DUA MASALAH DENGAN SATU TEMA
DUA MASALAH DENGAN SATU TEMA
Masalah kita yang pertama adalah masalah kemiringan garis singgung yang
muncul sejak masa ilmuwan besar yunani Archimedes. Masalah yang kedua adalah
yang mulai berkembang pada percobaan-percobaan Kepler (1571-1630),
Galileo(1564-1642), Newton (1642-1727), untuk mendeskripsikan kecepatan sebuah
benda yang bergerak, yaitu masalah kecepatan sesaat (instantaneous velocity).
Garis Singgung, gagasan Eucslides, tentang garis singgung sebagai garis
yang menyentuh suatu kurva hanya pada satu titik, benar untuk lingkaran (gambar
1) tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan kurva lain (gambar 2) .
Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva di P sebagai garis yang paling baik
mengaproksimasi kurva dekat P adalah lebih baik, tetapi masih tetap agak samar
untuk kecermatan matematis. Konsep limit menyediakan suatu cara untuk
memperoleh deskripsi terbaik.
Garis singgung di P
DERFINISI GARIS SINGGUNG
Garis singgung pada kurva y =f(x) di titk P(c, f(c))adalah garis yang melalui P
dengan kemiringan
❑
m tan ❑ = lim
h→0
❑
m sec ❑ = lim
h→0
f ( c +h )−f (c)
h
Contoh: Carilah kemiringan garis singgung pada kurva f(x)= x 2
di titik (2,4)
KECEPATAN RATA-RATA DAN KECEPATAN
SESAAT
Jika kta mengendarai mobil dari sebuah kota ke kota lain yang berjarak 80 km selama 2
jam, maka kecepatan rata-rata kita adalah 40 km tiap jam. Kecepatan rata-rata adalah jarak dari
posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh.
Tetapi selama perjalanan penunjnuk laju “speedometer” sering tidak menunjukan angka
40. Pada saat berangkat, menunjuk 0, kadang kala naiuk sampai setinggi 57; akhirnya turun ke 0
lagi. Jadi apa yang di ukur oleh speedometer? Jelas tidak menunjukan kecepatan rata-rata.
Sebuah contoh yang lebih persis yaitu sebuah benda P yang jatuh dalam ruang hampa
udara. Percobaan menunjukan bahwa apabila mulai dari keadaan diam, maka p jatuh sejauh 16
2
t feet dalam t detik. Jadi benda jatuh selama 16 feet dalam detik pertama dan 64 feet selama
2 detik pertama gambar 8 jelaslah p jatuh semakin cepat dengan berlalunya waktu. Gambar 9
memperlihatkan jarak tempuh (pada sumbu tegak) sebagai funsi waktu (pada sumbu mendatar)
Selama detikl kedua yakni dalam interval waktu mulai t = 1 sampai t 2, P jatuh sejauh 6416 = 48 feet. Kecepatan rata-ratanya adalah
rata−rata=¿
64−16
2−1 = 48 feet per detik
v¿
Apa yang telah kita lakukan adalah menghitung kecepatan rata-rata interval waktu yang
semaki8n singkat, masing-masing mulai pada t = 1. Semakin pendek interval waktu, semakin
baik kita mengakprosimasi kecepatan sesaat pada saat t=-1.
DEFINISI KECEPATAN SESAAT
Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi f(t) maka
kecepatan sesaat pada saat c adalah
rata−rata=¿ lim ¿
V=
h →0
lim ❑ v ¿
h→0
f ( c +h )−f (c)
h
Asalkan bahwa limit in ada dan bukan
∞ atau−∞
Masalah kita yang pertama adalah masalah kemiringan garis singgung yang
muncul sejak masa ilmuwan besar yunani Archimedes. Masalah yang kedua adalah
yang mulai berkembang pada percobaan-percobaan Kepler (1571-1630),
Galileo(1564-1642), Newton (1642-1727), untuk mendeskripsikan kecepatan sebuah
benda yang bergerak, yaitu masalah kecepatan sesaat (instantaneous velocity).
Garis Singgung, gagasan Eucslides, tentang garis singgung sebagai garis
yang menyentuh suatu kurva hanya pada satu titik, benar untuk lingkaran (gambar
1) tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan kurva lain (gambar 2) .
Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva di P sebagai garis yang paling baik
mengaproksimasi kurva dekat P adalah lebih baik, tetapi masih tetap agak samar
untuk kecermatan matematis. Konsep limit menyediakan suatu cara untuk
memperoleh deskripsi terbaik.
Garis singgung di P
DERFINISI GARIS SINGGUNG
Garis singgung pada kurva y =f(x) di titk P(c, f(c))adalah garis yang melalui P
dengan kemiringan
❑
m tan ❑ = lim
h→0
❑
m sec ❑ = lim
h→0
f ( c +h )−f (c)
h
Contoh: Carilah kemiringan garis singgung pada kurva f(x)= x 2
di titik (2,4)
KECEPATAN RATA-RATA DAN KECEPATAN
SESAAT
Jika kta mengendarai mobil dari sebuah kota ke kota lain yang berjarak 80 km selama 2
jam, maka kecepatan rata-rata kita adalah 40 km tiap jam. Kecepatan rata-rata adalah jarak dari
posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh.
Tetapi selama perjalanan penunjnuk laju “speedometer” sering tidak menunjukan angka
40. Pada saat berangkat, menunjuk 0, kadang kala naiuk sampai setinggi 57; akhirnya turun ke 0
lagi. Jadi apa yang di ukur oleh speedometer? Jelas tidak menunjukan kecepatan rata-rata.
Sebuah contoh yang lebih persis yaitu sebuah benda P yang jatuh dalam ruang hampa
udara. Percobaan menunjukan bahwa apabila mulai dari keadaan diam, maka p jatuh sejauh 16
2
t feet dalam t detik. Jadi benda jatuh selama 16 feet dalam detik pertama dan 64 feet selama
2 detik pertama gambar 8 jelaslah p jatuh semakin cepat dengan berlalunya waktu. Gambar 9
memperlihatkan jarak tempuh (pada sumbu tegak) sebagai funsi waktu (pada sumbu mendatar)
Selama detikl kedua yakni dalam interval waktu mulai t = 1 sampai t 2, P jatuh sejauh 6416 = 48 feet. Kecepatan rata-ratanya adalah
rata−rata=¿
64−16
2−1 = 48 feet per detik
v¿
Apa yang telah kita lakukan adalah menghitung kecepatan rata-rata interval waktu yang
semaki8n singkat, masing-masing mulai pada t = 1. Semakin pendek interval waktu, semakin
baik kita mengakprosimasi kecepatan sesaat pada saat t=-1.
DEFINISI KECEPATAN SESAAT
Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi f(t) maka
kecepatan sesaat pada saat c adalah
rata−rata=¿ lim ¿
V=
h →0
lim ❑ v ¿
h→0
f ( c +h )−f (c)
h
Asalkan bahwa limit in ada dan bukan
∞ atau−∞