading principal non negatif.
Suatu matriks dapat dikatakan definit negatif (semidefinit negatif), yaitu
dengan melakukan uji negatif dari matriks untuk definit positif (semidefinit
positif). Jika matriks tersebut memiliki sekurang-kurangnya dua elemen diagonal
yang berlawanan tanda, maka matriks tersebut menjadi indefinit.
Contoh 2.3:
Untuk mendapatkan titik ekstrim dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh sebagai
berikut:
,
*
)
"4
)1
Universitas Sumatera Utara
12
Maka solusi untuk menyelesaikannya tentukan
titik ekstrim yang memenuhi
syarat sehingga turunan pertama untuk setiap variabel adalah
3
46
4 7
)
2
46
4 5
0 atau
"4
"4
2
2
0
Kemudian substitusi masing-masing nilai
untuk
untuk
0, dan
3
3
3
)
"4
"4
2, dan
3
0 diperoleh:
46
4 7
"4
0
0 atau
46
4 7
)
"4
4
IJ
0
"2
dan
2.3
0
2.4
ke persamaan 2.3.
0
4
0 diperoleh:
"4
4
3
0
2
I √3
3
2
√3 atau
3
0
2
" √3
3
Persamaan 2.3 dan 2.4 dipenuhi oleh titik-titik:
2
2
0,0 , 0,4 , L √3, 2M , L" √3, 2M
3
3
Untuk mengetahui titik maksimum dan
minimum maka digunakan matriks
Hessian untuk menyelidikinya sehingga turunan kedua dari
N
N
adalah:
6
Universitas Sumatera Utara
13
N
N
2 , dan
N
N
N
N
Jadi matriks Hessiannya menjadi
Q
R
2
sehingga diperoleh Q
Q
,
2
"4
2
"4
"4
S
T6 U, karena matriks Q merupakan matriks Q maka
R
2
6
"4
2
2
"4
S
Tabel 2.1 Nilai Matriks Hessian Untuk Masing-Masing Titik Ekstrim
0,0
0,4
Q
6
2
2
L √3, 2M
3
Matriks H
D
0
"4
0
D
4
4√3
V
0
"4√3
2
L" √3, 2M V
3
0
"4
E
0
4
E
0
0
4 W
√3
3
0
4 W
" √3
3
Q
Q
Sifat H
Sifat
,
,
0
-16
Tak tentu
Titik belok
1
0
-16
Tak tentu
Titik belok
1
4√3
16
"4√3
16
Definit
positif
Definit
negatif
Minimum
Maksimum
"
16
√3 ) 1
9
16
√3 ) 1
9
Universitas Sumatera Utara
14
Grafik
dalam ruang tiga dimensi diperlihatkan oleh Gambar 2.3.
2
L" √3, 2M
3
0,4
2
L √3, 2M
3
0,0
Gambar 2.3 Grafik
,
*
)
"4
)1
2.4 Optimasi
Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya
mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan
masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum
,
,…,
dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Salah satu bentuk
umum masalah optimasi adalah untuk menentukan bersyarat
0 dan untuk
0 dengan
sehingga mencapai tujuannya untuk memaksimumkan/meminimumkan
dengan kendala
dan
adalah
fungsi yang diketahui dengan n variabel keputusan. Dalam masalah optimasi
terdapat dua bentuk masalah optimasi yaitu optimasi bersyarat dan optimasi tak
bersyarat.
Universitas Sumatera Utara
15
2.4.1 Optimasi Tak Bersyarat
Masalah optimasi tak bersyarat merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki
batasan-batasan, hanya memiliki fungsi tujuan yang sederhana, yaitu:
Memaksimumkan/meminimumkan:
,
untuk semua
didiferensialkan.
,…,
2.5
dan
adalah sebuah fungsi yang dapat
Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian
merupakan penyelesaian optimal adalah
Y
0 di
46
∗
4 Z
∗
untuk
1,2, … , /
Teorema Fermat:
Jika
,maka Y
mempunyai minimum atau maksimum lokal di
pertama dari
memiliki nilai pada titik
∗
2.6
∗
0.
∗
∗
dan jika derivasi
Teorema 2.1:
Titik
∗
(i)
adalah titik maksimum lokal dari
Y
H
(ii)
∗
∗
jika dan hanya jika:
0
0 definit negatif atau "1 |Q|
dengan H adalah matriks Hessian
0 untuk
1,2, … , /
Teorema 2.2:
Titik
(i)
(ii)
∗
adalah titik minimum lokal dari
Y
H
∗
∗
0
jika dan hanya jika:
0 definit positif atau |Q|
H adalah matriks Hessian
0 untuk
1,2, … , / dengan
Matriks juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua pada proses optimasi
tak bersyarat terutama pada fungsi multivariabel (lebih dari satu variabel bebas),
yaitu menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan
Hessian (Hessian Determinant). Determinan Hessian diturunkan dari matriks
Universitas Sumatera Utara
16
,
,…,
maka matriks Hessiannya mempunyai dimensi n ? n.
bujur sangkar di mana elemen-elemennya merupakan turunan kedua parsial. Jika
Diagonal utama (principal diagonal) dari matriks Hessian terdiri dari turunan
kedua parsial langsung, sedangkan elemen-elemen di luar diagonal utama
merupakan turunan kedua silang.
Jadi penggunaan determinan Hessian untuk uji syarat kedua akan
1. Maksimum relatif jika H
menghasilkan:
2. Minimum relatif jika H
∗
∗
definit negatif.
definit positif.
3. Jika kedua kondisi tidak dipenuhi maka tidak diperoleh suatu kesimpulan,
apakah fungsi mempunyai maksimum atau minimum.
2.4.2 Optimasi Bersyarat
Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki
batasan-batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi
fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi
optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Masalah optimasi
bersyarat dengan kendala persamaan merupakan masalah optimasi yang dibatasi
dengan batasan-batasan berupa persamaan dengan bentuk umum sebagai berikut:
Memaksimumkan/meminimumkan :
dengan kendala
:
2.7
0
1,2, … ,
^ ,
/
,…,
_`
Determinan Hessian juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua dari optimasi
fungsi dengan kendala persamaan, dinamakan matriks Hessian terbatas (bordered
Hessian). Disebut dengan matriks Hessian terbatas karena turunan parsial kedua
dari fungsi Lagrange terhadap
dibatasi oleh turunan parsial pertama dari fungsi
Universitas Sumatera Utara
17
kendala. Matriks Hessian Terbatas adalah matriks yang entri-entrinya adalah
a
,
,b
,
)b
,
turunan parsial kedua dari fungsi Lagrange berikut:
Syarat 1)
Na
N
Na
N
Na
Nb
Qc
Syarat 2)
0
N
N
N
N
0
0
d
0
a
a
a
a d atau da
a
a
a
0
0
N
N
N a
N
N a
N
N
N
N a
N
N a
N
d
Qc disebut bordered Hessian yaitu determinan Hessian asli yang dibatasi
oleh turunan pertama dari fungsi kendala dengan nol sebagai principal diagonal.
Ordo dari bordered principal minor ditentukan oleh principal minor yang dibatasi.
Determinan Hessian asli adalah e
Qc
a
a
a
e.
a
Qc disebut second bordered principal minor karena principal minor yang
dibatasi mempunyai dimensi 2 ? 2.
Untuk fungsi dengan n variabel determinan Hessiannya sebagai berikut:
…
0
a
… a
a
f
f
…
Qc
a f
a
a
f
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
… a
a
a
di mana Qc
Qc karena principal minor yang dibatasi berorder n ? n, sehingga:
1. Maksimum relatif jika Qc definit negatif, di mana Qc
"1 |Qc |
2.8
0 untuk
terbatas (bordered Hessian).
0 atau
2,3, … , / dengan Qc adalah matriks Hessian
Universitas Sumatera Utara
18
2. Minimum relatif jika Qc definit positif, di mana Qc
0 atau |Qc |
0 untuk
2,3, … , / dengan Qc adalah matriks Hessian terbatas (bordered Hessian).
Uji syarat kedua dengan bordered Hessian dimulai dari Qc bukan Qc .
2.5 Metode Pengali Lagrange
Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ekstrim terbatas
adalah dengan cara substitusi. Dengan metode substitusi, salah satu variabel bebas
dari persamaan terkendala disubstitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari
nilai ekstrimnya. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan
melalui ekstrim bebas fungsi. Namun demikian, metode substitusi tidak selalu
membawa hasil, jika batasan-batasannya tidak hanya melibatkan satu persamaan
kendala.
Disamping itu, masalah-masalah ekstrim terbatas sering timbul dalam
masalah-masalah nyata, di mana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi.
Masalah yang sering timbul dengan metode substitusi adalah tidak mudah untuk
menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim
terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange
dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai
ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange
menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis,
sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di
atasi.
Metode pengali Lagrange adalah sebuah teknik yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat dengan kendala persamaan
dalam suatu bentuk sedemikian sehingga syarat perlu untuk masalah optimasi tak
bersyarat
masih
dapat
diterapkan.
Sesuai
namanya,
konsep
Lagrange
dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Inti dari metode pengali
Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik
ekstrim bebas kendala. Teori pengali Lagrange digunakan untuk menangani
Universitas Sumatera Utara
19
optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Metode pengali Lagrange
dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:
,λ
) ∑ij λ
,
,…,
dengan kendala
,
,…,
a
2.9
,
,…,
Asumsikan masalah maksimisasi suatu fungsi kontinu dan dapat
diturunkan
, di mana
juga kontinu dan dapat diturunkan. Kondisi tersebut menyarankan bahwa
Q
dapat dipilih variabel
sehingga
untuk mendapatkan:
T ,
pada kendala dan menyatakan variabel yang lain,
,…,
k
k
. Kemudian disubstitusikan ke fungsi tujuan
,Q
,
,…,
k
U
2.10
Dalam bentuk persamaan 2.10, metode klasik dapat diterapkan karena fungsinya
tanpa kendala. Suatu syarat perlu untuk titik ekstrim adalah dengan
menghilangkan semua turunan pertama yaitu
4l
4 Z
0, di mana
1,2, … , / " 1.
Dengan menggunakan dalil rantai diperoleh:
46
4l
4 Z
,
dari
4o
4 Z
4 Z
,…,
)
4o
)
46
∙
4n
4 9 4 Z
0, di mana
1,2, … , / " 1
2.11
, diperoleh:
∙
4n
4 9 4 Z
0, di mana
1,2, … , / " 1
sehingga persamaannya menjadi:
4n
4 Z
"
pq
prZ
pq
pr9
,
4o
4 9
s 0 untuk
N
N
N
N
)
t"
u
N
N
N
N
1,2, … , / " 1
2.12
substitusi persamaan 2.12 ke persamaan 2.11, sehingga:
N
N
0
Universitas Sumatera Utara
20
46
4l
4 Z
4 Z
∗
,
46
4 Z
"
46
4 9
v
pq
prZ
pq
pr9
w
0,
1,2, … , / " 1
Jika vektor solusi yang diperoleh adalah vektor maksimum, maka
∗
,…,
)b
4o
adalah nilai maksimum. Dengan mengganti "
∗
0, di mana
4 Z
1,2, … , / dengan syarat
,
Teorema 2.3:
Syarat perlu bagi sebuah fungsi
1,2, … ,
dengan kendala
,…,
px
pr9
pq
pr9
.
0, dengan
agar mempunyai maksimum/minimum relatif pada titik
a
,
,…,
b, maka
∗
adalah
, b , b , … , bi terhadap setiap argumennya mempunyai nilai
turunan parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
nol (Luknanto, 2000).
Dengan kata lain, syarat perlu untuk maksimum dan minimum dari
0 dapat dicapai dengan
kendala
Na
N
0 dan
Na
Nb
0
Jika y ∗ , b∗ z adalah titik kritis dari a
dari
dengan kendala
adalah
∗
, b maka
. Jadi nilai ekstrim
∗
dengan
juga merupakan titik kritis
dengan kendala
.
Teorema 2.4:
Syarat
cukup
bagi
sebuah
sebuah
minimum/maksimum relatif pada titik
didefinisikan sebagai:
{
∑j ∑
45 |
j 4 4 ~
}
Z
Dievaluasi pada
∗
∗
fungsi
agar
mempunyai
adalah jika fungsi kuadrat Q yang
~
2.13
harus definit positif atau negatif untuk setiap nilai ~
yang memenuhi semua kendala (Luknanto, 2000).
Universitas Sumatera Utara
21
Syarat cukup sebuah fungsi
agar mempunyai minimum/maksimum dapat
ditentukan dengan matriks Hessian terbatas. Matriks Hessian Terbatas (Bordered
Hessian) didefinisikan sebagai berikut:
Qc
R
O
P•
P
S
Q iƒ
? iƒ
2.14
di mana O adalah matriks null berukuran
„
P
⋯
⋱
⋯
V ⋮
„i
„
W
⋮
„i
i?
?
,
2.15
,
P• adalah transpose dari matriks P,
dan
Q
…
45 |
3 4 75
2
2 ⋮5
2 4|
14 9 4
7
Syarat perlu agar {
45 |
4 7 4 9>
⋱
⋮
…
45 |
5
4 9
∑j ∑
=
=
=
<
2.16
45 |
j 4 4 ~
}
Z
~
menjadi definit positif atau negatif
untuk setiap variasi nilai ~ adalah setiap akar dari polinomial
, yang diperoleh
…
i
…
i
⋮
⋱
⋮ f
…
i
i
f
0
…
0
0
…
0
f
⋮ ⋱ ⋮
0 … 0
dari determinan persamaan di bawah ini harus positif atau negatif.
f
a
a
"
⋮
a
a
"
⋮
a
a
⋮
*
*
a
a *
a
*
*
f
⋮ ⋮
⋮
i
i*
i
f
dengan a
keterangan:
45 | … ∗ ,†
4 }4 Z
a = turunan untuk
= turunan untuk
dan
…
…
⋱
…
…
…
⋱
…
a
a
⋮
⋮
i
a "
0
0
⋮ ⋮
i
0
4o} … ∗
4 Z
(Luknanto, 2000).
0 2.17
pada persamaan ke
pada persamaan kendala larange ke
Universitas Sumatera Utara
22
Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik, dimisalkan
terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut:
Maksimumkan / minimumkan
2.18
dengan kendala
Fungsi Lagrangenya adalah
a
,λ
) λy "
z
2.19
Syarat perlu untuk penyelesaiannya adalah
4|
4 }
4|
4λ
0 untuk ‡
0
1,2, … , / dan
2.20
2.21
sehingga persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 menghasilkan:
46
4 }
"λ
"
4o
4 }
0 untuk ‡
0 atau
N
~
N
1,2, … , /
N
~
N
dari persamaan 2.22 diperoleh:
atau
ˆ
atau
atau
j
"λ
N
~
N
2.22
2.23
0 untuk ‡
" λˆ
j
N
~
N
0 untuk ‡
ˆ
N
~
N
λˆ
N
~
N
ˆ
N
~
N
λˆ
N
~
N
j
j
~
j
j
1,2, … , /
~
1,2, … , /
2.24
Universitas Sumatera Utara
23
Persamaan 2.23 dan 2.24 menghasilkan hasil yang final yaitu:
atau
~
~
λ ~
λ∗ ~
2.25
Dari persamaan 2.22 pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan
berbanding lurus dengan perubahan kendala
dengan faktor sebesar pengali
Lagrange yaitu λ.
2.6 Utilitas Marjinal
Fungsi utilitas adalah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan,
kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa.
Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar
utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada
jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan
negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.
Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi.
Persamaan utilitas total (U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi
kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas
marjinal (MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang
yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marjinal merupakan derivatif
‰
{ di mana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang
pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan
dikonsumsi, maka utilitas marjinal
Š‰
‰
‹Œ
‹•
.
2.26
Universitas Sumatera Utara
24
Grafiknya kurva fungsi utilitas diperlihatkan oleh Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Grafik Fungsi Utilitas
Karena fungsi utilitas total yang nonlinier pada umumnya berbentuk fungsi
kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas
marjinal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada
pada posisi puncaknya.
Utilitas total ‰
Contoh 2.3:
Š‰
‰
{
90 " 10{
‰ maksimum pada Š‰
sehingga 90 " 10{
maka ‰i••‘ i’i
90{ " 5{ , utilitas marjinalnya adalah
0
0→{
9
90 9 " 5 9
810 " 405
405
Universitas Sumatera Utara
25
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Grafik ‰
90{ " 5{ dan Š‰
90 " 10{
2.7 Produk Marjinal
Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit
tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk
total dinyatakan ”
di mana ” melambangkan jumlah produk total dan
marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk
adalah jumlah masukan, maka produk marjinal:
Š”
”
‹•
‹
2.27
Karena fungsi produk total yang nonlinier pada umumnya berbentuk
fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat
(parabolik). Kurva produk marjinal (MP) selalu mancapai nilai ekstrimnya. Dalam
hal ini, nilai maksimum tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisi
titik beloknya. Produk total mancapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol.
Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marjinal
Universitas Sumatera Utara
26
menjadi negatif. Area di mana produk marjinal negatif menunjukan bahwa
penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi
jumlah produk total (Dumairy, 1996).
Produksi total ”
Contoh 2.4:
Š”
”
18 " 3
9
sehingga ”i••‘ i’i pada ”
"
*
, produk marjinalnya adalah
0 pada
6 dengan ”i••‘ i’i
” berada dititik belok dan Š” maksimum pada ”"
Š” ′
108
0 yaitu pada
3
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Grafik ”
9
"
*
dan Š”
18 " 3
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Non linier
Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan
dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam
model matematika yang memuat fungsi tujuan non linier dan fungsi kendala linier
atau non linier. Hal ini didasarkan pada penemuan beberapa contoh penerapan
dalam dunia usaha bisnis yang menggunakan asumsi ketaklinieran dalam
,
,…,
membuat perencanaan. Bentuk umum dari pemrograman non linier adalah untuk
menentukan
Memaksimumkan/meminimumkan :
dengan kendala
di mana
,
,
,…,
, sehingga mencapai tujuan yaitu:
:
0
, ,
2.1
1,2, … ,
dan
merupakan fungsi-fungsi dengan n variabel keputusan.
2.2 Maksimum dan Minimum
Dalam program non linier tidak selamanya terdapat satu titik maksimum ataupun
minimum. Sebuah fungsi dapat memiliki lebih dari satu maksimum ataupun
minimum.
Suatu fungsi
jika
dikatakan memiliki maksimum lokal (maksimum relatif) di
lebih besar dari sembarang nilai
lainnya dari
dikatakan memiliki minimum lokal (minimum relatif) di
dari sembarang nilai
global) dari
lebih kecil
sekitar . Maksimum mutlak (maksimum
adalah nilai yang paling tinggi dari seluruh nilai-nilai fungsi
tersebut. Dengan kata lain,
jika
lain untuk
jika
sekitar , dan
dikatakan memiliki maksimum mutlak (global) di
untuk semua
di , di mana
adalah daerah asal (domain) dari
Universitas Sumatera Utara
7
dan
disebut nilai maksimum
(minimum global) dari
jika
dari
dan
. Sebaliknya, minimum mutlak
adalah nilai yang paling rendah dari seluruh nilai-nilai
fungsi tersebut. Dengan kata lain,
di
pada
untuk semua
dikatakan memiliki minimum mutlak (global)
di , di mana
disebut nilai minimum
adalah daerah asal (domain)
pada . Jika
memiliki maksimum atau
atau minimum dan memiliki kemiringan 0 di , maka
tidak memiliki maksimum
minimum lokal di , maka
adalah titik kritis . Jika
adalah titik belok (saddle
point) (Stewart, 1999). Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik
maksimum kurvanya berbentuk cembung ke atas dan fungsi yang mempunyai titik
minimum kurvanya berbentuk cembung ke bawah, diperlihatkan oleh Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Grafik Maksimum dan Minimum
Andaikan adalah titik kritis dari fungsi kontinu .
Uji Turunan Pertama
1. Jika
berubah dari positif ke negatif pada , maka
memiliki maksimum
lokal pada .
2. Jika
berubah dari negatif ke positif pada , maka
memiliki minimum
lokal pada .
Universitas Sumatera Utara
8
3. Jika
tidak berubah tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya pada ,
maka
tidak memiliki maksimum ataupun minimum lokal pada .
Uji Turunan Kedua
0 dan
Andaikan
0, maka
kontinu dekat .
0, maka
0 dan
1. Jika
2. Jika
memiliki minimum lokal pada .
memiliki maksimum lokal pada .
Pada kasus suatu fungsi dengan satu variabel bebas nilai ekstrim dapat
dilukiskan dalam suatu grafik dengan dua dimensi. Titik maksimum dilukiskan
,
sebagai puncak suatu bukit dan titik minimum sebagai dasar suatu lembah.
Dengan dua variabel bebas, fungsi
merupakan bidang yang berada
dalam ruang berdimensi tiga. Meskipun titik maksimum dilukiskan sebagai
puncak bukit dan titik minimum dilukiskan sebagai dasar lembah, akan tetapi baik
bukit maupun lembah mempunyai sifat tiga dimensi.
,
Definisi 2.1:
Titik
,
dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi
0 dan
,
!
0.
jika
Definisi 2.1, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrim fungsi dua
variabel adalah fungsi
mempunyai turunan parsial pertama dan adanya titik
yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol.
Andaikan
,
adalah fungsi dua variabel dari
0 dan
dan
sedemikian sehingga
0.
,
dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu. Andaikan pula bahwa
1.
2.
!!
!!
,
,
!
,
dikatakan sebagai nilai maksimum , jika:
,
dikatakan sebagai nilai minimum , jika:
,
,
!!
!!
0.
0.
,
,
"#
"#
!
!
,
,
$
$
0,
0,
dan
dan
,
0
atau
,
0
atau
Universitas Sumatera Utara
9
,
3.
!!
,
"#
bukan nilai ekstrim dan
,
,…,
!
,
$
,
0, uji gagal dan
,
disebut dengan titik pelana.
dikatakan
Pada fungsi multivariabel (lebih dari satu variabel bebas), yaitu
untuk uji syarat kedua dapat menggunakan suatu determinan
yang dikenal dengan nama determinan Hessian.
12
Contoh 2.1:
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi
"∞, ∞
" 45
%
) 40
(
*
) 5 pada
Penyelesaian :
0. Maka
60
"3
)2
0,
Syarat perlu untuk mencari nilai ekstrim yang pertama adalah turunan
pertama dari
adalah
sehingga diperoleh titik-titik kritis dari
0 untuk
Turunan kedua dari
maksimum di
1 dan
adalah
1 dan minimum di
nilai maksimum dari
dan
2
yaitu
60 4
0 untuk
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.2.
*
(
0,
"9
1
1 dan
2.
) 4 , sehingga
2. Maka
2. Sehingga
*
12 merupakan
memiliki
"11 merupakan minimum dari
.
Maksimum
Titik Belok
Gambar 2.2 Grafik
12
%
" 45
(
) 40
Minimum
*
)5
Universitas Sumatera Utara
10
2.3 Matriks Hessian
fungsi dengan / variabel yang
Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari turunan
pasial kedua dari suatu fungsi. Misalkan
memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinu. Matriks Hessian dari
ditulis H adalah:
H
45 6
3 4 75
2 45 6
24 5 7
2 ⋯
2 45 6
14 9 7
45 6
4 7 5
45 6
4 55
⋯
45 6
4 9 5
⋯
45 6
>
=
⋯
4 5 9=
⋱ ⋯ =
45 6 =
⋯
5 <
4 9
4 7 9
45 6
2.2
Jika terdapat suatu matriks berukuran / ? /, maka principal minor ke @ di mana
Definisi 2.2:
@
/ adalah suatu sub matriks dengan ukuran @ ? @ yang diperoleh dengan
menghapus / " @ baris dan kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut.
Andaikan A adalah suatu matriks berukuran 3 ? 3 sebagai berikut:
Contoh 2.2:
A
matriks 2 ? 2 sebagai berikut:
2
B1
3
6
5
4
3
2C
1
maka, principal minor ke-1 adalah [2], [5] dan [1]. Principal minor ke-2 adalah
D
2
1
6
E
5
D
2
3
3
E
1
D
5
4
2
E
1
Principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri. Determinan dari suatu
principal minor disebut dengan determinan principal.
Universitas Sumatera Utara
11
Leading principal minor ke @ dari suatu matriks / ? / diperoleh dengan
menghapus / " @ baris terakhir dan kolom yang bersesuaian. Dari matriks A di
atas, maka leading principal minor ke-1 adalah 2 (hapus dua baris dan dua kolom
terakhir). Leading principal minor ke-2 adalah:
D
2
1
6
E
5
Dengan demikian, leading principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri.
principal. Banyaknya determinan leading principal dari suatu matriks / ? /
Determinan dari suatu leading principal minor adalah determinan leading
adalah /.
Untuk menentukan apakah suatu matriks adalah definit positif, semidefinit
positif, definit negatif, semidefinit negatif, atau indefinit dapat dilakukan suatu
pengujian sederhana di mana hanya berlaku jika matriksnya simetris.
Uji Matriks Definit Positif
1. Semua elemen diagonal positif.
2. Semua determinan leading principal positif.
Uji Matriks Semidefinit Positif
1. Semua elemen diagonal non negatif.
2. Semua determinan leading principal non negatif.
Suatu matriks dapat dikatakan definit negatif (semidefinit negatif), yaitu
dengan melakukan uji negatif dari matriks untuk definit positif (semidefinit
positif). Jika matriks tersebut memiliki sekurang-kurangnya dua elemen diagonal
yang berlawanan tanda, maka matriks tersebut menjadi indefinit.
Contoh 2.3:
Untuk mendapatkan titik ekstrim dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh sebagai
berikut:
,
*
)
"4
)1
Universitas Sumatera Utara
12
Maka solusi untuk menyelesaikannya tentukan
titik ekstrim yang memenuhi
syarat sehingga turunan pertama untuk setiap variabel adalah
3
46
4 7
)
2
46
4 5
0 atau
"4
"4
2
2
0
Kemudian substitusi masing-masing nilai
untuk
untuk
0, dan
3
3
3
)
"4
"4
2, dan
3
0 diperoleh:
46
4 7
"4
0
0 atau
46
4 7
)
"4
4
IJ
0
"2
dan
2.3
0
2.4
ke persamaan 2.3.
0
4
0 diperoleh:
"4
4
3
0
2
I √3
3
2
√3 atau
3
0
2
" √3
3
Persamaan 2.3 dan 2.4 dipenuhi oleh titik-titik:
2
2
0,0 , 0,4 , L √3, 2M , L" √3, 2M
3
3
Untuk mengetahui titik maksimum dan
minimum maka digunakan matriks
Hessian untuk menyelidikinya sehingga turunan kedua dari
N
N
adalah:
6
Universitas Sumatera Utara
13
N
N
2 , dan
N
N
N
N
Jadi matriks Hessiannya menjadi
Q
R
2
sehingga diperoleh Q
Q
,
2
"4
2
"4
"4
S
T6 U, karena matriks Q merupakan matriks Q maka
R
2
6
"4
2
2
"4
S
Tabel 2.1 Nilai Matriks Hessian Untuk Masing-Masing Titik Ekstrim
0,0
0,4
Q
6
2
2
L √3, 2M
3
Matriks H
D
0
"4
0
D
4
4√3
V
0
"4√3
2
L" √3, 2M V
3
0
"4
E
0
4
E
0
0
4 W
√3
3
0
4 W
" √3
3
Q
Q
Sifat H
Sifat
,
,
0
-16
Tak tentu
Titik belok
1
0
-16
Tak tentu
Titik belok
1
4√3
16
"4√3
16
Definit
positif
Definit
negatif
Minimum
Maksimum
"
16
√3 ) 1
9
16
√3 ) 1
9
Universitas Sumatera Utara
14
Grafik
dalam ruang tiga dimensi diperlihatkan oleh Gambar 2.3.
2
L" √3, 2M
3
0,4
2
L √3, 2M
3
0,0
Gambar 2.3 Grafik
,
*
)
"4
)1
2.4 Optimasi
Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya
mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan
masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum
,
,…,
dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Salah satu bentuk
umum masalah optimasi adalah untuk menentukan bersyarat
0 dan untuk
0 dengan
sehingga mencapai tujuannya untuk memaksimumkan/meminimumkan
dengan kendala
dan
adalah
fungsi yang diketahui dengan n variabel keputusan. Dalam masalah optimasi
terdapat dua bentuk masalah optimasi yaitu optimasi bersyarat dan optimasi tak
bersyarat.
Universitas Sumatera Utara
15
2.4.1 Optimasi Tak Bersyarat
Masalah optimasi tak bersyarat merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki
batasan-batasan, hanya memiliki fungsi tujuan yang sederhana, yaitu:
Memaksimumkan/meminimumkan:
,
untuk semua
didiferensialkan.
,…,
2.5
dan
adalah sebuah fungsi yang dapat
Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian
merupakan penyelesaian optimal adalah
Y
0 di
46
∗
4 Z
∗
untuk
1,2, … , /
Teorema Fermat:
Jika
,maka Y
mempunyai minimum atau maksimum lokal di
pertama dari
memiliki nilai pada titik
∗
2.6
∗
0.
∗
∗
dan jika derivasi
Teorema 2.1:
Titik
∗
(i)
adalah titik maksimum lokal dari
Y
H
(ii)
∗
∗
jika dan hanya jika:
0
0 definit negatif atau "1 |Q|
dengan H adalah matriks Hessian
0 untuk
1,2, … , /
Teorema 2.2:
Titik
(i)
(ii)
∗
adalah titik minimum lokal dari
Y
H
∗
∗
0
jika dan hanya jika:
0 definit positif atau |Q|
H adalah matriks Hessian
0 untuk
1,2, … , / dengan
Matriks juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua pada proses optimasi
tak bersyarat terutama pada fungsi multivariabel (lebih dari satu variabel bebas),
yaitu menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan
Hessian (Hessian Determinant). Determinan Hessian diturunkan dari matriks
Universitas Sumatera Utara
16
,
,…,
maka matriks Hessiannya mempunyai dimensi n ? n.
bujur sangkar di mana elemen-elemennya merupakan turunan kedua parsial. Jika
Diagonal utama (principal diagonal) dari matriks Hessian terdiri dari turunan
kedua parsial langsung, sedangkan elemen-elemen di luar diagonal utama
merupakan turunan kedua silang.
Jadi penggunaan determinan Hessian untuk uji syarat kedua akan
1. Maksimum relatif jika H
menghasilkan:
2. Minimum relatif jika H
∗
∗
definit negatif.
definit positif.
3. Jika kedua kondisi tidak dipenuhi maka tidak diperoleh suatu kesimpulan,
apakah fungsi mempunyai maksimum atau minimum.
2.4.2 Optimasi Bersyarat
Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki
batasan-batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi
fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi
optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Masalah optimasi
bersyarat dengan kendala persamaan merupakan masalah optimasi yang dibatasi
dengan batasan-batasan berupa persamaan dengan bentuk umum sebagai berikut:
Memaksimumkan/meminimumkan :
dengan kendala
:
2.7
0
1,2, … ,
^ ,
/
,…,
_`
Determinan Hessian juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua dari optimasi
fungsi dengan kendala persamaan, dinamakan matriks Hessian terbatas (bordered
Hessian). Disebut dengan matriks Hessian terbatas karena turunan parsial kedua
dari fungsi Lagrange terhadap
dibatasi oleh turunan parsial pertama dari fungsi
Universitas Sumatera Utara
17
kendala. Matriks Hessian Terbatas adalah matriks yang entri-entrinya adalah
a
,
,b
,
)b
,
turunan parsial kedua dari fungsi Lagrange berikut:
Syarat 1)
Na
N
Na
N
Na
Nb
Qc
Syarat 2)
0
N
N
N
N
0
0
d
0
a
a
a
a d atau da
a
a
a
0
0
N
N
N a
N
N a
N
N
N
N a
N
N a
N
d
Qc disebut bordered Hessian yaitu determinan Hessian asli yang dibatasi
oleh turunan pertama dari fungsi kendala dengan nol sebagai principal diagonal.
Ordo dari bordered principal minor ditentukan oleh principal minor yang dibatasi.
Determinan Hessian asli adalah e
Qc
a
a
a
e.
a
Qc disebut second bordered principal minor karena principal minor yang
dibatasi mempunyai dimensi 2 ? 2.
Untuk fungsi dengan n variabel determinan Hessiannya sebagai berikut:
…
0
a
… a
a
f
f
…
Qc
a f
a
a
f
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
… a
a
a
di mana Qc
Qc karena principal minor yang dibatasi berorder n ? n, sehingga:
1. Maksimum relatif jika Qc definit negatif, di mana Qc
"1 |Qc |
2.8
0 untuk
terbatas (bordered Hessian).
0 atau
2,3, … , / dengan Qc adalah matriks Hessian
Universitas Sumatera Utara
18
2. Minimum relatif jika Qc definit positif, di mana Qc
0 atau |Qc |
0 untuk
2,3, … , / dengan Qc adalah matriks Hessian terbatas (bordered Hessian).
Uji syarat kedua dengan bordered Hessian dimulai dari Qc bukan Qc .
2.5 Metode Pengali Lagrange
Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ekstrim terbatas
adalah dengan cara substitusi. Dengan metode substitusi, salah satu variabel bebas
dari persamaan terkendala disubstitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari
nilai ekstrimnya. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan
melalui ekstrim bebas fungsi. Namun demikian, metode substitusi tidak selalu
membawa hasil, jika batasan-batasannya tidak hanya melibatkan satu persamaan
kendala.
Disamping itu, masalah-masalah ekstrim terbatas sering timbul dalam
masalah-masalah nyata, di mana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi.
Masalah yang sering timbul dengan metode substitusi adalah tidak mudah untuk
menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim
terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange
dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai
ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange
menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis,
sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di
atasi.
Metode pengali Lagrange adalah sebuah teknik yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat dengan kendala persamaan
dalam suatu bentuk sedemikian sehingga syarat perlu untuk masalah optimasi tak
bersyarat
masih
dapat
diterapkan.
Sesuai
namanya,
konsep
Lagrange
dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Inti dari metode pengali
Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik
ekstrim bebas kendala. Teori pengali Lagrange digunakan untuk menangani
Universitas Sumatera Utara
19
optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Metode pengali Lagrange
dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:
,λ
) ∑ij λ
,
,…,
dengan kendala
,
,…,
a
2.9
,
,…,
Asumsikan masalah maksimisasi suatu fungsi kontinu dan dapat
diturunkan
, di mana
juga kontinu dan dapat diturunkan. Kondisi tersebut menyarankan bahwa
Q
dapat dipilih variabel
sehingga
untuk mendapatkan:
T ,
pada kendala dan menyatakan variabel yang lain,
,…,
k
k
. Kemudian disubstitusikan ke fungsi tujuan
,Q
,
,…,
k
U
2.10
Dalam bentuk persamaan 2.10, metode klasik dapat diterapkan karena fungsinya
tanpa kendala. Suatu syarat perlu untuk titik ekstrim adalah dengan
menghilangkan semua turunan pertama yaitu
4l
4 Z
0, di mana
1,2, … , / " 1.
Dengan menggunakan dalil rantai diperoleh:
46
4l
4 Z
,
dari
4o
4 Z
4 Z
,…,
)
4o
)
46
∙
4n
4 9 4 Z
0, di mana
1,2, … , / " 1
2.11
, diperoleh:
∙
4n
4 9 4 Z
0, di mana
1,2, … , / " 1
sehingga persamaannya menjadi:
4n
4 Z
"
pq
prZ
pq
pr9
,
4o
4 9
s 0 untuk
N
N
N
N
)
t"
u
N
N
N
N
1,2, … , / " 1
2.12
substitusi persamaan 2.12 ke persamaan 2.11, sehingga:
N
N
0
Universitas Sumatera Utara
20
46
4l
4 Z
4 Z
∗
,
46
4 Z
"
46
4 9
v
pq
prZ
pq
pr9
w
0,
1,2, … , / " 1
Jika vektor solusi yang diperoleh adalah vektor maksimum, maka
∗
,…,
)b
4o
adalah nilai maksimum. Dengan mengganti "
∗
0, di mana
4 Z
1,2, … , / dengan syarat
,
Teorema 2.3:
Syarat perlu bagi sebuah fungsi
1,2, … ,
dengan kendala
,…,
px
pr9
pq
pr9
.
0, dengan
agar mempunyai maksimum/minimum relatif pada titik
a
,
,…,
b, maka
∗
adalah
, b , b , … , bi terhadap setiap argumennya mempunyai nilai
turunan parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
nol (Luknanto, 2000).
Dengan kata lain, syarat perlu untuk maksimum dan minimum dari
0 dapat dicapai dengan
kendala
Na
N
0 dan
Na
Nb
0
Jika y ∗ , b∗ z adalah titik kritis dari a
dari
dengan kendala
adalah
∗
, b maka
. Jadi nilai ekstrim
∗
dengan
juga merupakan titik kritis
dengan kendala
.
Teorema 2.4:
Syarat
cukup
bagi
sebuah
sebuah
minimum/maksimum relatif pada titik
didefinisikan sebagai:
{
∑j ∑
45 |
j 4 4 ~
}
Z
Dievaluasi pada
∗
∗
fungsi
agar
mempunyai
adalah jika fungsi kuadrat Q yang
~
2.13
harus definit positif atau negatif untuk setiap nilai ~
yang memenuhi semua kendala (Luknanto, 2000).
Universitas Sumatera Utara
21
Syarat cukup sebuah fungsi
agar mempunyai minimum/maksimum dapat
ditentukan dengan matriks Hessian terbatas. Matriks Hessian Terbatas (Bordered
Hessian) didefinisikan sebagai berikut:
Qc
R
O
P•
P
S
Q iƒ
? iƒ
2.14
di mana O adalah matriks null berukuran
„
P
⋯
⋱
⋯
V ⋮
„i
„
W
⋮
„i
i?
?
,
2.15
,
P• adalah transpose dari matriks P,
dan
Q
…
45 |
3 4 75
2
2 ⋮5
2 4|
14 9 4
7
Syarat perlu agar {
45 |
4 7 4 9>
⋱
⋮
…
45 |
5
4 9
∑j ∑
=
=
=
<
2.16
45 |
j 4 4 ~
}
Z
~
menjadi definit positif atau negatif
untuk setiap variasi nilai ~ adalah setiap akar dari polinomial
, yang diperoleh
…
i
…
i
⋮
⋱
⋮ f
…
i
i
f
0
…
0
0
…
0
f
⋮ ⋱ ⋮
0 … 0
dari determinan persamaan di bawah ini harus positif atau negatif.
f
a
a
"
⋮
a
a
"
⋮
a
a
⋮
*
*
a
a *
a
*
*
f
⋮ ⋮
⋮
i
i*
i
f
dengan a
keterangan:
45 | … ∗ ,†
4 }4 Z
a = turunan untuk
= turunan untuk
dan
…
…
⋱
…
…
…
⋱
…
a
a
⋮
⋮
i
a "
0
0
⋮ ⋮
i
0
4o} … ∗
4 Z
(Luknanto, 2000).
0 2.17
pada persamaan ke
pada persamaan kendala larange ke
Universitas Sumatera Utara
22
Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik, dimisalkan
terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut:
Maksimumkan / minimumkan
2.18
dengan kendala
Fungsi Lagrangenya adalah
a
,λ
) λy "
z
2.19
Syarat perlu untuk penyelesaiannya adalah
4|
4 }
4|
4λ
0 untuk ‡
0
1,2, … , / dan
2.20
2.21
sehingga persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 menghasilkan:
46
4 }
"λ
"
4o
4 }
0 untuk ‡
0 atau
N
~
N
1,2, … , /
N
~
N
dari persamaan 2.22 diperoleh:
atau
ˆ
atau
atau
j
"λ
N
~
N
2.22
2.23
0 untuk ‡
" λˆ
j
N
~
N
0 untuk ‡
ˆ
N
~
N
λˆ
N
~
N
ˆ
N
~
N
λˆ
N
~
N
j
j
~
j
j
1,2, … , /
~
1,2, … , /
2.24
Universitas Sumatera Utara
23
Persamaan 2.23 dan 2.24 menghasilkan hasil yang final yaitu:
atau
~
~
λ ~
λ∗ ~
2.25
Dari persamaan 2.22 pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan
berbanding lurus dengan perubahan kendala
dengan faktor sebesar pengali
Lagrange yaitu λ.
2.6 Utilitas Marjinal
Fungsi utilitas adalah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan,
kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa.
Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar
utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada
jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan
negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.
Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi.
Persamaan utilitas total (U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi
kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas
marjinal (MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang
yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marjinal merupakan derivatif
‰
{ di mana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang
pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan
dikonsumsi, maka utilitas marjinal
Š‰
‰
‹Œ
‹•
.
2.26
Universitas Sumatera Utara
24
Grafiknya kurva fungsi utilitas diperlihatkan oleh Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Grafik Fungsi Utilitas
Karena fungsi utilitas total yang nonlinier pada umumnya berbentuk fungsi
kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas
marjinal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada
pada posisi puncaknya.
Utilitas total ‰
Contoh 2.3:
Š‰
‰
{
90 " 10{
‰ maksimum pada Š‰
sehingga 90 " 10{
maka ‰i••‘ i’i
90{ " 5{ , utilitas marjinalnya adalah
0
0→{
9
90 9 " 5 9
810 " 405
405
Universitas Sumatera Utara
25
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Grafik ‰
90{ " 5{ dan Š‰
90 " 10{
2.7 Produk Marjinal
Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit
tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk
total dinyatakan ”
di mana ” melambangkan jumlah produk total dan
marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk
adalah jumlah masukan, maka produk marjinal:
Š”
”
‹•
‹
2.27
Karena fungsi produk total yang nonlinier pada umumnya berbentuk
fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat
(parabolik). Kurva produk marjinal (MP) selalu mancapai nilai ekstrimnya. Dalam
hal ini, nilai maksimum tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisi
titik beloknya. Produk total mancapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol.
Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marjinal
Universitas Sumatera Utara
26
menjadi negatif. Area di mana produk marjinal negatif menunjukan bahwa
penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi
jumlah produk total (Dumairy, 1996).
Produksi total ”
Contoh 2.4:
Š”
”
18 " 3
9
sehingga ”i••‘ i’i pada ”
"
*
, produk marjinalnya adalah
0 pada
6 dengan ”i••‘ i’i
” berada dititik belok dan Š” maksimum pada ”"
Š” ′
108
0 yaitu pada
3
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Grafik ”
9
"
*
dan Š”
18 " 3
Universitas Sumatera Utara