Modul Siap UN Matematika SMA Program IPS

BAB 15 INTEGRAL A. Integral Tak Tentu

      

5 B.

   

  Contoh:

  a n

p

b n p x n p dx x p

  1 ^{n n b} _a ^{n b} _a ⁿ

  1

  1 ) (

  ) (

      ^{1 1 1}

   

   

   

   

   

  7

   

   

   

   Integral Tertentu

  2

  c x   2 cos

  =

  1 . 2 cos

  2

    dx x x

  6 ³ ₁ ² 

  2

  ) 1 ( 7 )

  12 54    = 66 – 8 = 58

  2

  6

  =    

  21 9 ) 27 ( 2     

  2

  7 1 ) 1 (

  2 ^{2 3 2 3}      =    

  7 ) ) 3 ( 3 (

  ) 1 ( 1 ( 2 ) 3 (

     

  2 sin =

  7 2 x x x   =

    ³ ₁ ^{2 3}

  =

     x x x

  6   

  3

  2

  2

  7

  1

    = ³ ₁ ^{1 2 3}

  c x  

   dx x

   

      ^{1 1 1 1 2}

  4 5 ( ² = c x x x    ^{2 3}

  1

    dx x x )

  5 

  2

  1

  4

  1

  1

  

1

  1

     

  3

  4 5 ( ^{1 2} = c x x x 

  1

    dx x x x )

  

  4 5 ( ² =

  1

    dx x x )

  

  Contoh:

  1 ¹ n c x n a dx ax ^{n n}

  1 ,

  2

   Integral Trigonometri 1.

  2 ( =

      c x x dx x 2 sin

   dx x x ) cos . sin .

  2 ( dx x x Pembahasan:

    .... ) cos . sin .

     c x x dx x tan tan ² Contoh:

  

    c x dx x | sec | ln tan 8.

  

  1 cos ² 7.

  2

  1

  4

  6.

  

       c a b ax dx b ax 1 . ) sin( ) cos(

    c x dx x sin cos 5.

  

  1 sin ² 4.

  2

  1

  4

      c x x dx x 2 sin

  3.

        c a b ax dx b ax 1 . ) cos( ) sin(

     c x dx x cos sin 2.

1 C.

D. Luas Daerah Menggunakan Integral 1.

  Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus, sumbu X, dan dua garis lain Y

  y = mx + n _b

  L = ( mx  n ) dx

   _a

  X

  x = b x = a

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan sumbu X a.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan sumbu X dengan daerah di atas sumbu X Y _{b 2} L = (  px  qx  r ) dx

   _a

  X

  a b

  2 y = – px + qx + r b.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan sumbu X dengan daerah di bawah sumbu X Y

  2 y = mx + nx + o

  X

  a b b ₂ L =  ( mx  nx  o ) dx  _a 3.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan garis lurus Y

  2 y = px + qx + r y = mx + n a dan b adalah nilai x yang diperoleh dari

  penyelesaian persamaan fungsi kuadrat dengan persamaan garis lurus tersebut.

  X

  a b _{b 2} L  (( mx  n )  ( px  qx  r )) dx  _a

  Karena posisi garis y = mx + n berada di atas kurva ₂

  y  px  qx  r 4.

  Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi kuadrat Y

  a dan b adalah nilai x yang diperoleh dari

  2 y = px + qx + r

  penyelesaian persamaan fungsi kuadrat dengan persamaan garis lurus tersebut. _{b 2 2} L  ((  mx  nx  o )  ( px  qx  r )) dx

   2 a y = – mx + nx + o ₂ Karena posisi kurva y   mx  nx  o berada di

  X

  a b ²

  atas kurva y  px  qx  r

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva persamaan kubik dan sumbu X

  y = px

  2

  3

• + qx
• + rx + s c

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

    

    

    

    

  9 =

  9

  2

  18

  8

  3

  2

  12

    

       

     

    

    

    

    

  1 =

  3

  1 ) 27 (

  2

  1 18 ) 9 (

  3

  1 ) 8 (

  2

     12 ) 4 (

     

     

         

  19  

  dan c adalah nilai x yang diperoleh dari penyelesaian persamaan kubik tersebut.

       ^b _a ) dx s rx qx px (

  2 L ^{2 3} Contoh:

  X Y

  5 20 satuan luas a b

  6

  5 1 19  =

  6

  =

  11 19 

  6

  =

  27

  10

  16

  6

  =

  9 9   

  2

  8

  3

  10

  9 =

  9

  2

  8

  3

    

    

  4

  6 ²     x x ) 2 )(

  1

  1

  1

  1

  6

  = ³ ₂ ^{1 1 1 2}

     ³ ₂ ² 6 dx x x

   

  Luas daerah yang terbentuk =  

  2  3   x x

  2  3      x x 2  3     x x

   3 (    x x

  2 ²       x x x

  1   

  3

  2

  4

  2 ²      x x x

  2

  3

  4

  Sehingga:

  3 ²    x x y  2 2   x y

  4

  Pembahasan: Titik potong kurva dan garis:

  x y adalah .... satuan luas.

  3 ²    x x y dan garis  2 2  

  2

     

    

    

    

  a, b,

  1 ^{2 3 2 3} =

  3

  1 ) 3 (

  2

  6 ) 3 (

  1 ) 3 (

  3

  1 ) 2 (

  2

  6 ) 2 (

     ) 2 (

           

     

    

    

    

  =   

     x x x

     

  1 

  3

  1

  2

  6

  = ³ ₂ ^{2 3}

   x x x

    

E. Volum Benda Putar Menggunakan Integral 1.

  Volum benda putar yang dibatasi oleh dua kurva dengan sumbu x sebagai sumbu putar _{b 2 2} V   (( f ( x ))  ( g ( x )) ) dx

   _a

  Dengan f(x) adalah kurva yang terletak di atas kurva g(x) 2. Volum benda putar yang dibatasi oleh dua kurva dengan sumbu y sebagai sumbu putar _{b 2 2}

   V  (( f ( y ))  ( g ( y )) ) dy

   _a

  Dengan f(y) adalah kurva yang terletak di sebelah kanan dari kurva g(y) Contoh: Volume benda putar daerah yang dibatasi oleh garis y  x  3 , x  , x  , dan sumbu x jika _o

  3 diputar 360 mengelilingi sumbu x adalah ....  satuan volume.

  Pembahasan: _{3 2} Volume =   x  3 dx 

   _{3 2}

  =  x 

  6 x  9 dx  

   ₃

  1

  6  ^{2  1 1  1 }

  =  x  x 

  9 x   

  2

  1

  1 1  ₃

  1  ^{3 2 }

  =  x 

  3 x  9 x

  3  

  

  1 1   ^{3 2   3 2 }

  =  ( 3 )  3 ( 3 )  9 ( 3 )  ( )  3 ( )  9 ( )    

   

  3

  3    

   

   1   

  =  ( 27 )  27  27   

   

  3  

    =   9  54 

  Volume =  satuan volume

63 LATIHAN UN:

  _{3 2} 1. 8 x  3 x  4 x  7 dx adalah ....

  Bentuk dari   _{4 3}  ₂ A.

  2 x  x  _{4 3} 2 x  ₂ 7 x  c B. 4 x  x  _{4 3} 2 x  ₂ 7 x  c C. 2 x  x  _{4 3} 2 x  c ₂ D. 2 x  x  _{4 3} 2 x  ₂ 7 x  c E. 2 x  x  2 x  c

   ₃ 1  ₂ x x x dx

  2.  

  

  4 3 

  Bentuk dari  adalah .... ₄  2 

  1 ³

  3 ²   

  A. x x x c

  8

  2 ₄

  1 ₃

  3 ₂   

  B. x x x c ₄

  4

  2

  1 ³

  3 ²   

  C. x x x c

  8

  4 ₄

  1 ₃

  1 ₂   

  D. x x x c

  4

  2 ₄

  1 ₃

  3 ₂   

  E. x x x c

  6

  2

  2 3.

  3 x  4 x  1  dx setara dengan .... Bentuk   ₄  ₃

  3   _{4 3} 3 x  x  c B. _{4 3}

  x x c A.

  3 ₄

  x  x  c C.

  3 ₃

  12  ₄ 3  ₃ 12 x  x  c E. ₂

  x x c D.

  4. ( 2 x  3 ) dx adalah ....

  Bentuk ₂ 

  4  12  9 

  x x c A.

  4 _{3 2} B. x  12 x  9 x  c

  3

  4 _{3 2} C. x  6 x  9 x  c

  3 _{3 2} x x c D.

  4  ₃ 6  ₂ 9  4 x  6 x  9 x  c E. _{2 2} 5. adalah ....

  3 x  12 x  12 dx

  Nilai dari  

   ₁ A.

  12 B.

  15 C.

  24 D.

  37 E.

  39 _{1 2} 6. (

  2 x  5 ) dx adalah ....

  Nilai

  

  1 A.

  10

  3

  1 B.

  12

  3

  1 C.

  14

  3

  1 D.

  16

  3

  1 E.

  18

  3 7.

  Perhatikan gambar berikut! Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dinyatakan dalam bentuk integral adalah .... ₄ A. L  (

  2 x  4 ) dx  ₄ y

  B. L  (

  2 x  4 ) dx  ₄ C. L  ( 4  2 x ) dx

  4

   ₄ D. L  ( x  4 ) dx  x ₄

• – 2

  4 E. L  ( x 

  4 ) dx 

  2 y x x 8.

    2 , sumbu X, garis x 

  2 , dan garis x  3 adalah ....

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva satuan luas.

  1 A.

  6

  1 B.

  3

  2 C.

  3

  4 D.

  3

  3 E.

  2 ₂ y   x  x 

  1

  4 9.

4

5 , sumbu X, dan  x  adalah .... satuan luas.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva A.

  38 B.

  25 C.

  24

2 D.

  23

  3

1 E.

  23

  3 10. y  x  

  4 , garis x = 1, garis x = 3, dan Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh garis _o sumbu x jika diputar 360 mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volume.

14 A. 

  3

  19  B.

  3

  21  C.

  3

  26  D.

  3

  32  E.

  3