Fungsi manfaat nuptk dalam tunjangan (10)

9t2

FUNGSI DAN
GRAFIK
Pengertian Fungsi
Definisi : Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu
himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai
yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut.
x disebut variabel bebas dan y = f(x) disebut variabel tak bebas.
Contoh :
2

1. Diketahui f(x) = x – 2x, tentukan

f(4  h) 
f(4) h

Jawab:

2

f(4) = 4 – 2.4 = 16 – 8 = 8
2

2

f(4+h) = (4+h) – 2(4+h) = 16 + 8h + h – 8 – 2h = 8 + 6h + h
=6+h
f(4  h) 
f(4) h

=

2. Diketahui g(x) =

6h 
h2
h

1
x

, tentukan g (a  h)  g (a)
h

=


1
h. 

1
1

ah a 
h

g (a  h)  g (a)

Jawab:

2


(a h

h)
a

h

1
2
a  ah

2

3. Jika f(x) = x – x maka tentukan f(x – 1)
2

Jawab

2

2

f(x – 1) = (x – 1) – (x – 1) = x – 2x + 1 – x + 1 = x – 3x + 2

Bila daerah asal tidak dirinci, berarti daerah asal itu adalah himpunan bilangan real terbesar, dimana
aturan fungsi itu bermakna dan memberi nilai bilangan real. Daerah asal itu disebut daerah asal alamiah.
Contoh:
1. Tentukan daerah asal alamiah untuk

(a) f(x) =

1
x
3

(b) g(t) =

Jawab:
(a) daerah asal alamiah fungsi tersebut adalah x = seluruh bilangan real untuk x  3.
2
(b) agar tidak menjadi bilangan imajiner, syaratnya 9 – t  0.
(3 + t)(3-t)  0. Titik pemecah t = – 3 dan t = 3, diperoleh – 3  t  3.
Jadi daerah asal adalah HP: {t: – 3  t  3}
2. Diketahui : Daerah asal x = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2} dan fungsi y = – x + | x |
Tentukan : daerah hasil fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya
Jawab:
y=–x+|x|
x

y

–4

8

–3

6

–2

4

–1

2

0

0

1
2

0
0

sumbu y

–x+

x

x
Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x + x

6

Fungsi y =

4
2

sumbu
Menggambar Grafik
–4 –3 –2 –1 012
Beberapa fungsi khusus yang sering dijumpai adalah:

a. Fungsi identitas : f(x) = x
b. Fungsi konstan : f(x) = a dimana a = konstanta
c. Fungsi modulus (nilai mutlak) : f(x) = x jika x  0
–x jika x  0
d. Fungsi tangga :
0 jika 0  x  1
f(x) =
1 jika 1  x  2
2 jika 2  x  3
e. Fungsi linier
: f(x) = ax + b, dimana a dan b konstanta
2
f. Fungsi kuadrat : f(x) = ax + bx + c, dimana a, b, dan c konstanta
Contoh :
1. Gambarkan grafik dari fungsi
x + 1 jika x  3
f(x) =
2
jika – 2  x  3
2x + 3 jika x  – 2

jawab:

x
–4
–3
– 2–2
–1
0
3
3+
4

y
–5
–3
–1
2
2
2
2

4
5
Gambar 2.2 Grafik Fungsi f(x)

2. Gambarkan grafik fungsi
y=
Jawab

–x
2
x –2
x+1

untuk
untuk
untuk

–3x–1
–1x2
2x3

x

y

–3
–1
+
–1
0
1
2

3
1
–1
–2
–1
2
3
4

+

2
3

2. Suatu fungsi linier f: x 

2
3

Gambar 2.3 Grafik Fungsi f(x)

x  c , memetakan 6 ke 5. Tentukan x sehingga f(x) = 0

Jawab: Fungsi linier tersebut dapat ditulis menjadi y = 2 x  c
3

Memetakan 6 ke 5, artinya untuk x = 6 didapat y = 5. Dengan memasukkan nilai x dan y ke fungsi
tersebut diperoleh 5 = 2/3. 6 + c atau c = 1.
Jadi persamaan tersebut adalah y = 2 x  1 . Jika f(x) = 0,
maka
3

2
3

x  1 = 0, didapatkan x = –

3
2

Fungsi Trigonometri
Untuk mempelajari fungsi trigonometri, perlu diulang kembali rumus-rumus trigonometri :
2

2

2

sin x + cos x = 1

2

2

1 + tan x = sec x

2

1 + cot x = csc x

Rumus penjumlahan

Rumus pengurangan

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y

cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y

tan(x + y) = tan x  tan y

tan x  tan y
1 tan x tan y

tan(x – y) =

1 tan x tan
y

Rumus sudut ganda
2

sin 2x = 2 sin x cos x
tan 2x
=

2

2

2

cos 2x = cos x – sin x = 1 – 2 sin x = 2 cos x – 1

2 tan x
2
2 cot x
 2
 cot x  tan
2
cot x  1
1 tan
x
x

Rumus perkalian
sin x cos y =
cos x sin y =

1
2
1
2

1

{sin(x+y) + sin(x – y)}

sin x sin y =

{sin(x+y) – sin(x – y)}

cos x cos y = 1 {cos(x+y) + cos(x – y)}

xy

y

2

sin x – sin y = 2 cos

xy

y

cos x + cos y =

x

cos

2 cos

2

2

xy

cos x – cos y =

x

sin

{cos(x+y) – cos(x – y)}

2

Rumus faktor
sin x + sin y = 2 sin

2

 2 sin

2

cos

xy

2

2

xy

xy

sin

2

2

C

Rumus Sinus
a
sin  
A

b
sin 

Rumus Cosinus



c
sin 

2

2

2

2

2

2

a = b + c – 2 bc cos 
b = a + c – 2 ac cos 
2
2
2
c = a + b – 2 ab cos 

B

Gambar 2.4 Segitiga ABC
Persamaan
a. Jika sin x = sin a, maka .
o
x = a + k.360
0
0
x = (180 – a) + k.360
c. Jika tan x = tan a, maka x = a + k.180
a.

b. Jika cos x = cos a, maka
o
x = a + k.360
o
x = – a + k.360
o

Fungsi Sinus :
Bentuk sederhana : y = sin x
dimana: x dalam satuan sudut atau radian
y dalam satuan jarak

d. Jika cot x = cot a, maka x = a + k.180
Y
o

0

b.

Fungsi Cosinus
Y

Bentuk sederhana : y =
cos x

o

dimana: x dalam satuan sudut atau radian
y dalam satuan jarak

0o
o

90

180

o

270

X
o
360

o

Gambar 2.5 Fungsi y = sin x

o

90

o

180

o

270

Gambar 2.6 Fungsi y = cos x

X
o
360

–3 –2 –1

c.

4
3
2
1

Y

Fungsi Tangen
Bentuk sederhana : y = tan x
dimana: x dalam satuan sudut atau
radian y dalam satuan jarak

0

Gambar 2.7 Fungsi y = tan x
Contoh :
1. Gambarkan sketsa grafik y = 2 sin 1 (x 
1 )

1 23
–1Jawab: 1/3  = 60o
–2
–3

x

y

1
1,414
1,732
1,932
2
1,932
1,732

o

o

X

0

0o
30
o
60
o
90
o
120
o
150
o
180

o

untuk interval 0  x  360 .

2

x
o
210
o
240
o
270
o
300
o
330
o
360

3

y
1,414
1
0,518
0
– 0,528
–1

2
1
0
–
1 (x  1 )
2
3

1
–2

Gambar 2.8 Grafik y = 2
sin
o

o

2. Tentukan titik potong persamaan y = sin 2x dan y = cos x dalam interval 0  x  360 .
Gambarkan sketsa kedua grafik dan titik potongnya.
Jawab
Bila kedua persamaan di atas dipotongkan diperoleh sin 2x = cos x
o
atau sin 2 x = sin (90 – x)
berdasarkan persamaan di atas
diperoleh o
o
o
o
o
o
a. 2x = 90 – x + k.360 didapat 3x = 90 + k.360 atau x = 30 + k.120
o
o
untuk k = 0 maka x = 30 dan y = 0,866, untuk k = 1 maka x = 150 dan y = –
o
0,866 untuk k = 2 maka x = 270 dan y = 0
o

o

o

o

o

o

b. 2x = 180 – (90 – x) + k.360 didapat 2x = 90 + x + k.360 atau x = 90 +
o
o
k.360 untuk k = 0 maka x = 90 dan y = 0
o
o
o
Jadi himpunan titik potong adalah { (30 , 0,866), (90 , 0), (150 , – 0,866),
o
(270 , 0) }
Penggambaran grafiknya sbb
y = sin 2x
x
o
0o

15
o
30
o
45
o
60
o
75
o
90
o
105
o
120

y = cos x
y
0
0,5
0,866
1
0,866
0,5
0
– 0,5
– 0,866

x
o
135
o
150
o
165
o
180
o
195
o
210
o
225
o
240

0o

y
–1
–0,866
– 0,5
0
0,5
0,866
1
0,866

x
o
255
o
270
o
285
o
300
o
315
o
330
o
345
o
360

y
0,5
0
– 0,5
–0,866
–1
–0,866
– 0,5
0

x
o

0 o
30
o
60
o
90
o
120
o
150
o
180

y
1
0,866
0,5
0
– 0,5
– 0,866
–1

x
o
210
o
240
o
270
o
300
o
330
o
360

y
– 0,866
– 0,5
0
0,5
0,866
1

Gambar 2.9 Grafik y = sin 2x dan y = cos


a

b



c



y = sin 2x
180o

90o270o

y = cos x
360o

–4 –3 –

5
4
3
2
1
2 –1 0 1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
–5

8