Skripsi Pembelajaran Contextual Teaching dan Think Pair Share suku aljabar\BAB II

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. HASIL BALAJAR SISWA

1. Pengertian Hasil Belajar Siswa

Ada empat unsur utama proses belajar mengajar, yakni tujuan, bahan, metode dan alat serta penilaian. Tujuan sebagai arah dari proses belajar-mengajar pada hakikatnya adalah rumusan tingkah laku yang di harapkan dapat dikuasai oleh siswa setelah menerima atau menempuh pengalaman belajarnya. Bahan adalah seperangkat pengetahuan ilmiah yang dijabarkan dari kurikulum untuk disampaikan atau di bahas di dalam proses belajar mengajar agar sampai kepada tujuan yang telah di terapkan.

Metode dan alat adalah cara atau teknik yang digunakan dalam mencapai tujuan, sedangkan penilaian adalah upaya atau tindakan untuk mengetahui sejauh mana tujuan yang telah di tetapkan itu tercapai atau tidak. Dengan kata lain, penilaian berfungsi sebagai alat untuk mengetahui keberhasilan proses dan hasil belajar siswa. Proses adalah kegiatan yang dilakukan oleh siswa dalam mencapai tujuan pengajaran, sedangkan hasil belajar adalah kemampuan-kemampuan yang dimilki siswa setelah menerima pengalaman belajarnya (Sudjana, 2009:22).

Menurut Gagne (dalam Suprijono, 2009: 2) mengatakan bahwa “belajar adalah perubahan disposisi atau kemampuan yang dicapai seseorang melalui aktifitas. Perubahan disposisi tersebut bukan diperoleh langsung dari proses pertumbuhan seseorang secara alamiah”. Selanjutnya menurut

Djamarah (2002: 141) menyatakan bahwa hasil belajar adalah “perubahan yang terjadi sebagai akibat dari kegiatan belajar yang telah dilakukan oleh individu”. Sedangkan menurut Suprijono (2009: 4) hasil belajar adalah “pola-pola perbuatan, nilai-nilai, pengertian-pengertian, sikap-sikap, apresiasi dan keterampilan”.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan, hasil belajar siswa adalah perolehan nilai akhir siswa dalam segala hal setelah menerima pengalaman belajarnya disekolah yang dinyatakan sesudah hasil penilaian.

2. Langkah-langkah dalam Melaksanakan Proses Penilaian Hasil Belajar

Menurut Sudjana (2009:9) ada beberapa langkah-langkah yang dapat dijadikan pegangan dalam melaksanakan proses penilaian hasil belajar, yakni: a. Merumuskan atau mempertegas tujuan-tujuan pengajaran. Mengingat

fungsi penilaian hasil belajar adalah mengukur tercapai tidaknya tujuab pengajaran, maka perlu dilakukan upaya mempertegas tujuan pengajaran sehingga dapat memberikan arah terhadap penyusunan alat-alat penilaian. b. Mengkaji kembali materi pengajaran berdasarkan kurikulum dan silabus

mata pelajaran. Hal ini penting mengingat isi tes atau pertanyaan penilaian berkenaan dengan bahan pengajaran sesuai dengan tujuan-tujuan pengajaran merupakan isi dan sasaran penilaian hasil belajar.

c. Menyusun alat-alat penilaian baik tes maupun non tes, yang cocok digunakan dalam menilai jenis-jenis tingkah laku yang tergambar dalam tujuan pengajaran. Dalam penyusunan alat penilaian hendaknya diperhatikan kaidah-kaidah penulisan soal.

d. Menggunakan hasil-hasil penilaian sesuai dengan tujuan penilaian tersebut, yakni untuk kepentingan pendeskripsian kemampuan siswa, kepentingan perbaikan pengajaran, kepentingan bimbingan belajar, maupun kepentingan laporan pertanggungjawaban pendidikan.

3. Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Keberhasilan Belajar Keberhasilan dalam proses belajar mengajar dipengaruhi banyak faktor menurut Djamarah (2006:109), faktor tersebut antara lain:

a. Tujuan

Tujuan adalah pedoman sekaligus sebagai sasaran yang akan dicapai dalam kegiatan belajar mengajar. Kepastian dari perjalanan proses belajar mengajar berpangkal tolak dari jelas tidaknya perumusan tujuan pengajaran. Tercapainya tujuan sama halnya keberhasilan pengajaran.

Sedikit banyaknya perumusan tujuan akan mempengaruhi kegiatan pengajaran yang dilakukan oleh guru, dan secara langsung guru mempengaruhi kegiatan belajar anak didik. Guru dengan sengaja menciptakan lingkungan belajar guna mencapai tujuan. Jika kegiatan belajar anak didik dan kegiatan mengajar guru bertentangan, dengan sendirinya tujuan pengajaran pun gagal untuk dicapai.

b. Guru

Guru adalah tenaga pendidik yang memberikan sejumlah ilmu pengetahuan kepada anak didik di sekolah. Guru adalah orang yang berpengalaman dalam bidang profesinya. Dengan keilmuan yang dimilikinya, dia dapat menjadikan anak didik menjadi orang yang cerdas.

Setiap guru mempunyai kepribadian masing-masing sesuai dengan latar belakang kehidupan sebelum mereka menjadi guru. Kepribadian guru diakui sebagai aspek yang tidak bisa dikesampingkan dari kerangka keberhasilan belajar mengajar untuk mengantarkan anak didik menjadi orang yang berilmu pengetahuan dan kepribadian. Dari kepribadian itulah mempengaruhi pola kepemimpinan yang guru perlihatkan ketika melaksanakan tugas mengajar dikelas.

c. Anak Didik

Anak didik adalah orang yang dengan sengaja datang kesekolah. Orang tuanyalah yang memasukkannya untuk dididik agar menjadi orang berilmu pengetahuan di kemudian hari. Kepercayaan orang tua anak diterima oleh guru dengan kesadaran dan penuh keikhlasan.

Anak didik berasal dari latar belakang kehidupan sosial keluarga dan masyarakat yang berbeda. Intelektual mereka juga ditingkat kecerdasan yang bervariasi biologis mereka dengan struktur atau kesadaran tubuh yang tidak selalu sama. Karena itu, perbedaan anak pada aspek biologis, intelektual, dan psikologis ini mempengaruhi kegiatan belajar mengajar. d. Kegiatan Pengajaran

Dalam kegiatan belajar mengajar, pendekatan yang guru ambil akan menghasilkan kegiatan anak didik yang bermacam-macam. Guru yang menggunakan pendekatan individual, misalnya berusaha memahami anak didik sebagai makhluk individual dengan segalapersamaan dan perbedaannya. Guru yang menggunakan pendekatan kelompok berusaha memahami anak didik sebagai makhluk sosial. Dari kedua pendekatan

tersebut lahirlah kegiatan belajar mengajar yang tidak sama pula. Perpaduan dari kedua pendekatan itu malah akan menghasilkan hasil belajar mengajar yang lebih baik.

e. Bahan dan Alat Evaluasi

Bahan evaluasi adalah suatu bahan yang terdapat di dalah kurikulum yang sudah dipelajari oleh anak didik guna kepentingan ulangan. Biasanya bahan pelajaran itu sudah dikemas dalam bentuk buku paketuntuk dikonsumsi oleh anak didik. Setiap anak didik dan guru wajib mempunyai buku paket tersebut guna kepentingan kegiatan belajar mengajar di kelas.

Bila tiba masa ulangan, semua bahan yang telah diprogramkan dan harus selesai dalam jangkawaktu tertentu dijadikansebagai bahan untuk pembuatan item-item soal evaluasi. Gurulah yang membuatnya dengan perencanaan yang sistematis dan dengan penggunaan alat evaluasi.

Validitas dan reliabilitas data dari hasil evaluasi itulah yang mempengaruhi keberhasilan belajar mengajar. Bila alat tes itu tidak valid dan tidak reliabel, maka tidak dapat dipercaya untuk mengetahui tingkat keberhasilan belajar mengajar.

f. Suasana Evaluasi

Pelaksaan evaluasi biasanya dilaksanakan di dalam kelas. Semua anak didik dibagi menurut kelas masing-masing. Kelas I, kelas II, dan kelas III dikumpulkan menurut tingkatan masing-masing. Besar kecilnya jumlah anak didik yang dikumpulkan di dalam kelas akan mempengaruhi suasana kelas. Sekaligus mempengaruhi suasana evaluasi yang dilaksanakan.

Karena setiap mental anak didik belum semuanya siap untuk berlaku jujur, maka dihadirkanlah satu atau dua orang pengawas atau guru yang ditugaskan untuk mengawasinya. Selama pelaksanaan evaluasi, selama itu juga seorang pengawas mengamati semua sikap, gerak-gerik yang dilakukan oleh anak didik. Pengawasan yang dilakukan itu tidak hanya duduk berlama-lamadi kursi, tapi dapat berjalan dari muka ke belakang sewaktu-waktu, sesuai dengan keadaannya.

B. MODEL PEMBELAJARAN CONTEXTUAL TEACHING AND

LEARNING (CTL)

1. Pengertian Model Pembelajaran CTL

Menurut Trianto (2009:107), model pembelajaran CTL (contextual teaching and learning) adalah konsep belajar yang membantu guru mengaitkan antara materi yang diajarkannya dengan situasi dunia nyata siswa dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sehari – hari dengan melibatkan tujuh komponen pembelajaran kontekstual, yakni: konstruktivisme (constructivism), bertanya (questioning),inkuiri ( inquiry), masyarakat belajar (learning community), pemodelan (modelling), dan penilaian autentik (autenthic assessment).

Sedangkan menurut Rusman (2012:190), model pembelajaran CTL merupakan suatu model pembelajaran yang memberikan fasilitas kegiatan belajar siswa untuk mencari, mengolah, dan menemukan pengalaman belajar yang lebih bersifat konkret (terkait dengan kehidupan nyata) melalui

keterlibatan aktivitas siswa dalam mencoba, melakukan, dan mengalami sendiri.

Berdasarkan kedua pendapat diatas dapat disimpulkan bahwa model pembelajaran CTL adalah suatu konsep belajar yang membantu guru untuk mengaitkan antara materi yang diajarkannya dengan situasi dunia nyata siswa sehingga memberikan fasilitas belajar siswa untuk mencari, mengolah, dan menemukan pengalaman belajar yang lebih bersifat konkret melalui keterlibatan aktivitas siswa dengan melibatkan tujuh komponen pembelajaran kontekstual (kontruktivisme, bertanya, inkuiri, masyarakat belajar, pemodelan, dan penilaian autentik).

Dengan demikian tugas guru dalam hal ini adalah membantu siswa mencapai tujuannya dengan cara mengelola kelas sebagai sebuah tim yang bekerja sama untuk menemukan sesuatu yang baru bagi anggota kelas (siswa) (Riyanto, 2010:160)

2. Prinsip Model Pembelajaran CTL

Menurut Suprijono (2011:80), prinsip – prinsip dalam model pembelajaran CTL antara lain :

a. Prinsip Saling Ketergantungan

Prinsip saling ketergantungan merumuskan bahwa kehidupan ini merupakan suatu sistem, lingkungan belajar merupakan sistem yang mengintegrasikan berbagai komponen pembelajaran dan komponen tersebut saling mempengaruhi secara fungsional. Berdasarkan prinsip itu siswa harus bekerjasama menemukan persoalan, merancang rencana dan mencari pemecahan masalah.Sebab dengan bekerjasama akan membantu

siswa mencapai keberhasilan, mengingat setiap siswa mempunyai kemampuan berbeda dan unik.

b. Prinsip Diferensiasi

Prinsip diferensiasi merujuk pada entitas-entitas yang beraneka ragam dari realitas kehidupan disekitar siswa. Keanekaragaman tersebut mendorong berpikir kritis siswa untuk menemukan hubungan antara entitas-entitas yang beragam itu.

c. Prinsip Pengaturan Diri

Prinsip pengaturan diri mendorong pentingnya siswa mengeluarkan seluruh potensi yang dimilikinya. Ketika siswa menghubungkan materi akademik dengan konteks keadaan pribadi mereka, siswa terlibat dalam kegiatan yang mengandung prinsip pengaturan diri,siswa menerima tanggung jawab atas keputusan dan perilaku mereka sendiri, memilih alternatif, membuat ,mengembangkan, informasi, dan secara kritis menilai bukti.

3. Komponen – Komponen Model Pembelajaran CTL

Menurut Riyanto (2010:169), model pembelajaran CTL terdiri dari tujuh komponen yaitu :

a. Konstruktivisme (constructivism)

Konstruktivisme adalah proses membangun atau menyusun pengetahuan baru dalam struktur kognitif siswa berdasarkan pengalaman (sanjaya, 2011:264). Oleh karena itu, siswa perlu dibiasakan untuk memecahkan permasalahan, menemukan sesuatu yang berguna bagi dirinya dan bergelut dengan ide-ide. Sehingga dalam dalam proses pembelajaran,

siswa dapat membangun sendiri pengetahuan mereka melalui keterlibatan aktif dalam proses belajar dan mengajar.

b. Menemukan (inquiry)

Dalam pembelajaran kontekstual pengetahuan dan yang diperoleh siswa bukan hasil mengingat seperangkat fakta-fakta, tetapi hasil dari menemukan sendiri.

Langkah – langkah kegiatan menemukan yaitu merumuskan masalah, mengamati atau melakukan observasi, menganalisis dan menyajikan hasil dalam tulisan, gambar laporan, bagan, tabel, atau karya lainnya dan mengomunikasikan atau menyajikan hasil karya pada pembaca, teman sekelas guru, atau audiensi yang lain.

c. Bertanya (Questioning)

Pengetahuan yang dimiliki seseorang, selalu bermula dari bertanya. Oleh karena itu, dalam proses pembelajaran bertanya dipandang sebagai kegiatan guru untuk mendorong, membimbing, dan menilai kemampuan berpikir siswa. Bagi siswa bertanya merupakan bagian penting dalam melaksanakan pembelajaran.

d. Masyarakat Belajar (Learning Community)

Konsep learning community menyarankan agar hasil pembelajaran diperoleh dari kerjasama dengan orang lain. Hasil belajar diperoleh dari sharing antar teman, antarkelompok, dan antara yang tahu ke yang belum tahu.

Masyarakat belajar bisa terjadi apabila ada proses komunikasi dua arah antara dua kelompok atau lebih. Kelompok yang terlibat dalam

masyarakat belajar memberi informasi yang diperlukan oleh teman bicaranya dan sekaligus meminta informasi yang diperlukan dari teman belajarnya.

e. Pemodelan (Modelling)

Dalam sebuah pembelajaran keterampilan dan pengetahuan tertentu, ada model yang bisa ditiru. Model itu bisa berupa cara mengoperasikan sesuatu, cara melempar bola dalam olahraga, contoh karya tulis, cara melafalkan, atau guru memberikan contoh cara mengejakan sesuatu.

f. Refleksi (Reflection)

Refleksi adalah cara berpikir tentang apa yang baru dipelajari atau berpikir ke belakang tentang apa-apa yang sudah dilakukan di masa yang lalu.

g. Penilaian Sebenarya (Authentic Assessment)

Assessment adalah proses penyampaian berbagai data yang memberikan gambaran perkembangan belajar siswa. Gambaran tentang perkembangan belajar diperlukan sepanjang proses pembelajaran, sehingga assessment tidak dilakukan di akhir periode pembelajaran seperti pada kegiatan evaluasi hasil belajar tetapi dilakukan bersama secara terintegrasi dari kegiatan pembelajaran serta data yang dikumpulkan harus diperoleh dari kegiatan nyata yang dilakukan siswa pada saat proses pembelajaran. 4. Langkah-Langkah Model Pembelajaran CTL

Menurut Putra (2013:257) langkah – langkah model pembelajaran CTL yakni:

a. Kembangkan pemikiran bahwa siswa akan belajar lebih bermakna dengan cara bekerja sendiri serta mengkonstruksi sendiri pengetahuan dan keterampilan barunya.

b. Laksanakan sejauh mungkin kegitan inkuiri untuk semua topik. c. Kembangkan sifat ingin tahu siswa dengan bertanya.

d. Ciptakan masyarakat belajar. Hadirkan model sebagai contoh pembelajaran.

e. Lakukan refleksi di akhir pertemuan.

f. Lakukan penilaian yang sebenarnya (anthentic assessment) dengan berbagai cara.

5. Kelebihan dan Kelemahan Model Pembelajaran CTL

Setiap model pembelajaran mempunyai kelebihan dan kelemahan. Demikian pula dengan model pembelajaran CTL.

a. Kelebihan Model Pembelajaran CTL

Menurut Putra (2013:259) kelebihan model pembelajaran CTL yaitu: 1) Pembelajaran menjadi lebih bermakna dan riil. Artinya siswa dituntut

dapat menangkap hubungan antara pengalaman belajar disekolah dengan kehidupan nyata. Hal ini sangat penting karena dengan mengorelasikan materi yang ditemukan dengan kehidupan nyata, bukan saja bagi siswa materi itu akan berfungsi secara fungsional, akan tetapi materi yang dipelajarinya akan tertanam erat dalam memorinya, sehingga tidak mudah dilupakan.

2) Pembelajaran lebih produktif dan mampu menumbuhkan penguatan konsep pada siswa, karena pembelajaran kontekstual menganut aliran

konstruktivisme, yakni siswa dituntut menemukan pengetahuannya sendiri. Melalui landasan filosofis Konstruktivisme siswa diharapkan belajar melalui “mengalami” bukan “menghafal”.

3) CTL adalah model pembelajaran yang menekankan pada aktivitas siswa secara penuh, baik fisik maupun mental.

4) Kelas dalam pembelajaran kontekstual bukan sebagai tempat untuk memperoleh informasi, tetapi sebagai tempat untu menguji data hasil temuan di lapangan.

5) Materi pelajaran dapat ditemukan sendiri oleh siswa, bukan hasil pemberian guru.

b. Kelemahan Model Pembelajaran CTL

Menurut Putra (2013:259) kelemahan model pembelajaran CTL yaitu: 1) Diperlukan waktu yang cukup lama saat proses pembelajaran CTL

berlangsung.

2) Jika guru tidak dapat mengendalikan kelas, maka menciptakan suasana kelas yang kurang kondusif.

3) Guru lebih intensif dalam membimbing. Sebab, dalam model CTL, guru tidak lagi berperan sebagai pusat informasi. Tugas guru adalah mengelola kelas sebagai sebuah tim yang bekerjasama untuk menemukan pengetahuan dan keterampilan yang baru. Siswa dipandang sebagai individu yang sedang berkembang.

4) Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan atau menerapkan ide-ide serta mengajak siswa agar menggunakan strateginya sendiri dalam belajar. Namun, dalam konteks ini tentunya guru

memerlukan perhatian dan bimbingan yang ekstra terhadap siswa agar tujuan pembelajaran sesuai dengan yang diterapkan semula.

c. Upaya Mengatasi Kelemahan Model Pembelajaran CTL

Menurut penulis, upaya untuk mengatasi kelemahan model pembelajaran CTL yaitu:

1) Rencanakan proses pembelajaran CTL dengan baik, agar tujuan pembelajaran bisa tercapai dan waktu yang disediakan bisa dimaksimalkan.

2) Guru harus bersikap tegas untuk menciptakan suasana yang kondusif dalam melaksanakan proses pembelajaran CTL.

3) Dalam pembentukan tim/kelompok, bentuk kelompok hidrogen(pandai, kurang pandai, cepat dan lambat memberi tanggapan).

4) Upayakan siswa sudah mengerti materi yang sedang dipelajari dan paham akan langkah model CTL yang diterapkan.

C. MODEL THINK PAIR SHARE (TPS)

1. Pengertian Model TPS

Menurut Trianto (2009 : 81) model pembelajaran Think Pair Share (TPS) atau berfikir berpasangan berbagi merupakan jenis pembelajaran kooperatif yang dirancang untuk mempengaruhi pola interaksi siswa. Pertama kali dikembangkan oleh Frang Lyman dan koleganya di Universitas Maryland sesuai yang dikutip Arend (1997), menyatakan bahwa TPS merupakan suatu cara yang efektif untuk membuat variasi suasana pola diskusi kelas.

2. Langkah-Langkah Model TPS

Menurut Trianto (2009 : 81) langkah – langkah model TPS adalah: Langkah 1: Berfikir (Thinking)

Guru mengajukan suatu pertanyaan atau masalah yang dikaitkan dengan pelajaran, dan meminta siswa menggunakan waktu beberapa menit untuk berfikir sendiri jawaban atau masalah. Siswa membutuhkan penjelasan bahwa berbicara atau mengerjakan bukan bagian berfikir.

Langkah 2: Berpasangan (Pairing)

Selanjutnya guru meminta siswa untuk berpasangan dan mendiskusikan apa yang telah mereka peroleh. Interaksi waktu yang disediakan dapat menyatukan jawaban jika suatu pertanyaan yang diajukan atau menyatukan gagasan apabila masalah khusus yang diidentifikasi. Secara normal guru memberi waktu tidak lebih dari 4 atau 5 menit untuk berpasangan.

Langkah 3: Berbagi (Sharing)

Pada langkah akhir, guru meminta pasangan-pasangan untuk berbagi dengan keseluruhan kelas yang telah mereka bicarakan. Hal ini efektif untuk berkeliling ruangan dari pasangan kepasangan lain dan melanjutkan sampai sekitar sebagian pasangan mendapat kesempatan untuk melaporkan.

3. Kelebihan Model TPS

Menurut Lie (2002 : 45) kelebihan model pembelajaran Think Pair Share ( TPS ) adalah meningkatkan partisipasi, cocok untuk tugas sederhana, lebih banyak kesempatan untuk kontribusi masing-masing anggota kelompok, interaksi lebih mudah, dan lebih mudah dan cepat membentuk kelompok.

4. Kelemahan Model TPS

Menurut Lie (2002 : 45) kelemahan model pembelajaran Think Pair Share ( TPS ) adalah banyak kelompok yang melapor dan dimonitor, lebih sedikit ide yang muncul, jika ada perselisihan tidak ada penengah.

5. Upaya Mengatasi Kelemahan Model TPS

Menurut penulis upaya mengatasi kelemahan dari model TPS adalah upayakan siswa sudah mengerti materi yang sedang dipelajari dan mengerti tengtang langkah-langkah model TPS yang diterapkan. Guru harus berperan menjadi penengah jika terjadi perselisihan.

D. PERBEDAAN MODEL PEMBELAJARAN CTL DENGAN MODEL PEMBELAJARAN TPS.

Menurut penulis perbedaan model pembelajaran CTL dengan model pembelajaran TPS akan dijelaskan pada tabel berikut ini.

Tabel 2.1

Perbedaan Model Pembelajaran CTL Dengan Model Pembelajaran TPS

CTL TPS

1. Pengajaran atau dalam proses KBM siswa dikaitkan langsung dengan pemasalahan atau konteks kehidupan nyata.

2. Jumlah siswa yang ganjil tidak berdampak pada pembentukan kelompok.

3. Dalam setiap kelompok tidak dibatasi jumlah anggotanya atau lebih dari 2

1. Pengajaran atau dalam proses KBM tidak harus permasalahan kehidupan sehari-hari.

2. Jumlah siswa yang ganjil berdampak pada pembentukan kelompok atau pasangan.

3. Dalam setiap kelompok dibatasi hanya 2 orang (berpasangan)

orang.

4. Pembagian kelompok secara hidrogen (pandai, kurang pandai, cepat dan lambat memberi tanggapan).

5. Lebih lama membentuk kelompoknya.

6. Jika ada perselisihan dalam kelompok masih ada penengah karena jumlah anggotanya lebih dari 2 orang.

7. Lebih sedikit kelompok yang terbentuk.

8. Setelah diberikan permasalahan siswa langsung membentuk kelompok dan mendiskusikan jawaban dari permasalahan tersebut.

anggotanya.

4. Pembagian kelompok atau pasangan secara acak.

5. Lebih cepat membentuk kelompoknya.

6. Jika ada perselisihan dalam kelompok tidak ada penengah karena hanya terdiri dari 2 orang. 7. Lebih banyak kelompok yang

terbentuk.

8. Setelah diberikan permasalahan siswa masih diminta memikirkan jawaban dari permasalahan tersebut selanjutnya membentuk kelompok dan mendikusikan hasil pemikirannya dengan kelompok atau pasangannya.

E. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Penjumlahan dan Pengurangan

Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jika kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan dengan y maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y. Selanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7

kelereng merah dan 3 kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah 22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y). Amatilah bentuk aljabar 3x2 _{– 2x + 3y + x}2 _{+ 5x + 10. Suku-suku 3x}2 _{dan x}2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku –2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis.

Contoh 1

Selesaikan operasi penjumlahan 3x2 _{– 2x + 5 dengan x}2 _{+ 4x – 3.} Penyelesaian:

= (3x2 _{– 2x + 5) + (x}2 _{+ 4x – 3)}

= 3x2 _{+ x}2 _{– 2x + 4x + 5 – 3 (kelompokkan suku-suku sejenis)} = (3 + 1)x2 _{+ (–2 + 4)x + (5 – 3) (sifat distributif)}

= 4x2 _{+ 2x + 2} Contoh 2

Selesaikan operasi pengurangan 10y2 _{– 6 dari 4y}2 _{– 3y + 2.} Penyelesaian:

= (10y2 _{– 6) – (4y}2 _{– 3y + 2)} = 10y2 _{– 4y}2 _{– (–3y)– 6 – 2}

= (10 – 4)y2 _{+ 3y + (– 6 – 2)} = 6y2 _{+ 3y – 8}

2. Perkalian

a. Perkalian Suatu Bilangan Dengan Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat. Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar.

Contoh

Selesaikan operasi perkalian 2(3x – y)! Penyelesaian:

2(3x – y) = 2(3x)+ 2(–y) = 6x – 2y

b. Perkalian Antara Bentuk Aljabar Dan Bentuk Aljabar

Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut. (ax + b) (cx + d)

= ax(cx + d) + b(cx + d) = ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd = acx2 + (ad + bc)x + bd

Contoh

Penyelesaian: (x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) = x2 _{+ 3x + 2x + 6} = x2 _{+ 5x + 6} 3. Pembagian

Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan dan perkalian pada bentuk aljabar. Sekarang kalian akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.

Perhatikan uraian berikut.

2x2y z2=2× x2× y × z2

x3y2z=x3× y2× z

Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2_{, y, dan z}2 _{adalah faktor-faktor dari 2x}2_yz2_, sedangkan x3_{, y}2_{, dan z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x}3_y2_{z. Faktor} sekutu (faktor yang sama) dari 2x2_yz2 _{dan x}3_y2_{z adalah x}2_{, y, dan z, sehingga} diperoleh

2x2y z2 x3_y2_z =

x2yz(2z)

x2_yz

(xy)

¿2z xy

Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar kalian harus menentukan terlebih

dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

Contoh

Selesaikan operasi pembagian berikut. 6x3 _{: 3x}2

Penyelesaian:

6x3_∶3x2

=6x

3

3x2=

3x2×2x

3x2 =2x → faktor sekutu3x 2

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama.

Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku: an

=

_⏟

a ×a × a ×… × a sebanyak n kali

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan perbedaan antara 3x2_{, (3x)}2_{, –(3x)}2_{, dan (–3x)}2 _{sebagai berikut.}

3x2 _{= 3 x x} = 3x2

(3x)2 _{= (3x) (3x)} = 9x2

–(3x)2 _{= –((3x) (3x))} = –9x2

= 9x2

Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian berikut.

(a + b)1 _{= a + b}

koefisien a dan b adalah 1 1

(a + b)2 _{= (a + b) (a + b)} = a2 _{+ ab + ab + b}2 = a2 _{+ 2ab + b}2

koefisien a2_{, ab, dan b}2 _{adalah 1 2 1} (a + b)3 _{= (a + b) (a + b)}2

= (a + b) (a2 _{+ 2ab + b}2₎

= a3 _{+ 2a}2_{b + ab}2 _{+ a}2_{b + 2ab}2 _{+ b}3 = a3 _{+ 3a}2_{b + 3ab}2 _{+ b}3

koefisien a3_{, a}2_{b, ab}2 _{dan b}3 _{adalah 1 3 3 1} (a + b)4 _{= (a + b)}2 _{(a + b)}2

= (a2 _{+ 2ab + b}2_{) (a}2 _{+ 2ab + b}2₎

= a4 _{+ 2a}3_{b + a}2_b2 _{+ 2a}3_{b + 4a}2_b2 _{+ 2ab}3 _{+ a}2_b2 _{+ 2ab}3 _{+ b}4 = a4 _{+ 4a}3_{b + 6a}2_b2 _{+ 4ab}3 _{+ b}4

koefisien a4_{, a}3_{b, a}2_b2_{, ab}3_{, dan b}4 _{adalah 1 4 6 4 1}

Demikian seterusnya untuk (a + b)n _{dengan n bilangan asli. Berdasarkan} uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien (a + b)n _membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.

Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n _{dimulai dari a}n _kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 _{pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat} dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 _{pada suku ke-2 lalu bertambah satu} demi satu dan terakhir bn _{pada suku ke-(n + 1).}

Contoh

Selesaikan operasi perpangkatan (2x + 3)4 Penyelesaian:

(2x + 3)4 _{= 1(2x)}4 _{+ 4(2x)}3_{(3) + 6(2x)}2₍₃2_{) + 4(2x)}1₍₃3_{) + 1(3}4₎ = 1(16x4_{) + 4(8x}3_{)(3) + 6(4x}2_{)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)} = 16x4 _{+ 96x}3 _{+ 216x}2 _{+ 216x + 81}

kelereng merah dan 3 kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah 22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y). Amatilah bentuk aljabar 3x2 _{– 2x + 3y + x}2 _{+ 5x + 10. Suku-suku 3x}2 _{dan x}2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku –2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis.

Contoh 1

Selesaikan operasi penjumlahan 3x2 _{– 2x + 5 dengan x}2 _{+ 4x – 3.} Penyelesaian:

= (3x2 _{– 2x + 5) + (x}2 _{+ 4x – 3)}

= 3x2 _{+ x}2 _{– 2x + 4x + 5 – 3 (kelompokkan suku-suku sejenis)} = (3 + 1)x2 _{+ (–2 + 4)x + (5 – 3) (sifat distributif)}

= 4x2 _{+ 2x + 2} Contoh 2

Selesaikan operasi pengurangan 10y2 _{– 6 dari 4y}2 _{– 3y + 2.} Penyelesaian:

= (10y2 _{– 6) – (4y}2 _{– 3y + 2)} = 10y2 _{– 4y}2 _{– (–3y)– 6 – 2}

= (10 – 4)y2 _{+ 3y + (– 6 – 2)} = 6y2 _{+ 3y – 8}

2. Perkalian

a. Perkalian Suatu Bilangan Dengan Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat. Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar.

Contoh

Selesaikan operasi perkalian 2(3x – y)! Penyelesaian:

2(3x – y) = 2(3x)+ 2(–y) = 6x – 2y

b. Perkalian Antara Bentuk Aljabar Dan Bentuk Aljabar

Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut. (ax + b) (cx + d)

= ax(cx + d) + b(cx + d) = ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd = acx2 + (ad + bc)x + bd

Contoh

Penyelesaian: (x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) = x2 _{+ 3x + 2x + 6} = x2 _{+ 5x + 6} 3. Pembagian

Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan dan perkalian pada bentuk aljabar. Sekarang kalian akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.

Perhatikan uraian berikut.

2x2y z2=2× x2× y × z2 x3y2z=x3× y2× z

Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2_{, y, dan z}2 _{adalah faktor-faktor dari 2x}2_yz2_, sedangkan x3_{, y}2_{, dan z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x}3_y2_{z. Faktor} sekutu (faktor yang sama) dari 2x2_yz2 _{dan x}3_y2_{z adalah x}2_{, y, dan z, sehingga} diperoleh

2x2y z2 x3_y2_z =

x2yz(2z) x2_yz(xy

) ¿2z

xy

Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar kalian harus menentukan terlebih

dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

Contoh

Selesaikan operasi pembagian berikut. 6x3 _{: 3x}2

Penyelesaian:

6x3_∶3x2 =6x

3

3x2=

3x2×2x

3x2 =2x → faktor sekutu3x 2

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama.

Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku: an_{=a ×a × a ×… × a}

⏟

sebanyak n kali

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan perbedaan antara 3x2_{, (3x)}2_{, –(3x)}2_{, dan (–3x)}2 _{sebagai berikut.}

3x2 _{= 3 x x} = 3x2

(3x)2 _{= (3x) (3x)} = 9x2

–(3x)2 _{= –((3x) (3x))} = –9x2

= 9x2

Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian berikut.

(a + b)1 _{= a + b}

koefisien a dan b adalah 1 1

(a + b)2 _{= (a + b) (a + b)} = a2 _{+ ab + ab + b}2 = a2 _{+ 2ab + b}2

koefisien a2_{, ab, dan b}2 _{adalah 1 2 1} (a + b)3 _{= (a + b) (a + b)}2

= (a + b) (a2 _{+ 2ab + b}2₎

= a3 _{+ 2a}2_{b + ab}2 _{+ a}2_{b + 2ab}2 _{+ b}3 = a3 _{+ 3a}2_{b + 3ab}2 _{+ b}3

koefisien a3_{, a}2_{b, ab}2 _{dan b}3 _{adalah 1 3 3 1} (a + b)4 _{= (a + b)}2 _{(a + b)}2

= (a2 _{+ 2ab + b}2_{) (a}2 _{+ 2ab + b}2₎

= a4 _{+ 2a}3_{b + a}2_b2 _{+ 2a}3_{b + 4a}2_b2 _{+ 2ab}3 _{+ a}2_b2 _{+ 2ab}3 _{+ b}4 = a4 _{+ 4a}3_{b + 6a}2_b2 _{+ 4ab}3 _{+ b}4

koefisien a4_{, a}3_{b, a}2_b2_{, ab}3_{, dan b}4 _{adalah 1 4 6 4 1}

Demikian seterusnya untuk (a + b)n _{dengan n bilangan asli. Berdasarkan} uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien (a + b)n _membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.

Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n _{dimulai dari a}n _kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 _{pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat} dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 _{pada suku ke-2 lalu bertambah satu} demi satu dan terakhir bn _{pada suku ke-(n + 1).}

Contoh

Selesaikan operasi perpangkatan (2x + 3)4 Penyelesaian:

(2x + 3)4 _{= 1(2x)}4 _{+ 4(2x)}3_{(3) + 6(2x)}2₍₃2_{) + 4(2x)}1₍₃3_{) + 1(3}4₎ = 1(16x4_{) + 4(8x}3_{)(3) + 6(4x}2_{)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)} = 16x4 _{+ 96x}3 _{+ 216x}2 _{+ 216x + 81}