ANALISIS KUANTITATIF BISNIS SOAL DAN JAW

UJIAN AKHIR SEMESTER 2014/2015
ANALISIS KUANTITATIF BISNIS

OLEH :
Nama
Nim
Program Studi
Kelas
Dosen Pengasuh

:
:
:
:
:

Keti Purnamasari
01032681419003
Ilmu Manajemen
Reguler Pagi
Hj. Marlina Widiyanti, SE, SH, MM, Ph.D

PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2014

1

I. SOAL TEORI
1.

Jelaskan hubungan model dengan pengambilan keputusan dengan analisis kuantitatif !
Jawab :
Model adalah sebuah gambaran dari realitas atau situasi kehidupan nyata.
Mengembangkan model merupakan bagian penting dari pendekatan analisis kuantitatif
yang dapat digunakan dalam pengambilan keputusan. Penggunaan model ini memiliki
beberapa keuntungan dalam rangka pengambilan keputusan yaitu :
a. Model dapat menggambarkan suatu realitas (kehidupan nyata) secara akurat. Jika
dirumuskan dengan baik, model bisa sangat akurat. Sebuah model yang valid adalah
yang dapat menggambarkan suatu permasalahan atau sistem yang diteliti secara
akurat dan benar.

b. Model dapat membantu pembuat keputusan merumuskan masalah. Misalnya,
pengambilan keputusan dalam maksimisasi laba dapat menentukan faktor penting
dari penerimaan dan biaya seperti penjualan, biaya penjualan, biaya produksi, biaya
transportasi, dan sebagainya.
c. Model dapat memberikan wawasan dan informasi bagi pengambil keputusan.
Misalnya dengan menggunakan model, kita dapat melihat apakah dampak dari
perubahan penerimaan dan biaya akan menghasilkan laba.
d. Model dapat menghemat waktu dan uang dalam pengambilan keputusan dan
pemecahan masalah. Kita bisa menggunakan model laba untuk menganalisa dampak
dari kampanye pemasaran terhadap laba, penerimaan, dan biaya. Dalam kebanyakan
kasus, menggunakan model lebih cepat dan lebih murah daripada benar-benar
mencoba kampanye pemasaran baru.
e. Sebuah model mungkin satu-satunya cara untuk memecahkan beberapa masalah
besar atau kompleks secara tepat waktu. Sebuah perusahaan besar, misalnya, dapat
menghasilkan ribuan ukuran mur, baut, dan pengencang. Perusahaan mungkin ingin
membuat keuntungan tertinggi dengan sumber daya yang terbatas. Dengan sebuah
model matematika maka dapat ditentukan besarnya laba tertinggi perusahaan yang
dapat dicapai dalam situasi seperti ini.
f. Sebuah model dapat digunakan untuk mengkomunikasikan masalah dan solusi.
Solusi untuk model matematika dapat diberikan kepada manajer dan eksekutif untuk

membantu mereka membuat keputusan akhir.

2.

Sebutkan 5 (lima) jenis masalah optimalisasi jaringan yang penting dan sebutkan juga
beberapa ide pemecahannya. Berikan contohnya.
Jawab :
a. Masalah Lintasan Terpendek (Shortest-Path Problem)
Berikut adalah 3 kategori penerapannya :
1. Minimalisasi total jarak tempuh
2. Minimalisasi total biaya dari suatu urutan aktivitas
3. Minimalisasi total waktu dari suatu urutan aktivitas
Pemecahan masalah ini dapat menggunakan metode simpleks pada umumnya dan
excel.
b. Masalah Minimum Spanning Tree (Minimum Spanning Tree Problem)
Berikut ini adalah daftar beberapa aplikasi utama masalah minimum spaining tree :
1. Mendesain jaringan telekomunikasi (jaringan optik-fiber, jaringan komputer,
jaringan kabel telepon sewaan, jaringan tv kabel, dll ).
2. Mendesain jaringan transportasi ringan untuk meminimalkan total biaya
pengadaan link (rel kereta api, jalan, dan lain-lain).

2

3.
4.

Mendesain jaringan transmisi listrik voltase tinggi.
Mendesain jaringan pengkabelan peralatan listrik (system computer digital)
untuk meminimalkan total panjang kabel.
5. Mendesain jaringan panjang pipa air untuk menghubungkan beberapa lokasi.
Pemecahan masalah dapat dilakukan dengan melakukan algoritma secara langsung
melalui pendekatan grafis. Tiap tahapan dalam algoritma digambarkan secara
langsung.
c. Masalah Aliran Maksimum (Maximum Flow Problem)
Berikut adalah beberapa penerapan yang khas dari masalah aliran maksimum :
1. Memaksimalkan aliran distribusi perusahaan dari pabrik ke konsumen.
2. Memaksimalkan aliran jaringan persediaan perusahaan dari vendor ke pabrik.
3. Memaksimalkan aliran minyak di dalam sistem pipa.
4. Memaksimalkan aliran air dari sistem bendungan.
5. Memaksimalkan aliran kendaraan di dalam jaringan transportasi.
Pemecahan masalah dapat dilakukan dengan algoritma augmenthing path dan

penggunaan excel solver.
d. Masalah Aliran Biaya Minimum (Minimum Cost Flow Problem)
Masalah aliran biaya minimum (minimum cost flow) memegang peranan yang
terpenting di antara model optimalisasi jaringan. Hal tersebut berkaitan dengan
kemampuan masalah ini untuk merangkul kelas aplikasi yang besar dan juga karena
masalah ini bisa diselesaikan dengan sangat efisien. Seperti halnya masalah aliran
maksimum, masalah ini berhubungan dengan aliran yang melalui jaringan dengan
kapasitas busur yang terbatas. Seperti masalah lintasan terpendek, masalah ini
memperhatikan biaya (atau jarak) aliran melalui busur. Seperti masalah transportasi,
masalah ini dapat menangani sumber (source) yang lebih dari satu (simpul
persediaan) dan tujuan yang lebih dari satu (simpul permintaan) pada suatu aliran,
yang sekali lagi berkaitan dengan biaya. Pada kenyataannya, keempat masalah yang
telah dipelajari sebelumnya ini adalah kasus khusus dari masalah aliran biaya
minimum, seperti yang akan ditunjukkan secara singkat. Alasan mengapa masalah
aliran biaya minimum dapat diselesaikan dengan sangat efisien adalah
kemampuannya untuk dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier sehingga
dapat diselesaikan dengan metode simpleks efisien yang disebut metode simpleks
jaringan ( network simplex method ).
e. Masalah jaringan yang melibatkan penentuan cara paling ekonomis untuk
melaksanakan sebuah proyek sehingga proyek tersebut dapat diselesaikan tepat

waktu. Teknik yang disebut metode CPM untuk pertukaran (trade-off) antara waktu
dan biaya, digunakan untuk merumuskan sebuah model jaringan proyek dan
pertukaran antara waktu-biaya untuk kegiatan-kegiatannya. Analisis batas biaya
(marginal cost analysis) atau pemrograman linier kemudian digunakan untuk
menyelesaikan rencana optimalisasi proyek.
3.

Apa yang dimaksud dengan fungsi tujuan ? Fungsi-fungsi kendala/ada variabel
keputusan ? Dalam model primal dan bentuk dual. Jelaskan !
Jawab :
- Fungsi Tujuan (Objective Function) adalah pernyataan matematis dari tujuan suatu
organisasi, untuk memaksimalkan atau meminimalkan beberapa kuantitas, biasanya
keuntungan atau biaya. Contoh : tujuan utama dari produsen adalah untuk
memaksimalkan keuntungan. Dalam kasus sistem distribusi, tujuannya mungkin
untuk meminimalkan biaya pengiriman.

3

-

Fungsi Kendala adalah batasan sumber daya yang tersedia dalam suatu perusahaan
(dinyatakan dalam pertidaksamaan atau persamaan). Misalnya, memutuskan berapa
banyak unit setiap produk yang akan diproduksi, dengan batasan (kendala) SDM dan
mesin yang tersedia. Pemilihan kebijakan iklan atau portofolio keuangan dibatasi
oleh jumlah uang yang tersedia untuk dibelanjakan atau diinvestasikan.
- Variabel keputusan adalah variabel yang memiliki nilai yang mungkin dipilih oleh
pengambil keputusan.
Contoh :
Primal
Minimumkan Z = 2X1 + X2 (fungsi tujuan)
Fungsi kendala (batasan):
X1 + 5X2 ≤ 10
X1 + 3X2 ≤ 6
2X1 + 2X2 ≤ 8
X1, X2 ≥ 0
X1 dan X2 adalah variabel keputusan
Dual
Maksimumkan Y = 10Y1 + 6Y2 + 8Y3 (fungsi tujuan)
Fungsi kendala (batasan):
Y1 + Y2 + 2Y3 ≥ 2

5Y1 + 3Y2 + 2Y3 ≥ 1
Y1, Y2 ≥ 0
Y1 dan Y2 adalah variabel keputusan
4.

Jelaskan karakteristik masalah pemrograman dinamis dan beri contoh pembahasan dari
pemrograman dinamis determinan !
Jawab :
Sifat dasar yang menjadi ciri masalah pemrograman dinamis :
a. Masalah dapat dibagi menjadi tahap-tahap, dengan keputusan kebijakan yang dibuat
pada masing-masing tahap. Masalah ekspedisi secara harfiah dibagi menjadi empat
tahap yang sesuai dengan empat tahap perjalanan. Kebijakan keputusan pada
masing-masing tahap adalah kebijakan asuransi jiwa mana yang dipilih (sama
dengan tujuan yang dipilih untuk tahap berikutnya). Dengan cara yang sama,
masalah pemrograman dinamis lain memerlukan pembuatan suatu urutan keputusan
yang saling berhubungan, dengan setiap keputusan diambil pada satu tahap masalah.
b. Masing-masing tahap mempunyai state yang berhubungan dengan kondisi awal
tahap. State pada masing-masing tahap dalam masalah ekspedisi adalah negara
bagian (atau wilayah) tempat pencari harta bisa singgah sementara ketika tiba pada
akhir suatu bagian/tahap perjalanan tersebut. Secara umum, state adalah berbagai

kondisi sistem yang mungkin pada suatu tahap masalah.
c. Efek keputusan kebijakan pada setiap tahap adalah mengubah state saat ini menjadi
state lain pada awal tahap berikutnya. (Mungkin mengikuti pola distribusi tertentu).
Keputusan pencari harta dalam bentuk tujuan berikutnya, membawanya dari state
sekarang kepada state berikutnya dalam perjalanan. Prosedur ini menyatakan bahwa
masalah pemrograman dinamis dapat dinyatakan sebagai jaringan. Setiap simpul
menyatakan state. Jaringan akan terdiri dari kolom simpul, dengan setiap kolom
menyatakan tahap, sehingga aliran dari suatu simpul hanya dapat melangkah ke
kolom yang berada di sebelah kanannya. Hubungan dari suatu simpul ke simpul
pada kolom berikutnya sesuai dengan keputusan kebijakan yang mungkin untuk
4

d.
e.

f.

g.
h.

menentukan state untuk langkah berikutnya. Nilai yang ditugaskan pada setiap
hubungan dapat ditafsirkan sebagai kontribusi langsung terhadap fungsi tujuan dari
pembuatan keputusan kebijakan itu. Dalam banyak kasus, mencari solusi untuk
mencapai tujuan dapat dinyatakan dengan menemukan jalur pendek atau terpanjang
pada jaringan.
Prosedur penyesuaian dirancang untuk menemukan kebijakan optimal dari
keseluruhan masalah, yang menunjukkan keputusan kebijakan mana yang optimal
pada setiap tahap untuk setiap state yang mungkin.
Berkaitan dengan state saat ini, kebijakan optimal untuk langkah tersisa bersifat
independen terhadap keputusan kebijakan yang telah diambil pada tahap
sebelumnya. Oleh karena itu, keputusan optimal selanjutnya hanya tergantung pada
state saat ini dan bukan cara mencapai state saat ini. Inilah prinsip optimalisasi
untuk pemrograman dinamis.
Prosedur penyelesaian dimulai dengan mencari kebijakan optimal untuk langkah
terakhir. Kebijakan optimal untuk langkah terakhir ini akan menentukan keputusan
kebijakan optimal untuk setiap state yang mungkin pada tahap itu. Penyelesaian dari
masalah suatu tahap ini pada umumnya sangat mudah, seperti i terlihat pada masalah
ekspedisi.
Tersedia hubungan rekursif yang menunjukkan kebijakan optimal untuk tahap h
dengan dasar kebijakan optimal untuk langkah n + 1.

Ketika kita menggunakan hubungan rekursif ini, prosedur penyelesaian mulai dari
bagian akhir dan bergerak mundur tahap demi tahap setiap kali mencari kebijakan
optimal untuk tahap itu sampai ditemukan kebijakan optimal untuk tahap pertama.
Kebijakan optimal ini seketika dapat menghasilkan solusi optimal untuk keseluruhan
¿
¿
masalah,yaitu x 1 untuk state awal s1, kemudian x 2 untuk state s2, kemudian
x ¿3 untuk state s3 dan seterusnya sampai x ¿N untuk sN.
Contoh : Masalah Perjalanan Kereta
• Peubah keputusan: xn (n = 1, 2, 3, 4)adalah tujuan sekarang pada tahap ke-n
(perjalanan kereta ke-n). Jadi rute yang dipilih adalah A→ x1 → x2 → x3 → x4
(dengan x4 = j).
• Misalkan fn(s, xn) adalah total biaya seluruh polis terbaik untuk tahap-tahap
tersisa, bila dianggap Abdel berada pada kadaan s, sedang bersiap untuk
memulai tahap ke-n, dan memilih xn sebagai tujuan sekarang. Dengan
menganggap sn dan n diketahui, misalkan xn*melambangkan nilai yang
meminimumkan xn dan misalkan fn(s, xn) adalah nilai minimum dari fn(s, xn).
Dengan demikian:
fn*(sn)= min fn(sn, xn) = fn(sn, xn*)
dengan
fn(sn, xn) = biaya sek. (tahap n) + biaya min. mendatang (tahap n+1)
= csxn + fn+1*(sn, xn)
• Tujuan: menemukan f1*(s1=A) dan rute yang sesuai, yang dilakukan secara
berurutan dengan menemukan f4*(s4), f3*(s3), f2*(s2) untuk setiap keadaan s yang
mungkin dan kemudian menggunakan f2*(s) untuk mencari f1*(A)
Prosedur penyelesaian:
• Ketika Abdel tinggal memiliki satu tahap lagi (n = 4), rute kemudian ditentukan
sepenuhnya oleh keadaan sekarang s (entah H atau I) dan tujuan akhir x4 = j,
sehingga rute tahap terakhir adalah s→j. Jadi:

5

n=4
s

f4*(s)

x4*

H

3

J

I

4

J

Untuk n = 3, maka:
s
E
F
G

x3
f3(s,x3)=csx3 + f4 (x3)
H
I
4
8
9
7
6
7
*

f3*(s)

x3*

4
7
6

H
I
H

Untuk n = 2, maka
s
B
C
D

x2
f2(s,x2)=csx2 + f3 (x2)
f2*(s)
E
F
G
7+4=11 4+7=11 6+6=12 11
3+4=7
2+7=9 4+6=10
7
4+4=8
1+7=8 5+6=11
8
*

x2*
E or F
E
E or F

Untuk n = 1, maka
s
A

x1
f1(s,x1)=csx1 + f2 (x2)
B
C
D
2+11=13
4+7=11
3+8=11
*

f1*(s)

x1*

11

C or D

5.

Apakah yang dimaksud dengan solusi optimal, nilai optimal dan daerah feasible ?
Jawab :
Solusi optimal adalah solusi yang layak yang memiliki nilai yang paling menguntungkan
dari fungsi tujuan. Nilai yang paling menguntungkan adalah nilai terbesar jika fungsi
tujuan adalah untuk dimaksimalkan dan nilai terkecil jika fungsi tujuan adalah untuk
diminimalkan.
Nilai optimal adalah nilai yang paling baik untuk suatu fungsi tujuan. Contoh untuk
memaksimalkan laba, maka nilai terbesar adalah nilai optimal dan untuk meminimalkan
biaya, maka nilai terkecil adalah nilai optimal.
Daerah feasible adalah daerah yang memenuhi semua kendala yang ada, dimana semua
kendala dapat dicocokkan. Semua kemungkinan solusi dari permasalahan terletak pada
daerah feasible.

6.

Jelaskan empat (4) kondisi yang diperlukan bagi penerapan linear programming !
Jawab :
1. Ada suatu fungsi tujuan seperti memaksimalkan laba atau meminimalkan biaya.

6

2. Harus adanya sumber daya yang terbatas (fungsi kendala/constraint). Keterbatasnnya
mencakup tenaga kerja, peralatan, keuangan, bahan, dan sebagainya. Tanpa
keterbatasan ini, tidak akan muncul masalah.
3. Harus ada linearitas. Misalnya jika diperlukan lima jam untuk membuat sebuah
barang maka tiga buah barang akan membutuhkan waktu lima belas jam.
4. Harus ada keseragaman. Misalnya barang-barang yang diproduksi oleh suatu mesin
adalah identik, atau semua jam kerja yang tersedia dari seorang pekerja adalah sama
produktifnya.

7

II. SOAL KASUS
1.

Jika diketahui persamaan programming bilangan bulat biner di bawah ini :
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
1. 6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
2.
X3 + X4 ≤ 1
3.
–X1 + X3 ≤ 0
4.
–X2 + X4 ≤ 0
Xj adalah biner, untuk j = 1,2,3, dan 4
Jawab :
Dengan menggunakan program QM : Mixed Integer Programming

Iteration

Level

Added constraint

Solution type

Solution Value

X1

X2

X3

X4

Optimal

14

1

0

0

16.5
9
16.2
13.8
9

1
0.833333
3
0
1
1
1

1
1
0.8
0
0

0
0
0
0.8
0

1
1
0.8
0
0

16
15.2
14

1
1
1

1
1
1

0
0.2
0

0.5
0
0

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0
1
1
2
3
3
2
3
4
4

X1= 1
X2= 1
X4= 1

Infeasible

1

8
2

3
5

4

6

9

8

7 10

11

Solusi Tidak Layak

Solusi Tidak Layak

Solusi Tidak Layak

OPTIMAL

ITERASI 1
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
9

X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 =

5
=0,833
6

X2 = 1
X3 = 0
X4 = 1
Z = 16

1
2

= 16,5

ITERASI 2
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≤ 0
X1 = 0
X2 = 1
X3 = 0
X4 = 1
Z =9
ITERASI 3
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X1 = 1
X2 =

4
=0,8
5

X3 = 0

4
=0,8
5
1
Z = 16
= 16,5
2
X4 =

ITERASI 4
10

Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≤ 0
X1 = 1
X2 = 0
X3 =

4
=0,8
5

X4 = 0
Z = 13

4
5

= 13,8

ITERASI 5
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≤ 0
X3 ≤ 0
X1 = 1
X2 = 0
X3 = 0
X4 = 0
Z = 9
ITERASI 6
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≤ 0
X3 ≥ 1
SOLUSI TIDAK LAYAK (INFEASIBLE)

11

ITERASI 7
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≥ 1
X1 = 1
X2 = 1
X3 = 0

1
=0,2
5
Z = 16
X4 =

ITERASI 8
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≥ 1
X4 ≤ 0
X1 = 1
X2 = 1

1
=0,2
5
X4 = 0
1
Z = 15
= 15,2
5
X3 =

ITERASI 9
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≥ 1
X3 ≤ 0
X4 ≤ 0
X1 = 1
X2 = 1
X3 = 0
12

X4 = 0
Z = 14
ITERASI 10
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≥ 1
X3 ≥ 1
X4 ≤ 0
SOLUSI TIDAK LAYAK (INFEASIBLE)
ITERASI 11
Max : Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4
Constraint :
6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10
X3 + X4 ≤ 1
–X1 + X3 ≤ 0
–X2 + X4 ≤ 0
X1 ≥ 1
X2 ≥ 1
X4 ≥ 1
SOLUSI TIDAK LAYAK (INFEASIBLE)
2.

Buatlah model dual dari persamaan primal sebagai berikut :
a. Min. Biaya : C= Y1 + 2Y2 + 3Y3
4Y1 + 8Y2 + 7Y3 .... 70
5Y1 + ...... + 11Y3 .... 15
6Y1 + 9Y2 ................ 13
Y1 ... 0 ; Y2... 0 ; Y3 ... 0
b.

Max. Laba : Z= 3X1 + 4X2
2X1 + 5X2 ..... 10
4X1 + 3X2 ..... 50
3X1 ............... 6
X1 + 7X2 ..... 15
X1 ... 0 ; X2... 0

c.

Min. Biaya : C = 4Y1 + 13Y2
18Y1 + 12Y2 ..... 25
9Y1 + 10Y2 ..... 2
6Y1 + 2Y2 ..... 17
Y1 ... 0 ; Y2... 0

Jawab :

13

a. Primal
Min. C = Y1 + 2Y2 + 3Y3
Fungsi Kendala
4Y1 + 8Y2 + 7Y3 ≥ 70
5Y1 + 11Y3 ≥ 15
6Y1 + 9Y2 ≥ 13
Y1 ≥ 0 ; Y 2 ≥ 0 ; Y3 ≥ 0
Dual
Max. Z = 70X1 + 15X2 + 13X3
Fungsi Kendala
4X1 + 5X2 + 6X3 ≤ 1
8X1 + 9X3 ≤ 2
7X1 + 11X2 ≤ 3
X1 ≥ 0 ; X 2 ≥ 0 ; X 3 ≥ 0
b. Primal
Max. Z = 3X1 + 4X2
Fungsi Kendala
2X1 + 5X2 ≤ 10
4X1 + 3X2 ≤ 50
3X1 ≤ 6
X1 + 7X2 ≤ 15
X1 ≥ 0 ; X 2 ≥ 0
Dual
Min. C = 10Y1 + 50Y2 + 6Y3 + 15Y4
Fungsi Kendala
2Y1 + 4Y2 + 3Y3 + Y4 ≥ 3
5Y1 + 3Y2 + 7Y4 ≥ 4
Y1 ≥ 0 ; Y 2 ≥ 0 ; Y3 ≥ 0 ; Y 4 ≥ 0
c. Primal
Min. C = 4Y1 + 13Y2
Fungsi Kendala
18Y1 + 12Y2 ≥ 25
9Y1 + 10Y2 ≥ 2
6Y1 + 2Y2 ≥ 17
Y1 ≥ 0 ; Y 2 ≥ 0
Dual
Max. Z = 25X1 + 2X2 + 17X3
Fungsi Kendala
18X1 + 9X2 + 6X3 ≤ 4
12X1 + 10X2 + 2X3 ≤ 13
X1 ≥ 0 ; X 2 ≥ 0 ; X 3 ≥ 0
14

15